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第4章模糊聚类分析

第4章模糊聚类分析

1] R是普通对称关系. 定理2 R对称 [0，，
证明： 设R对称，且( x, y) R , 则R( x, y)
故R( y, x) R( x, y)
R是普通对称关系.
( y, x) R
任取x, y X , 反之，若 ［0， 1］，R 对称，
R( x, x) 1，
则称R为模糊自反关系.
X有限时，R (rij )nn , rii R( xi , xi ) 1
实际应用中，可根据主对角线元素是否为1来 判定R是否满足自反关系。
自反 [0，， 1] R是普通自反关系. 定理1 R
证明：R 自反 x X , R( x, x) 1 ( [0， 1])
令 R( x, y) 则( x, y) R , 从而( y, x) R ,
于是R( y, x) R( x, y),
类似得R( x, y) R( y, x)
故R( x, y) R( y, x).
3. 模糊传递关系(fuzzy transitive relations) 定义3
rij 1 c dij ,
c 的选取只需保证0 rij 1即可，例如可选 c= 1 dmax .
（2）绝对值指数法
rij e

| xik x jk |
k 1
m
（3）绝对值倒数法
i j; 1, M rij m , i j. | x x | ik jk k 1
其中M 选取适当的正数，使得0 rij 1.
（4）绝对值减数法
rij 1 c | xik x jk |
k 1
m
其中c适当选取，使得rij 在[0， 1]内分散开.

模糊聚类的分析

模糊聚类的分析

模糊聚类的分析模糊聚类分析是一种在统计分析领域中的方法。

它的主要思想是将客观数据更好地分类和分析。

模糊聚类是一种简单的数据挖掘技术，它可以从客观数据中挖掘出有价值的信息，以帮助我们分析和探索数据。

模糊聚类分析的本质是根据相似度度量算法来确定数据点之间的相似性，并将它们聚类为一个或多个类别。

它可以用于更好地加深对数据挖掘结果的理解，分析和发现数据中的结构和关系。

模糊聚类的优点1、可以更好地发现数据挖掘的结果和有价值的信息。

2、可以用于分析和发现客观数据中的结构和关系。

3、可以很好地分析大数据集。

4、可以使数据分类更有效率。

模糊聚类的应用1、金融领域：模糊聚类可用于金融分析，如风险识别、客户分析、金融监管等，可以显著提高对金融市场的了解，并帮助金融市场制定更有效的策略。

2、医学领域：模糊聚类可以更好地理解大量的临床资料，并为医生提供更有效的诊断建议。

它还可以应用于医疗和病理图像分析，以有效管理和指导患者的治疗过程。

3、气象领域：模糊聚类可以有效地识别气象 sensor卫星数据中的关键结构和特征，并用于气象研究和气象预报中。

4、人工智能：模糊聚类可以作为机器学习算法的基础，用于建模不同环境和情景。

它还可以用于自然语言处理，提供更有意义的信息，例如情感分析。

模糊聚类的局限性1、模糊聚类的结果很大程度上取决于人为干预，且模糊聚类的结果可能会受到相似度测量的影响，这可能会导致结果的不稳定性。

2、除此之外，由于模糊聚类是基于数据预处理后的假设来实施的，所以对数据预处理的要求较高，对数据准备质量和格式有较高的要求，这也是模糊聚类的一大局限性。

模糊聚类的发展前景模糊聚类分析技术在各个领域的应用及其发展前景均越来越广泛。

模糊聚类技术在人工智能、机器学习、大数据和自动化领域等方面都有广泛的应用，而且随着 AI 、Bigdata术的发展，模糊聚类在预测建模、数据挖掘和自然语言处理等方面也都有了重要的应用。

