辽宁省朝阳市2019-2020学年高一下期末学业水平测试数学试题含解析

2019-2020学年辽宁省多校联盟高一下学期数学期末试题一、单选题1．若复数z 满足32z i i ⋅=-，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．3 B ．-3C ．3iD ．3i -【答案】A【解析】求出复数z ，即得z 的共轭复数z ，即得答案. 【详解】 ∵32z i i ⋅=-，∴()()()2232323223i i i i i z i i i i i -⋅---+====--⋅--， ∴23z i =-+，∴z 的共轭复数的虚部为3. 故选：A . 【点睛】本题考查复数的除法和共轭复数，属于基础题. 2．已知1sin 4α=，sin 20α<，则tan α=（ ）A ．BC ．D ．【答案】D【解析】利用二倍角公式和平方关系，可求cos α的值，进而求解tan α的值. 【详解】 解：∵1sin 04α=>，sin 22sin cos 0ααα=<，∴cos 0α<，可得cos 4α===-，∴sin tan cos 15ααα==-. 故选：D . 【点睛】本题考查二倍角公式和同角三角函数的关系，属于容易题.3．已知向量3a =，()3,4b =-，且,4a b π<>=，则a 在b 上的投影的数量为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．【答案】C【解析】第一个向量在第二个向量上的投影，等于两向量的数量积除以第二个向量的模，由题意代入数据即可计算得解. 【详解】解：∵向量3a =，()3,4b =-，且,4a b π<>=，∴5b =，可得cos ,3522a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯=，∴a 在b 上的投影的数量为152252a b b⋅==故选：C . 【点睛】本题考查向量的投影，掌握数量积的定义是解题关键． 4．下列函数中，周期为2π的偶函数是（ ） A ．tan y x = B ．2cos 2y x = C ．2tan 1tan xy x=- D ．sin 2cos 2y x x =-【答案】B【解析】由题意利用三角函数的周期性和奇偶性，从而得出结论. 【详解】解：∵函数tan y x =的周期，即tan y x =的周期，为π，故排除A ；函数21cos 4cos 22x y x +==的周期为242ππ=，且函数为偶函数，故B 满足条件； 函数2tan 1tan 21tan 2x y x x ==⋅-，它的周期为2π，但该函数为奇函数，故C 不满足条件；函数sin 2y x =的周期为22ππ=，故D 不满足条件， 故选：B . 【点睛】本题考查三角函数的奇偶性与周期性，求周期一般要把三角函数化为一个角的三角函数形式且为一次的． 5．函数()1sin cos 653f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．45-B ．65-C ．15-D ．-1【答案】A【解析】寻找两个角的关系，利用三角函数的诱导公式进行转化，结合三角函数的有界性进行求解即可. 【详解】 解：∵362x x πππ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，∴362x x πππ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭， 则()11sin cos sin cos sin 65365626f x x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14sin sin 5656x x ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当sin 16x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，()f x 有最小值45- 故选：A . 【点睛】本题考查求三角函数的最值，解题方法是利用诱导公式化简函数为一个角的一个三角函数，然后结合正弦函数性质得最小值．6．若虚数12i -是关于x 的方程20x ax b +=-(a ，R b ∈)的一个根，则a bi +=（ ）A ．29BCD ．3【答案】B【解析】先把12i -代入方程，然后根据复数相等的条件可求a ，b ，再根据模长公式即可求解. 【详解】解：由题意可得，()()212120i a i b --+=-， 所以()3240b a a i --+-=， 故2a =，5b =，则25a bi i +=+=. 故选：B .本题考查实系数方程的复数根，考查复数的模，解决实系数方程的复数根的方法是复数根代入方程利用复数相等的定义求解．7．m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为互不相同的平面，下列说法错误的是（ ） A ．若//m n ，则经过m ，n 的平面存在且唯一 B ．若//αβ，m αγ=，n βγ=，则//m nC ．若αγ⊥，βγ⊥，m αβ=，则m γ⊥D ．