重庆八中高2020届高三下学期第4次月考数学试题文科

2020届重庆市第八中学高三下学期第3次（4月）月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|1},{3,2,1,0,1}A x x B =>-=---，则A B =I ( )A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．(]1,1-D ．∅【答案】B【解析】利用交集定义直接求解．【详解】 Q 集合{}1A x x =-，{3,2,1,B =---0，1}，{}0,1A B ∴⋂=．故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．设2i z i +=，则||z =( )A ．B C ．2 D ．5【答案】B【解析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．【详解】 ()22212i i i z i i i++===-，则z == 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数模的计算，比较基础．3．已知向量||1,||2,a b a b ==⋅=r r r r a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 【答案】A【解析】根据条件及向量夹角的余弦公式即可得出3cos ,2a b =r r ，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角的大小． 【详解】1,2,3a b a b ==⋅=r r r r Q ，3cos ,a b ∴=r r ，且0,a b π≤≤r r ， ∴向量,a b r r 的夹角为6π． 故选：A ．【点睛】本题考查了向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题． 4．函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】取特殊值，利用排除法即得解．【详解】当12a =时，()()12,f x x g x log x ==，选项B 符合．故选：B ．【点睛】本题考查常见函数的图象，属于基础题．5．已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为,A O 为坐标原点，则OAF S ∆=( )A ．3B ．C ．D 【答案】D【解析】求得F 20y +=的距离FA ==即可得2.AO ===从而求得面积．【详解】双曲线22145x y -=的右焦点为()3,0F ，F 20y +=的距离FA ==则2AO ===．则11222OAF S FA OA =⋅==V 故选：D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．6．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A ．7班、14班、15班B ．14班、7班、15班C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【答案】C【解析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误， 14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C ．【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-【答案】B 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得0N =，0T =，1i =满足条件100i <，执行循环体，1N =，2T =，3i =满足条件100i <，执行循环体，13N =+，24T =+，5i =满足条件100i <，执行循环体，135N =++，246T =++，7i =⋯观察规律可知，当99i =时，满足条件100i <，执行循环体，13599N =+++⋯+，246100T =+++⋯+，101i =此时，不满足条件100i <，退出循环，可得()()()()1234569910050S N T =-=-+-+-+⋯-=-．故选：B ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(,0)3π，则()f x 在[0,2)π内的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】由函数为偶函数求得ϕ，再由已知求出周期，进一步求得ω，可得函数解析式，根据三角函数的图象判断零点个数即可．【详解】由函数()()sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<为偶函数， 所以2πϕ=，()f x cos x ω=； 又因为该函数离原点最近的一个对称中心为,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以43T π=，423T ππω==，32ω=； 所以3()cos 2f x x =， 由函数图像可知()f x 在[)0,2π内的零点个数为3个．故选：C ．【点睛】本题考查了()y Asin x ωϕ=+型函数的图象及性质，属于基础题． 9．已知函数2,01()log ,1a x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为( )A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1.2]D ．(0,2]【答案】C【解析】要使分段函数在()0,+∞上是增函数，必须每一段都是增函数，且整体也是增函数，故1a >且2log 10a a -≤=，解得a 的取值范围即可．【详解】要使得函数()2,01,1a a x xf x log x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩在()0,+∞上为增函数， 则满足120a a >⎧⎨-≤⎩，故12a <≤；则a 的取值范围为(]1,2． 故选：C ．【点睛】本题考查了分段函数为增函数的条件，正确理解增函数的定义是关键，属于基础题． 10．已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( )A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意画出图形，可得连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+，两三棱锥高的和的最大值为2SA =，再求出三角形OBC 面积的最大值得答案．【详解】如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+，两三棱锥高的和的最大值为2SA =．要使三棱锥S ABC -的体积最大，则OBC V 面积1sin 2OB OC BOC ⨯⨯⨯∠，取最大值1111122⨯⨯⨯=时， ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查球内接多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法，是中档题．11．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0,1]x ∈时，()f x =若13(log 54)a f =，2019()2b f =，(3)c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b << 【答案】C 【解析】根据函数的奇偶性和单调性，结合函数的周期性进行转化判断即可．【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，()()()111f x f x f x ∴+=-=--，则()()2f x f x +=-，即()()4f x f x +=，则函数的周期是4，[]0,1x ∈时，()f x =()f x 在[]1,1-上为增函数， ()()()()()1333333log 54log 543log 23log 24log 211log 2f f f f f f ⎛⎫=-=-+=-+-=--=- ⎪⎝⎭，20191111100811122222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()3341f f f =-=-，3111log 22-<<-Q ， ()()3111log 22f f f ⎛⎫∴-<<- ⎪⎝⎭， 即c b a <<，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数的奇偶性和对称性求出函数的周期是解决本题的关键．有一定的难度．12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于,A B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED ∆的面积为2，则D 点的横坐标为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，及准线方程，设B 的坐标，可得C 的坐标，由12BE EF =u u u r u u u r ，可得E 的坐标，再由C ，E ，D 三点共线可得D 的坐标用B 的坐标表示的值，再由BED V 的面积可得D 的坐标．【详解】 设2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0D D x ，由题意可得焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，所以可得()1,C b -， 由12BE EF =u u u r u u u r ，可得()21,1,42E E E E b x y b x y ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， 可得226E b x +=，23E b y =，即222,63b E b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为C ，E ，D 三点共线，可得CD CE k k =，即2232116D b b b b x -=+----， 可得232D b x =+， 因为BED V的面积为2，所以()13122BFD BED D S S x b ===-⋅V V ，即340b b +-=，可得b =所以2342D x =+=， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了抛物线的性质及三点共线的性质，即直线与抛物线的综合，属于中档题．二、填空题13．已知tan 3α=-，则cos2=α_____________. 【答案】45- 【解析】由题意，根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得2cos α的值．【详解】3tan α=-Q ，222222cos sin 1tan 1942cos sin 1tan 195cos ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 14．若变量,x y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则3z x y =-的最大值为_____________.【答案】9【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩作出可行域如图：化目标函数3z x y =-为：3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9．故答案为：9．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B =______. 【答案】45【解析】由已知结合正弦定理及余弦定理即可求解.【详解】因为45csinB bsinA =，由正弦定理可得，45bc ba =即45c a =，因为2b c a +=， 所以34b a =，54c a =， 由余弦定理可得，2222222594161652524a a a a cb cosB ac a α+-+-===⋅． 故答案为：45【点睛】 本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题． 16．若函数()2x f x xe ax =-+（e 为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由已知可得()()'10x f x x e a =+-=在(),0-?的区间内有两个解，分离参数后转化为求解函数的交点问题，构造函数结合导数可求．【详解】 ()2x f x xe ax =-+在(),0-?的区间内有两个极值点，则()()'10x f x x e a =+-=在(),0-?的区间内有两个解，即()1x a x e =+在(),0-?的区间内有两个解，令()()1xg x x e =+，则()()'2xg x x e =+，易得，当(),2x ∈-∞-，()'0g x <，函数单调递减，当()2,0x ∈-，()'0g x >，函数单调递增，又x →-∞时，()0g x <，且()212g e-=-，()01g = 故210a e-<<， 故答案为：21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了函数极值存在条件的应用，解题中体现了转化思想的应用．三、解答题17．已知函数{}n a 满足13a =，11323(N*)n n n a a n ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =. （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)nn n c S =-⋅，求数列{}n c 的前80项和80T .【答案】（1）证明见解析，21n b n =-（2）3240【解析】()1将已知等式两边同除以13n +，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；()2由等差数列的求和公式，以及平方差公式，结合数列的并项求和，等差数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】()1证明：11323n n n a a ++=+⨯，可得11233n nn na a ++=+， 则12n nb b +=+，即12n n b b +-=，可得数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列； 则()12121n b n n =+-=-，即213nna n =-， 可得()213nn a n =-⋅，*n N ∈；()()212135211212n S n n n n =+++⋯+-=+-=， 2(1)(1)n n n n c S n =-⋅=-⋅，()()()()()()()()2222222280123456798021214343656580798079T =-+-+-++⋯-+=-++-++-++⋯+-+()112345679808018032402=++++++⋯++=⨯⨯+=．【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的并项求和，化简运算能力，属于中档题．18．为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度(单位：cm )，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗.（1）求图中a 的值，并估计这批树苗高度的中位数和平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于AB 两个试验区，部分数据如下列联表：将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由.参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）0.025a =；中位数为25.75cm ，平均数为25.5cm （2）填表见解析；没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，详见解析 【解析】（1）先分析频率分布直方图，再由中位数，平均数的求法求解即可； （2）先结合直方图完成列联表，再结合公式求出2K ，然后结合临界值表即可得解. 【详解】解：（1）由频率分布直方图得：()220.20.21a a a ⨯++++=，解得0.025a =. 设中位数为x ，则()0.050.10.2250.20.5x +++-⨯=，解得25.75x =， 平均数200.05220.1240.2260.4280.2300.0525.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以估计这批树苗高度的中位数为25.75cm ，平均数为25.5cm .（2）根据直方图可知，样本中优质树苗有()1200.1020.025230⨯⨯+⨯=，列联表如下：()221201030206010.28610.82870503090K ⨯⨯-⨯∴=≈<⨯⨯⨯.所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系. 