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最新人教版七年级数学下册第八章《二元一次方程组》教案本章复习整体设计教材分析本章主要内容包括：利用二元一次方程组分析、解决实际问题，二元一次方程组及其相关概念，消元思想和用代入法、加减法解二元一次方程组以及三元一次方程组解法举例．其中，以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题既是本章的重点，又是难点．本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程组这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解方程组的过程中蕴涵的消元、化归思想，它在解方程组中具有指导作用．解二元一次方程组的各个步骤，都是为最终使方程组变形为x ＝a 的形式而实施的，即在保持各方程的左右两边相等关系的前提之下，使“未知”逐步转化为“已知”．解三元以及多元方程组的基本策略是“消元”，即逐步减少未知数的个数，以使方程组化归为一元一次方程，先解出一个未知数，然后逐步解出其他未知数．代入法和加减法都是消元解方程组的方法，只是具体消元的手法有所不同．课时分配1课时教学目标1．能熟练、准确地解二元一次方程组；会用二元一次方程组解决实际问题；通过对本章的内容进行回顾和总结，能把握各知识点间的联系，进一步感受方程(组)模型的重要性．2．通过回顾反思，进一步加深对数学中消元、化归思想的理解，熟练、灵活地运用消元法解方程组；学会如何构建知识体系，体会前后知识间的联系．教学重难点教学重点：解二元一次方程组、列二元一次方程组解应用题．教学难点：如何找等量关系，并把它们转化成方程(组)．教学方法教师组织学习材料，为学生创设理想的学习环境，学生利用问题展开探索交流．在学生掌握基本内容的基础上，教师引导学生进一步提炼，构建知识体系；在此基础上，通过学生尝试解决问题，以及师生之间、生生之间的讨论交流，使学生对数学思想方法的认识更深刻，对解决问题的策略把握得更灵活．教学过程一、知识网络构建设计说明利用一组小练习，引导学生回顾本章主要内容，体会各知识点间的联系，构建知识网络，使学生对本章内容及其间的关系有清晰完整的认识．1．课前热身练习(要求学生上课之前完成，上课时交流订正)．(1)写出方程2x －5y ＝18的3个解．(答案不唯一，二元一次方程有无数个解，只要满足要求即可)(2)用合适的方法解方程组4(x －y －1)＝3(1－y )－2，x 2＋y3＝2.(3)小红和爷爷在400米环形跑道上跑步．他们从某处同时出发，如果同向而行，那么经过200 s 小红追上爷爷；如果背向而行，那么经过40 s 两人相遇，求他们的跑步速度．(4)已知三角形的周长是18 cm ，其中两边的和等于第三边的2倍，而这两边的差等于第三边的13，求这个三角形的各边长．设三边的长分别是x cm ，y cm ，z cm(x ＞y )，那么x ＋y ＋z ＝18，x ＋y ＝2z ，x －y ＝13z .你会解这个方程组吗？答案：(1)略． (2)x ＝2，y ＝3.(3)小红和爷爷跑步的速度分别是6 m/s,4 m/s.(4)x ＝7，y ＝5，z ＝6.问题1：上述问题你是怎样解决的？用到了哪些知识点？和你小组中其他的同学交流一下．讨论结果：略．问题2：本章的重要内容有哪些？它们之间有怎样的联系？讨论结果：略． 2．重要知识点梳理(1)二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解．(2)二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．(4)解方程组：求出方程组的解或确定方程组没有解的过程叫做解方程组．(5)解二元一次方程组的基本方法是代入消元法和加减消元法(简称代入法和加减法)．代入法解题步骤：把方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，可先求出一个未知数的值；把求得的这个未知数的值代入第一步所得的式子中，可求得另一个未知数的值，这样就得到了方程组的解?x ＝a ，y ＝b .加减法解题步骤：把方程组里的一个(或两个)方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的同一个未知数的系数的绝对值相等；把所得到的两个方程的两边分别相加(或相减)，消去这个未知数，得到另一个未知数的一元一次方程(以下步骤与代入法相同)．(6)列二元一次方程组解应用题的步骤与列方程解应用题的步骤基本相同，即“设”“列”“解”“验”“答”．3．二元或三元一次方程组解决问题的基本过程4．本章知识安排的前后顺序参照本章概览中的知识结构图，省略．二、典型题例探究例1：方程2x ＋y ＝9在正整数范围内的解有________个．解析：由2x ＋y ＝9，得y ＝9－2x .取x ＝1,2,3,4，分别得正整数y ＝7,5,3,1. ∴ x ＝1，y ＝7； x ＝2，y ＝5； x ＝3，y ＝3；?x ＝4，y ＝1.故有四个解．答案：4例2：解方程组 a 2＋b3＝13，a 3－b4＝3.①②解：由①×14，得a 8＋b 12＝134. ③由②×13，得a 9－b12＝1. ④③＋④，得17a 72＝174.∴a ＝18.把a ＝18代入②，得b ＝12，∴?a ＝18，b ＝12.例3：用正方形和长方形两种硬纸片制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒(如图)．如果长方形的宽与正方形的边长相等，150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片可以制作甲、乙两种纸盒各多少个？提出以下问题引导学生思考：每个甲种纸盒要正方形硬纸片几张？(1张) 每个乙种纸盒要正方形硬纸片几张？