若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ 【答案】D【解析】对于A ，由公理三及其推论得经过m ，n 的平面存在且唯一；对于B ，由面面平行的性质定理得//m n ；对于C ，由线面垂直的判定定理得m γ⊥；对于D ，α与β相交或平行. 【详解】解：由m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为互不相同的平面，知：对于A ，若//m n ，则由公理三及其推论得经过m ，n 的平面存在且唯一，故A 正确； 对于B ，若//αβ，m αγ=，n βγ=，则由面面平行的性质定理得//m n ，故B 正确；对于C ，若αγ⊥，βγ⊥，m αβ=，则由线面垂直的判定定理得m γ⊥，故C 正确；对于D ，若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则α与β相交或平行，故D 错误. 故选：D . 【点睛】本题考查空间直线、平面间的位置关系贩判断，考查平面的基本性质，旨在考查学生空间想象能力，逻辑推理能力．8．ABC 中，1CA =，2CB =，120ACB ∠=︒，以边AC 所在直线为轴将ABC 旋转一周后，形成的几何体的表面积为（ ）A ．πB ．π C ．)32πD ．)3π【解析】以边AC 所在直线为轴将ABC 旋转一周后，形成的几何体是圆锥ABOD 挖去圆锥CBOD 后剩余的几何体，推导出7AB =，23BD =，由此能求出形成的几何体的表面积. 【详解】解：如图，以边AC 所在直线为轴将ABC 旋转一周后， 形成的几何体是圆锥ABOD 挖去圆锥CBOD 后剩余的几何体， ∵ABC 中，1CA =，2CB =，120ACB ∠=︒， ∴14212cos1207AB =+-⨯⨯⨯︒=，44222cos12023BD =+-⨯⨯⨯︒=，∴以边AC 所在直线为轴将ABC 旋转一周后，形成的几何体的表面积为：()37322123S πππ=⨯⨯+⨯⨯=+故选：B .【点睛】本题考查求旋转体表面积，解题关键是掌握圆锥，圆柱等旋转体的结构．得出组合体是由怎样的基本几何体组合而成．9．已知向量()1,cos2a x =，(sin 23b x =，将函数()f x a b =⋅的图象沿x 轴向左平移ϕ()0ϕ>个单位后，得到的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．512π D ．3π 【答案】D【解析】根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，向左平移ϕ个单位，得到2sin 223y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，从而有23k πϕπ+=，k Z ∈，再结合0ϕ>，即可得解.【详解】()sin 222sin 23f x a b x x x π=⋅⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位，得到()2sin 22sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，该函数的图象关于原点对称，∴该函数是奇函数，23k πϕπ∴+=，k Z ∈，62k ππϕ∴=-+，k Z ∈， 又0ϕ>，min 3πϕ∴=.故选：D . 【点睛】本题考查数量积的坐标运算、辅助角公式和三角函数的图象变换，属于中档题. 10．在ABC 中，D 为边BC 的中点，AD ＝3，BC ＝4，G 为ABC 的重心，则GB GC ⋅的值为（ ） A ．﹣12 B ．﹣15 C ．﹣3D ．154-【答案】C【解析】利用向量加法、减法和数量积运算，求得GB GC ⋅ 【详解】如图，连接AD ，由于D 是线段BC 的中点，所以重心G 在AD 上，且2AGGD=，所以1GD =，122BD CD BC ===.所以GB GC ⋅()()()()22GD DB GD DC GD DB GD DB GD DB =+⋅+=+⋅-=-22123=-=-.故选：C【点睛】本小题主要考查向量加法、减法和数量积运算，属于基础题.二、多选题11．正四棱锥P ABCD-中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°，下列结论正确的是（）A．直线PA与BC、PA与CD所成的角相等B6C．该四凌锥的体积为43D．该四凌锥的外接球的表面为25 3π【答案】AD【解析】对于A，根据异面成角的概念，直线PA与BC、PA与CD所成的角分别为PAD∠，PAB∠，再根据正四棱锥的特点，即可判断选项A是否正确；对于B，由题意可证PO⊥平面ABCD，则PAO∠是侧棱与底面所成角，在Rt PAO即可求出侧棱与底面所成角的正切值，即可判断选项B是否正确；对于C，利用体积公式即可求出该四棱锥的体积，进而判断选项C是否正确；对于D，利用球心和顶点连线，构造直角三角形，利用勾股定理求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积，即可判断选项D是否正确.