【点睛】本题考查了频率分布直方图,重点考查了独立性检验,属基础题.19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，DA DP ==（1）证明：AP BD ⊥；（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）163【解析】()1取AP 中点M ，连接DM ，BM ，由等腰三角形的性质可得PA DM ⊥，PA BM ⊥，再由线面垂直的判定可得PA ⊥平面.DMB 进一步得到PA BD ⊥；()2由()1知，PA ⊥平面BDM ，求出三角形BDM 的面积，得到三棱锥P ABD -的体积，进一步求得四棱锥P ABCD -的体积． 【详解】()1证明：取AP 中点M ，连接DM ，BM ，DA DP =Q ，BA BP =， PA DM ∴⊥，PA BM ⊥，DM BM M ⋂=Q ，PA ∴⊥平面DMB ．又BD Q ⊂平面DMB ，PA BD ∴⊥()2由()1知，PA ⊥平面BDM ，在等边三角形P AB 中，由边长为4，得16423BM =-= 在等腰三角形ADP 中，由22AD DP ==2AM =，得2DM =， 又4BD =，222DM BM DB ∴+=，得DM BM ⊥．122DBM S ∴=⨯⨯=V ．则114333P ABD BDM V S PA -=⨯⨯=⨯=V ．23P ABCD P ABD V V --∴==． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．已知A ，B 是椭圆C ：22221(0x y a b a b+=>>)的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称点为H ，且1.2PA BH k k ⋅=（1）若椭圆C 经过了圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的标准方程；（2）在（1）的条件下，抛物线D ：22(0)y px p =>的焦点F 与点1(,2)8-关于y 轴上某点对称，且抛物线D 与椭圆C 在第四象限交于点Q ，过点Q 作直线与抛物线D 有唯一公共点，求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.【答案】（1）2212x y +=（2 【解析】（1）结合斜率公式及椭圆C 经过了圆22(1)4x y +-=的圆心，求出22a =，21b =即可得解；（2）联立抛物线方程及椭圆方程求出交点坐标1,Q ⎛ ⎝⎭，然后设直线方程为()1y k x =-，联立直线方程与抛物线方程，结合0∆=，解得k ，再分别求出横、纵截距，再求三角形面积即可. 【详解】解：（1）设(),P x y ，因为(),0A a -，(),0B a ， 则点P 关于x 轴的对称点(),H x y -， 则PA y k x a =+，BH yk a x=-，因为22221x y a b+=，所以()222222221x b y b a x a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以22222PA BHy b k k a x a ⋅==-， 又椭圆C 过圆()2214x y +-=的圆心()0,1， 所以22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题意，抛物线D 焦点为1,08F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故其方程为22y x =， 联立方程组222212x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1x =或2x =-（舍去），所以1,2Q ⎛- ⎝⎭，据题意，过1,2Q ⎛-⎝⎭点的直线，斜率存在且不为0， 设直线方程为()1y k x =--， 联立方程组()2212x y y k x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，整理得220ky y k --=， 由0∆=，解之得4k =-，所以直线方程为)142y x =---即是10x ++=.令0x =，得4y =-； 令0y =，得1x =-.故所求三角形的面积为11248S =⨯⨯=【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，重点考查了运算能力，属中档题. 21．已知函数()2(0)xf x e ax a =->，2()24g x x =-. （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a ≤，证明：当0x ≥时，()()f x g x >.【答案】（1）02a e <<时，无零点；2a e >时，2个零点（2）证明见解析【解析】()1分类讨论，可得2x e a x =，分别()2xe y g x x==，y a =，利用导数求出函数()g x 的最值，即可判断函数的零点的个数，()2当0x =时，不等式成立，当0x >时，转化为2220x e x x -+->，设()222x h x e x x =-+-，0x >，利用导数求出函数的最值即可证明．【详解】()1当0x =时，()02f =，当0x ≠时，()20xf x e ax =-=，即2xe a x=，设()2xe g x x =，()()221'x e x g x x-∴=，当1x <且0x ≠时，()'0g x <，即()g x 在(),0-∞，()0,1上单调递减， 当1x >时，()'0g x >，即()g x 在()1,+∞上单调递递增， 当1x =时，()()12g x g e ==极小值，当x →-∞时，()0g x →，当x →+∞时，()g x →+∞， 分别画出()y f x =与y a =的图象，如图所示，结合图象可得，当2a e =时，()y f x =与y a =的图象只有一个交点， 即函数()f x 只有一个零点，当02a e <<时，()y f x =与y a =的图象没有只有交点，即函数()f x 没有零点， 当2a e >时，()f x 与y a =的图象有两个交点，即函数()f x 有两个零点．()2证明：当0x =时，()()0204f g =>=-，此时a 取任何数都成立，当0x ≠时，要证当0x >时，()()f x g x >，只要证2224x e ax x ->-，即证242x e a x x x<-+，4a ≤Q ，∴只要证2424x e x x x-+>，0x >， 只要证222440x e x x -+->，即证2220x e x x -+-> 设()222xh x e x x =-+-，0x >，()'22x h x e x ∴=--，令()22xx e x ϕ=--，0x >，()'2x x e ϕ∴=-，∴当2x ln >时，()'0x ϕ>，函数()x ϕ在()2,ln +∞上单调递增，当02x ln <<时，()'0x ϕ<，函数()x ϕ在()0,2ln 上单调递减，()()2220min x ln ln ϕϕ∴==-<，()()010x g ϕ<=-<Q ，()140e ϕ=-<，()2260e ϕ=->，∴存在()01,2x ∈，使得()()0000'220x h x x e x ϕ==--=， ∴当()00,x x ∈时，()'0h x <，函数()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 单调递增，()0220000()2240x min h x h x e x x x ∴==-+-=->，2220x e x x ∴-+->成立，即当0x >时，()()f x g x >，综上所述：4a ≤时，当0x ≥时，()()f x g x >． 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数求函数的导数，利用导数是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力，属于难题． 22．已知直线l 的参数方程为x m ty t=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2ρ2－ρ2cos 2θ＝12.若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. (1)求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； (2)求FA FBFB FA+的值. 【答案】(1)221124x y +=；(2)4.【解析】试题分析：（1）根据直角坐标和极坐标系之间的转化关系可知，曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-，将其代入直线的参数方程，即可求得m =-（2）将直线l 的参数方程与曲线C 的方程联立，得2220t t ''--=，则12·2FA FB t t ''==，12 FA FB t t -''+==()224·FA FB FA FB FBFAFB FA++=-=.试题解析：（1）已知曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-，故m =-C 的方程221124x y +=.（2）直线l的参数方程为2{2x t y '=-='，与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t ''--=，则12·2FA FB t t ''==，12FA FB t t ''+=-==，故()224·FA FB FA FB FBFAFB FA++=-=.23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+≥. （1）求m 的取值范围；（2）若N m ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤.【答案】（1）12m ≤（2）证明见解析. 【解析】（1）先求得函数1()2f x f x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭式，结合绝对值三角不等式即可求得最小值，进而得m 的取值范围；（2）由（1）中m 的取值范围，结合N m ∈可得0m =.代入不等式及函数解析式，分类讨论得分段函数解析式，并求得各自的最大值，即可证明不等式成立. 【详解】（1）函数1()||2f x x =-， 由绝对值三角不等式可得11()22f x f x x x ⎛⎫+-+=-+- ⎪⎝⎭ ()1122x x ≥-+-= 当且仅当()102x x ⎛⎫-⋅-≥ ⎪⎝⎭时取等号， 因而12m ≤（2）证明：由（1）可知12m ≤，且N m ∈， 则0m =，第 21 页 共 21 页 要证明22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤，只需证明22(sin )(cos 1)0f f αα-+≤， 而222211(sin )(cos 1)sin cos 22f f αααα-+=--+ 2211sin cos 22αα=--- 22212sin 2,sin 1211,0sin 2ααα⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩， 当21sin 12α≤≤时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-≤. 当210sin 2α≤<时，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-，综上可知22(sin )(cos 1)0f f αα-+≤，原命题得证.【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的综合应用，去绝对值化简函数表达式，由分段函数最值证明不等式成立，属于中档题.。

重庆市八中2019-2020高三下学期第4次月考数学（文）试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 设全集，集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知是虚数单位，若复数满足，则在复平面对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★★) 3. 已知是第三象限角，且，则（）A．B．2C．D．(★★★) 4. 设非零向量，满足，则与的夹角等于（）A．B．C．D．(★★) 5. 若，，则（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则(★★★) 7. 若双曲线（）的离心率，则以下方程可以作为该双曲线渐近线方程的是（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知函数，则（）A．是奇函数，且在定义域内是增函数B．是奇函数，且在定义域内是减函数C．是偶函数，且在定义域内是增函数D．是偶函数，且在定义域内是减函数(★★)9. 直线与圆相交于，两点，为坐标原点，若，则（）A．B．C．D．(★★★)10. 已知是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，，则（）A．B．C．D．3(★★★) 11. 某平台为一次活动设计了“ ”､“ ”､“ ”三种不同的卡片，活动规定：每人可以依次点击3次，每次都会获得三种卡片的一种，若集齐三张相同的卡片，则为一等奖；连续集齐两张相同的卡片，如：“ ”，则为二等奖；其余均视为不中奖．假设活动中每张卡片每次被点中的可能性是相同的，若小赵按规定依次点击了3次，则他获奖的概率是（）A．B．C．D．(★★★) 12. 过抛物线：的焦点作直线交于点，交的准线于点，若为线段的中点，则的准线与轴的交点到直线的距离为（）A．B．C．D．4二、填空题(★) 13. 函数的最小正周期为______．(★★) 14. 曲线在点 处的切线方程为 ，则 ______． (★★★) 15. 正四棱锥的各条棱长均为2，其所有顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为______．(★★★) 16. 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， 外接圆的面积为 ，且，则的面积为______ ．三、解答题(★★★) 17. 如图，四棱锥中，，， 为中点，，．（1）证明： ； （2）当时，求四棱锥的体积．(★★★) 18. 已知等比数列的前 项和为，若，，且，，成等差数列． （1）求 的通项公式：（2）已知，，求数列 的前2020项和 ．(★★★) 19. 党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位考察了甲､乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式加工的产品质量进行测试并打分对比，得到如下数据：生产方式甲分值区间频数20301004010生产方式乙分值区间频数2535605030其中产品质量按测试指标可划分为：指标在区间 上的为特优品，指标在区间上的为一等品，指标在区间上的为二等品．（1）用事件 表示“按照生产方式甲生产的产品为特优品”，估计 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断能否有 的把握认为“特优品”与生产方式有关？特优品非特优品生产方式甲生产方式乙（3）根据打分结果对甲､乙两种生产方式进行优劣比较． 附表：0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828参考公式： ，其中 ．(★★★★) 20. 已知椭圆 ：（）．下面表格所确定的点中，恰有三个点在椭圆 上．1（1）求椭圆 的方程； （2）已知 为坐标原点，点 ， 分别为 的上､下顶点，直线 经过 的右顶点 ，且与 的另一个公共点为 ，直线 ，相交于点，若 与 轴的交点异于 ， ，证明为定值．(★★★★) 21. 已知函数．（ 为自然对数的底数） （1）设 为 的导函数，求证：当 时，；（2）若，且是的极小值点，求实数 的取值范围．(★★★) 22. 如图，在极坐标系中，，，弧，， 所在圆的圆心分别为，，，曲线 是弧，曲线 是弧，曲线是弧．（1）写出曲线 ， ， 的极坐标方程； （2）曲线由，，构成，若曲线 的极坐标方程为（，， ， ），写出曲线 与曲线的所有公共点（除极点外）的极坐标．(★★★) 23. 已知函数的最大值为3，其中．（1）求 ；（2）若对所有满足的实数 ， ， 都成立，证明：或．。