(2张) 每个甲种纸盒要长方形硬纸片几张？(4张) 每个乙种纸盒要长方形硬纸片几张？(3张) 解：设可制作甲种纸盒x 个，乙种纸盒y 个，由题意，得x ＋2y ＝150，4x ＋3y ＝300.解这个方程，得x ＝30，y ＝60.答：可制作甲种纸盒30个，乙种纸盒60个．例4：某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个．甲，乙，丙3种零件分别取3个，2个，1个，才能配一套，要在30天内生产最多的成套产品，问甲，乙，丙3种零件各应生产多少天？解：设甲种零件生产x 天，乙种零件生产y 天，丙种零件生产z 天．根据题意，得?x ＋y ＋z ＝30，(120x )∶(100y )∶(200z )＝3∶2∶1.化简，得x ＋y ＋z ＝30，x ＝5z ，y ＝4z .解得x ＝15，y ＝12，z ＝3.答：甲，乙，丙3种零件各应生产15天，12天，3天．三、课堂巩固训练1．已知|x ＋y |＋(x －y ＋3)2＝0，求x ，y 的值．2．某铁路桥长1 000 m ，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1 min ，整列火车完全在桥上的时间共40 s ．求火车的速度和长度．3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市采用价格调控手段达到节约用水的目的．规定：每户居民每月用水不超过6 m 3时，按基本价格收费，该市某户居民今年4、52．解：设火车的速度为x m/s ，火车的长度为y m ，由题意，得 60x ＝1 000＋y ，40x ＝1 000－y .解这个方程组，得?x ＝20，y ＝200.答：火车的速度为20 m/s ，火车的长度为200 m. 3．分析：由表格看到什么信息？4月份用水超过6 m 3，所以水费由两部分组成21元．5月份用水超过6 m 3，所以水费由两部分组成27元．解：设基本价格为x 元/m 3，超过6 m 3的部分为y 元/m 3.由题意，知?6x ＋(8－6)y ＝21，6x ＋(9－6)y ＝27.解这个方程组，得?x ＝1.5，y ＝6.答：基本价格为1.5元/m 3，超过6 m 3的部分为6元/m 3.四、课堂小结1．本节主要学习如何将一单元的知识进行整理归纳，形成知识体系．2．用到的主要思想方法是符号化、模型化思想，消元化归思想． 3．注意的问题：(1)复习时将平时易错的知识点、感到疑难的问题做重点处理，不留尾巴．(2)分析问题时选择合适的方法，是列表、用式子还是画图，要根据题目特点确定．(3)在复习的基础上提高，尤其是对知识方法的理解及对知识的综合创新应用．五、布置作业1．在方程(a 2－4)x 2＋(2－3a )x ＋(a ＋2)y ＋3a ＝0中，若此方程为二元一次方程，则a 的值为________．2．某种植大户计划安排10个劳动力来耕作30亩土地，这些土地可以种蔬菜也可以种水稻，种这些作物所需劳动力及预计产值如下表，为了使所有土地种上作物，全部劳动力都有工作，应安排种蔬菜的劳动力为______人，这时预计产值为________元．3．七年级(2)班的一个综合实践活动小组去A 、B 两个超市调查去年和今年“五一”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情境，根据他们的对话，请你分别求出A 、B 两个超市今年“五一”期间的销售额．解析：要使此方程为二元一次方程，则x 2项的系数为零，即a 2－4＝0.∴a ＝±2.当a ＝±2时，2－3a 和a ＋1都不为零，∴a ＝±2. 答案：1.±2 2．5 44 000解析：设种蔬菜x 亩，种水稻y 亩，则12x ＋14y ＝10，x ＋y ＝30.解得?x ＝10，y ＝20.2×10＝5(人),10×3 000＋20×700＝44 000(元)．3．解：设A 超市去年销售额为x 万元，B 超市去年销售额为y 万元，则 x ＋y ＝150，(1＋15%)x ＋(1＋10%)y ＝170.解得x ＝100，y ＝50. 所以(1＋15%)x ＝115，(1＋10%)y ＝55.答：A 、B 两个超市今年“五一”期间的销售额分别是115万元、55万元．六、拓展练习1．已知甲、乙两人的年收入之比为3∶2，年支出之比为7∶4，年终时两人各余400元，若设甲的年收入为x 元，年支出为y 元，则可列方程组为( )．A.x －y ＝40023x ＋74y ＝400 B.x ＝y ＋40032x －47y ＝400 C.x －y ＝40023x －47y ＝400D.x －y ＝40032x －74y ＝4002．若下列三个二元一次方程：3x －y ＝7,2x ＋3y ＝1，y ＝kx －9有公共解，那么k 的取值应是( )．B ．4C ．－3D ．33．解方程组：(1)3(x ＋y )－4(x －y )＝4，x ＋y 2＋x －y6＝1； (2)x ＋y －z ＝0，2x ＋y ＋z ＝7，x －3y ＋z ＝8.4．如图，周长为68 cm 的长方形ABCD 被分成7个相同的矩形，求长方形ABCD 的面积．5．实验中学组织爱心捐款支援灾区活动，九年级一班55名同学共捐款1 180元，捐款情况见下表．表中捐款10元和20元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，请你帮助确定信息一：工作时间：每天上午8：20～12：00，下午14：00～16：00，每月25天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．钟？答案：1.C 2.B3．(1)x ＝1715，y ＝1115；(2)x ＝3，y ＝－1，z ＝2.4．280 cm 2.5．解：设捐10元的同学有x 人，捐20元的同学有y 人，根据题意，得 ?x ＋y ＋6＋7＝55，10x ＋20y ＋30＋350＝1 180. 