【详解】连结AC，BD，交于点O，连结PO，取AD中点E，连结OE、PE，如下图所示：对于A ，因为//BC AD ，所以直线PA 与BC 所成角为PAD ∠， 因为//CD AB ，所以PA 与CD 所成的角为PAB ∠， ∵PA PB PD ==，AB AD =，∴PAD PAB ∠=∠， ∴直线PA 与BC 、PA 与CD 所成的角相等，故A 正确； 对于B ，∵PO ⊥平面ABCD ，∴PAO ∠是侧棱与底面所成角，∵A 正四棱锥P ABCD -中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°， ∴221122222AO AC ==+=，60PEO ∠=︒，1OE =，2PE =，22213PO =-=，∴侧棱与底面所成角的正切值为36tan 22PAO ∠==，故B 错误； 对于C ，该四棱锥的体积为1143223=333ABCD V S PO =⨯⨯=⨯⨯⨯正方形，故C 错误； 对于D ，由题意可知正四凌锥P ABCD -中外接球的球心在PO 上， 设外接球的球心为M ，连接MC ，设该四棱锥的外接球半径为R ， 在Rt MOC 中，,3,2MC R OM R OC ===,由勾股定理，可得)222R R=+，解得R =，∴该四棱锥的外接球的表面积为22543S R ππ==，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了考查空间中异面直线成角、线面角、锥体的体积以及锥体的外接球等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 【答案】ABD【解析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确； 对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．三、填空题13．已知点()1,2P 为角α的终边上一点，则tan2α=______. 【答案】43-【解析】根据点()1,2P 为角α的终边上一点，可得tan α，再根据二倍角的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为点()1,2P 为角α的终边上一点，则2tan 21α==， ∴22tan 4tan 21tan 3ααα==--.故答案为：43-.【点睛】本题主要考查了任意角三角函数值的求法和二倍角的正切公式的应用，属于基础题. 14．边长为2的正方形ABCD 中，P 为对角线上一动点，则AP AC ⋅=______.【答案】4【解析】根据平面向量基本定理可知，由于B ､P ､D 三点共线，则存在λ，使得()1AP AB AD λλ=+-，故()1AP AC AB AC AD AC λλ⋅=⋅+-⋅，再结合平面向量数量积的运算即可得解. 【详解】解：∵B ､P ､D 三点共线，∴存在λ，使得()1AP AB AD λλ=+-，∴()()11AP AC AB AD AC AB AC AD AC λλλλ⎡⎤⋅=+-⋅=⋅+-⋅⎣⎦()222cos451222cos454λλ=⋅⨯︒+-⋅⨯︒=.故答案为：4. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，考查平面向量数量积的计算，属于基础题15．复数1z ，2z 满足13=z ，22z =，127z z -=，则12z z +=______. 【答案】19【解析】将127z z -=平方可求得12z z ，即可求出212z z +，开方即可. 【详解】因为13=z ，22z =，127z z -=，所以22112227z z z z -+=，即1226z z =，则221212221964192z z z z z z =+++=++=，则2119z z -=. 故答案为：19. 【点睛】本题考查复数模的计算，属于基础题.四、双空题16．已知正四面体ABCD 的棱长为12，其外接球半径R =______；若其内切球的球心为O ，则内切球O 与三棱锥O BCD -的公共部分的体积为______. 【答案】36 26π【解析】由题意画出图形，求解三角形可得正四面体外接球的半径；由对称性可知正四面体外接球与内切球球心相同，求出内切球的半径，得到内切球的体积，由内切球O 与三棱锥O BCD -的公共部分的体积等于内切球体积的四分之一求解. 【详解】 解：如图，设底面三角形外心为F ，连接CF 并延长，交BD 于E ， ∵12BC CD BD ===，∴2212663CE =-=∴23CF =⨯=AF ==设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则(()222R R =+，解得R =由正四面体的对称性，可得正四面体外接球的球心与内切球的球心重合.则内切球的半径r ==正四面体的体积为11121232⨯⨯⨯=343π⨯=.则正四面体内，内切球外的几何体的体积为， ∴内切球O 与三棱锥O BCD -的公共部分的体积为()14V ⎡⎤=⎣⎦=.故答案为：. 【点睛】此题考查正四面体内切球和外接球问题，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题五、解答题17．已知函数()2sin cos f x x x x ωωω=⋅()0ω>的周期为π.（1）求ω的值；（2）求()f x 的单调增区间.