2020届重庆市八中高三下学期第4次月考数学（文）试题一、单选题1．设全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则()U A B =U ð（ ） A ．{}0,1,2,3 B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,1,2,3-【答案】A【解析】由补集和并集的定义直接求解即可. 【详解】Q {}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，∴{}2,3U A =ð， ∴()U A B =U ð{}0,1,2,3. 故选：A . 【点睛】本题考查补集和并集的定义，属于基础题.2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()112z i i +=+，则z 在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由()112z i i +=+易得1z i =-，由此可得出在复平面内对应的点的坐标，从而得解. 【详解】Q ()112z i i +=+，∴1211iz i i+=-=-， 在复平面对应的点为(1,1)-，位于第四象限. 故选：D . 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题. 3．已知θ是第三象限角，且()1cos 3πθ+=，则tan θ=（ ）A．4B ．2C．D【答案】C 【解析】先由诱导公式得出1cos 3θ=-，再由同角三角函数关系式得出sin θ和tan θ的值即可. 【详解】()1cos cos 3πθθ+=-=，所以1cos 3θ=-，又θ是第三象限角，所以sin θ===所以sin 3tan 1cos 3θθθ===-故选：C. 【点睛】本题考查诱导公式及同角三角函数关系，考查计算能力，属于基础题.4．设非零向量m u r ，n r 满足m n m n ==+u r r u r r ，则m u r 与n r 的夹角等于（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】D 【解析】对式子m n m n ==+u r r u r r 进行平方后，可得出212m n n ⋅=-u r r r ，再由夹角公式求cos ,m n <>u r r的值，最后求出夹角即可.【详解】Q m n m n ==+u r r u r r ，∴22222222()22m n m n m n m m n n m m n n ==+=+=+⋅+=+⋅+u r r u r r u r r u r u r r r u r u r r r ，∴ 212m n n ⋅=-u r r r ，∴22112cos ,2n m n m n m n n-⋅<>===-ru r r u r r u r r r ， ∴m →与n →的夹角等于120︒.故选：D . 【点睛】本题考查由平面数量积的知识求向量夹角，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 5．若a b >，0c <，则（ ） A ．ac bc > B ．c ca b> C ．ab bc > D ．22ac bc >【答案】D【解析】利用不等式的基本性质即可判断出正确答案. 【详解】对于A ：由a b >，0c <，可得ac bc <，故错误； 对于B ：由a b >，0c <，当0b =时，c ca b>不成立，故错误； 对于C ：由a b >，0c <，当0b =时，ab bc >不成立，故错误； 对于D ：由a b >，0c <，可得20c >，进而可得22ac bc >，故正确. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于常考题.6．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若//m α，m β⊥，则αβ⊥D ．若m α⊥，αβ⊥，则//m β【答案】C 【解析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论. 【详解】A .若//m α，//n α，则m 与n 可能平行、相交或异面，故错误；B .若//m α，//m β，则α与β可能平行或相交，故错误；C .若//m α，m β⊥，则αβ⊥，正确；D.若m α⊥，αβ⊥，则m 可能与β平行，或在β内，故错误. 故选：C . 【点睛】本题考查的是空间平面、直线之间的位置关系，熟练掌握相关定理是解题的关键，属于常考题.7．若双曲线2221y x b-=（0b >）的离心率)e ∈，则以下方程可以作为该双曲线渐近线方程的是（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±【答案】B【解析】先根据题意求出b 的取值范围，然后从选项中选出正确答案即可. 【详解】双曲线的离心率为e =)e ∈2<<，解得：1b <<双曲线的渐近线方程为y bx ±=，四个选项中只有B :y =符合题意. 故选：B . 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的离心率求渐近线方程，掌握双曲线的性质是解题的关键，属于常考题. 8．已知函数()1lg1xf x x-=+，则()f x （ ） A ．是奇函数，且在定义域内是增函数 B ．是奇函数，且在定义域内是减函数 C ．是偶函数，且在定义域内是增函数 D ．是偶函数，且在定义域内是减函数【答案】B 【解析】【详解】101xx->+得，11x -<<； 即该函数定义域为(1,1)-；1111()1g lg lg ()111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭， ∴该函数为奇函数；1(1)22()lglg lg 1111x x f x x x x --++⎡⎤⎛⎫===-+ ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭； 211t x=-++在(1,1)-上单调递减，lg y t =为增函数； ∴根据复合函数的单调性得：原函数在(1,1)-上为减函数． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查函数单调性的判断与证明，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.9．直线0x a -+=与圆222x y +=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA OB ⊥，则a =（ ）A ．±1 B． C．D ．2±【答案】D 【解析】求出圆的圆心和半径r ，以及圆心到直线的距离d，运用弦长公式AB =利用勾股定理计算即可. 【详解】圆222x y +=的圆心是(0,0)O，半径r =圆心(0,0)O到直线0x a -+=的距离2a d ==，弦长AB ==因为OA OB ⊥，故在Rt OAB ∆中，有222AB OA OB =+，即：222⎛=+ ⎝，解得：2a =±. 故选：D .本题考查直线和圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线2x =对称，当[]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()19f =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】C 【解析】由于()f x 是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线2x =对称，故()(4)(4)f x f x f x =-=--，进而得出函数()f x 的周期为8，()19(3)(1)f f f ==，然后代入解析式进行计算即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线2x =对称， 所以：()(4)(4)f x f x f x =-=--，∴(8)(4)(())()f x f x f x f x +=-+=--=，所以函数()f x 的周期为8，∴()119(328)(3)(1)211f f f f =+⨯===-=.故选：C. 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.11．某平台为一次活动设计了“a ”､“b ”､“c ”三种不同的卡片，活动规定：每人可以依次点击3次，每次都会获得三种卡片的一种，若集齐三张相同的卡片，则为一等奖；连续集齐两张相同的卡片，如：“aab ”，则为二等奖；其余均视为不中奖．假设活动中每张卡片每次被点中的可能性是相同的，若小赵按规定依次点击了3次，则他获奖的概率是（ ） A ．527B ．13C ．59D ．79【解析】先求出基本事件总数，再求出获奖的事件数，然后计算概率即可. 【详解】基本事件总数为3327=种，获奖的事件有：aaa ；bbb ；ccc ；aab ；baa ；aac ；caa ；bba ；abb ；bbc ；c bb ；cca ；acc ；ccb ；bcc 共15种，所以小赵获奖的概率为155279=. 故选：C . 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 12．过抛物线C ：24y x =的焦点F 作直线l 交C 于点M ，交C 的准线于点N ，若F 为线段MN 的中点，则C 的准线与x 轴的交点P 到直线l 的距离为（ ） A ．3 B ．22C ．23D ．4【答案】A【解析】设点11(,)M x y （10y <），点0(1,)N y -，因为F 为线段MN 的中点，先求出M 的坐标，然后再求出直线l 的方程，最后利用点到直线的距离公式求出距离即可.【详解】由题可知，焦点(1,0)F ，准线方程为：1x =-，(1,0)P -， 设点11(,)M x y （10y <），点0(1,)N y -， 如下图：因为F 为线段MN 的中点，所以有1112x -+=，解之得：13x =， 又因为点11(,)M x y 在抛物线上，所以有：211443y x ==⨯，解之得：1y =-故(3,M -，所以直线l131x -=-0y +，所以点P 到直线l=故选：A . 【点睛】本题考查抛物线的应用，考查点到直线距离的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.二、填空题13．函数()22sin cos 1f x x x =-+的最小正周期为______．【答案】1【解析】利用二倍角公式将函数化为()cos21f x x =-+，进而求出函数的最小正周期即可. 【详解】因为()22sin cos 1cos21f x x x x =-+=-+，所以函数的最小正周期为22ππ=. 故答案为：π. 【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，考查三角函数的最小正周期，属于基础题.14．曲线ln y ax x =+在点1x =处的切线方程为30x y b -+=，则b =______． 【答案】1- 【解析】易知113x k y a ===+='，先求出a 的值，再求出切点坐标，代入切线方程即可得到b 的值. 【详解】因为ln y ax x =+，所以1y a x'=+，切线的斜率11131x k y a a ===+=+='，解之得：2a =，2ln y x x =+， 所以切点坐标为(1,2)，由于切点在切线上，故：3120b ⨯-+=，解之得：1b =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.15．正四棱锥的各条棱长均为2，其所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______． 【答案】8π 【解析】先确定球心位置，再求球的半径，然后可求出球的表面积． 【详解】正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2， 点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD ，球的表面积为：248ππ⨯=． 故答案为：8π． 【点睛】本题考查球内接多面体球的表面积，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题. 16．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，ABC ∆外接圆的面积为4π，且()()()cos cos cos cos sin sin sin 0B A B A C C A +-++=，则ABC ∆的面积为______．【解析】由()()()cos cos cos cos sin sin sin 0B A B A C C A +-++=，可得：222a c b ac +-=-，进而可得出角B 的大小；由ABC ∆外接圆的面积为4π可得出其外接圆的半径，再根据正弦定理可得出角A 和C 的大小以及边b 的值，最后利用三角形面积公式计算即可. 【详解】由()()()cos cos cos cos sin sin sin 0B A B A C C A +-++=，可得：222cos cos sin sin sin 0B A C A C -++=，即：2221sin (1sin )sin sin sin 0B A C A C ---++=， 化简得：222sin sin sin sin sin 0B A C A C -+++=， 角化边得：2220b a c ac -+++=，即：222a c b ac +-=-， 所以1cos 22ac B ac -==-，所以23B π=，设ABC ∆的外接圆半径为R ，因为ABC ∆外接圆的面积为4π，2a =， 所以有：24=R ππ，解之得：2R =，∴24sin sin sin a b c R A B C ====，又2a =，所以1sin 2A =， ∴6A π=，6C π=，∴234sin 4sin 4233b B π==⨯=⨯=111sin 2233222ABC S ab C ∆==创?.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90DAB ︒∠=，E 为AD 中点，1PC PD AB BC ====，2AD =．（1）证明：PE CD ⊥；（2）当1PE =时，求四棱锥P ABCD -的体积．【答案】（1）详见解析；（2）24. 【解析】（1）取CD 的中点为F ，分别连接EF ，PF ，CE ，先证CD PF ⊥，再证CD EF ⊥，即可证明CD ⊥平面PEF ，又PE ⊂平面PEF ，所以PE CD ⊥；（2）先证222PE EF PF =+，再证PF ⊥平面ABCD ，即PF 为四棱锥P ABCD -的高，最后计算体积即可. 【详解】 如下图：取CD 的中点为F ，分别连接EF ，PF ，CE ， 所以1AE ED ==，因为PC PD =，所以CD PF ⊥，又因为//AD BC ，90DAB ︒∠=，1AB BC ==， 所以四边形ABCD 为正方形， 所以1EC ED ==，所以CD EF ⊥， 又PF EF F =I ，PF ，EF ⊂平面PEF ， 所以CD ⊥平面PEF ， 又PE ⊂平面PEF ， 所以PE CD ⊥；（2）易知CED ∆为直角三角形，2EF ，易知2CD =，在Rt PCF ∆中，1PC =，22CF =，所以222212PF ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭又1PE =，所以222PE EF PF =+， 所以PF EF ⊥，又CD PF ⊥，又EF CD F ⋂=，EF ，CD ⊂平面ABCD ，PF ⊥平面ABCD ，即PF 为四棱锥P ABCD -的高，11(21)133224P ABCD ABCD V S PF -+⋅=⨯⨯=⨯⨯=. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1152a ≠，430S =，且14a ，23a ，32a 成等差数列．（1）求{}n a 的通项公式：（2） 已知2log n n b a =，111(1)nn nn c b b +⎛⎫=-+⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前2020项和2020T ． 【答案】（1）2nn a =；（2）20202021-. 【解析】（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，因为14a ，23a ，32a 成等差数列，所以有：213642a a a =+，即：2320-+=q q ，解得：2q =或1q =，又因为430S =，1152a ≠，所以2q =，所以有()41123012a -=-，解得：12a =，即可求得通项公式；（2）易知n b n =，(1)111nn n n c ⎛⎫++-⎝=⎪⎭， 2020111111112232019202020202021T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++--+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，计算即可得解.【详解】（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，因为14a ，23a ，32a 成等差数列，所以有：213642a a a =+，即：2111642a q a a q =+，化简后得：2320-+=q q ，解得：2q =或1q =，又因为430S =，1152a ≠，所以{}n a 不是常数列，故2q =， 所以有()41123012a -=-，解得：12a =，（2）Q 22log log 2nn n b a n ===，∴111(1)(1)111n n n n n c n b b n +⎛⎫+ ⎪⎛⎫=-+=-+⎝⎝⎪⎭⎭，∴2020111111112232019202020202021T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++--+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L111111112232019202020202021=--++---++L 112021=-+20202021=-. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列性质的综合运用，考查数列求和，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.19．