化简，得?x ＋y ＝42，x ＋2y ＝80.解这个方程组，得x ＝4，y ＝38.答：捐款10元和20元的同学分别为4人和38人．6．解：设生产一件甲种产品需x 分钟，生产一件乙种产品需y 分钟，由题意，得 ?10x ＋10y ＝350，30x ＋20y ＝850，化简，得?x ＋y ＝35，3x ＋2y ＝85.解这个方程组，得x ＝15，y ＝20.答：生产一件甲种产品需要15分钟，生产一件乙种产品需要20分钟．评价与反思1．复习课教学模式的探讨：利用基础题组回顾梳理主要知识点，构建知识体系——通过典型问题探究加深对主要思想方法的理解，掌握常用解题方法——采取限时训练与开放研究相结合的方式进行巩固与拓展练习，以保证技能技巧的形成和不同学生发展的需求．2．复习课目标的确定：首要的一点是从总体上把握本章主要内容及其间的联系，重在回顾整理，查漏补缺；其次是综合创新，基础知识掌握了，灵活地解决综合问题才有可能，同时问题的难易程度要适合学生的实际情况，注重思维发散性与深刻性的训练，使不同层次的学生通过复习都得到较大的提高．。
8.1二元一次方程组
教学过程设计
（总第二八课时）8.2 消元——二元一次方程组的解法（1）
教学过程设计
（总第二九课时）8.2 消元——二元一次方程组的解法（2）
教学过程设计
（总第三十课时）8.2 消元——二元一次方程组的解法（3）
教学过程设计
（总第三一课时）8.2 消元——二元一次方程组的解法（4）
教学过程设计
（总第三二课时）8.3 实际问题与二元一次方程组（1）
——和差倍分问题
教学过程设计
二、组内合作、交流探索：
【例】已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的倍，求甲、乙两数。
设甲数x，乙数为y。
由题意，可得方程组（）
（总第三三课时）8.3 实际问题与二元一次方程组（2）
——几何图形问题
教学过程设计
2、把长方形纸片折成面积之比为1：2的两个小长方形，
（总第三四课时）8.3 实际问题与二元一次方程组（3）
——经济生活问题
教学过程设计
地．公路运价为1. 5元
t·km)，这两次运输共支
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费吨，交水费91元，求a,b的值
（总第三五课时）8.4三元一次方程组的解法
教学过程设计
（总第三六课时）第八章《二元一次方程组复习》
教学过程设计
31。
二元一次方程组的应用一.选择题1.小明在解关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=⊗-=⊗+133,y x y x 时得到了正确结果⎩⎨⎧=⊕=.1,y x 后来发现“⊗”“ ⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出⊗、⊕ 处的值分别是( )A ．⊗ = 1，⊕ = 1B ．⊗ = 2，⊕ = 1C ．⊗ = 1，⊕ = 2D ．⊗ = 2，⊕ = 22.某校课外活动小组的学生准备分组外出活动,若每组7人,则余下3人；若每组8人,则少5人. 若设课外小组的人数x 和应分成的组数y ,依题意可列方程组得 ( )A 、 ；B 、 ；C 、 ；D 、 3. 今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（ ）A ． 2种B ． 3种C ． 4种D ． 5种 解：设小虎足球队胜了x 场，平了y 场，负了z 场，依题意得，把③代入①②得， 解得z =（k 为整数）．又∵z 为正整数，∴当k =1时，z =7；当k =2时，z =5；当k =16时，z =1．综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况．故选：B ．4.《九章算术》中的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图（1）、图（2）．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 系数与相应的常数项，把图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩类似地，图（2）所示的算筹图我们可以表述为（ ）(1) （2）A 、211211321926...432743224234327x y x y x y x yBCD x y x y x y x y +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=+=+=+=⎩⎩⎩⎩7385y x y x ì=+ïïíï+=ïî7385x y x y ì+=ïïíï-=ïî7385y x y x ì=+ïïíï=+ïî7385y x y x ì=-ïïíï=+ïî5．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一块宽为60厘米的矩形地面，•则每块地砖的长和宽分别是（ ）A ．48厘米，12厘米B ．48厘米，16厘米C ．44厘米，16厘米D ．45厘米，15厘米二.填空1.请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一 树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何”诗句中谈到的鸦为 只，树为 棵．2.已知方程组351ax by x cy +=⎧⎨-=⎩，甲正确地解得23x y =⎧⎨=⎩，而乙粗心，他把c 看错了，从而解得 36x y =⎧⎨=⎩，则a = ，b = ，c = ．3.某次足球比赛的记分规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了14场，其中负5场，共得19分．若设胜了x 场，平了y 场，则可列出方程组三.解决问题1.已知方程组 由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩;乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩,若按正确的a b 、计算,求原方程组的解.2、关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+42by ax by ax 与⎩⎨⎧-=-=+654432y x y x 的解相同，求a 、b 的 值。
