模糊聚类分析ppt课件
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第4章模糊聚类分析
1] R是普通对称关系. 定理2 R对称 [0，，
证明： 设R对称，且( x, y) R , 则R( x, y)
故R( y, x) R( x, y)
R是普通对称关系.
( y, x) R
任取x, y X , 反之，若 ［0， 1］，R 对称，
R( x, x) 1，
则称R为模糊自反关系.
X有限时，R (rij )nn , rii R( xi , xi ) 1
实际应用中，可根据主对角线元素是否为1来 判定R是否满足自反关系。
自反 [0，， 1] R是普通自反关系. 定理1 R
证明：R 自反 x X , R( x, x) 1 ( [0， 1])
令 R( x, y) 则( x, y) R , 从而( y, x) R ,
于是R( y, x) R( x, y),
类似得R( x, y) R( y, x)
故R( x, y) R( y, x).
3. 模糊传递关系(fuzzy transitive relations) 定义3
rij 1 c dij ,
c 的选取只需保证0 rij 1即可，例如可选 c= 1 dmax .
（2）绝对值指数法
rij e
| xik x jk |
k 1
m
（3）绝对值倒数法
i j; 1, M rij m , i j. | x x | ik jk k 1
其中M 选取适当的正数，使得0 rij 1.
（4）绝对值减数法
rij 1 c | xik x jk |
k 1
m
其中c适当选取，使得rij 在[0， 1]内分散开.
模糊聚类的分析
模糊聚类的分析模糊聚类分析是一种在统计分析领域中的方法。
它的主要思想是将客观数据更好地分类和分析。
模糊聚类是一种简单的数据挖掘技术，它可以从客观数据中挖掘出有价值的信息，以帮助我们分析和探索数据。
模糊聚类分析的本质是根据相似度度量算法来确定数据点之间的相似性，并将它们聚类为一个或多个类别。
它可以用于更好地加深对数据挖掘结果的理解，分析和发现数据中的结构和关系。
模糊聚类的优点1、可以更好地发现数据挖掘的结果和有价值的信息。
2、可以用于分析和发现客观数据中的结构和关系。
3、可以很好地分析大数据集。
4、可以使数据分类更有效率。
模糊聚类的应用1、金融领域：模糊聚类可用于金融分析，如风险识别、客户分析、金融监管等，可以显著提高对金融市场的了解，并帮助金融市场制定更有效的策略。
2、医学领域：模糊聚类可以更好地理解大量的临床资料，并为医生提供更有效的诊断建议。
它还可以应用于医疗和病理图像分析，以有效管理和指导患者的治疗过程。
3、气象领域：模糊聚类可以有效地识别气象 sensor卫星数据中的关键结构和特征，并用于气象研究和气象预报中。
4、人工智能：模糊聚类可以作为机器学习算法的基础，用于建模不同环境和情景。
它还可以用于自然语言处理，提供更有意义的信息，例如情感分析。
模糊聚类的局限性1、模糊聚类的结果很大程度上取决于人为干预，且模糊聚类的结果可能会受到相似度测量的影响，这可能会导致结果的不稳定性。
2、除此之外，由于模糊聚类是基于数据预处理后的假设来实施的，所以对数据预处理的要求较高，对数据准备质量和格式有较高的要求，这也是模糊聚类的一大局限性。
模糊聚类的发展前景模糊聚类分析技术在各个领域的应用及其发展前景均越来越广泛。
模糊聚类技术在人工智能、机器学习、大数据和自动化领域等方面都有广泛的应用，而且随着 AI 、Bigdata术的发展，模糊聚类在预测建模、数据挖掘和自然语言处理等方面也都有了重要的应用。
此外，模糊聚类技术还可以应用于声学识别、计算机视觉和实时处理等领域，进一步拓展模糊聚类技术的应用前景。
(第五讲)模糊理论PPT课件
2021/3/12
6
模糊集与隶属函数（3）
例2.8 论域U={高山，刘水，秦声}，用模糊集A表 示“学习好”这个概念。
解：先给出三人的平均成绩：
高山：98分，刘水：90分，秦声：86分 上述成绩除以100后，就分别得到了各自对“学
习好”的隶属度：
μA(高山)=0.98,μA(刘水)=0.90 ,μA(秦声)=0.86 则模糊集A为：
则A：B A(u) B (u) / u
uU
1/u