此外，模糊聚类技术还可以应用于声学识别、计算机视觉和实时处理等领域，进一步拓展模糊聚类技术的应用前景。

(第五讲)模糊理论PPT课件

(第五讲)模糊理论PPT课件

2021/3/12
6
模糊集与隶属函数（3）
例2.8 论域U={高山，刘水，秦声}，用模糊集A表 示“学习好”这个概念。
解：先给出三人的平均成绩：
高山：98分，刘水：90分，秦声：86分 上述成绩除以100后，就分别得到了各自对“学
习好”的隶属度：
μA(高山)=0.98,μA(刘水)=0.90 ,μA(秦声)=0.86 则模糊集A为：
则A：B A(u) B (u) / u
uU
1/u
[1 (u 25)2]1 / u
[1 ( 5 )2]1 / u
0u25
25uu
5
uu100
u 50
A B A(u) B (u) / u uU
[1 ( 5 )2]1 / u
[1 (u 25)2]1 / u
50uu
u 50
]1
当50 u 100
9
模糊集的表示方法（3）
• 无论论域U有限还是无限，离散还是连续， 扎德用如下记号作为模糊集A的一般表示 形式:
A A(u)/u uU
• U上的全体模糊集，记为：
F(U)={A|μA:U→[0,1]}
2021/3/12
10
模糊集的运算（1）
模糊集上的运算主要有：包含、交、并、补等等。
uu100
5
A 1/u
1[1 ( 5 )2]1 / u
2021/3/120u50
50u100
u 50
13
模糊集的运算（4）
其它的模糊集运算：
• 有界和算子 和有界积算子
A B:m in{1,A(u)B(u)} AB:m ax{0,A(u)B(u)1 }
• 概率和算子ˆ 与实数积算子·

模糊聚类分析ppt课件

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k 1
1 2
m k 1
(
xik
x jk )
m
( xik x jk )
rij
k 1 m
xik .x jk
k 1
5. 求模糊等价矩阵
用上述方法建立起来的模糊矩阵 R ，一般说来只 满足自反性和对称性，不一定满足传递性，即 R 不一 定是模糊等价关系，需要将 R改造成模糊等价矩阵R，
然后再在适当的阈值上进行截取，便可得所需分类。
根据需要可同时选择不同准则分别进行聚类分析，然后 通过综合取交的方法，以做到兼顾多目标，使分类结果更科学。
3、建立数据矩阵
设论域U { x1, x2 ,, xn }为被分类对象， 每个对象又由m 个指标表示其性状：
xi { xi1, xi2 ,, xim } (i 1,2,, n) 则得到原始数据矩阵为 X ( xij )nm .
1, 2,..., m
构造下列形式的F统计量，
r
i
2
ni x x /(r 1)
F i1 r ni
xij
i
x
2
/(n r)
i1 jn1
x x 其中， 为 i x x
m
i
(xk
xk )2
i
与
的距离， xij x i
i 为第
k 1
类中样本
xij 与
i
x 的距离。
F 统计量分子表征类与类之间的距离， 分母表示类内样本间距离，因此 F 值越大，说
改造的方法是将 R 自乘得 R R R2，再自 乘 R2 R2 R4 ，如此继续下去，得 R8 , R16 ……，至某 一步出现 R2k Rk 为止。则 Rk便是一个模糊等价关系。 这个方法是由所谓“传递闭包”理论而来，我们在此 拿来直接应用，不再作详细介绍。

第7章 模糊聚类分析

第7章 模糊聚类分析

方法1. 令 rij
rij 1
2 rij m rij , 方法2. 令 rij ( i j ), 其中 m min i j M m
M max rij , 于是 rij [0,1] i j
（2）夹角余弦法
, 则 rij [0,1]
rij
x
例7.1 环境单元分类 设 U {u1 , u2 ,..., un } 为五个环境单元的集合，每个 环境单元有空气、水分、土壤、作物四个要素，环境
单元的污染状况由污染物在四个要素中含量的超限度
u1 (5,5,3,2), u2 (2,3,4,5), 来描述，若其污染数据为： u3 (5,5,2,3), u4 (1,5,3,1), u5 (2,4,5,1), 试对U进
1 0.4 R 8 0.8 0.5 0.5
0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 R 4 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
所以传递闭包 R R4 , 然后依次取的截矩阵 R , 并按 R 将U分成等价类. 若=1, 便将U分为5类, 即 {u1 },{u2 },{u3 },{u4 },{u5 }; 若=0.8, 便将U分为4类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 },{u5 }; 若=0.6, 便将U分为3类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 , u5 };
J ( A,V ) aij u j vi
（2）用逐次平方法计算R的传递闭包 t ( R) R, 因为
1 0.3 R 2 0.8 0.5 0.5 1 0.4 4 R 0.8 0.5 0.5

模糊数学ppt课件

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1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等

聚类分析-模糊聚类分析

聚类分析-模糊聚类分析

1 1 A0.3 0 0
1 1 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
模糊聚类分析
模糊关系 模糊等价矩阵
模糊相似矩阵
模糊聚类分析的一般步骤