8.1.1 二元一次方程组（1）（3）你能给它取名吗?（4）你能给它下一个定义吗?含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并说明理由。
(1)2x+5y=10 (2) 2x+y+z=1 (3)x2+y=20(4)2x+1=0 (5) (6)2x+10xy =0在上面的方程x+y=22 和2x+y=40 中,X，Y的含义分别相同吗?X,Y 的含义分别相同.因而X,Y必须同时满足方程x+y=22 和2x+y=40把它们联立起来,得{x+y=22 2x+y=40结论：像这样把含有两个相同未知数的二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。
判断下列方程组哪些是二元一次方程组？一元一次方程与二元一次方程组的对比表学习目标2：掌握二元一次方程组的解活动2满足方程x+y=22①且符合问题的实际意义的x 、y 的值有哪些？在一元一次方程中使方程两边的值相等的未知数的值叫一元一次方程的解，故可类推出使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
抛开实际意义，二元一次方程有无数个解.发现x＝18,y＝4是这两个方程的公共解，，把x＝18,y＝4叫做二元一次方程组的解，这个解通常记作一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
引，得出结论。
【教学提示】学生独立思考，然后再分组交流，教师深入小组，参与活动，关注、学生能否理解概念，并紧扣概念解决问题。
二元一次方程组有且只有一组解。
你能告诉大家如何检验它们的解吗？答：判断一对数是不是方程组的解,应把这对数值代入方程组里的每个方程，同时满足所有方程的一对未知数的值才是方程组的解.学习目标3：利用二元一次方程组解实际问题著名的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”解：设鸡有x只，兔y只，根据题意，得三、巩固训练，熟练技能1．下列方程中，是二元一次方程的是（）A．3x－2y=4z B．6xy+9=0C．1x+4y=6 D．4x=24y-2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．228423119...23754624x yx y a b xB C Dx y b c y x x y+=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩3．二元一次方程5a－11b=21 （）A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（）A．3333...2422x x x xB C Dy y y y==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩5．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1x+y=5；④x=y；⑤x2－y2=2⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+xA．1 B．2 C．3 D．4【教学提示】根据一元一次方程的解的概念类比出二元一次方程的解的概念。
第八章二元一次方程组教材内容本章主要内容包括：二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的应用。
教材首先从一个篮球联赛中的问题入手，归纳出二元一次方程组及解的概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解。
接着，以消元思想为基础，依次讨论了解二元一次方程组的常用方法——代入法和消元法。
然后，选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”，将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度。
最后，通过举例介绍了三元一次方程组的解法，使消元的思想得到了充分的体现。
教学目标〔知识与技能〕1、了解二元一次方程组及相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系；2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；3、了解三元一次方程组的解法；4、学会运用二（三）元一次方程组解决实际问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。
〔过程与方法〕1、以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关糸，设未知数，列方程，解方程和检验结果”，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。
2、在把二元一次方程组转化为x=a,y=b的形式的过程中，体会“消元”的思想。
〔情感、态度与价值观〕通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。