[1 (u 25)2]1 / u
[1 ( 5 )2]1 / u
0u25
25uu
5
uu100
u 50
A B A(u) B (u) / u uU
[1 ( 5 )2]1 / u
[1 (u 25)2]1 / u
50uu
u 50
]1
当50 u 100
9
模糊集的表示方法（3）
• 无论论域U有限还是无限，离散还是连续， 扎德用如下记号作为模糊集A的一般表示 形式:
A A(u)/u uU
• U上的全体模糊集，记为：
F(U)={A|μA:U→[0,1]}
2021/3/12
10
模糊集的运算（1）
模糊集上的运算主要有：包含、交、并、补等等。
uu100
5
A 1/u
1[1 ( 5 )2]1 / u
2021/3/120u50
50u100
u 50
13
模糊集的运算（4）
其它的模糊集运算：
• 有界和算子 和有界积算子
A B:m in{1,A(u)B(u)} AB:m ax{0,A(u)B(u)1 }
• 概率和算子ˆ 与实数积算子·
模糊聚类分析ppt课件
k 1
1 2
m k 1
(
xik
x jk )
m
( xik x jk )
rij
k 1 m
xik .x jk
k 1
5. 求模糊等价矩阵
用上述方法建立起来的模糊矩阵 R ，一般说来只 满足自反性和对称性，不一定满足传递性，即 R 不一 定是模糊等价关系，需要将 R改造成模糊等价矩阵R，
然后再在适当的阈值上进行截取，便可得所需分类。
根据需要可同时选择不同准则分别进行聚类分析，然后 通过综合取交的方法，以做到兼顾多目标，使分类结果更科学。
3、建立数据矩阵
设论域U { x1, x2 ,, xn }为被分类对象， 每个对象又由m 个指标表示其性状：
xi { xi1, xi2 ,, xim } (i 1,2,, n) 则得到原始数据矩阵为 X ( xij )nm .
1, 2,..., m
构造下列形式的F统计量，
r
i
2
ni x x /(r 1)
F i1 r ni
xij
i
x
2
/(n r)
i1 jn1
x x 其中， 为 i x x
m
i
(xk
xk )2
i
与
的距离， xij x i
i 为第
k 1
类中样本
xij 与
i
x 的距离。
F 统计量分子表征类与类之间的距离， 分母表示类内样本间距离，因此 F 值越大，说
改造的方法是将 R 自乘得 R R R2，再自 乘 R2 R2 R4 ，如此继续下去，得 R8 , R16 ……，至某 一步出现 R2k Rk 为止。则 Rk便是一个模糊等价关系。 这个方法是由所谓“传递闭包”理论而来，我们在此 拿来直接应用，不再作详细介绍。
模糊聚类的分析
模糊聚类的分析
模糊聚类是一种聚类分析的算法，它采用模糊的方法将数据点归类到不同的类别中，以减少聚类的误差。
模糊聚类是机器学习领域的一种流行的算法，它利用每个数据点的模糊属性来衡量其分布在不同类别中的相似度，使得它能够更加准确的进行聚类分析。
模糊聚类的基本原理是把数据点归类到不同的类别中，每个类别都有一系列模糊属性，每个数据点在不同类别中的分布由它们在每个属性上的值来决定。
模糊聚类的最终目标是找到类别与数据点之间的最佳拟合，从而得到最佳聚类结果。
模糊聚类的实现是通过计算每个数据点与每个类别的模糊相似
度来完成的，模糊相似度是基于数据点和每个类别的模糊属性，通过计算每个数据点与每个类别的模糊相似度，可以找到一个最佳的类别，把每个数据点归入该类别，这样就可以得到最优聚类结果。
模糊聚类方法可以用来解决多维数据集聚类分析的问题，它能够更准确的表示多维数据的特征，这使得它能够更准确的对数据进行聚类分析。
此外，模糊聚类方法还能够处理非均匀分布的数据，它能够有效的处理因类别数量和混乱的环境而难以聚类的数据。
模糊聚类的缺点主要在于它的计算速度较慢，因为它需要计算每个数据点与每个类别的模糊相似度，而这需要大量的计算，模糊聚类也无法用于对超大型数据集进行聚类分析，因为它的计算效率较低。
因此，模糊聚类是一种聚类分析算法，它利用模糊性来更准确的表示数据的特征，能够有效的处理多维和复杂的数据。
但是它的计算
效率较低，也不能用于对超大型数据集进行聚类分析，因此，在使用模糊聚类进行聚类分析时，需要考虑其效率和应用限制。
模糊聚类分析