【答案】（1）1ω=；（2）单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【解析】（1）先化简解析式为()sin 232f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由周期公式求ω的值，（2）由（1）可得函数解析式为()sin 232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解之即可得出函数的单调增区间.【详解】解：（1）∵()2sin cos f x x x x ωωω=⋅)1sin 21cos 222x x ωω=++sin 23x πω⎛⎫=++⎪⎝⎭ ∵周期为π，∴22ππω=，又0>ω，解得1ω=； （2）由（1）可得：()sin 232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得：51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 即函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决三角函数性质问题，属于基础题.18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()3cos cos b c A a C -=. （1）求cos A ； （2）若a =ABC 的面积S 的最大值.【答案】（1）13；（2【解析】（1）利用余弦定理将条件转化为变得关系即可求出A 的余弦值. （2）由余弦定理得到22233b c bc =++，结合基本不等式得到bc 的范围，进而可得面积的最大值. 【详解】解：（1）由余弦定理可得()222222322b c a a b c b c a bc ab+-+--⋅=⋅， 整理得22223b c a bc +-=， 则222213cos 223bcb c a A bc bc +-===； （2）由余弦定理2222231cos 223b c a b c A bc bc +-+-===，即22233b c bc =++，因为222323bc b c bc +=+≥，所以94bc ≤，当且仅当b c =时取“=” 因为1cos 3A =，则22sin A =则119223sin 22244S bc A =≤⨯⨯=. 【点睛】本题考查余弦定理，考查三角形面积，考查用基本不等式求最值，掌握余弦定理是解题关键．19．如图，AB 为半圆的直径，C 为半圆上一点(不与A ，B 重合)，PA ⊥平面ABC ，//QB PA ，且2PA QB =.（1）求证：平面PAC ⊥平面QBC ；（2）试问线段AC 上是否存在一点D ，使得//BD 平面CPQ ，若存在，指出D 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，D 为AC 的中点，证明见解析.【解析】（1）由直径所对的圆周角为直角，以及线面垂直的性质和判定，推得BC ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）线段AC 上存在一点D ，且D 为AC 的中点，使得//BD 平面CPQ ，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证. 【详解】（1）证明：由AB 为半圆的直径，C 为半圆上一点(不与A ，B 重合)， 可得AC BC ⊥，由PA ⊥平面ABC ，可得PA BC ⊥，而PA ，AC 为相交直线，可得BC ⊥平面PAC ， 而BC ⊂平面QBC ，可得平面PAC ⊥平面QBC ；（2）线段AC 上存在一点D ，且D 为AC 的中点，使得//BD 平面CPQ . 证明：延长PQ ，与延长AB 交于H ，连接CH ， 由//QB PA ，且2PA QB =，可得B 为AH 的中点， 而D 为AC 的中点，可得//DB CH ，又H 为直线PQ 上的点，可得H 在平面CPQ 内，由BD ⊄平面CPQ ，CH ⊂平面CPQ ，可得//BD 平面CPQ .【点睛】本题考查面面垂直的判定定理、线面平行的判定定理，考查基本分析论证能力，属基础题.20．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90BAD ∠=︒，2AA CD ==1，1AB AD ==，E ，F 分别为棱1BB ，1CC 的中点.（1）在图中作出平面1A FF 与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示(不必写出作图过程)；（2）H 为棱CD 的中点，求异面直线1D H 与EF 所成角的余弦值.【答案】（1）答案见解析；（2）1010. 【解析】（1）取11C D 中点G ，连结1A G ､EG ，四边形1A EFG 是平面1A EF 与该棱柱的截面图形.（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1D H 与EF 所成角的余弦值. 【详解】（1）取11C D 中点G ，连结1A G ､EG ，则四边形1A EFG 是平面1A EF 与该棱柱的截面图形.