重点难点二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，利用二元一次方程组解决实际问题是重点；以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题是难点。
课时分配8.1二元一次方程组……………………………………1课时8.2 消元——二元一次方程组的解法………………… 4课时8.3再探实际问题与二元一次方程组………………… 3课时*8.4三元一次方程组解法举例…………………………2课时本章小结…………………………………………………2课时8.1二元一次方程组[教学目标]理解二元一次方程、二元一次方程组及它们解的概念，会检验一对数是不是二元一次方程组的解。
第19讲二元一次方程组的应用知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初一，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习二元一次方程组的应用.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题.知识梳理讲解用时：15分钟实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：①同类量的单位要统一；①方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。
这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。
其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。
(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；①船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；①顺水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2.工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3.商品销售利润问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
第18讲二元一次方程组及其解法知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初一，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习二元一次方程（组）的概念及解法.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．知识梳理讲解用时：15分钟二元一次方程（组）的相关概念一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．要点诠释：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来．(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．课堂精讲精练【例题1】已知方程x m﹣3+y2﹣n=6是二元一次方程，则m﹣n=．【答案】3．【解析】解：由题意得：m﹣3=1，2﹣n=1，解得：m=4，n=1，m﹣n=4﹣1=3，故答案为：3．讲解用时：3分钟解题思路：根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程可得m﹣3=1，2﹣n=1，解出m、n的值可得答案．教学建议：此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：惠安县期中年春【练习1.1】下列方程中，是二元一次方程的是（）A．x﹣3=2B．y=4x+1C．y=D．2x﹣3y=xy【答案】B．【解析】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；B、是二元一次方程，故B符合题意；C、不是整式方程，故C不符合题意；D、是二元二次方程，故D不符合题意，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：根据二元一次方程的定义，可得答案．教学建议：本题考查了二元一次方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：杭州期中年春【练习1.2】若（k﹣2）x|k|﹣1﹣3y=2是关于x，y的二元一次方程，那么k2﹣3k﹣2的值为【答案】8．【解析】解：根据题意得：，解得：k=﹣2，∴k2﹣3k﹣2=（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣2=4+6﹣2=8．故答案为：8．讲解用时：3分钟解题思路：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．教学建议：主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：溧水区期末【例题2】二元一次方程3x+y=7的正整数解是【答案】和．【解析】解：∵当x=1时，3+y=7，则y=4；当x=2式，6+y=7，则y=1，∴方程3x+y=7的正整数解和．故答案为：和．讲解用时：5分钟解题思路：采用列举法求得方程的所有正整数解即可．教学建议：本题主要考查的是二元一次方程的解，应用列举法求解是解题的关键．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：河北区期末年春【练习2.1】已知是二元一次方程3x﹣ky=0的一个解，则k的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【答案】A．