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位考察了甲､乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式加工的产品质量进行测试并打分对比，得到如下数据：其中产品质量按测试指标可划分为：指标在区间[]90,100上的为特优品，指标在区间[)80,90上的为一等品，指标在区间[)70,80上的为二等品．（1）用事件A 表示“按照生产方式甲生产的产品为特优品”，估计A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断能否有90%的把握认为“特优品”与生产方式有关？（3）根据打分结果对甲､乙两种生产方式进行优劣比较． 附表：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）14；（2）填表见解析，有关；（3）生产方式乙优于生产方式甲. 【解析】（1）按照生产方式甲生产的产品为特优品个数为50，参与打分产品个数为200，按照古典概型计算即可得解；（2）先填表，然后按照公式计算，然后做出判断即可； （3）见解析. 【详解】（1）按照生产方式甲生产的产品为特优品个数为50，参与打分产品个数为200，所以：501()2004P A ==； （2）填表如下：()()()()()222005012015080 5.128 2.70650150801205080150120K ⨯-⨯=≈>++++，所以有90%的把（3）生产方式甲生产的产品合格品的概率为14，生产方式乙生产的产品合格品的概率为25，生产方式乙生产的产品的质量指标值在[]90,95[]95,100和之间的较多，因此，可以认为生产方式乙生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而生产方式乙优于生产方式甲.【点睛】本题主要考查频率分布表和古典概型，考查独立性检验，考查分析和解决实际问题的能力，考查计算能力，属于常考题.20．已知椭圆E：22221x ya b+=（0a b>>）．下面表格所确定的点(),x y中，恰有三个点在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）已知O为坐标原点，点A，B分别为E的上､下顶点，直线l经过E的右顶点D，且与E的另一个公共点为C，直线AC，BD相交于点N，若l与y轴的交点M异于A，B，证明OM ON⋅u u u u r u u u r为定值．【答案】（1）2214xy+=；（2）详见解析.【解析】（1）点2和点()2-关于原点对称，此两点必在椭圆上，故有221221a b+=，将剩余两个点的坐标代入椭圆方程22221x ya b+=可得关于a与b的方程，与上式联立通过判断解的情况即可判断出那个点在椭圆上，进而求出方程；（2）设直线l的方程为：(2)y k x=-，由题易得(0,2)OM k=-u u u u r，联立直线l与椭圆E的方程得：2222(14)161640k x k x k+-+-=，由韦达定理得到12x x+和12x x的表达式，设点11(,)C x y ，直线AC 的方程为：1111y y x x -=+，直线BD 的方程为：112y x =-， 联立直线AC 的方程和直线BD 的方程得到点N 的坐标，进而求出向量10,2ON k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，而()1212OM ON k k ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，即可证明OM ON ⋅u u u u r u u u r 为定值． 【详解】 （1）点2(2,)2和点2(2,)2--关于原点对称，此两点必在椭圆上， 故有221221a b +=①， 将点(2,0)-代入22221x y a b+=中得，22(2)1a -=，解得：2a =， 再将2a =代入①中得：2212212b +=，解得：1b =； 再将点1(1,)2代入22221x y a b +=中得，22221121a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=②，联立①②得：22222212211121a b a b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎪⎩，显然无解；综上，2a =，1b =，所以椭圆E 的方程为：2214x y +=；（2）由题意作图如下：设直线l 的方程为：(2)y k x =-，由条件知：0k ≠，点(2,0)D ，点(0,1)A ，点(0,1)B -， u u u u r设点11(,)C x y ，联立直线l 与椭圆E 的方程，消去y 得：2222(14)161640k x k x k +-+-=， 所以2211221648221414k k x x k k --=\=++，直线AC 的方程为：1111y y x x -=+③， 直线BD 的方程为：112y x =-④， 设点(,)N N N x y ，由③④，得：11111114222222N N x x x y x y y x y ⎧=⎪-+⎪⎨+-⎪=⎪-+⎩，又点11(,)C x y 在直线l 上，所以：1111111111222(2)2(12)42222(2)2(12)42N x y x k x k x k y x y x k x k x k +-+--+--===-+--+-++222282(12)421482(12)4214k k k k k k k k -+⋅--+=--⋅+++ 12k=-，则向量10,2ON k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，所以()1212OM ON k k ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，故OM ON ⋅u u u u r u u u r为定值1.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线关系的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 21．已知函数()()1ln x f x ea x a e -=-+-．（e 为自然对数的底数）（1）设()'f x 为()f x 的导函数，求证：当a e =时，()0f x ≥； （2）若0a >，且1x =是()f x 的极小值点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）1a =.（1）当a e =时，()1ln x f x ee x -=-，即证1ln 0x e e x --≥，即2ln x e x -≥，先证：21x e x -≥-，再证：1ln x x -≥即可得证； （2）1()x a f x ex-'=-，12()0x af x e x -''=+>，易得1a =，此时，11()x f x e x '-=-，当01x <<时，()(1)0f x f ''<=，当1x >时，()(1)0f x f ''>=，满足条件：若0a >，且1x =是()f x 的极小值点，进而得解. 【详解】 ，（1）当a e =时，()1ln x f x ee x -=-，即证1ln 0x e e x --≥，即2ln x e x -≥，先证：21x e x -≥-，令2()1x g x ex -=-+，2()1x g x e -'=-，当2x >时，()0g x '>，当2x <时，()0g x '<，又min ()(2)0g x g ==，所以21x e x -≥-；再证：1ln x x -≥，令()1ln h x x x =--，11()1x h x x x-'=-=， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，又min ()(1)0h x h ==，所以1ln x x -≥；所以21ln x e x x -≥-≥，即2ln x e x -≥，所以()0f x ≥； （2）1()x a f x ex-'=-，12()0x af x e x -''=+>，所以()f x '在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，且(1)10f a '=-=，解之得1a =，当1a =时，11()x f x ex'-=-， 当01x <<时，()(1)0f x f ''<=，当1x >时，()(1)0f x f ''>=， 此时()f x 在1x =处取得最小值， 综上1a =. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、单调性，考查逻辑推理、抽象概括和核心素养,属于22．如图，在极坐标系Ox 中，()2,A π，()2,0B ，弧»AO ，»BO ，»AB 所在圆的圆心分别为()1,π，()1,0，32,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线1M 是弧»AO ，曲线2M 是弧»BO ，曲线3M 是弧»AB ．（1）写出曲线1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若曲线4M 的极坐标方程为263k πθπ=+⋅（0ρ≥，0k =，1，2），写出曲线M 与曲线4M 的所有公共点（除极点外）的极坐标．【答案】（1）1M ：2cos ρθ=-，,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 2M ：2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦；3M ： 24sin 40ρρθ+-=，[],2θππ∈；（2）3,6π⎫⎪⎭，53,6π⎫⎪⎭，322,2π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）先求出曲线1M ，2M ，3M 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可； （2）将56πθ=，6πθ=，32πθ=分别代入1M ，2M ，3M 的极坐标方程得到对应的极径，然后写出极坐标即可. 【详解】（1）在以O 为原点的平面直角坐标系中，曲线1M ，2M ，3M 的方程为：1M ：2220x y x ++=（0y ≥）；2M ：2220x y x +-=（0y ≥）； 3M ： 22440x y y ++-=（0y ≤）；则它们的极坐标方程分别为： 1M ：2cos ρθ=-，,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；2M ：2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦；3M ： 24sin 40ρρθ+-=，[],2θππ∈；（2）将56πθ=，6πθ=，32πθ=分别代入1M ，2M ，3M 的极坐标方程，得：1ρ=2ρ32ρ=+则曲线M 与4M 的所有公共点（除极点外）的极坐标分别为：6π⎫⎪⎭，56π⎫⎪⎭，322π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查曲线极坐标方程的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 23．已知函数()()2f x x m x m x R =--+∈的最大值为3，其中0m >． （1）求m ；（2）若()()()2221113x y a z -+-+-≥对所有满足x y z m ++=的实数x ，y ，z 都成立，证明：2a ≤-或0a ≥． 【答案】（1）1m =；（2）详见解析.【解析】（1）由绝对值不等式的性质可得：223x m x m x m x m m --+≤---=，进而求得结果；（2）由重要不等式222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥， 得到()()22223a b ca b c ++≥++，进而得到()()()()()2222211111133a x y a z x y a z +-+-+-≥-+-+-=，进而得证. 【详解】（1）由()223f x x m x m x m x m m =--+≤---=，当且仅当(],x m ∈-∞-，等号成立，所以函数()f x 的最大值为3m ，由条件，知：33m =，解得：1m =； （2）因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥， 所以222a b c ab bc ca ++≥++，第 21 页 共 21 页 从而()()22223a b c a b c ++≥++， 又因为1x y z ++=，所以()()()()()2222211111133a x y a z x y a z +-+-+-≥-+-+-=， 由条件，()21133a +≥，解得2a ≤-或0a ≥． 【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，考查重要不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于常考题.。

2020年春四川省宜宾市第四中学高三第四学月考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则43ii=-（ ） A.2655i + B. 2655i -C. 2655i -+ D. 2655i -- 【★答案★】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则可求得所求复数的值.【详解】()()()434412263331055i i i i i i i i +-+===-+--+. 故选：C.【点睛】本题考查复数的计算，涉及复数除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 2.若集合{}10A x x =-≤≤，01xB x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A. {}11x x -≤<B. {}11x x -<≤C. {}11x x -<<D.{}11x x -≤≤【★答案★】A 【解析】 【分析】先求出集合B ，再利用并集的定义计算即可. 【详解】由01xx <-，得(1)0x x -<，解得01x <<，故{|01}B x x =<<，又{}10A x x =-≤≤， 所以A B ={}11x x -≤<.故选：A【点睛】本题考查集合间的并集运算，涉及到解分式不等式，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3.设()1,a λ=，()2,3b =-，若//(2)a a b -，则λ=( )A. 32-B.32C. 1D. 1或5【★答案★】A 【解析】 【分析】计算()25,6a b λ-=-，再根据向量平行计算得到参数.【详解】因为()()()21,22,35,6a b λλ-=--=-，又()//2a a b -，所以()560λλ--=， 解得32λ=-. 故选：A.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.4.某民航部门统计的2019年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表如图所示，根据图表，下面叙述不．正确的是( )A. 同去年相比，深圳的变化幅度最小且厦门的平均价格有所上升B. 天津的平均价格同去年相比涨幅最大且2019年北京的平均价格最高C. 2019年平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 同去年相比，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京 【★答案★】A 【解析】 【分析】弄清楚条形图的意义，以及折线图的意义，即可对选项进行判断.【详解】根据条形图，可以判断2019年平均价格前三位分别为北京、深圳、广州， 根据折线图，可以判断涨幅前三位分别为天津、西安、南京，涨幅最小的是厦门， 由此可判断B 、C 、D 均正确，A 不正确. 故选A.【点睛】本题主要考查了统计图的理解与判断，属于基础题. 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，3618S S +=，则5S =( ) A. 5B. 9C. 10D. 14【★答案★】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式，结合等差数列的通项公式、等差数列的下标性质进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d .36111311183326651822222S S a d a d a d a +=⇒+⨯⨯++⨯⨯=⇒+=⇒=，因此1535()5251022a a a S +⋅⋅⋅===. 故选：C【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了等差数列下标性质，考查了数学运算能力. 6.函数()ln x xe e y x-+=的图象大致为（ ）A. B. C. D.【★答案★】C 【解析】 【分析】由函数()f x 为奇函数，排除B 、D ，再由当0x ＞时，0x e ->，则有()()ln ln x xx e ee x -+>=可排除A ，得到★答案★. 【详解】解：根据题意，()1x xn e e y x-+=，其定义域为{|0}x x ≠，有()x x1n e e ()()xf x f x -+-=-=-，即函数()f x 为奇函数，排除B 、D ；当0x ＞时，0xe ->，则有()()ln ln xxxe ee x -+>=，必有()ln 1x xe e x-+>，排除A ；故选：C ．