模糊聚类分析定义：根据具体的标准和性质对事物进行分类的方法称为聚类分析 根据模糊标准对事物进行分类的方法称为模糊聚类分析基本思想：根据分类对象之间的模糊相似程度来衡量相互的异同程度，进而实现模糊分类。
传统聚类分析VS 模糊聚类分析1. 传统聚类分析： 设有n 个对象12,,...nx x x，每个对象有m 种特性12,,...my y y。
1>首先对每个对象的特性进行数量化：用ijz代表第i 个对象的第j 个性质的数值。
则对象ix 的性质形成的一个向量()12,,...i i im z zz2>考察对象之间相近的程度：引入“欧式距离”和“夹角余弦”。
1欧式距离：设对象()()1212,,...,,,....i i im j j jm ijy x z zz z zz ==则欧式距离为：ijyx -=这与我们所熟知的向量的欧式距离是一样的!2夹角余弦：设α是对象ix和jy之间的夹角，0180α≤≤，则夹角余弦为：(),cos ijijy x yx α=其中：()11,...i j im jm ijy x z zz z =++ix=iy=有了这些基础认识之后，下面我们通过一个例子来说明传统聚类分析 设有5个对象125,,...x x x，不妨设每个对象只有一个性质，数量化后分别为1，2，4.5，6，8．现使用传统聚类法进行聚类。
1 欧式距离：5个对象，共有25c个欧式距离。
计算可得121x x-=133.5x x-= 145x x-= 157x x-= 232.5x x-= 244x x -= 256x x-=341.5x x-=35 3.5x x-=452x x-=根据聚类的思想，差异最小的对象属于一类 从而1x 和2x为一类，并记为1G2 将1G 看成新的对象，其特征值为1x 和2x 的平均值1.5。
此时对象为1345,,,G x x x 。
再次计算欧式距离。
可知34,x x之间的距离最小。
第7章 模糊聚类分析
方法1. 令 rij
rij 1
2 rij m rij , 方法2. 令 rij ( i j ), 其中 m min i j M m
M max rij , 于是 rij [0,1] i j
（2）夹角余弦法
, 则 rij [0,1]
rij
x
例7.1 环境单元分类 设 U {u1 , u2 ,..., un } 为五个环境单元的集合，每个 环境单元有空气、水分、土壤、作物四个要素，环境
单元的污染状况由污染物在四个要素中含量的超限度
u1 (5,5,3,2), u2 (2,3,4,5), 来描述，若其污染数据为： u3 (5,5,2,3), u4 (1,5,3,1), u5 (2,4,5,1), 试对U进
1 0.4 R 8 0.8 0.5 0.5
0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 R 4 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
所以传递闭包 R R4 , 然后依次取的截矩阵 R , 并按 R 将U分成等价类. 若=1, 便将U分为5类, 即 {u1 },{u2 },{u3 },{u4 },{u5 }; 若=0.8, 便将U分为4类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 },{u5 }; 若=0.6, 便将U分为3类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 , u5 };
J ( A,V ) aij u j vi
（2）用逐次平方法计算R的传递闭包 t ( R) R, 因为
1 0.3 R 2 0.8 0.5 0.5 1 0.4 4 R 0.8 0.5 0.5
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
聚类分析-模糊聚类分析
1 1 A0.3 0 0
1 1 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
模糊聚类分析
模糊关系 模糊等价矩阵
模糊相似矩阵
模糊聚类分析的一般步骤
模糊关系
与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关 系是普通关系的推广.