模糊关系
与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关 系是普通关系的推广.
设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称 为从 X 到 Y 的模糊关系. 模糊子集 R 的隶属函数为映射 R : X Y [0,1]. 并称隶属度R (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R 的 相关程度. 特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之 间的模糊关系.
例设U {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }, 1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi 与 yj 之间要么有关系(rij = 1),要么没有关系( rij = 0 ).
模糊关系的合成 设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系. (R1 ° R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊 矩阵的合成. 设X = {x1, x2, …, xm},Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn},且X 到Y 的模糊关系R1 = (aik)m×s ， Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)s×n ，则X 到Z 的模糊 关系可表示为模糊矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.

第6章：模糊聚类分析

第6章：模糊聚类分析

是个适当的正常数， 其中 M 是个适当的正常数，使得 0≤rij≤1
1,
11.绝对值减数法： 11.绝对值减数法： rij = 绝对值减数法
1 − C ⋅ ∑| xik − x jk |,
k =1
m
i≠ j
是个适当的正常数， 其中 C 是个适当的正常数，使得 0≤rij≤1
二、进行聚类
分模糊等价关系(矩阵)与模糊相似关系(矩阵)二种情况进行。 分模糊等价关系(矩阵)与模糊相似关系(矩阵)二种情况进行。
1 0.81 0.53 R = (rij ) = 0.81 1 0.24 0.53 0.24 1
2
方法( ).统计指标法： 方法(二).统计指标法： 统计指标法 叫聚类。 一个模糊等价关系决定一个模糊分类 --- 叫聚类。 分类的集合 个元素组成， 分类的集合 X = { X1,X2,…,Xn }，由 n 个元素组成， ,X 个统计指标： 对其中每一个元素 ，采用不同的 m 个统计指标： 对元素 X1 ，采用统计指标 x1 = ( x11,x12,…,x1m ) ； ,x 对元素 X2 ，采用统计指标 x2 = ( x21,x22,…,x2m ) ； ,x ………………………………………………… 对元素 Xn ，采用统计指标 xn = ( xn1,xn2,…,xnm ) ； ,x ( xij为第 i 个元素 Xi 的笫 j 项统计指标值 ) 将每个元素各项统计指标标准化： 将每个元素各项统计指标标准化：常用极值标准化公式
nj
x =
' nj
⋯⋯⋯⋯ x −x
−
n , Min
x n, Max − x n, Min
,
3
经过上步标准化后的 Xi 与 Xj 的各统计指标按下列方法中的任一种计算 rij 。 欧氏距离法： 1. 欧氏距离法：

模糊聚类分析 ppt课件

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rij
xi • x j xi x j
1
xi
m
xi2k
2
,i
1,2,
,n
k1
• (3) 相关系数法
rij
m
xik xi
k1
m
(xik xi)2
k1
xjk xj
m
(xjk xj )2
k1
x i
1 m
m
x ik
k 1
x j
1 m
m
x jk
k 1
• (4) 贴近度法
• 当对象xi的特性指标向量xi=(xi1, xi2, , xim)为模 糊向量, 即xik[0, 1] (i=1,2, ,n ; k=1,2, ,m) 时, xi与xj的相似程度rij可看作模糊子集xi与xj的 贴近度。在应用中, 常见的确定方法有：最大最
X的一个分类的系列。这样, 在实际应用问题中 可以选择“某个水平”上的分类结果, 这就是模 糊聚类分析的理论基础。
• 实际问题中建立的模糊关系常常不是等价关系 而是相似关系, 这就需要将模糊相似关系改造为 模糊等价关系, 传递闭包正是这样一种工具。
• 定义 设RF(XX). 若R1F(XX)是传递的且满足： 1) RR1, 2) 若S是X上的模糊传递关系且RS, 必有R1S. 则称R1为R的传递闭包, 记为t(R). 模糊关系R的传递闭包是包含R的最小传递关系。
• 如上所述, 模糊相似矩阵R的传递闭包t(R)就是 一个模糊等价矩阵。以t(R)为基础而进行分类 的聚类方法称为模糊传递闭包法。
• 具体步骤如下: (1) 利用平方自合成方法求出模 糊相似矩阵R的传递闭包t(R); (2) 适当选取置信
水平值[0, 1], 求出t(R)的截矩阵t(R), 它是X