【点睛】本题考查根据函数的解析式结合函数的性质选择函数图像，属于中档题. 7.函数()2cos 3sin cos 1f x x x x =+-，则下列表述正确的是（ ）A. ()f x 在,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减 B. ()f x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C. ()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减 D. ()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【★答案★】D 【解析】 【分析】由已知，()1sin(2)62f x x π=+-，依次对所给选项利用整体代换法验证即可. 【详解】由已知，()1cos 231sin 21sin(2)2262x f x x x π+=+-=+-， 当,36x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2(,)626x πππ+∈--，()f x 在此区间单调递增，故A 错误；当,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52(,)626x πππ+∈，()f x 在此区间单调递减，故B 错误；当,06x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2(,)666x πππ+∈-，()f x 在此区间单调递增，故C 错误；当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2(,)662x πππ+∈，()f x 在此区间单调递增，故D 正确.故选：D【点睛】本题考查正弦型三角函数的单调性，涉及到二倍角公式的应用，本题采用整体代换法验证，计算量较小，是一道容易题.8.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色其面积称为朱实，黄实，利朱用2×勾×股+（股-勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为( )A. 886B. 500C. 300D. 134【★答案★】D 【解析】 【分析】设三角形的直角边分别为1，3，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论. 【详解】设勾股形的勾股数分别为1，3，则弦为2，故大正方形的面积为4， 小正方形的面积为()231423-=-，∴图钉落在黄色图形内的概率为4232342--=，∴落在黄色图形内的图钉数大约为2310001342-⨯≈.故选：D【点睛】本题考查了几何概型的应用，解题的关键是求出面积比，属于基础题.9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的最小值为（ ）A.33B.63C.223D.26【★答案★】 B 【解析】 【分析】注意到1AC ⊥平面1A BD ，所以移动P 的位置，可以发现当P 在C 或1C 处时，线面角α才可能最小，算出这两种情况的线面角的正弦值，比较大小即可得到★答案★. 【详解】由已知，可得1BD CC BD AC ⊥⊥，，1CC AC C =，所以BD ⊥平面1ACC ，所以1BD AC ⊥，同理可证11A B AC ⊥，1BD A B B ⋂=，所以1AC ⊥平面1A BD ，而当P 为1CC 的中点时，OP ∥1AC ，此时OP ⊥平面1A BD ，从而α的最大值为2π.因此111,,22AOA C OA ππα⎡⎤⎡⎤∈∠⋃∠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.设12AA =，则2AO =，16AO =， 在1Rt A AO 中，1116sin 3AA AOA AO ∠== ()111sin sin 2C OA AOA π∠=-∠1sin 2AOA =∠112sin cos AOA AOA =∠∠ 63233=⨯⨯22633=>. 综上所述，sin α的最小值为63. 故选：B【点睛】本题考查线面角的最值问题，本题采用运动的观点来处理，当然也可以建系用坐标法，是一道有一定难度的题.10.已知函数2()2cos f x x x =+，若()22(2)0f a a f a ---<，则实数a 的取值范围是( )A. (1,1)-B. (1,)-+∞C. (,1)-∞D.(,1)(1,)-∞-+∞【★答案★】A 【解析】 【分析】首先利用导数判断出函数在()0,∞+单调递增，利用函数为偶函数可得(],0-∞上单调递减， 再由不等式可得22a a a -<-，解不等式即可. 【详解】()()()22()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()f x 为偶函数，由2()2cos f x x x =+则()()22sin 2sin f x x x x x '=-=-，当0x >时， 令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥， 所以()sin h x x x =-在()0,∞+为增函数，()()00h x h >=， 所以sin x x >，即()()2sin 0f x x x '=->， 所以函数在()0,∞+为增函数， 又因为函数在定义域内为偶函数， 则()f x 在(),0-∞为减函数， 由()22(2)0f a a f a ---<， 则()22(2)f a a f a -<-，所以222a a a -<-，化简可得1a <， 所以11a -<<. 故选：A【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式、利用导数判断函数的单调性、函数奇偶性的应用，属于中档题.11.已知圆22:(23)(2)1C x y -+-=和两点(,0),(,0)(0)A m B m m .若圆C 上存在点P ，使得90APB ︒∠=，则m 的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题意可得以AB 为直径的圆与圆C 交于点P ，从而可得||PO m =，圆上的点到原点的距离的最大值转化为圆心到原点的距离加上半径即可求解.【详解】该题的几何意义是：以AB 为直径的圆与圆C 交于点P 且||PO m =，而圆C 上的点到原点O 的距离最大值为||15CO +=，故m 最大值为5. 故选：B【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系、圆上的点到定点距离的最值，考查了转化与化归的思想，属于基础题.12.已知函数()xf x e =，()2g x x =，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A.12B. 1C. 2ln 2-D. 2ln2+【★答案★】A 【解析】 【分析】令()()f m g n t ==，即2m e n t ==，得ln m t =，212n t =，设21()ln 2h t n m t t =-=-，0t >，利用导数即可求得n m -的最小值.【详解】令()()f m g n t ==，即2m e n t ==，解得ln m t =，212n t =， 设21()ln 2h t n m t t =-=-，0t >， 则2'11()t h t t t t-=-=，由()'0h t >得1t >；由()'0h t <得01t <<；∴()h t 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增， 故min 1()(1)2n m h -==.【点睛】本题考查函数的最值及其意义，训练了利用导数求最值，是中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数ln y x x =在x e =处的切线方程是______. 【★答案★】20x y e --= 【解析】函数ln y x x =，求导得：ln 1y x '=+，当x e =时，2y '=，即在x e =处的切线斜率为2. 又x e =时，y e =，所以切线为：()2y e x e -=-，整理得：20x y e --=. 故★答案★为20x y e --=.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 14.函数31log (3),0()3,0xx x f x x +-<⎧=⎨⎩，则()3(6)log 7f f -+=____________． 【★答案★】10 【解析】 【分析】分别把变量代入到对应的函数解析式中，结合对数的运算性质，即可得到本题★答案★．【详解】由题，得()3log 733(6)log 71log 9312710f f -+=++=++=．故★答案★为：10【点睛】本题主要考查利用分段函数求值，属基础题. 15.已知数列{}n a 的前n 项和()*21n n S a n N =-∈，设21log n n b a =+，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =________. 【★答案★】1n n + 【解析】由题设条件先求出a n ＝2a n ﹣1，从而得到a n ＝2n ﹣1，再代入n b 求出数列{b n }的通项公式，利用裂项相消求和即可．【详解】令1n =，11a =；2n ≥时，12n n n n a S S a -=-=- 12n a -，12n n a a -=，所以12n n a -=， ∴121log 2n n b n -=+=，∴()1111111111112231223111n n T n n n n n n =++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯++++. 故★答案★为1nn +. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查运算能力和转化能力，属于基础题型．16.若三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ==，其体积的最大值为43，则其外接球的表面积为____________. 【★答案★】12π 【解析】【详解】由题意知，当,,OA OB OC 两两互相垂直时，三棱锥O ABC -的体积最大，所以114323OA OB OC ⨯⨯⨯⨯=，所以8OA OB OC ⨯⨯=，故2OA OB OC ===， 三棱锥O ABC -可看成为一个棱长为1的正方体的一部分，所以外接球的半径22232OA OB OC R ++==，所以外接球的表面积为2412R ππ=.故★答案★为：12π【点睛】本题主要考查求三棱锥外接球的表面积问题，涉及到三棱锥体积最值，考查学生的运算能力，是一道中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.在ABC 中，60C =︒，223BC AC ==.（1）求证：ABC 是直角三角形； （2）若点D 在BC 边上，且27sin 7BAD ∠=，求CD ． 【★答案★】（1）直角三角形；（2）233【解析】分析：（1）先利用余弦定理得到AB 的值，再利用勾股定理进行证明；（2）先利用诱导公式和两角和的正弦公式求出相关角的正弦值，再利用正弦定理进行求解． 详解：（1）在ABC 中，60C =︒，23BC =，3AC =，由余弦定理，得2222cos 9AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅= 所以3AB =，所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥， 所以90A =︒，所以ABC 是直角三角形． （2）设BAD α∠=，则27sin 7α=，90DAC α∠=︒-，090α︒<<︒， 所以()21sin sin 90cos 7DAC αα∠=︒-==， 在ACD 中，()180180906030ADC DAC C αα∠=︒-∠-=︒-︒--︒=+︒，()sin sin 30ADC α∠=+︒ sin cos30cos sin30αα=︒+︒273211321727214=⨯+⨯=， 由正弦定理得，sin sin CD ACDAC ADC=∠∠，所以sin 23sin 3AC DAC CD ADC ⋅∠==∠ 点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式等知识，意在考查学生的数学分析能力和基本计算能力．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ABC ∠=∠=︒，112AB BC AD ===， PAD △为等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，设E 为PD 的中点．（1）求证：//CE 平面PAB ； （2）求点D 到平面ACE 的距离． 【★答案★】（1）详见解析；（2）255. 【解析】 【分析】（1）设F 为PA 的中点，连结,EF BF ，根据条件可证得四边形BCEF 是平行四边形，得//CE BF ，从而可得到//CE 平面PAB ；（2）利用等体积法，即由E ADC D ACE V V --=，可得到本题★答案★.【详解】（1）设F 为PA 的中点，连结,EF BF ，E 为PD 的中点，//EF AD ∴且12EF AD =， 又//BC AD 且12BC AD =， //B EF C ∴且EF BC =，∴四边形BCEF 是平行四边形，//CE BF ∴，又CE ⊄平面PAB ，BE ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ；（2）由（1）得CE BF =，平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB ∴⊥面PAD ，又PA ⊂面PAD ，AB PA ∴⊥，在Rt PAB 中，11122AF AP AD ===，1AB =， 2,2BF CE BF ∴=∴==，在ACE △中2AC =，3AE =， 2CE =，154ACE S ∴=△， 设D 到平面ACE 的距离为h ，由E ADC D ACE V V --=，得131323ADC ACE S S h ⨯=⨯△△，所以255h =． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定以及利用等体积法求点到面的距离，考查学生的空间想象能力，运算求解能力.19.2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.新能源汽车销售的春天来了！从衡阳地区某品牌新能源汽车销售公司了解到，为了帮助品牌迅速占领市场，他们采取了保证公司正常运营的前提下实行薄利多销的营销策略（即销售单价随日销量x （台）变化而有所变化），该公司的日盈利y （万元），经过一段时间的销售得到x ，y 的一组统计数据如下表： 日销量x 台 1 2 3 4 5 日盈利y 万元 613172022将上述数据制成散点图如图所示：（1）根据散点图判断y bx a =+与ln y d x c =+中，哪个模型更适合刻画x ，y 之间关系？并从函数增长趋势方面给出简单的理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出y 关于x 的回归方程，并预测当日销量6x =时，日盈利是多少？参考公式及数据：线性回归方程y bx a =+，其中1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-；ln1ln 2ln 3ln 4ln 50.965++++≈，6ln113ln 217ln320ln 422ln590.8++++≈，22222(ln1)(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5) 6.2++++≈，ln6 1.8≈.【★答案★】（1）ln y d x c =+更适合刻画x ，y 之间的关系，理由见解析；（2）10ln 6y x =+，24万元. 【解析】 【分析】（1）ln y d x c =+更适合刻画x ，y 之间的关系.理由如下：x 每增加1，函数值的增加量依次为7，4，3，2，增长速度越来越慢，适合对数型函数模型的增长规律，与直线型函数的均匀增长有较大的差异；（2）根据题目数据计算出回归方程可得.【详解】（1）ln y d x c =+更适合刻画x ，y 之间的关系.理由如下：x 每增加1，函数值的增加量依次为7，4，3，2，增长速度越来越慢，适合对数型函数模型的增长规律，与直线型函数的均匀增长有较大的差异； （2）令ln z x =，则y dz c =+，ln i i z x =，123457815.655y y y y y y ++++===，ln1ln 2ln 3ln 4ln 50.965z ++++=≈，516ln113ln 217ln 320ln 422ln 590.8i ii z y==++++≈∑，52222221(ln1)(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5) 6.2ii z==++++≈∑，515222190.850.9615.6106.250.96i ii i i z y nz yd z nz==--⨯⨯=≈=-⨯-∑∑， 15.6100.966c y d z =-≈-⨯=，所以，所要求的回归方程为10ln 6y x =+. 当日销量6x =时，日盈利10ln6624y =+=万元. 所以，当日销量6x =时，预测日盈利是24万元.