（2）∵直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90BAD ∠=︒，12AA CD ==，1AB AD ==，E ，F 分别为棱1BB ，1CC 的中点，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2D ，()0,1,0H ，()1,1,1E ，()0,2,1F ，()10,1,2H D =-，()1,1,0EF =-， 设异面直线1D H 与EF 所成角为θ，则11cos 105D H EF D H EFθ⋅===⋅. ∴异面直线1D H 与EF 所成角的余弦值为10. 【点睛】本题考查平面的性质，考查异面直线所成角的求法，属于基础题. 21．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos2cos sin 22A A C C =-. （1）若3cos 5A =，试判断ABC 的形状； （2）求证：2b c a +=.【答案】（1）直角三角形；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得25sin 8sin 30C C -+=，解得sin 1C =，或35，分类讨论，可求三角形为直角三角形； （2）将已知等式两边同时乘以22cos2A，利用三角函数恒等变换的应用可得sin sin 2sin C B A +=，进而根据正弦定理即可证明2b c a +=.【详解】（1）∵23cos 2cos 152A A ==-，可得24cos 25A =， 则21sin25A =，∴4sin 5A =，∴cos2A =，sin 2A =，∵()sin cos2cos sin 22A AC C =-， ∴)2cos 55C C =-，可得2sin 2cos C C =-， ∴()()222sin 2cos C C =-，整理可得：25sin 8sin 30C C -+=，解得sin 1C =，或35， ∴当sin 1C =时，C 为直角，三角形为直角三角形；当3sin cos 5C A ==时，可得2A C π+=，可得B 为直角，三角形为直角三角形； 综上，三角形为直角三角形. （2）∵()sin cos 2cos sin 22A AC C =-. ∴()22sin cos22cos sin cos 222A A A C C =-， ∴()()sin 1cos 2cos sin C A C A +=-，即sin sin cos 2sin sin cos C C A A A C +=-， ∴()()sin sin cos sin cos sin sin sin sin 2sin C C A A C C A C CB A ++=++=+=， ∴由正弦定理得2b c a +=，得证. 【点睛】本题考查三角形内的三角恒等变换，考查正弦定理，属于基础题.22．如图甲，矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为AB 中点，将ADE 沿直线DE 折起成PDE △(如图乙)，连接PC ，PB .在图乙中解答：（1）当平面PDE ⊥平面BCDE 时，求三棱锥B PCE -的体积； （2）F 为PC 中点，连接BF .求证：//BF 平面PDE ，并求线段BF 的长. 【答案】（12；（2）证明见解析，5BF =【解析】（1）取DE 中点O ，连结PO ，推导出PO ⊥平面BCDE ，由此能求出三棱锥B PCE -的体积.（2）取CD 中点G ，连结BG ､FG ，推导出//FG PD ，//BG DE ，从而平面//PDE 平面BFG ，由此能求出//BF 平面PDE .由//FG PD ，//BG DE ，得45BGF EDP ∠=∠=︒，利用余弦定理能求出BF .【详解】（1）取DE 中点O ，连结PO ，∵矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为AB 中点， 将ADE 沿直线DE 折起成PDE △，连接PC ，PB ，∴1PD PE ==，90DPA ∠=︒，∴PO DE ⊥，22112DE =+=∴2222122PO ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∵平面PDE ⊥平面BCDE ，平面PDE 平面BCDE DE =，∴PO ⊥平面BCDE ， ∴三棱锥B PCE -的体积：1112211332212P BCE BCE V S PO -=⨯=⨯⨯⨯⨯=△. （2）证明：取CD 中点G ，连结BG ､FG ，∵F 是PC 中点，E 是AB 中点，四边形ABCD 是矩形， ∴//FG PD ，//BG DE ， ∵PDDE D =，FG GB G ⋂=，∴平面//PDE 平面BFG ，∵BF ⊂平面BFG ，∴//BF 平面PDE . ∵//FG PD ，//BG DE ， ∴45BGF EDP ∠=∠=︒，1122FG PD ==，2BG DE ==， ∴221152cos 45222cos 45422BF BG CF BG FG =+-⨯⨯⨯︒=+-⨯⨯⨯︒. 【点睛】本题考查面面垂直的性质，考查三棱锥的体积，考查线面平行的证明，属于中档题.。