模糊数学2模糊聚类分析方法模糊综合评判方法

模糊数学2模糊聚类分析方法模糊综合评判方法

❖ （1）单层次模糊综合评判模型 设X={x1,x2…xn}是综合评判因素所组成集合，
Y={y1,y2…yn}是评语所组成的集合。
R：X→Y rij=µR(xi,yj) 元素rij表示xi符合yj标准的程度。
A=(a1,a2…an)是各评判因素的权重分配，
则评判结果 B=A◦R.
例
我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判，设包括三个因 素，即硬件建设，软件建设、人员培训，用论域U表示为：
0.38 0.8 0.67
0.49 1375 931源自0.380.80.67
0.93
0.95 0.67 0.94
0.9
0.94 0.67 0.95
1
0.99
0.99 0.45 0.55
0.99
1
0.99 0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
1
0.45 0.55
0.45 1
0.49137 5931
0.93
0.9
1 0.67 0.94 0.38
0.38
0.38 0.95 0.94
0.67 1 0.67
0.94 0.67 1
0.8 0.67
0.8 0.67
0.8 0.67
0.67 0.94 0.67 0.95
0.49137 5931
0.38 0.8 0.67
0.49137 5931
较好
40% 30% 10%
可以
10% 20% 30%
不好
0 10% 60%
0.2 R ~
0.7
0.1
0
上表就构成模糊矩阵 R= 0
0.4 0.5 0.1

模糊聚类分析的理论(17页)

模糊聚类分析的理论(17页)

模糊聚类分析的理论模糊聚类分析是一种基于模糊数学理论的聚类方法，它允许数据点属于多个类别，并且每个类别都有一个模糊度。

这种方法在处理现实世界中的问题时非常有效，因为现实世界中的数据往往不是完全确定的，而是具有模糊性的。

模糊聚类分析的基本思想是将数据点分为若干个类别，使得每个数据点属于各个类别的程度不同。

这种程度可以用一个介于0和1之间的数来表示，0表示不属于该类别，1表示完全属于该类别。

这种模糊性使得模糊聚类分析能够更好地处理现实世界中的不确定性。

模糊聚类分析的理论基础是模糊集合论。

模糊集合论是一种扩展了传统集合论的数学理论，它允许集合的元素具有模糊性。

在模糊集合论中，一个元素属于一个集合的程度可以用一个隶属度函数来表示。

隶属度函数是一个介于0和1之间的数，它表示元素属于集合的程度。

模糊聚类分析的理论方法有很多种，其中最著名的是模糊C均值(FCM)算法。

FCM算法是一种基于目标函数的迭代算法，它通过最小化目标函数来得到最优的聚类结果。

目标函数通常是一个关于隶属度函数和聚类中心之间的距离的函数。

模糊聚类分析的理论应用非常广泛，它可以在很多领域中使用，例如图像处理、模式识别、数据挖掘等。

在图像处理中，模糊聚类分析可以用于图像分割、图像压缩等任务；在模式识别中，模糊聚类分析可以用于特征提取、分类等任务；在数据挖掘中，模糊聚类分析可以用于发现数据中的隐含规律、预测未来趋势等任务。