【点睛】本题考查了线性回归方程的求解及应用，考查了学生计算能力，属中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为55，1F ，2F 分别是其左、右焦点，且过点1526,33A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求12AF F ∆的外接圆的方程.【★答案★】（1）22154x y +=（2）2256491224x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程，求得,,a b c 的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）由（1）得，1F ，2F 的坐标，得到12AF F ∆的外接圆的圆心一定在y 轴上，设12AF F ∆的外接圆的圆心为O '，半径为r ，圆心O '的坐标为(0,)m ，根据2O A O F '='及两点间的距离公式，列出方程，解得5612m =，从而确定圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆C 的离心率为55，所以55c a =. ① 又椭圆C 过点1526,33A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以代入得2258133a b +=. ② 又222a b c =+， ③由①②③，解得5,2,1a b c ===.所以椭圆C 的标准方程为22154x y +=.（2）由（1）得，1F ，2F 的坐标分别是(1,0),(1,0)-， 因为12AF F ∆的外接圆的圆心一定在边12F F 的垂直平分线上， 即12AF F ∆的外接圆的圆心一定在y 轴上，所以可设12AF F ∆的外接圆的圆心为O '，半径为r ，圆心O '的坐标为(0,)m ，则由2O A O F '='及两点间的距离公式，得222215260(01)(0)33m m ⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2254681333m m m +-+=+，化简得461033m =，解得5612m =， 所以圆心O '的坐标为560,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径2225676(01)01212r O F ⎛⎫='=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以12AF F ∆的外接圆的方程为22256761212x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2256491224x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了椭圆方程标准方程，以及圆的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，以及正确求解圆的圆心坐标和半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.21.已知函数()()22ln 43f x x a x x =+-+．（1）若43a =，求()f x 的单调区间； （2）证明：（i ）ln 1x x ≤-；（ii ）对任意(),0a ∈-∞，()0f x <对32,a x a -⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立．【★答案★】（1）()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）（i ）证明见解析（ii ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将43a =代入函数解析式，并求得导函数，由导函数的符号即可判断()f x 的单调区间； （2）（i ）构造函数()()ln 1g x x x =--并求得()g x '，利用()g x 的单调性求得最大值，即可证明不等式成立.；（ii ）由（i ）可知将不等式变形可得()()()22143f x x a x x <-+-+成立，构造函数()()()22143h x x a x x =-+-+，因式分解后解一元二次不等式即可证明()0f x <对32,a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立．【详解】（1）若43a =，()()()()22123242433x x f x x x x--'=+-=（0x >）， 令()0f x >′，得32x >或102x <<， 则()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 令()0f x <′，得1322x <<，则()f x 的单调递减区间为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）证明：（i ）设()()ln 1g x x x =--， 则()1xg x x-'=（0x >）， 令()0g x '>，得01x <<； 令()0g x '<，得1x >. 故()()max 10g x g ==，从而()()ln 10g x x x =--，即ln 1x x ≤-. （ii ）函数()()22ln 43f x x a x x =+-+由（i ）可知ln 1x x ≤-即()2ln 21x x ≤-，所以()()()222ln 432143x a x x x a x x +-+≤-+-+，当1x =时取等号；所以当1x >时，则()()()22143f x x a x x <-+-+若(),0a ∈-∞，令()()()22143h x x a x x =-+-+则()()()()()()23221431231a h x x a x x x ax a a x x a -⎛⎫=-+-+=-+-=--⎪⎝⎭，当32,a x a -⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()3210a a x x a -⎛⎫--< ⎪⎝⎭. 则当32,a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x <， 故对任意(),0a ∈-∞，()0f x <对32,a x a -⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立问题，构造函数法的应用，属于中档题.22.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程为313x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin （θ+3π）. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积.【★答案★】(1) 直线l 的普通方程为3x ＋y －4＝0. 曲线C 的直角坐标方程是圆：(x －3)2＋(y －1)2＝4. (2)4 【解析】 【分析】（1）将直线l 参数方程中的t 消去，即可得直线l 的普通方程，对曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用222sin cos x y y x ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）求出点O 到直线的距离，再求出MN 的弦长，从而得出△MON 的面积．【详解】解：(1)由题意有3(1)13(2)x t y t ⎧=-----⎪⎨=+---⎪⎩，()()132⨯+得，3x ＋y ＝4，直线l 的普通方程为3x ＋y －4＝0.因为ρ＝4sin +3πθ⎛⎫⎪⎝⎭所以ρ＝2sinθ＋23cosθ， 两边同时乘以ρ得，ρ2＝2ρsin θ＋23ρcos θ，因为222sin cos x y y x ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，所以x 2＋y 2＝2y ＋23x ，即(x －3)2＋(y －1)2＝4， ∴曲线C 的直角坐标方程是圆：(x －3)2＋(y －1)2＝4.(2)∵原点O 到直线l 的距离()224231d -==+直线l 过圆C 的圆心(3，1)， ∴|MN |＝2r ＝4， 所以△MON 的面积S ＝12|MN |×d ＝4. 【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识，解题的关键是正确使用222cos x y x y sin ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩这一转化公式，还考查了直线与圆的位置关系等知识.23.已知函数()2f x x a x a =---，a R ∈． （Ⅰ）若(1)1f >，求a取值范围；（Ⅱ）若0a <，对x ∀，(],y a ∈-∞，都有不等式()(2020)f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围．【★答案★】（Ⅰ）(,1)(1,)-∞-+∞；（Ⅱ）[)1010,0-.【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意不等式化为1211aa --->，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由题意把问题转化为()min max 2020f x y y a ⎡⎤⎡⎤≤++-⎣⎦⎣⎦，分别求出()max f x ⎡⎤⎣⎦和min 2020y y a ⎡⎤++-⎣⎦，列出不等式求解即可．【详解】（Ⅰ）由题意知，()11211f a a =--->，若12a ≤，则不等式化为1211a a --+>，解得1a <-； 若112a <<，则不等式化为()2111a a --->，解得1a >，即不等式无解； 若1a ≥，则不等式化为2111a a -+->，解得1a >， 综上所述，a 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞； （Ⅱ）由题意知，要使得不等式()(2020)f x y y a ≤++-恒成立，只需()min max 2020f x y y a ⎡⎤⎡⎤≤++-⎣⎦⎣⎦， 当(,]x a ∈-∞时，2x a x a a ---≤-，()max f x a ⎡⎤=-⎣⎦，因为20202020y y a a ++-≥+，所以当()()20200y y a +-≤时，min 20202020y y a a ⎡⎤++-=+⎣⎦，即2020a a -≤+，解得1010a ≥-，结合0a <，所以a 的取值范围是[)1010,0-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论思想，是中档题．含有绝对值的不等式恒成立应用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值三角不等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2020届重庆市八中高三下学期第4次月考数学（文）试卷★祝考试顺利★(含答案)一､选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1.设全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}1,0,1A =-,{}0,1,2B =,则()U A B =（ ）A. {}0,1,2,3B. {}0,1,2C. 1,0,1,2D. {}1,0,1,2,3- 【答案】A【解析】由补集和并集的定义直接求解即可. 【详解】{}1,0,1,2,3U =-,集合{}1,0,1A =-,∴{}2,3U A =,∴()U A B ={}0,1,2,3.故选：A .2.已知i 是虚数单位,若复数z 满足()112z i i +=+,则z 在复平面对应的点位于（ ）A . 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】由()112z i i +=+易得1z i =-,由此可得出在复平面内对应的点的坐标,从而得解. 【详解】()112z i i +=+, ∴1211iz i i +=-=-,在复平面对应的点为(1,1)-,位于第四象限.故选：D .3.已知θ是第三象限角,且()1cos 3πθ+=,则tan θ=（ ）B. 2C.【答案】C【解析】 先由诱导公式得出1cos 3θ=-,再由同角三角函数关系式得出sin θ和tan θ的值即可. 【详解】()1cos cos 3πθθ+=-=,所以1cos 3θ=-,又θ是第三象限角,所以sin θ===,所以sin 3tan 1cos 3θθθ===-故选：C.4.设非零向量m ,n 满足m n m n ==+,则m 与n 的夹角等于（ ）A. 30︒B. 60︒C. 90︒D. 120︒ 【答案】D 【解析】 对式子m n m n ==+进行平方后,可得出212m n n ⋅=-,再由夹角公式求cos ,m n <>的值,最后求出夹角即可. 【详解】m n m n ==+, ∴22222222()22m n m n m n m m n n m m n n ==+=+=+⋅+=+⋅+,∴ 212m n n ⋅=-, ∴22112cos ,2n m n m n m n n-⋅<>===-, ∴m →与n →的夹角等于120︒.故选：D .。

2020届重庆市第八中学高三第四次月考(12月)数学(文)试题一、单选题。

1.已知集合A={x|x2-2x-3>0),贝!)C r A=()A.{x\x<-1}<j{x\x>3}B.{x\x<-1}<j(x\x>3}C.{xl-1<x<3}D.(x|-l<%<3)【答案】C【解析】直接通过解不等式x2-2x-3<0求出C r A.【详解】解：集合C r A={x|x2-2x-3<0}={x|-l<x<3},故选：C.【点睛】本题考查集合补集的运算，是基础题.2.若复数z^m2+m+(m+l)z是纯虚数，其中秫是实数，则—=()zA.iB.-iC.2iD.-2i【答案】B【解析】由纯虚数的定义可得m=O,故，化简可得.z i【详解】复数z=m(m+1)+(m+1)，是纯虚数，故m(m+1)=0且(m+1)尹0,111-z食车得m=0,故z=i,故一=一=—--i.z i z•i故选：B.【点睛】本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题.3.抛物线寸=4工上一点M(x v y i)到其焦点的距离为3,则点肱到坐标原点的距离为()A.2B.^3C.2a/3D.^5【答案】C【解析】根据抛物线的方程和定义可得%!+1=3,由此解得X]和北，从而可得-【详解】由寸=4工可知，抛物线的准线方程为x=—1,则为+1=3,解得也=2,代入>2=4x可得，况=+2^2,则点M到坐标原点的距离为M+>=20.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的方程和定义，要求学生熟练掌握抛物线的定义的运用，属基础题. 4.设数列｛%｝前"项和为S“，已知S n=3«…-n,则％=()9151927A.—B.—C.—D.—8888【答案】C【解析】利用s n=3a n-n得出2a n=3^+1,先求出％,再利用递推式求出。