辽宁省2019学年高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 求值tan( )为 ( )A. 1B.C.D.2. 对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（）A. 叫做回归系数________B. 当 >0，每增加一个单位，平均增加个单位C. 回归直线必经过点________D. 叫做回归系数3. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车种抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（_________ ）A ． 16，16，16______________B ． 8，30，10______________C ． 4，33，11______________ D ． 12，27，94. 已知点A(2,3)，B( ,1),C( ，2),若∥ ，则( )A. 3B. 2C. -2D. 15. 执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值为16，则图中判断框内①处应填的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 26. 已知 sin α＝，sin( α－β )＝－，α，β均为锐角，则等于( )A. B. 1 C. D.7. 把函数 y ＝sin x ( x ∈ R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A. y ＝sin ，x ∈ RB. y ＝sin ，x ∈ RC. y ＝sin ，x ∈ RD. y ＝sin ，x ∈ R8. 以下程序运行的结果是 ( )A. B. C. D.9. 在平行四边形 ABCD 中， E、F 分别是边和的中点，若其中 R ，则（）A. B. 2 C. D. 110. 在斜三角形 ABC 中，（）A. 1B.C. 2D.11. 若，则必定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形12. 设函数 .若存在的一条对称轴，满足成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题13. 已知角的终边经过则__________________ .14. 函数y＝Asin（ωx＋φ）部分图象如图，则函数解析式为_________ .15. 向量 a 、 b ，已知 a ＝ (2,1) ，a · b ＝ 10 ， | a ＋ b | ＝ 5 ，则 | b | ＝ _________________ .16. 在上随机取一个值，使得关于的方程有实根的概率为 ______ .三、解答题17. 同时抛掷甲、乙两颗骰子.（1）求事件A“甲的点数大于乙的点数”的概率；（2）若以抛掷甲、乙两颗骰子点数m，n作为点P的坐标（m,n），求事件B“P落在圆内”的概率.18. 如图，在平面直角坐标系中，角的终边OP与单位圆交于点P，角的终边OQ与单位圆交于点Q.（1）写出P、Q两点的坐标；（2）试用向量的方法证明关系式： .19. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下表：p20. ly:Calibri; font-size:10.5pt"> 第一场第二场第三场第四场第五场第六场第七场甲 26 28 24 22 31 29 36 乙 26 29 33 26 40 29 27（1）绘制两人得分的茎叶图；（2）分析并比较甲、乙两人七场比赛的平均得分及得分的稳定程度.21. 如图，在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a，b，c，且．（1）求角 A 的大小；（2）若是的角平分线，，求的长.22. 如图，两条公路AP与AQ夹角A为钝角，其正弦值是 .甲乙两人从A点出发沿着两条公路进行搜救工作，甲沿着公路AP方向，乙沿着公路AQ方向.（1）当甲前进5km的时候到达P处，同时乙到达Q处，通讯测得甲乙两人相距 k m，求乙在此时前进的距离AQ；（2）甲在5公里处原地未动，乙回头往A方向行走至M点收到甲发出的信号，此时M点看P、Q两点的张角为（张角为 QMP），求甲乙两人相距的距离MP的长.23. 已知函数的图象与直线y=2相交，且两相邻交点之间的距离为 .(1)求 ;(2)已知函数，若对任意的，均有，求的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，则cosA 的值是（ ） A ．14-B ．14C ．23-D ．232．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．角α的终边经过点3,21⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，那么tan α的值为（ ） A ．