模糊聚类分析的理论还有很多需要进一步研究和发展的地方。

例如，如何提高模糊聚类分析的效率和准确性，如何处理大规模数据集，如何将模糊聚类分析与其他方法相结合等。

这些问题都需要进一步的研究和探索。

模糊聚类分析的理论是一种强大的聚类方法，它能够处理现实世界中的不确定性，并且具有广泛的应用前景。

通过不断的研究和发展，模糊聚类分析的理论将会更加完善，并且将会在更多的领域中得到应用。

模糊聚类分析的理论模糊聚类分析是一种基于模糊数学理论的聚类方法，它允许数据点属于多个类别，并且每个类别都有一个模糊度。

基于matlab的模糊聚类分析 ppt课件

基于matlab的模糊聚类分析 ppt课件

Matlab程序---bzh1.m
function Y=bzh1(X) [a,b]=size(X); C=max(X); D=min(X); Y=zeros(a,b); for i=1:a for j=1:b Y(i,j)=(X(i,j)-D(j))/(C(j)-D(j)); %平移极差变化进 行数据标准化
19
（2）距离法
rij = 1 – c d (xi, xj )
其中c为适当选取的参数.
海明距离
m
d(xi,xj) |xikxjk| k1
欧氏距离 切比雪夫距离
m
d(xi,xj) (xikxjk)2 k1
d (xi, xj ) = ∨{ | xik- xjk | , 1≤k≤m}
20
（3）主观评分法
基于matlab的模糊聚类分析
《管理数学实验》课程汇报 学号：2120111705 姓名：贾珊
1
基于matlab的模糊聚类分析
1
预备知识 2 基于MATLAB的模糊聚类
分析的传递方法
3
实例应用
1.预备知识
3
基于matlab的模糊聚类分析
聚类分析和模糊聚类分析 模糊相似矩阵 模糊等价矩阵
模糊矩阵的 - 截矩阵
（1）相似系数法 ----夹角余弦法
m
x ik x jk
rij
k 1 m
m
x
2 ik
x
2 jk
k 1
k 1
相似系数法 ----相关系数法
rij
m
| xik xi || xjk xj |
k1
m
m
(xik xi )2
(xjk xj )2
k1

模糊聚类PPT课件

模糊聚类PPT课件

若关系矩阵R中的元素为区间[0,1]的数的矩阵称 为模糊矩阵，模糊关系与模糊矩阵是一一对应的。
0.20.810.80.2 2 345 6
向量法： A ( 0 ,0 .2 ,0 .8 ,1 ,0 .8 ,0 .2 )
序偶法： A { 2 , 0 . 2 ( ) 3 , 0 . ( 8 ) 4 , 1 ) ( 5 , 0 . ( 8 ) 6 , 0 . ( 2 )}
16
3. 模糊集合的运算 两个集合之间的运算是它们的隶属函数之间的运算
15
例3 设 U { 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 } ， A : “ 4 ” ,A 靠 F ( U )近
U中各数 A的属 程 A(于 ui度 )可由下表给
ui
123456
A(ui )
0 0.2 0.8 1 0.8 0.2
Zadeh法：A 00 .20 .810 .80 .2 12 345 6
A (u) [1(u 5 05)0 2]1
0u50 5 0u100
B(u) [1(u 1 52)5 2]1
0u25 2 5u100
B(u) 1
A(u)
0 25 50
100 U
14
2. 模糊集合的表示方法
U为有限集或可数集
① Zadeh法：
A nA (u i)A (u 1 ) A (u 2) A (u n )
6
4、 模糊数学的应用 1976年英国学者Gains和Kohout搜集整理模糊
数学及应用方面的论文统计表
7
二、模糊数学基础
1、模糊集合的定义 普通集合只能表示清晰概念 u U ,A U u A 或 u A
子集A由映射CA : U 0,1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

第4章模糊聚类分析

第4章模糊聚类分析

第四章 模糊聚类分析在数学上，根据事物的一定特征，并按一定要求和规律对事物进行分类的方法称为聚类分析，聚类分析的对象一定是尚未分类的群体，其理论产生于对事物进行分类的实际要求。