2020届重庆八中高高三下数学文科第4次月考试题一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的｡1.设全集U={-1,0,1,2,3}, 集合A={-1,0,1}, B={0,1,2},则()U C A B ⋃=() A. {0,1,2,3}B. {0,1,2}C. {-1,0,1,2}D. {-1,0,1,2,3}2.已知i 是虚数单位,若复数z 满足(1+z)i=1+2i,则z 在复平面对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知θ是第三象限角,且1cos(),3πθ+=则tanθ=().A B.2.C .D4.设非零向量m , n 满足|m |=|n |=|m +n |,则m 与n 的夹角等于( ) A.30°B.60°C.90°D.120°5.若a>b,c<0,则( ) A. ac> bc.c cB a b> C. ab> bcD . 22ac bc >6.已知m,n 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列说法正确的是() A.若m//α,n//α ,则m//n B.若m//α, m//β, 则α//β C.若m//α, m ⊥β,则α⊥βD.若m ⊥α,α⊥β,则m//β7.若双曲线2221(0)y x b b-=>的离心率e ∈则以下方程可以作为该双曲线渐近线方程的是()A. y=±x.B y = .C y = D. y=±2x8.已知函数1()lg,1xf x x-=+则f(x) ( ) A.是奇函数,且在定义域内是增函数 B.是奇函数,且在定义域内是减函数 C.是偶函数,且在定义域内是增函数D.是偶函数,且在定义域内是减函数9.直线0x a -+=与圆222x y +=相交于A,B 两点, O 为坐标原点,若OA ⊥OB,则a=()A. ±1.B ± .C ± D. ±210.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且其图象关于直线x=2对称,当x ∈[0,2]时,()21,x f x =-则f(19)= ( ) A. -3B. -1C.1D.311. 某平台为一次活动设计了“a”､“b”､“c”三种不同的卡片,活动规定:每人可以依次点击3次,每次都会获得三种卡片的一种,若集齐三张相同的卡片,则为一等奖;连续集齐两张相同的卡片,如:“aab”,则为二等奖;其余均视为不中奖｡假设活动中每张卡片每次被点中的可能性是相同的,若小赵按规定依次点击了3次,则他获奖的概率是()5.27A 1.3B 5.9C 7.9D12.过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交C 于点M,交C 的准线于点N,若F 为线段MN 的中点,则C 的准线与x 轴的交点P 到直线l 的距离为().3A .22B .23C D.4二､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡ 13.函数22()sin cos 1f x x x =-+的最小正周期为____14. 曲线y=ax+lnx 在点x= 1处的切线方程为3x-y+b=0,则b=__.15.正四棱锥的各条棱长均为2,其所有顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为____16.△ABC 的内角A, B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a=2,△ABC 外接圆的面积为4π,且(cos B + cos A)(cosB - cos A)+ sinC(sinC +sin A)=0,则△ABC 的面积为____.三､解答题:共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第17-21题为必考题,每个试题考生都必须做答｡第22､23 题为选考题,考生根据要求作答｡(一)必考题:共60分｡ 17.(12分)如图,四棱锥P- ABCD 中,AD// BC,∠DAB=90°, E 为AD 中点,PC= PD= AB= BC=1,AD= 2.(1)证明:PE ⊥CD:(2)当PE=1时,求四棱锥P- ABCD 的体积｡18. (12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 若1415,302a S ≠=，且1234,3,2a a a 成等差数列｡ (1)求{}n a 的通项公式:(2) 已知b 2111log ,(1)(),n n n n n n a c b b +==-+求数列{}n c 的前2020项和2020.T19. (12分)党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一,为坚决打赢脱贫攻坚战,某帮扶单位考察了甲､乙两种不同的农产品加工生产方式,现对两种生产方式加工的产品质量进行测试并打分对比,得到如下数据:生产方式甲分值区间 [ 75,80) [ 80,85) [ 85,90) [90,95) [95,100] 频数2030 100 40 10 生产方式乙分值区间 [ 75,80) [ 80,85) [ 85,90) [90,95) [95,100] 频数2535605030其中产品质量按测试指标可划分为:指标在区间[90,100]上的为特优品,指标在区间[80,90)上的为一等品,指标在区间[70,80)上的为二等品｡(1)用事件A 表示“按照生产方式甲生产的产品为特优品”,估计A 的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断能否有90%的把握认为“特优品”与生产方式有关?特优品 非特优品 生产方式甲 生产方式乙附表:P(K 2≥k 0) 0.10 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828参考公式:2(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d . (3)根据打分结果对甲､乙两种生产方式进行优劣比较.20.(12分)己知椭E:22221(0)x y a b a b+=>>.下面表格所确定的点(x,y)中,恰有三个点在椭圆E 上｡(1)求椭圆E 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点A,B 分别为E 的上､下顶点,直线l 经过E 的右顶点D,且与E 的另一个公共点为C,直线AC, BD 相交于点N,若l 与y 轴的交点M 异于A,B,证明OM ON ⋅u u u u r u u u r为定值.21. (12分)。

2019-2020学年重庆八中高二（下）4月段考数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设z=2+i1−2i，则z的虚部为()A. −1B. 1C. −2D. 22.某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测．若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为()3457078636046896082323457889078442125331253007328632211834297864540732524206443812234356773578905642A. 25B. 23C. 12D. 073.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,−2)，则该双曲线的离心率为()A. √3B. √52C. √5D. 24.函数y=f(x)是R上的可导函数，命题p：f(x)既有极大值又有极小值，命题q：方程f′(x)=0至少有两个解，则下列说法正确的是()A. p是q的充分不必要条件B. p是q的必要不充分条件C. p是q的充要条件D. p是q的既不充分也不必要条件5.中共一大会址(现上海市兴业路76号)、江西井冈山(中共革命根据地)、贵州遵义(遵义会议召开地)、陕西延安(中共革命圣地)是中学生的几个重要的研学旅行地(只是部分).某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有()人．A. 240B. 180C. 120D. 606.若抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是()A. p<1B. p>1C. p<2D. p>27.已知曲线在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则()A. a=e，b=−1B. a=e，b=1C. a=e−1，b=1D. a=e−1，b=−18.某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且该教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上)，则这位教师一天的课的所有排法()A. 474种B. 77种C. 462种D. 79种9.若多项式x3+x10=a0+a1(x+1)+⋯+a9(x+1)9+a10(x+1)10，则a9=()A. 9B. 10C. −9D. −1010.已知点E是抛物线C：y2=2px(p>0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点p在抛物线C上．在△EFP中，若|PF|=μ⋅|PE|，则μ的最小值为()A. √22B. √32C. √2D. √311.现安排5名同学A，B，C，D，E参加志愿者服务活动，每人从事接待、后勤保障、服务、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．A，B不会开车但能从事其他三项工作，C，D，E都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A. 54B. 90C. 126D. 15212.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若点F1关于双曲线渐近线的对称点P满足4∠OPF2=∠POF2(O为坐标原点)，则E的离心率为()A. √5B. 2√3C. √3D. 2√33二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.将一枚质地均匀且各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的数字依次为a和b，则点(a,b)在直线y=12x上的概率为______．14.若x，y满足约束条件{x+2y−2≥0x−y+1≥0x≤1，则z=x−2y的最小值为______．15.已知(x2√x)n的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为______．16.若x=−2是函数f(x)=(x2+ax−1)e x−1的极值点，则f(x)的极大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.函数f(x)=x3+32x2−6x+1．(1)求曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程；(2)函数g(x)=f(x)+12ax2−ax(a∈R)在区间(−1,1)上是单调递减函数，求a的取值范围．18.为了了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图所示的直方图：根据频率分布直方图估计，事件C：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率P(C)=0.30．(1)根据所给的频率分布直方图估计各段频数(在答题卡填写两个频数分布表)；(附：频数分布表)(2)请估计甲离子残留百分比的众数和中位数，请估计乙离子残留百分比的平均值．19. 已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2=2px(p >0)过点P(1,−2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)当λ=3时，求点M 的坐标； (2)当OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12时，求直线l 的方程．20. 在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 为长方形，SB ⊥底面ABCD ，其中BS =2，BA =2，BC =λ，λ的可能取值为：①λ=14；②λ=12；③λ=√32；④λ=32；⑤λ=3．(1)求直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值；(2)若线段CD 上能找到点E ，满足AE ⊥SE ，则λ可能的取值有几种情况？请说明理由；(3)在(2)的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，线段CD 上满足AE ⊥SE 的点有两个，分别记为E 1，E 2，求二面角E 1−SB −E 2的大小．21.已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+5+alnx(a∈R)．(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[1,e]时，记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的解析式．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一动点(与左、右顶点不重合).已知△PF1F2的面积的最大值为√3，椭圆C的离心率为√32．(1)求椭圆C的方程；(2)过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q(Q不与A，B重合).设△ABQ的外心为G，求证|AB||GF2|为定值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵z=2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i5=i，∴z的虚部为1．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C【解析】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，依次为07，04，08，23，12，则抽取的第5个零件编号为，12，故选：C．根据随机数表依次进行选取即可．本题主要考查简单随机抽样的应用，比较基础．3.【答案】C【解析】解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,−2)，∴点(1,−2)在直线y=−bax上，∴ba=2．则该双曲线的离心率为e=√1+b2a2=√5．故选：C．由(1,−2)在直线y=−ba x上，可得ba.由e=√1+b2a2=√5.即可求解．本题考查了双曲线的性质、离心率，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：f(x)既有极大值又有极小值，能推出方程f′(x)=0至少有两个解；反之，方程f′(x)=0至少有两个解，推不出f(x)既有极大值又有极小值，即“命题P：f(x)既有极大值又有极小值”是“命题q：方程f′(x)=0至少有两个解”的充分不必要条件，故选：A．由充分必要条件的判定得：f(x)既有极大值又有极小值，能推出方程f′(x)=0至少有两个解；反之，方程f′(x)=0至少有两个解，推不出f(x)既有极大值又有极小值，即“命题P：f(x)既有极大值又有极小值”是“命题q：方程f′(x)=0至少有两个解”的充分不必要条件，得解．本题考查了充分必要条件，属中档题5.【答案】B【解析】解：因为500名学生中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人；故到过中共一大会址研学旅行的学生有30人；所以：按照其所占比例可得：30500=所求3000⇒所求=180；故选：B．先求出500人中符合条件的人数，再按对应比例相等即可求解．本题主要考查等可能事件的概率以及用样本估计总体，属于基础题目．6.【答案】D【解析】解：∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x=−p2的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值p2．∴p2>1，即p>2．令抛物线上的点到准线的距离的最小值大于1求出p的范围．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，属于基础题．求得函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得ae+1+0=2，可得a，进而得到切点，代入切线方程可得b的值．【解答】解：y=ae x+xlnx的导数为y′=ae x+lnx+1，由在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，可得ae+0+1=2，解得a=e−1，故切点为(1,1)，可得1=2+b，即b=−1．故选D．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查排列的应用，注意分析事件之间的关系，使用间接法求解．根据题意，使用间接法，首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节排法数目，再求出其中上午连排3节和下午连排3节的排法数目，进而计算可得答案．【解答】解：使用间接法，首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A93=504种排法，其中上午连排3节的有3A33=18种，下午连排3节的有2A33=12种，则这位教师一天的课表的所有排法有504−18−12=474种，故选：A．【解析】解：x 3+x 10=x 3+[(x +1)−1]10，题中a 9(x +1)9只是[(x +1)−1]10展开式中(x +1)9的系数故a 9=C 101(−1)1=−10先凑成二项式，再利用二项展开式的通项公式求出(x +1)9的系数． 本题考查二项展开式系数的性质以及多项恒等式系数相等的性质．10.【答案】A【解析】解：过P 向准线作垂线PM ，垂足为M ，则|PM|=|PF|， ∴μ=|PF||PE|=|PM||PE|=sin∠PEM ，显然当PE 与抛物线C ：y 2=2px 相切时，∠PEM 取得最小值，即μ取得最小值．设过点E(−p2,0)的直线方程为y =k(x +p2)(k >0)与抛物线相切， 联立方程组{y 2=2px y =k(x +p 2)，消元得：y 2−2py k +p 2=0， 令△=0得4p 2k 2−4p 2=0，解得k =1．∴∠PEF =45°，故∠PEM 的最小值为45°， ∴μ的最小值为sin45°=√22．故选：A ．过P 向准线作垂线PM ，则μ=sin∠PEM ，问题转化为求∠PEM 的最小值问题． 本题考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：分以下两种情况讨论：①只有一人从事司机工作，有三种选择，然后将其他四人分为三组，分配给其他三种工作，共有3×C 42A 33=108种，②有两人从事司机工作，有C 32种选择，然后将其他三人分配给其他三种工作，共有C32A33=18种，综上共有108+18=126种．故选：C．分两种情况，一是只有一人从事司机工作，二是有两人从事司机工作，其他人分配另外三种工作，利用分类计数原理可求得结果．本题考查随机事件的排列组合问题，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：由题意可知OP=OF1=OF2，∴∠OPF2=∠PF2O，∠OPF1=∠PF1O，设∠OPF2=α，则∠∠OPF1+∠PF1O=∠POF2=4α，由三角形的内角和定理可知6α=180°，故α=30°，∴∠PF2O=30°，PF1⊥PF2，设PF1与渐近线y=−bxa 的交点为M，则F1M=12PF1=14F1F2=c2，即F1(−c,0)到直线bx+ay=0的距离为c2，∴|−bc|√a2+b2=c2，解得b=c2，∴e=ca =c√c2−b2=2√33．