设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称 为从 X 到 Y 的模糊关系. 模糊子集 R 的隶属函数为映射 R : X Y [0,1]. 并称隶属度R (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R 的 相关程度. 特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之 间的模糊关系.
例设U {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }, 1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi 与 yj 之间要么有关系(rij = 1),要么没有关系( rij = 0 ).
模糊关系的合成 设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系. (R1 ° R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊 矩阵的合成. 设X = {x1, x2, …, xm},Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn},且X 到Y 的模糊关系R1 = (aik)m×s ， Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)s×n ，则X 到Z 的模糊 关系可表示为模糊矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
模糊聚类分析 ppt课件
rij
xi • x j xi x j
1
xi
m
xi2k
2
,i
1,2,
,n
k1
• (3) 相关系数法
rij
m
xik xi
k1
m
(xik xi)2
k1
xjk xj
m
(xjk xj )2
k1
x i
1 m
m
x ik
k 1
x j
1 m
m
x jk
k 1
• (4) 贴近度法
• 当对象xi的特性指标向量xi=(xi1, xi2, , xim)为模 糊向量, 即xik[0, 1] (i=1,2, ,n ; k=1,2, ,m) 时, xi与xj的相似程度rij可看作模糊子集xi与xj的 贴近度。在应用中, 常见的确定方法有：最大最
X的一个分类的系列。这样, 在实际应用问题中 可以选择“某个水平”上的分类结果, 这就是模 糊聚类分析的理论基础。
• 实际问题中建立的模糊关系常常不是等价关系 而是相似关系, 这就需要将模糊相似关系改造为 模糊等价关系, 传递闭包正是这样一种工具。
• 定义 设RF(XX). 若R1F(XX)是传递的且满足： 1) RR1, 2) 若S是X上的模糊传递关系且RS, 必有R1S. 则称R1为R的传递闭包, 记为t(R). 模糊关系R的传递闭包是包含R的最小传递关系。
• 如上所述, 模糊相似矩阵R的传递闭包t(R)就是 一个模糊等价矩阵。以t(R)为基础而进行分类 的聚类方法称为模糊传递闭包法。
• 具体步骤如下: (1) 利用平方自合成方法求出模 糊相似矩阵R的传递闭包t(R); (2) 适当选取置信
水平值[0, 1], 求出t(R)的截矩阵t(R), 它是X
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0.5 0.4 0.5 1 0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4 1 0.4 0.4 0.4 R4 0.8 0.4 1 0.5 0.3
0.5 0.4 0.5 1 0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4 1 0.4 0.4 0.4 R8 0.8 0.4 1 0.5 0.3
• 第一类方法, 作为准备先讲解模糊关系传递闭包 的基本概念。
5
7.2 模糊关系的传递闭包
• 设RF(XX). 则R是模糊等价关系当且仅当对
任意[0, 1], R是等价关系。
• 论域X上的经典等价关系可以导出X的一个分类。 论域X上的一个模糊等价关系R对应一族经典等
价关系{R: [0, 1]}. 这说明模糊等价关系给出