对带有模糊特征的事物进行聚类分析，使用的是模糊数学方法，因而称为模糊聚类分析法。

该法在生物、医学中应用较广，方法也多样，本章着重介绍以模糊相似关系为基础的聚类方法。

第一节 模糊聚类分析的步骤一、原始数据标准化由于实际问题中所收集的数据往往并不是闭区间[0，1]内的数，所以首先要把原始数据标准化，可以采用如下公式sxx x -=' 其中 x ---原始数据，x ---原始数据的平均值，s —原始数据的标准差这样得到的标准化数据还不一定落在 [0，1]内，若要把标准化数据压缩到[0，1]闭区间，可采用极值标准化公式minmax minx x x x x --='显然，当x =x min 时，则0='x 当x =x max 时，则1='x 二、建立模糊相似关系设Z={x 1 , x 2 , …, x n }是待分类事物的全体，设每一被分类的对象 x i 是由一组数据),,,(21im i i i x x x x = ),,2,1(n i =来表示，现在的问题是如何建立x i 和x j 之间的相似关系？按照实际情况，选用下列方法之一来表示x i 和x j ：1．最大最小法()()∑∑===m k jk ikmk jk ikij x xx xr 11,max ,min2．几何平均最小法()∑∑==⋅=mk jkik mk jk ikij x x x xr 11,min3．算术平均最小法()()∑∑==+=mk jk ik mk jk ikij x x x xr 1121,min4．相关系数法∑∑∑===----=mk mk j jk i ikmk j jk i ikij x x x xx x x xr 11221)()())((其中∑==m k ik i x m x 11 ∑==mk jk j x m x 115．指数相关系数法∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=mk k jk ik ij S x x m r 1243exp 1 其中()∑=-=mk k ik k x x n S 121 ∑==nj jk k x n x 116．夹角余弦法∑∑∑===⋅⋅=m k mk jkikmk jkikij xx x xr 112217．数量积法⎪⎩⎪⎨⎧⋅=∑=mk jkikij x xMr 111时当时当j i j i ≠=其中M 是一个适当选择的正数，并且满足⎪⎭⎫⎝⎛⋅≥∑=m k jk ik x x M 1max8．距离法qmk q jk ik ij x x r 11⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑= 闵可夫斯基距离当q=1时，∑=-=mk jk ikij x xr 1海明距离当q=2时，∑=-=mk jk ijij x xr 12)( 欧氏距离9．非参数法令i ik ikx x x -=' j jk jk x x x -=' 集合},,,,,{2211jm imj i j i x x x x x x '''''' 中正数个数记为n + ,负数个数记为n -- ： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-+-+n n n n r ij 121 10．绝对值减数法⎪⎩⎪⎨⎧--=∑=mk jk ik ij x x C r 111 时当时当j i j i ≠= 其中C 适当选择，使0≤r i j ≤1 11．绝对值指数法⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=mk jkik ij x x r 1exp12．绝对值倒数法⎪⎩⎪⎨⎧-=∑=m k jk ik ij x x M r 11 时当时当j i j i ≠=其中M 是一个适当选择的正数，并且满足⎪⎭⎫⎝⎛-≤∑=m k jk ik x x M 1min以上各式中的ik x 为第 i 个点第k 个因子的值，jk x 为第 j 个点第k 个因子的值。

3-2模糊关系与聚类分析

3-2模糊关系与聚类分析

00..21


0.2 0.3
00..21


0.2 0.2
00..11
( A∩B ) ◦ C (A ◦ C )∩(B ◦ C )
F关系合成的性质(3)
[性质5]： ( Q ◦ R ) = Q ◦ R [推 论]： (Rm) = (R)m [性质6]： ( Q ◦ R )T =RT ◦ QT [推 论]： (Rn)T =(RT)n [定理2]：设Q∈F(U×V)，R∈F(V×W)，则
1

(
100 x z)2
1

0 zy
xz
R(z,
y)

1
(
100 z y)2

1
zy
若x>y，则z使
(R R)(x,
y) (R(x, z) R(z, y)) z

R(x, z0 )
R(z0, y)
解得
x远0 远x大 于z y
Q R (Q R )
[0,1]
[性质5]的证明： ( Q ◦ R ) = Q ◦ R
设 Q = (qij)m×s, R = (rij)s×n, Q ◦ R=P =(pij)m×n,
pij() =1 pij ≥
pij = ∨{(qikrkj) |1 ≤ k ≤ s }
∨(qik rkj) ≥

0.2 0.3
00..21,
C


0.5 0.3
00..21
( A∩B ) ◦ C


0.1 0.2
00..11


0.5 0.3
00..21 00..21
00..11

模糊分析方法及其应用ppt(第三章)

模糊分析方法及其应用ppt(第三章)
R ：相像关系.