【解析】解：把代入方程3x﹣ky=0中，得6﹣3k=0，解得k=2．故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：知道了方程的解，可以把这组解代入方程，得到一个含有未知数k的一元一次方程，从而可以求出k的值．教学建议：本题考查了二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：新罗区期中【练习2.2】已知二元一次方程x+y=1，下列说法不正确的是（）A．它有无数多组解B．它只有一组非负整数解C．它有无数多组整数解D．它没有正整数解【答案】B．【解析】解：方程有无数多组解，A正确；它有和两组非负整数解，B错误；它有无数多组整数解，C正确；它没有正整数解，D正确，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：根据方程的特点求出非负整数解判断即可．教学建议：本题考查的是二元一次方程的解，理解二元一次方程有不定解和整数解的确定是解题的关键．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：鼓楼区期末春【例题3】若方程组是二元一次方程组，则a的值为．【答案】（﹣7，3）或（3，3）．【解析】解：∵是二元一次方程组，∴此方程组中只含有未知数x，y，∴a=0．故答案为0．讲解用时：3分钟解题思路：根据二元一次方程组的定义，由于第一个方程中含有x、y，所以第二个方程不能含有字母z，则a=0．教学建议：本题考查了二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无下列方程组中，是二元一次方程组的有（）①②③④⑤⑥A．①③⑤B．①③④C．①②③D．③④【答案】D．【解析】解：①中有3个未知数x，y，z．不符合二元一次方程组的定义，故错误；②、⑥中未知数项的最高次数是2，不符合二元一次方程组的定义，故错误；③、④符合二元一次方程组的定义，故正确；⑤①此方程组中第二个方程不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故错误；故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数都应是一次；3、都是整式方程”．教学建议：本题是考查对二元一次方程组的识别，重点是掌握二元一次方程组的定义．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：怀来县期中已知方程组是二元一次方程组，则m=．【答案】±．【解析】解：由题意得，m+1≠0，即m≠﹣1，m2﹣2=1，m=±．故答案为：±．讲解用时：3分钟解题思路：根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程解答．教学建议：本题考查的是二元一次方程组的定义，解答时，一定要紧扣二元一次方程组的定义：组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题4】已知满足二元一次方程5x+y=17的x值也是方程2x+3(x-1)=12的解，求该二元一次方程的解．【答案】32xy=⎧⎨=⎩．【解析】解：由题意：∵2x+3(x-1)=12，∴5x=15，∴x=3，∵x=3满足方程5x+y=17∴带入可求得：y=4故二元一次方程的解为32xy=⎧⎨=⎩．讲解用时：4分钟解题思路：由题意先解一元一次方程，求出x的值再代入二元一次方程，即可求解．教学建议：本题考查一元一次方程和二元一次方程的解，理解同解的含义是重点.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习4.1】已知是二元一次方程组的解，那么=（）A．﹣3B．1C．2D．4【答案】C．【解析】解：把代入，解得，==2，故选：C．讲解用时：4分钟解题思路：把x与y的值代入方程组求出m与n的值即可．教学建议：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：古冶区期中【例题5】用代入消元法解方程组：．【答案】．【解析】由①得：y=3﹣2x，代入②得：3x﹣15+10x=11，移项合并得：13x=26，解得：x=2，把x=2代入得：y=﹣1，则方程组的解为．讲解用时：6分钟解题思路：方程利用代入消元法求出解即可．教学建议：本题考查了考查了消元的思想和利用带入消元法解二元一次方程组难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习5.1】用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（）A．由①得x=B．由①得y=C．由②得y=7﹣5x D．由②得x=【答案】C．【解析】解：∵此方程组中②中y的系数最小，∴用x表示出y较简单，根据等式的性质可知，y=7﹣5x．故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：由此方程组的特点可知，只有在②中y的系数的绝对值最小，故选择②进行变形较简单，进而可做出选择．教学建议: 此题考查解方程组问题，解答此题的关键是熟知利用代入法解二元一次方程组时，要注意选择含未知数的系数的绝对值较小的方程进行变形，从而可以简化计算．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：方城县期中【例题6】用加减消元法解方程组：【答案】【解析】解：①+②得：3x=9，即x=3，把x=3代入①得：y=﹣1，则方程组的解为讲解用时：3分钟解题思路：方程利用加减消元法求出解即可.