9
• 定理 设RF(XX). 则R的传递闭包t(R)具有以下 性质:
• (1) 若IR, 则 I t(R); • (2) (t(R))1=t(R1); • (3) 若R=R1, 则(t(R))1=t(R). • 上述结论表明：自反关系的传递闭包是自反的,
对称关系的传递闭包是对称的。于是, 模糊相似 关系的传递闭包是模糊等价关系。 • 例 设|X|=5, R是X上的模糊关系, R可表示为如下 的5×5模糊矩阵。求R的传递闭包。
11
1 0.1 0.8 0.5 0.3
0.1 1 0.1 0.2 0.4
R 0.8 0.1 1 0.3 0.1 0.5 0.2 0.3 1 0.6
0.3 0.4 0.1 0.6 1
1 0.3 0.8 0.5 0.5
0.3 1 0.2 0.4 0.4 R2 0.8 0.2 1 0.5 0.3
X的一个分类的系列。这样, 在实际应用问题中 可以选择“某个水平”上的分类结果, 这就是模 糊聚类分析的理论基础。
• 实际问题中建立的模糊关系常常不是等价关系 而是相似关系, 这就需要将模糊相似关系改造为 模糊等价关系, 传递闭包正是这样一种工具。 6
• 定义 设RF(XX). 若R1F(XX)是传递的且满足： 1) RR1, 2) 若S是X上的模糊传递关系且RS, 必有R1S. 则称R1为R的传递闭包, 记为t(R). 模糊关系R的传递闭包是包含R的最小传递关系。
而是R的传递闭包, 即t(R)=∪n=1Rn. • 在论域有限的情况下, 传递闭包的计算更简捷: • 定理 设|X|=n, RF(XX). 则 t(R)=∪k=1nRk.
• 计算有限论域上自反模糊关系R的传递闭包的 方法：从R出发, 反复自乘, 依次计算出R2, R4, …, 当第一次出现Rk Rk=Rk时得t(R)=Rk.
• 定理 设RF(XX). 则 t(R)=∪n=1Rn.
7
证明：
(∪n=1Rn) (∪m=1Rm) =∪n=1 [Rn (∪m=1Rm)] =∪n=1 [∪m=1 (Rn Rm)] =∪k=2 (∪n+m=k Rn+m) =∪k=2Rk ∪k=1Rk. 这说明∪n=1Rn是传递的。又, 显然R∪n=1Rn.即
第七讲 模糊聚类分析
1
7.1 聚类分析的基本概念
• “聚类”就是按照一定的要求和规律对事物进行 区分和分类的过程, 在这一过程中没有任何关于 分类的先验知识, 仅靠事物间的相似性作为类属 划分的准则, 属于无监督分类的范畴。
• “聚类分析”是指用数学的方法研究和处理给 定对象的分类。
2
• 聚类分析是多元统计分析的一种, 它把一个没有 类别标记的样本集按某种准则划分成若干个子 集(类), 使相似的样本尽可能归为一类, 而不相 似的样本尽量划分到不同的类中。
• 模糊聚类已经在诸多领域获得了广泛的应用, 如 模式识别、图像处理、信道均衡、矢量量化编 码、神经网络的训练、参数估计、医学诊断、 天气预报、食品分类、水质分析等。
4
• 常用的模糊聚类分析方法大致可分为两大类： 其一是基于模糊关系(矩阵)的聚类分析方法, 而 作为其中核心步骤的模糊分类,有下述的主要方 法：模糊传递闭包法、直接聚类法、最大树法 和编网法; 其二是基于目标函数的聚类分析方法, 称 为 模 糊 C 均 值 (FCM) 聚 类 算 法 ( 或 称 为 模 糊 ISODATA聚类分析法)。
• 传统的聚类分析是一种硬划分, 它把每个待辨识 的对象严格地划分到某类中, 具有非此即彼的性 质, 因此这种类别划分的界限是分明的。而实际 上大多数对象并没有严格的属性, 它们在性态和 类属方面存在着中介性, 具有亦此亦彼的性质, 因此适合进行软划分。
3
• 模糊集理论的提出为软划分提供了有力的分析 工具, 用模糊数学的方法来处理聚类问题, 被称 之为模糊聚类分析。由于模糊聚类得到了样本 属于各个类别的不确定性程度, 表达了样本类属 的中介性, 更能客观地反映现实世界, 从而成为 聚类分析研究的主流。
10
1 0.1 0.8 0.5 0.3 0.1 1 0.1 0.2 0.4 R 0.8 0.1 1 0.3 0.1 0.5 0.2 0.3 1 0.6 0.3 0.4 0.1 0.6 1
• 解 容易看出R是自反的对称模糊关系 (即模糊相 似关系)。依次计算R2, R4, R8知: R8=R4 R4=R4 (参 见下页计算结果), 所以R的传递闭包 t(R)=R4.