u1 , u2 U . R(u1 , u2 ) 0.7

表示 u1与u2 的相像程度是70％
例2 设身高论域 Ｕ＝｛140,150,160,170,180｝(单位：cm) 体重论域 V＝{40,50,60,70,80} (单位：kg) 以公式体重＝身高－100为基础产生的 模糊关系见下表： （人的身高与体重之间的模糊关系）
注：（1）交换律不成立. 即一般
A B B A
（2）只有A的列数＝B的行数时，
A B 才有意义.
运算性质：
( （1）结合律：A B) C A ( B C )
（2）分配律： A ( B C ) ( A B) ( A C )
( B C ) A ( B A) (C A)
是F对称矩阵.
定义3.11设 A nn 则称A为模糊传递矩阵. 例如：
0.1 0.2 0.3 A 0 0.1 0.2 0 0 0.1
若 A A
2
0.1 0.1 0.2 2 则 A A A 0 0.1 0.1 A 0 0 0.1
aij aij
显然，F矩阵A的λ-截矩阵为Boole矩阵.
0 0.1 0.8 0 例3 设 A 0 0.8 0 0 0.1 0.8 1 0.6
,求A0.7 , A0.5
解：
0 0 0 1 A0.7 0 1 0 0 , 0 1 1 0 0 0 0 1 A0.5 0 1 0 0 0 1 1 1
λ-截矩阵的性质：
(1)
A B A B
(2) ( A B ) A B (3) ( A B ) A B (4) ( A ) ( A )
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A∪Ac U， A∩Ac .
模糊集不再具有“非此即彼”的特点，
这正是模糊性带来的本. 质特征.
12
例：设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)， 在U上定义两个模糊集： A =“商品质量好”， B =“商品质量坏”，并设
A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).
言，需要选取不同的置信水平 (0 1) 来确
定其隶属关系。截集就是将模糊集转化为普
通集的方法。模糊集A 是一个具有游移边界的
集合，它随值的变小而增大，即当1 <2时，
有A1∩A2。
.
14
模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属 度不小于的成员构成.
例：论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(学生集)， 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学 习成绩好的学生”的隶属度分别为 0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则
并：A∪B的隶属函数为
(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；
交：A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；
余：Ac的隶属函数为
Ac (x) =. 1- A(x).
10
模糊集的并、交、余运算性质
幂等律：A∪A = A， A∩A = A；
交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A；
结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，
射，而对于模糊子集的运算，实际上可以转换称为对隶属函数的运算：
AAx 0，AU Ax 1 ABAxB x，ABAx B x AA x 1Ax
ABCC x maxAx, B x ABDDx minAx, B x
.
9
也可以表示
为： 相等：A = B A(x) = B(x)；
包含：AB A(x)≤B(x)；
.
7
也可用Zadeh表示法：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A
x1 x2 x3 x4 x5 x6
A 0.1 50.20.4 20.60.80.9 x1 x2 x3 x4 x5 x6
上式表示一个有n个元素的模糊子集。
“+”叫做查德记号，不是求和。
.
8
模糊集的运 算
根据定义，我们知道所谓模糊集合，实质上是论域U到 0,1 上的一个映
(A∩B)c = Ac∪Bc；
对偶律的证明：对于任意的 xU (论域)，
(A∪B)c(x) = 1 - (A∪B)(x) = 1 - (A(x)∨B(x))
= (1 - A(x))∧(1 - B(x)) = Ac(x)∧Bc(x)
= Ac∩Bc (x)
模糊集的运算性质基本上与经典集合一 致，除了排中律以外，即
.
2
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合， 要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。 这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处 理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。 模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965 年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出 来的，近10多年来发展很快。
(A∩B)∩C = A∩(B∩C) ；
吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A；
分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)；
(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)；
0-1律： A∪U = U，A∩U = A；
A∪ = A，A∩ = ；
还原律：
(Ac)c
=
A
； .
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对偶律：(A∪B)c = Ac∩Bc，
B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏” Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).
Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见Ac B, Bc A.
又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U,
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域 的应用十分广泛。
.
3
2、模糊集的概念
对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么
xA，要么xA，二者必居其一。这一特征可用一个 函数表示为：
1 A(x) 0
xA xA
A(x)即为集合A的特征函数。将特征函数推广到模 糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为 [0, 1]区间。
A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
.
13
3、截集
定义2 若A为X上的任一模糊集，对任意0 1，记A=｛x｜xX, A(x)｝,称A为A的 截集。
(A) = A= {x | A(x) ≥ }
A是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的 边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数学语
.
6
例：设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么 U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x) 可定义为
A(x) x140 190140
A(x) x100 200100
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查 德 1965年 给 出 的 定 义 ：
定 义 ： 从 论 域 U到 闭 区 间 0,1的 任 意 一 个 映 射 ： A:U 0,1， 对 任 意 u U， u A Au， Au0,1， 那 A 么叫 做 U的 一 个 模 糊
子 集 ， Au叫 做 u的 隶 属 函 数 ， 也 记 做 Au。
.

简单地可表达为： 设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1]
确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属 函数，它表示x对A的隶属程度.
使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊 性.
当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子 集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是 模糊子集的特殊情形.
一、模糊集及模糊关系
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1
1、模糊问题的提出
在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义 不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊 性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明 性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或 适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、 不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为 “较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就 属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数 据，便产生了模糊集合论。