故选：D．根据4∠OPF2=∠POF2可得△PF1F2为直角三角形，根据点到直线的距离公式可求出a，c的关系，得出离心率．本题考查双曲线的简单性质，属于中档题．13.【答案】18【解析】解：将一枚质地均匀且各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的数字依次为a和b，基本事件总数n=4×4=16，点(a,b)在直线y=12x上包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，则点(a,b)在直线y =12x 上的概率为P =216=18． 故答案为：18．记面朝下的数字依次为a 和b ，基本事件总数n =4×4=16，利用列举法求出点(a,b)在直线y =12x 上包含的基本事件个数，由此能求出点(a,b)在直线y =12x 上的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】−3【解析】解：画出x ，y 满足约束条件{x +2y −2≥0x −y +1≥0x ≤1，表示的平面区域，如图所示结合图象知目标函数z =x −2y 过A 时，z 取得最小值， 由{x =1x −y +1=0，解得A(1,2)， 所以z 的最小值为z =1−2×2=−3． 故答案为：−3．画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值． 本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题方法，是基础题．15.【答案】−1【解析】解：∵已知(x 2√x )n 的展开式中第5项为C n 4⋅(−2)4⋅x 2n−10 为常数项，∴2n −10=0，n =5，则该式中所有项系数的和为(1−2)5=−1，故答案为：−1．根据第5项为常数项求得n=5，再令x=1，可得(x2−√x)n的所有项系数的和．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．16.【答案】5e3【解析】解：函数f(x)=(x2+ax−1)e x−1可得f′(x)=(2x+a)e x−1+(x2+ax−1)e x−1x=−2是函数f(x)=(x2+ax−1)e x−1的极值点可得：f′(−2)=(−4+a)e−3+(4−2a−1)e−3=0，即−4+a+(3−2a)=0，解得a=−1，可得f′(x)=(2x−1)e x−1+(x2−x−1)e x−1=(x2+x−2)e x−1，函数的极值点为：x=−2，x=1，当x<−2或x>1时，f′(x)>0；当−2<x<1时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(−∞,−2)，(1,+∞)上单调递增，在(−2,1)上单调递减，于是当x=−2时，函数取得极大值：f(−2)=5e3．故答案为：5e3．求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极大值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵f(x)=x3+32x2−6x+1，∴f′(x)=3x2+3x−6，∴f′(0)=−6，因此，曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程y−1=−6x，即6x+y−1=0．(2)∵g(x)=f(x)+12ax2−ax=x3+a+32x2−(a+6)x+1，g′(x)=3x2+(a+3)x−(a+6)=(3x+a+6)(x−1)，令g′(x)=0，得x=−a+6或x=1，3由于函数y=g(x)在区间(−1,1)上是单调递减函数，≤−1，解得a≥−3，则−a+63因此，实数a的取值范围是[−3,+∞)．【解析】(1)求出f′(0)的值，利用点斜式可求得所求切线的方程；x2−(a+6)x+1，g′(x)=(3x+a+6)(x−1)，根据题意可(2)求得g(x)=x3+a+32得出关于a的不等式进而可求得实数a的取值范围．本题考查利用导数求解函数的切线方程，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题．18.【答案】解：(1)∵事件C：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率P(C)=0.30，∴0.05+b+0.15=0.30，∴b=0.1，∴a=1−(0.05+0.1+0.15+0.2+0.15)=0.35，(2)由甲离子残留百分比直方图可知，[3.5,4.5)组的频数最大，取区间中点值，所以甲离子残留百分比的众数是4，因为0.15+0.20=0.35<0.5，而0.15+0.20+0.30=0.65>0.5，所以中位数在[3.5,4.5)这组，设甲离子残留百分比的中位数为x，所以0.15+0.20+(x−3.5)×0.30=0.5，解得：x=4，所以甲离子残留百分比的中位数为4，乙离子残留百分比的平均值为：(3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15)×1=0.15+0.4+0.75+2.1+1.4+1.2=6．【解析】(1)根据P(C)=0.30，求出a ，b 的值，利用频数=频率×总数即可求出每组的频数，填入表格即可．(2)由甲离子残留百分比直方图可知，甲离子残留百分比的众数是4，中位数在[3.5,4.5)这组，设甲离子残留百分比的中位数为x ，所以0.15+0.20+(x −3.5)×0.30=0.5，即可解得x 的值，取各个区间的中间值乘于该组数据的频率，再乘于组距，即可求得乙离子残留百分比的平均值．本题主要考查了频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均值，是中档题．19.【答案】解：(1)将P(1,−2)代入抛物线C ：y 2=2px 方程，得p =2，所以C 的方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)，设M(x 0,y 0)，当λ=3时，OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得M(2,2)． (2)方法一：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF ⃗⃗⃗⃗⃗ .可得(x 0+1,y 0−2)=(λ,0)，所以y 0=2，所以直线l 的斜率存在且斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=4y1+y 2=2y 0=1，设直线l 的方程为y =x +b ，联立{y =x +by 2=4x ，消去y ，整理得x 2+(2b −4)x +b 2=0，△=(2b −4)2−4b 2=16−16b >0，可得b <1，则x 1+x 2=4−2b ，x 1x 2=b 2，y 1y 2=x 1x 2+b(x 1+x 2)+b 2=4b ， 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=b 2+4b =12， 解得b =−6，b =2(舍)， 所以直线l 的方程为y =x −6．方法二：设直线l 的方程为x =my +n ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，联立方程组{x =my +ny 2=4x ，消去x ，整理得y 2−4my −4n =0，△=16m 2+16n >0，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4n ，则x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2n =4m 2+2n ，则M(2m 2+n,2m)，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF ⃗⃗⃗⃗⃗ .得(2m 2+n +1,2m −2)=(λ,0)，所以m =1， 所以直线l 的方程为x =y +n ， 由△=16+16n >0，可得n >−1， 由y 1y 2=−4n ，得x 1x 2=(y 1y 2)216=n 2，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=n 2−4n =12， 解得n =6或n =−2，(舍去) 所以直线l 的方程为y =x −6．【解析】(1)将P 代入抛物线方程，求得p 的值，根据向量的坐标运算，即可求得M 的值；(2)方法一：根据向量的坐标运算，求得M 的纵坐标，利用抛物线的“点差法”求得直线的斜率，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程； 方法二：设直线l 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，中点坐标公式，及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程．本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵SB ⊥底面ABCD ，∴∠SAB 即为直线AS 与平面ABCD 所成角．在Rt △SAB 中，tan∠SAB =SBAB =22=1，∴sin∠SAB =√22．故直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值为√22．(2)以B 为原点，BC 、BA 、BS 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设CE =m ，则A(0,2，0)，S(0,0，2)，E(λ,m ，0)，B (0,0，0)， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,m −2,0)，SE⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,m ，−2)， ∵AE ⊥SE ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,m −2,0)⋅(λ,m ，−2)=λ2+m(m −2)=0， ∵m ∈[0,2]，∴λ2=−m(m −2)∈[0,1]．故λ可能的取值有3种情况，分别为①λ=14；②λ=12；③λ=√32．(3)由(2)知，λ=√32，∴λ2=34=−m(m −2)，解得m =12或32．不妨取E 1(√32,12,0)，E 2(√32,32,0)，∴BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，BE 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0)，BE 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)， 设平面BSE 1的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BE 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12y =0m ⃗⃗⃗ ⋅BS⃗⃗⃗⃗⃗ =2z =0，令x =1，则y =−√3，z =0，∴m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,0)， 同理可得，平面BSE 2的法向量为n ⃗ =(√3,−1,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√32×2=√32，∴<m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=π6．由题可知，二面角E 1−SB −E 2为锐角， 故二面角E 1−SB −E 2的大小为π6．【解析】(1)由SB ⊥底面ABCD ，知∠SAB 即为所求；在Rt △SAB 中，由tan∠SAB =SBAB 即可得解；(2)以B 为原点，BC 、BA 、BS 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设CE =m ，用含λ和m 的式子表示出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 和SE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可推出λ2=−m(m −2)∈[0,1]，从而得解；(3)由(2)知，λ=√32，m =12或32，从而得E 1和E 2两点的坐标，根据法向量的性质求得平面BSE 1和平面BSE 2的法向量m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ ，再由cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |即可得解． 本题考查空间中线线角、线面角和二面角的求法，熟练掌握利用空间向量处理空间角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=12x 2−3x +5+2lnx ，定义域为(0,+∞)，f′(x)=x −3+2x =(x−1)(x−2)x．令f′(x)>0，得0<x <1或x >2；令f′(x)<0，得1<x <2． 故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+∞)，单调递减区间为(1,2)． (2)∵f(x)=12x 2−(a +1)x +5+alnx ，∴f′(x)=x −(a +1)+ax =(x−1)(x−a)x，令f′(x)=0，得x =1或x =a ．①当a ≤1时，对任意的x ∈[1,e]，f′(x)≥0，即函数f(x)在[1,e]上单调递增， ∴g(a)=f(1)=92−a ；②当1<a <e 时，若1≤x <a ，则f′(x)<0；若a <x ≤e ，则f′(x)>0． ∴函数f(x)在[1,a)上单调递减，在(a,e]上单调递增． ∴g(a)=f(a)=alna −a 22−a +5；③当a ≥e 时，对任意的x ∈[1,e]，f′(x)≤0，即函数y =f(x)在[1,e]上单调递减， ∴g(a)=f(e)=12e 2−a(e −1)−e +5． 综上所述，g(a)={ 92−a,a ≤1alna −a 22−a +5,1<a <e 12e 2−a(e −1)−e +5,a ≥e ．【解析】(1)当a =2时，写出函数f(x)的解析式、定义域和导数，分别解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，即可得函数f(x)的单调递增区间和递减区间； (2)求导得f′(x)=(x−1)(x−a)x，然后分a ≤1、1<a <e 和a ≥e 三种情况讨论函数y =f(x)在区间[1,e]上的单调性，进而得函数f(x)的最小值，由此可得出g(a)的解析式． 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，对参数进行分类讨论是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意知：c a =√32，∴√3a =2c ，∴3a 2=4c 2，△PF 1F 2的面积的最大值为√3， 所以12×2c ×b =√3， ∴bc =√3，∴b 2c 2=3， 所以(a 2−c 2)c 2=3， 所以(a 2−34a 2)34a 2=3， ∴a 2=4，所以c 2=3，b 2=1， 所以椭圆方程为x 24+y 2=1．(2)证明：由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0， 设直线AB 为x =my +√3，代入椭圆方程得(m 2+4)y 2+2√3my −1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则y 1+y 2=−2√3mm 2+4,y 1y 2=−1m 2+4，所以AB 的中点坐标为(4√3m 2+4,−√3mm 2+4)， 所以|AB|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2×4√1+m 2m 2+4=4(1+m 2)m 2+4， 因为G 是△ABQ 的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为y −−√3m m 2+4=−m(x −4√3m 2+4)， 令y =0，得x =3√3m 2+4，即G(3√3m 2+4,0)， 所以|GF 2|=|3√3m 2+4−√3|=√3m 2+√3m 2+4=√3(m 2+1)m 2+4， 所以|AB||GF 2|=4(m 2+1)m 2+4√3(m 2+1)m 2+4=√3=43√3，所以|AB||GF 2|是定值，为43√3．【解析】(1)根据三角形的面积的最大值和离心率得到关于a ，b ，c 的方程，解方程即得椭圆的方程(2)设直线AB 为x =my +√3，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)求出|AB|=4(1+m 2)m 2+4，求出|GF 2|=√3(m 2+1)m 2+4，即得解．本题主要考查椭圆的方程的求法，考查椭圆的几何性质，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．。