12B ．3-C ．3-D ．3-4．已知底面半径为1，体积为3π的圆柱，内接于一个高为23圆锥（如图），线段AB 为圆锥底面的一条直径，则从点A 绕圆锥的侧面到点B 的最短距离为（ ）A ．8B ．43C ．42D ．45．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22ac bc >B ．11a b< C ．b a a b< D ．||1||1a bc c >++6．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =30B =︒，则AB 边上的中线的长为( ) A 37B ．34 C ．3237D ．34377．已知a ，b 为非零实数，且a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b <B ．22ab a b >C ．2211ab a b< D ．b aa b<8．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转4π后，终边经过点(21)P ，，则cos2=α（ ）A ．23 B ．223C ．23-D ．223-9．矩形ABCD 中，6, 4AB =AD =，若在该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆的面积不大于3的概率是（ ） A ．18B ．16C ．14D ．1210．已知半圆C ：221x y +=（0y ≥），A 、B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上，纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使3BPQ π=∠，则t 的取值范围是（ ）A ．23[,0)(0,3]-⋃ B ．23[3,0)(0,]-⋃ C ．33[,0)(0,]-⋃ D ．2323[,0)(0,]33-11．在ABC ∆中，D 是BC 的中点，12AE EC =，AD ，BE 相交于点F ，若AF FD λ=，BF FE μ=，则λμ+=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin 2y x =的图象（ ） A ．向左移动6π B ．向右移动6π C ．向左移动3π D ．向右移动3π 二、填空题：本题共4小题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，则n a =__________．14．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______．15．如图，已知扇形OAB 和11OA B ，1A 为OA 的中点.若扇形11OA B 的面积为1，则扇形OAB 的面积为______.16．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为_________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年___高一下学期期末数学试卷 (解析版)2019-2020学年___高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）1.若复数z1对应复平面内的点（2，-3），且z1·z2=1+i，则复数z2的虚部为（）A。

-1.B。

1.C。

-2.D。

22.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A。

若m∥α，m∥β，则α∥βB。

___⊥α，___，则n⊥αC。

___⊥α，___，则n⊥αD。

若α⊥β，m⊥α，则___β3.设x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,-4)，且a⊥b，a∥c，则|a+b|+|a-c|=（）A。

2√10.B。

4√2.C。

4√5.D。

104.某社区组织“研究强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图。

现采用分层抽样的方法，从第3，4组中按分层抽样抽取8人，3，4组抽取的人数依次为（）A。

1，3，4.B。

2，3，3.C。

2，2，4.D。

1，1，65.雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在___校园中就有一座___的雕像。

雕像由像体AD和底座CD两部分组成。

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）。

A。

4.0米。

B。

4.2米。

C。

4.3米。

D。

4.4米6.如图，△ABC中，D是边BC上一点，AD=3，则（）A。

△ABC和△ADB的面积比为2:1B。