∪n=1Rn是包含R的模糊传递关系。
• 若有X上的模糊传递关系S满足RS, 下证
∪n=1Rn S
(即证明∪n=1Rn “最小”)
由RS得 R2S2S, R3= R R2 R S S2S, …
8
一般地, RnS, nN. 于是∪n=1Rn S. • 综上所述,∪n=1Rn是包含R的最小传递关系, 因
0.5 0.4 0.5 1 0.60.ຫໍສະໝຸດ 0.4 0.3 0.6 112
7.3 基于模糊关系的聚类分析
• 基于模糊关系的聚类分析的一般步骤: (1) 数据
规格化; (2) 构造模糊相似矩阵; (3) 模糊分类。
• 上述第三步又有不同的算法, 以下先介绍利用模
糊传递闭包进行模糊分类的方法。
• 设被分类对象的集合为X={x1, x2, , xn}, 每一 个对象xi有m个特性指标 (反映对象特征的主要 指标), 即xi可由如下m维特性指标向量来表示:
0.5 0.4 0.3 0.6 1
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4 1 0.4 0.4 0.4 R4 0.8 0.4 1 0.5 0.3
0.5 0.4 0.5 1 0.6
0.5 0.4 0.3 0.6 1
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4 1 0.4 0.4 0.4 R8 0.8 0.4 1 0.5 0.3
• 第一类方法, 作为准备先讲解模糊关系传递闭包 的基本概念。
5
7.2 模糊关系的传递闭包
• 设RF(XX). 则R是模糊等价关系当且仅当对
任意[0, 1], R是等价关系。
• 论域X上的经典等价关系可以导出X的一个分类。 论域X上的一个模糊等价关系R对应一族经典等
价关系{R: [0, 1]}. 这说明模糊等价关系给出
9
• 定理 设RF(XX). 则R的传递闭包t(R)具有以下 性质:
• (1) 若IR, 则 I t(R); • (2) (t(R))1=t(R1); • (3) 若R=R1, 则(t(R))1=t(R). • 上述结论表明：自反关系的传递闭包是自反的,
对称关系的传递闭包是对称的。于是, 模糊相似 关系的传递闭包是模糊等价关系。 • 例 设|X|=5, R是X上的模糊关系, R可表示为如下 的5×5模糊矩阵。求R的传递闭包。
11
1 0.1 0.8 0.5 0.3
0.1 1 0.1 0.2 0.4
R 0.8 0.1 1 0.3 0.1 0.5 0.2 0.3 1 0.6
0.3 0.4 0.1 0.6 1
1 0.3 0.8 0.5 0.5
0.3 1 0.2 0.4 0.4 R2 0.8 0.2 1 0.5 0.3
X的一个分类的系列。这样, 在实际应用问题中 可以选择“某个水平”上的分类结果, 这就是模 糊聚类分析的理论基础。
• 实际问题中建立的模糊关系常常不是等价关系 而是相似关系, 这就需要将模糊相似关系改造为 模糊等价关系, 传递闭包正是这样一种工具。 6
• 定义 设RF(XX). 若R1F(XX)是传递的且满足： 1) RR1, 2) 若S是X上的模糊传递关系且RS, 必有R1S. 则称R1为R的传递闭包, 记为t(R). 模糊关系R的传递闭包是包含R的最小传递关系。
而是R的传递闭包, 即t(R)=∪n=1Rn. • 在论域有限的情况下, 传递闭包的计算更简捷: • 定理 设|X|=n, RF(XX). 则 t(R)=∪k=1nRk.
• 计算有限论域上自反模糊关系R的传递闭包的 方法：从R出发, 反复自乘, 依次计算出R2, R4, …, 当第一次出现Rk Rk=Rk时得t(R)=Rk.