教学建议：本题考查了考查了消元的思想和利用加减消元法解二元一次方程组难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习6.1】方程组的解是．【答案】．【解析】解：，①+②得：3x=9，x=3，把x=3代入①得：y=2，∴，故答案为：．讲解用时：3分钟解题思路：根据观察用加减消元法较好，①+②消去y，解出x的值，再把x的值代入①，解出y．教学建议：本题考查坐标与图形的变化﹣平移，解题的关键是理解题意，学会正确画出图形是解决问题的关键．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：娄底模拟【练习6.2】方程组的解适合方程x+y=2，则k值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣【答案】C．【解析】解：，①+②得，x+y=k+1，由题意得，k+1=2，解答，k=1，故选：C．讲解用时：5分钟解题思路：根据方程组的特点，①+②得到x+y=k+1，组成一元一次方程求解即可．教学建议：本题考查的是二元一次方程组的解，掌握加减消元法解二次一次方程组的一般步骤是解题的关键．难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题7】马虎与粗心两位同学解方程组时，马虎看错了m解方程组得；粗心看错了n解方程组得；试求：（1）常数m、n的值；（2）原方程组的解．【答案】（1）m=5，n=4；（2）.【解析】解：（1）将x=2，y=﹣代入3x﹣ny=12中得：6+n=12，解得：n=4；将x=1，y=代入mx+2y=6得：m+1=6，解得：m=5；（2）将m=5，n=4代入方程组得：，①×2+②得：13x=24，解得：x=，将x=代入①得：y=﹣，则方程组的解为．所以原方程组的解为．讲解用时：5分钟解题思路：（1）将马虎解得的方程组的解代入方程组中的第二个方程求出n的值，粗心得到的解代入第一个方程中，求出m的值；（2）将m与n的值代入方程组确定出方程组，求出方程组的解即可．教学建议：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习7.1】若关于x、y的方程组的解满足x+y=，则m=．【答案】1．【解析】解：，①+②得：5（x+y）=2m+1，解得：x+y=，代入已知等式得：=，解得：m=1．故答案为：1．讲解用时：5分钟解题思路：方程组两方程相加表示出x+y，代入已知等式求出m的值即可．教学建议：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：襄城区模拟解方程组若设（x+y）=A，（x﹣y）=B，则原方程组可变形为，解方程组得，所以解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组．【答案】．【解析】解：设x+y=A，x﹣y=B，方程组变形得：，整理得：，①×3+②×2得：13A=156，即A=12，把A=12代入②得：B=0，∴，解得：．讲解用时：5分钟解题思路：设x+y=A，x﹣y=B，方程变形后，利用代入消元法求出A与B的值，进而确定出x与y的值即可．教学建议：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无关于x，y 的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（）A．B．C．D．【答案】C．解：由题意知，，①+②，得：2x=7，x=3.5，①﹣②，得：2y=﹣1，y=﹣0.5，所以方程组的解为，故选：C．【解析】讲解用时：5分钟解题思路：由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．教学建议：本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x、y的方程组．难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：宁波期中课后作业【作业1】方程3x+2y=12的非负整数解有个．【答案】3．【解析】解：由题意可知：x是非负整数，∴x=0，1，2，3，4此时y=6，，3，，0∵y也是非负整数，∴方程3x+2y=12的非负整数解有3个，故答案为：3讲解用时：5分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：工业园区期末【作业2】关于x，y的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出p，则p的值是【答案】﹣【解析】解：根据题意，将x=1代入x+y=3，可得y=2，将x=1，y=2代入x+py=0，得：1+2p=0，解得：p=﹣讲解用时：5分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无【作业3】解方程组：．【答案】【解析】解： 将②×2得，10x +4y=12③将①+③得，17x=34x=2将x=2代入①中，得，14﹣4y=22y=﹣2∴二元一次方程组的解为.讲解用时：5分钟难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无【作业4】用代入法解二元一次方程组： 【答案】 【解析】 解：由①得x ＝5-y ①将①代入①得5(5-y)-2y -4＝0，解得：y ＝3，把y ＝3代入①，得x ＝5-y ＝5-3＝2524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩①②23x y =⎧⎨=⎩所以原方程组的解为．讲解用时：5分钟难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无23x y =⎧⎨=⎩。