• 定理 设RF(XX). 则 t(R)=∪n=1Rn.
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证明：
(∪n=1Rn) (∪m=1Rm) =∪n=1 [Rn (∪m=1Rm)] =∪n=1 [∪m=1 (Rn Rm)] =∪k=2 (∪n+m=k Rn+m) =∪k=2Rk ∪k=1Rk. 这说明∪n=1Rn是传递的。又, 显然R∪n=1Rn.即
第七讲 模糊聚类分析
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7.1 聚类分析的基本概念
• “聚类”就是按照一定的要求和规律对事物进行 区分和分类的过程, 在这一过程中没有任何关于 分类的先验知识, 仅靠事物间的相似性作为类属 划分的准则, 属于无监督分类的范畴。
• “聚类分析”是指用数学的方法研究和处理给 定对象的分类。
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• 聚类分析是多元统计分析的一种, 它把一个没有 类别标记的样本集按某种准则划分成若干个子 集(类), 使相似的样本尽可能归为一类, 而不相 似的样本尽量划分到不同的类中。
• 模糊聚类已经在诸多领域获得了广泛的应用, 如 模式识别、图像处理、信道均衡、矢量量化编 码、神经网络的训练、参数估计、医学诊断、 天气预报、食品分类、水质分析等。
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• 常用的模糊聚类分析方法大致可分为两大类： 其一是基于模糊关系(矩阵)的聚类分析方法, 而 作为其中核心步骤的模糊分类,有下述的主要方 法：模糊传递闭包法、直接聚类法、最大树法 和编网法; 其二是基于目标函数的聚类分析方法, 称 为 模 糊 C 均 值 (FCM) 聚 类 算 法 ( 或 称 为 模 糊 ISODATA聚类分析法)。
• 传统的聚类分析是一种硬划分, 它把每个待辨识 的对象严格地划分到某类中, 具有非此即彼的性 质, 因此这种类别划分的界限是分明的。而实际 上大多数对象并没有严格的属性, 它们在性态和 类属方面存在着中介性, 具有亦此亦彼的性质, 因此适合进行软划分。
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• 模糊集理论的提出为软划分提供了有力的分析 工具, 用模糊数学的方法来处理聚类问题, 被称 之为模糊聚类分析。由于模糊聚类得到了样本 属于各个类别的不确定性程度, 表达了样本类属 的中介性, 更能客观地反映现实世界, 从而成为 聚类分析研究的主流。
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1 0.1 0.8 0.5 0.3 0.1 1 0.1 0.2 0.4 R 0.8 0.1 1 0.3 0.1 0.5 0.2 0.3 1 0.6 0.3 0.4 0.1 0.6 1
• 解 容易看出R是自反的对称模糊关系 (即模糊相 似关系)。依次计算R2, R4, R8知: R8=R4 R4=R4 (参 见下页计算结果), 所以R的传递闭包 t(R)=R4.
∪n=1Rn是包含R的模糊传递关系。
• 若有X上的模糊传递关系S满足RS, 下证
∪n=1Rn S
(即证明∪n=1Rn “最小”)
由RS得 R2S2S, R3= R R2 R S S2S, …
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一般地, RnS, nN. 于是∪n=1Rn S. • 综上所述,∪n=1Rn是包含R的最小传递关系, 因
0.5 0.4 0.5 1 0.60.ຫໍສະໝຸດ 0.4 0.3 0.6 112
7.3 基于模糊关系的聚类分析
• 基于模糊关系的聚类分析的一般步骤: (1) 数据
规格化; (2) 构造模糊相似矩阵; (3) 模糊分类。
• 上述第三步又有不同的算法, 以下先介绍利用模
糊传递闭包进行模糊分类的方法。
• 设被分类对象的集合为X={x1, x2, , xn}, 每一 个对象xi有m个特性指标 (反映对象特征的主要 指标), 即xi可由如下m维特性指标向量来表示: