2018年上海市崇明区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合U ={−1, 0, 1, 2, 3}，A ={−1, 0, 2}，则∁U A =________．2. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是(1−11012)，则x +y =________3. i 是虚数单位，若复数(1−2i)(a +i)是纯虚数，则实数a 的值为________．4. 若|log 2x−1−42|=0，则x =________．5. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石（精确到小数点后一位数字）.6. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为________（结果保留π）．7. 若二项式(2x +a x )7的展开式中一次项的系数是−70，则lim n→∞(a +a 2+a 3+...+a n )=________8. 已知椭圆x 2a 2+y 2=1(a >0)的焦点F 1、F 2，抛物线y 22x 的焦点为F ，若F 1F →=3FF 2→，则a ＝________√29. 设f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=log 2(x +1)，则函数f(x)在[1, 2]上的解析式是________10. 某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是________11. 已知x ，y ∈R ，且满足{√3x +y ≤4√3√3x −y ≥0y ≥0，若存在θ∈R 使得xcosθ+ysinθ+1＝0成立，则点P(x, y)构成的区域面积为________12. 在平面四边形中，已知AB =1，BC =4，CD =2，DA =3，则AC →⋅BD →的值为________．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）“x >1”是“2x >1”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件若1+√2i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根，则（ ）A.b =2，c =3B.b =2，c =−1C.b =−2，c =3D.b =−2，c =−1将函数y =sin (2x −π3)图象上的点P (π4,t)向左平移s(s >0)个单位长度得到点P ′．若P ′位于函数y =sin 2x 的图象上，则( )A.t =12，s 的最小值为π6B.t =√32，s 的最小值为π6 C.t =12，s 的最小值为π3D.t =√32，s 的最小值为π3在平面直角坐标系中，定义d(A, B)=max{|x 1−x 2|, |y 1−y 2|}为两点A(x 1y 1)、B(x 2, y 2)的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称d(P, Q)的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作d(P, t)，给出下列三个命题：①对任意三点A 、B 、C ，都有d(C, A)+d(C, B)≥d(A, B)；②已知点P(3, 1)和直线l:2x −y −1=0，则d(P, l)=43；③定点F 1(−c, 0)、F 2(c, 0)，动点P(x, y)满足|d(P, F 1)−d(P, F 2)|=2a(2c >2a >0)，则点P 的轨迹与直线y =k （k 为常数）有且仅有2个公共点；其中真命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC // AD ，AB ⊥BC ，∠ADC =45∘，PA ⊥平面ABCD ，AB =AP =1，AD =3．（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；（2）求点D 到平面PBC 的距离．已知点F 1、F 2依次为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a, b >0)的左右焦点，|F 1F 2|=6，B 1(0, −b)，B 2(0, b)．(1)若a =√5，以d →=(3, −4)为方向向量的直线l 经过B 1，求F 2到l 的距离；(2)若双曲线C 上存在点P ，使得PB 1→⋅PB 2→=−2，求实数b 的取值范围．如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC =200m ，斜边AB =400m ，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F ．(1)若甲、乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；(2)设∠CEF =θ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且∠DEF =π3，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．已知函数f(x)=2x +a2x +1，x ∈R ．（1）证明：当a >1时，函数y ＝f(x)是减函数；（2）根据a 的不同取值，讨论函数y ＝f(x)的奇偶性，并说明理由；（3）当a ＝2，且b <c 时，证明：对任意d ∈[f(c), f(b)]，存在唯一的x 0∈R ，使得f(x 0)＝d ，且x 0∈[b, c]．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若12≤a n+1a n ≤2(n ∈N ∗)，则称{a n }是“紧密数列”．（1）已知数列{a n }是“紧密数列”，其前5项依次为1，32,94,x,8116，求x 的取值范围；（2）若数列{a n }的前n 项和为S n =14(n 2+3n)(n ∈N ∗)，判断{a n }是否是“紧密数列”，并说明理由；（3）设{a n }是公比为q 的等比数列，若{a n }与{S n }都是“紧密数列”，求q 的取值范围．参考答案与试题解析2018年上海市崇明区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.【答案】{1, 3}【考点】补集及其运算【解析】利用补集定义直接求解．【解答】解：∵ 集合U ={−1, 0, 1, 2, 3}，A ={−1, 0, 2}，∴ ∁U A ={1, 3}．故答案为：{1,3}.2.【答案】5【考点】几种特殊的矩阵变换【解析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，即可求得x 和y ，即可求得答案．【解答】由增广矩阵是(1−11012)，则二元一次方程组{x −y =10+y =2 ， 解得：x =3，y =2，∴ x +y =5，3.【答案】−2【考点】虚数单位i 及其性质复数的运算复数的模复数的基本概念【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a 的值．【解答】由(1−2i)(a +i)=(a +2)+(1−2a)i 为纯虚数，得{a +2=01−2a ≠0，解得：a =−2． 4.【答案】4【考点】对数的运算性质【解析】由二阶行列式展开式性质得2log2x−4=0，由此利用对数运算法则和性质能求出x．【解答】∵|log2x−1−42|=0，∴2log2x−4=0，∴log2x=2，解得x=4．5.【答案】169.1【考点】简单随机抽样【解析】根据抽样比例求出这批米内夹谷的多少．【解答】解：根据题意，这批米内夹谷为1534×28254≈169.1（石）．故答案为：169.1.6.【答案】12π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为ℎ，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高ℎ=√l2−r2=4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为ℎ∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴12×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高ℎ=√l2−r2=4∴圆锥的体积为：V=13πr2ℎ=13×π×9×4=12π7.【答案】−1 3【考点】数列的极限二项式定理的应用【解析】利用通项公式T r+1=C n r a n−r b r来解决，在通项中令x的指数幂为1可求出含x是第几项，由此算出a．然后利用数列的极限的运算法则求解即可．【解答】由二项式定理的通项公式T r+1=C nr a n−r b r 可设含x 2项的项是 T r+1=C 7r (2x)7−r (a x )r =a r 27−r C 7r x 7−2r ， 令7−2r =1，解得：r =3，∴ 系数为a 324C 73=−70，解得a =−12， lim n→∞(a +a 2+a 3+...+a n )=a 1−a =−121+12=−13， 8.【答案】 √2【考点】圆锥曲线的综合问题【解析】先根据椭圆和抛物线的方程分别求得其焦点坐标，根据F 1F →=3FF 2→，建立等式求得a 的值即可．【解答】依题意可知抛物线的焦点为(12, 0)，椭圆的焦点为(±√a 2−1, 0)，∵ F 1F →=3FF 2→，∴ 12+√a 2−1=3(√a 2−1−12)，整理得a =√2，9.【答案】f(x)=log 2(3−x)【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】设x ∈(1, 2)，则x −2∈(−1, 0)，2−x ∈(0, 1)，由已知表达式可求得f(2−x)，再由f(x)为周期为2的偶函数，可得f(x)=f(x −2)=f(2−x)，从而得到答案．【解答】∵ f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=log 2(x +1)，∴ 设x ∈(1, 2)，则x −2∈(−1, 0)，2−x ∈(0, 1)，∴ f(2−x)=log 2[(2−x)+1]=log 2(3−x)，又f(x)为周期为2的偶函数，所以f(x)=f(x −2)=f(2−x)=log 2(3−x)．10.【答案】47【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n =C 73=35，恰有两辆车停放在相邻车位包含的基本事件个数m =A 52=20，由此能求出恰有两辆车停放在相邻车位的概率．【解答】某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，基本事件总数n=C73=35，恰有两辆车停放在相邻车位包含的基本事件个数m=A52=20，∴恰有两辆车停放在相邻车位的概率是p=mn =2035=47．11.【答案】4√3−π6【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组表示的平面区域，求出xcosθ+ysinθ+1＝0成立的等价条件，利用数形结合求出对应的面积，即可得出正确的结果．【解答】又直线y=√3x的倾斜角为π3，则∠AOB=π3，即扇形的面积为16π⋅12=π6，则P(x, y)构成的区域面积为S＝4√3−π6，故答案为：4√3−π6．12.【答案】10【考点】椭圆中的平面几何问题平面向量数量积的性质及其运算律【解析】方向条件，四边形是椭圆的内接图形，利用椭圆的简单性质以及焦半径公式转化求解即可．【解答】解：∵AB+BC=DA+DC=5，所以把四边形放入椭圆内，AC为左右焦点，不妨令B(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)则2a =5，由焦半径公式可得ex 1+a =1，ex 2+a =3，两式相减可得：e(x 2−x 1)=2，而AC →⋅BD →=2c(x 2−x 1)=2c ⋅2e =4a =10． 故答案为：10.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由2x >1得x >0，则“x >1”是“2x >1”的充分不必要条件，【答案】C【考点】实系数多项式虚根成对定理【解析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【解答】∵ 1+√2i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根，∴ 1−√2i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根，∴ {1+√2i +1−√2i =−b (1+√2i)(1−√2i)=c，解得b =−2，c =3． 【答案】A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】解：将x =π4代入y =sin (2x −π3)得t =12，所以P (π4,12)，点P 向左平移s(s >0)个单位长度得到的点的坐标为P ′(π4−s,12)．又因为P ′在y =sin 2x 上，所以sin2(π4−s)=12，所以2s =2kπ+π3或2s =2kπ−π3(k ∈Z)，即s =kπ+π6或s =kπ−π6(k ∈Z)．因为s >0，所以当k =0时，有s min =π6．故选A ．【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】①讨论A ，B ，C 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ②设点Q 是直线y =2x −1上一点，且Q(x, 2x −1)，可得d(P, Q)=max{|x −3|, |2−2x|}，讨论|x −3|，|2−2x|的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值； ③讨论P 在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．【解答】①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)，如图，结合三角形的相似可得d(C, A)，d(C, B)，d(A, B)为AN ，CM ，AK ，或CN ，BM ，BK ， 则d(C, A)+d(C, B)=d(A, B)；若B ，C 或A ，C 对调，可得d(C, A)+d(C, B)>d(A, B)；若A ，B ，C 不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，如图，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，d(C, A)+d(C, B)≥d(A, B)；则对任意的三点A ，B ，C ，都有d(C, A)+d(C, B)≥d(A, B)；故①正确； ②设点Q 是直线y =2x −1上一点，且Q(x, 2x −1)，可得d(P, Q)=max{|x −3|, |2−2x|}，由|x −3|≥|2−2x|，解得−1≤x ≤53，即有d(P, Q)=|x −3|，当x =53时，取得最小值43；由|x −3|<|2−2x|，解得x >53或x <−1，即有d(P, Q)=|2x −2|，d(P, Q)的范围是(3, +∞)∪(43, +∞)=(43, +∞)．无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43．故②正确；③定点F 1(−c, 0)、F 2(c, 0)，动点P(x, y)满足|d(P, F 1)−d(P, F 2)|=2a(2c >2a >0)，可得P 不y 轴上，P 在线段F 1F 2间成立，可得x +c −(c −x)=2a ，解得x =a ，由对称性可得x =−a 也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足|d(P, F 1)−d(P, F 2)|=2a ，即为x +c −y =2a ，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点P 的轨迹与直线y =k （k 为常数）有且仅有2个公共点．故③正确．∴ 真命题的个数是3．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）【答案】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则P(0, 0, 1)，B(1, 0, 0)，C(1, 2, 0)D(0, 3, 0)，∴ PB →=(1, 0, −1)，CD →=(−1, 1, 0)，设异面直线PB 与CD 所成角为θ，则cosθ=|PB →∗CD →||PB →|∗|CD →|=12，所以异面直线PB 与CD 所成角大小为π3．设平面PBC 的一个法向量为n →=(x, y, z)，PB →=(1, 0, −1)，BC →=(0, 2, 0)，CD →=(−1, 1, 0)，则{n →∗PB →=x −z =0n →∗BC →=2y =0 ，取x =1，得n →=(1, 0, 1)， ∴ 点D 到平面PBC 的距离d =|n →∗CD →||n →|=√22．【考点】异面直线及其所成的角点、线、面间的距离计算 【解析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角大小．（2）求出平面PBC 的一个法向量，利用向量法能求出点D 到平面PBC 的距离． 【解答】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则P(0, 0, 1)，B(1, 0, 0)，C(1, 2, 0)D(0, 3, 0)， ∴ PB →=(1, 0, −1)，CD →=(−1, 1, 0)， 设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cosθ=|PB →∗CD →||PB →|∗|CD →|=12，所以异面直线PB 与CD 所成角大小为π3． 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x, y, z)，PB →=(1, 0, −1)，BC →=(0, 2, 0)，CD →=(−1, 1, 0)，则{n →∗PB →=x −z =0n →∗BC →=2y =0 ，取x =1，得n →=(1, 0, 1)， ∴ 点D 到平面PBC 的距离d =|n →∗CD →||n →|=√22．【答案】解：(1)由题意可知：c =3，F 2(3, 0)， c 2=a 2+b 2，a =√5，∴ b =2， 设直线l 的方程为y =kx +m ， d →=(3,−4)为方向向量的直线l ， ∴ k =−43，点B 1(0, −2)在直线l 上，m =−2，∴ 直线方程为4x +3y +6=0， F 2到l 的距离d =√42+32=185.(2)由题意可知：c =3，设P(x 0, y 0)，c 2=a 2+b 2，得a 2=c 2−b 2=9−b 2，① PB 1→=(x 0, y 0+b)，PB 2→=(x 0, y 0−b)，PB 1→⋅PB 2→=−2，整理得：x 02+y 02−b 2=−2， 则：x 02=b 2−y 02−2，② 由点P 在双曲线上：∴x 02a 2−y 02b 2=1，③ 将①②代入③整理得：b 2−y 02−29−b 2−y 02b 2=1， ∴ (b 2−y 02−2)×b 2−y 02×(9−b 2)=(9−b 2)×b 2， 整理得：2b 4−11b 2=9y 02，∵ y 02≥0，∴ 2b 4−11b 2≥0，解得：b ≥√222，∵ b <3，实数b 的取值范围[√222, 3)．【考点】直线与椭圆结合的最值问题 【解析】（1）由题意可知：c ＝3，由a =√5，求得b 的值，根据向量共线定理求得直线的斜率k ，直线过F 2(3, 0)，求得直线方程，根据点到直线的距离公式即可求得F 2到l 的距离； （2）设出P 点坐标，由双曲线的性质可知：a 2＝9−b 2，根据向量数量积的坐标表示求得x 02+y 02−b 2＝−2，由点P 在双曲线上，将P 点坐标代入双曲线上，整理得2b 4−11b 2＝9y 02，由y 02≥0，及b <3，即可求得b 的取值范围． 【解答】解：(1)由题意可知：c =3，F 2(3, 0)， c 2=a 2+b 2，a =√5，∴ b =2， 设直线l 的方程为y =kx +m ， d →=(3,−4)为方向向量的直线l ， ∴ k =−43，点B 1(0, −2)在直线l 上，m =−2， ∴ 直线方程为4x +3y +6=0， F 2到l 的距离d =√42+32=185.(2)由题意可知：c =3，设P(x 0, y 0)，c 2=a 2+b 2，得a 2=c 2−b 2=9−b 2，① PB 1→=(x 0, y 0+b)，PB 2→=(x 0, y 0−b)，PB 1→⋅PB 2→=−2，整理得：x 02+y 02−b 2=−2， 则：x 02=b 2−y 02−2，② 由点P 在双曲线上：∴x 02a 2−y 02b 2=1，③将①②代入③整理得：b 2−y 02−29−b 2−y 02b 2=1，∴ (b 2−y 02−2)×b 2−y 02×(9−b 2)=(9−b 2)×b 2，整理得：2b 4−11b 2=9y 02，∵ y 02≥0，∴ 2b 4−11b 2≥0，解得：b ≥√222，∵ b <3，实数b 的取值范围[√222, 3)．【答案】解：(1)由题意，BD =300，BE =100， △ABC 中，cosB =12，B =π3， △BDE 中，由余弦定理可得：DE =√3002+1002−2×300×100×12=100√7m ； (2)由题意，EF =2DE =2y ，∠BDE =∠CEF =θ． △CEF 中，CE =EFcos∠CEF =2ycosθ △BDE 中，由正弦定理可得200−2ycosθsinθ=ysin60∘，∴ y =√3sinθ+3cosθ=50√3sin(θ+π3)，0<θ<π2，∴ θ=π6，y min =50√3m ．【考点】 解三角形 余弦定理 正弦定理 【解析】（1）由题意，BD =300，BE =100，△BDE 中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；(2)△BDE 中，由正弦定理可得200−2ysinθsinθ=ysin60∘，可将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离． 【解答】解：(1)由题意，BD =300，BE =100， △ABC 中，cosB =12，B =π3， △BDE 中，由余弦定理可得：DE =√3002+1002−2×300×100×12=100√7m ；(2)由题意，EF =2DE =2y ，∠BDE =∠CEF =θ． △CEF 中，CE =EFcos∠CEF =2ycosθ △BDE 中，由正弦定理可得200−2ycosθsinθ=y sin60∘，∴ y =√3sinθ+√3cosθ=50√3sin(θ+π3)，0<θ<π2，∴ θ=π6，y min =50√3m ． 【答案】证明：任取x 1，x 2∈R ，设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(a−1)(2x 2−2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1)，∵ x 1<x 2，∴ 2x 1<2x 2，又a >1，∴ f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)． 所以当a >1时，函数y ＝f(x)是减函数．当a ＝1时，f(x)＝1，所以f(−x)＝f(x)＝1，所以函数y ＝f(x)是偶函数， 当a ＝−1时，f(x)=2x −12x +1，f(−x)=2−x −12−x +1=1−2x1+2x=−f(x)， 所以函数y ＝f(x)是奇函数． 当a ≠1且a ≠−1时，f(1)=a+23，f(−1)=2a+13，∴ f(−1)≠f(1)且f(−1)≠−f(1)，所以函数y ＝f(x)是非奇非偶函数．证明：由（1）知，当a ＝2时，函数y ＝f(x)是减函数， 所以函数f(x)在[b, c]上的值域为[f(c), f(b)]，因为d ∈[f(c), f(b)]，所以存在x 0∈R ，使得f(x 0)＝d ． 假设存在x 1∈R ，x 1≠0使得f(x 1)＝d ，若x 1>x 0，由f(x)的单调性可得f(x 1)<f(x 0)，若x 1<x 0，则f(x 1)>f(x 0)， 与f(x 1)＝f(x 0)＝d 矛盾，故x 0是唯一的． 假设x 0∉[b, c]，即x 0<b 或x 0>c ，由单调性可得f(x 0)>f(b)或f(x 0)<f(c)，所以d ∉[f(c), f(b)]，与d ∈[f(c), f(b)]矛盾，故x 0∈[b, c]． 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）设x 1<x 2，计算f(x 1)−f(x 2)，判断f(x 1)−f(x 2)的符号得出结论； （2）令f(−x)＝f(x)和f(−x)＝−f(x)分别求出a 的值得出结论； （3）利用反证法得出结论． 【解答】证明：任取x 1，x 2∈R ，设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(a−1)(2x 2−2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1)，∵ x 1<x 2，∴ 2x 1<2x 2，又a >1，∴ f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)． 所以当a >1时，函数y ＝f(x)是减函数．当a ＝1时，f(x)＝1，所以f(−x)＝f(x)＝1，所以函数y ＝f(x)是偶函数， 当a ＝−1时，f(x)=2x −12x +1，f(−x)=2−x −12−x +1=1−2x1+2x=−f(x)， 所以函数y ＝f(x)是奇函数． 当a ≠1且a ≠−1时，f(1)=a+23，f(−1)=2a+13，∴ f(−1)≠f(1)且f(−1)≠−f(1)， 所以函数y ＝f(x)是非奇非偶函数．证明：由（1）知，当a ＝2时，函数y ＝f(x)是减函数， 所以函数f(x)在[b, c]上的值域为[f(c), f(b)]，因为d ∈[f(c), f(b)]，所以存在x 0∈R ，使得f(x 0)＝d ． 假设存在x 1∈R ，x 1≠0使得f(x 1)＝d ，若x 1>x 0，由f(x)的单调性可得f(x 1)<f(x 0)，若x 1<x 0，则f(x 1)>f(x 0)， 与f(x 1)＝f(x 0)＝d 矛盾，故x 0是唯一的． 假设x 0∉[b, c]，即x 0<b 或x 0>c ，由单调性可得f(x 0)>f(b)或f(x 0)<f(c)，所以d ∉[f(c), f(b)]，与d ∈[f(c), f(b)]矛盾，故x 0∈[b, c]． 【答案】 由题意得：12≤x94≤2，12≤8116x≤2，解得98≤x ≤92≤818．由S n =14(n 2+3n)(n ∈N ∗)，n ≥2时，a n =S n −S n−1=14(n 2+3n)−14[(n −1)2+3(n −1)]=12n +12， n =1时，a 1=S 1=1，对于上式也成立． 因此a n =12n +12． ∴a n+1a n=12(n+1)+1212n+12=1+1n+1．因为对任意n ∈N ∗，0<1n+1≤12，即1<1+1n+1≤32， ∴ 12≤a n+1a n≤2(n ∈N ∗)，即数列{a n }是“紧密数列”．由{a n }是公比为q 的等比数列，得q =a n+1a n，∵ {a n }是“紧密数列”，∴ 12≤q ≤2． ①当q =1时，S n =na 1，S n+1S n=n+1n=1+1n ，∵ 1<1+1n+1≤32<2，∴ q =1时，数列{S n }为“紧密数列”，故q =1满足题意． ②当q ≠1时，S n =a 1(1−q n )1−q，则S n+1S n=1−q n+11−q n，∵ 数列{S n }为“紧密数列”， ∴ 12≤1−q n+11−q ≤2，对任意n ∈N ∗恒成立．(ⅰ)当12≤q <1时，12(1−q n )≤1−q n+1≤2(1−q n )， 即{q n (2q −1)≤1q n(q −2)≥−1，对任意n ∈N ∗恒成立．∵ 0<q n ≤q <1，0≤2q −1<1，−32≤q −2<−1，∴ q n (2q −1)<q <1，q n (q −2)≥q(q −2)≥12×(−32)=−34>−1， ∴ 当12≤q <1时，{q n (2q −1)≤1q n (q −2)≥−1，对任意n ∈N ∗恒成立．(ⅱ)当1<q ≤2时，12(q n −1)≤qn+1−1≤2(q n−1)，即{q n (2q −1)≥1q n (q −2)≤−1，对任意n ∈N ∗恒成立．∵ q n ≥q >1，2q −1>1，−1<q −2≤0． ∴ {q(2q −1)≥1q(q −2)≤−1 ，解得q =1，又1<q ≤2，此时q 不存在． 综上所述，q 的取值范围是[12,1]． 【考点】 数列递推式 【解析】（1）由题意得：12≤x94≤2，12≤8116x≤2，解得x 范围．（2）由S n =14(n 2+3n)(n ∈N ∗)，n ≥2时，a n =S n −S n−1，n =1时，a 1=S 1=1，对于上式也成立．可得a n ．a n+1a n=1+1n+1．因为对任意n ∈N ∗，0<1n+1≤12，即1<1+1n+1≤32，即可得出结论．（3）由{a n }是公比为q 的等比数列，得q =a n+1a n，{a n }是“紧密数列”，可得12≤q ≤2．分类讨论：①当q =1时，S n =na 1，S n+1S n=n+1n=1+1n ，即可判断出结论．②当q ≠1时，S n =a 1(1−q n )1−q，S n+1S n=1−q n+11−q n，由数列{S n }为“紧密数列”，可得12≤1−q n+11−q n≤2，对任意n ∈N ∗恒成立．(ⅰ)当12≤q <1时，12(1−q n)≤1−q n+1≤2(1−q n)，即{q n (2q −1)≤1q n (q −2)≥−1，对任意n ∈N ∗恒成立．即可得出结论． (ⅱ)当1<q ≤2时，12(q n −1)≤q n+1−1≤2(q n−1)，即{q n (2q −1)≥1q n (q −2)≤−1，对任意n ∈N ∗恒成立．即可得出结论． 【解答】 由题意得：12≤x94≤2，12≤8116x≤2，解得98≤x ≤92≤818．由S n =14(n 2+3n)(n ∈N ∗)，n ≥2时，a n =S n −S n−1=14(n 2+3n)−14[(n −1)2+3(n −1)]=12n +12，n =1时，a 1=S 1=1，对于上式也成立． 因此a n =12n +12． ∴a n+1a n=12(n+1)+1212n+12=1+1n+1．因为对任意n ∈N ∗，0<1n+1≤12，即1<1+1n+1≤32， ∴ 12≤a n+1a n≤2(n ∈N ∗)，即数列{a n }是“紧密数列”．由{a n }是公比为q 的等比数列，得q =a n+1a n，∵ {a n }是“紧密数列”，∴ 12≤q ≤2． ①当q =1时，S n =na 1，S n+1S n=n+1n=1+1n ，∵ 1<1+1n+1≤32<2，∴ q =1时，数列{S n }为“紧密数列”，故q =1满足题意． ②当q ≠1时，S n =a 1(1−q n )1−q，则S n+1S n=1−q n+11−q n，∵ 数列{S n }为“紧密数列”， ∴ 12≤1−q n+11−q n≤2，对任意n ∈N ∗恒成立．(ⅰ)当12≤q <1时，12(1−q n )≤1−q n+1≤2(1−q n )， 即{q n (2q −1)≤1q n(q −2)≥−1，对任意n ∈N ∗恒成立． ∵ 0<q n ≤q <1，0≤2q −1<1，−32≤q −2<−1，∴ q n (2q −1)<q <1，q n (q −2)≥q(q −2)≥12×(−32)=−34>−1， ∴ 当12≤q <1时，{q n (2q −1)≤1q n (q −2)≥−1，对任意n ∈N ∗恒成立．(ⅱ)当1<q ≤2时，12(q n −1)≤qn+1−1≤2(q n−1)，即{q n (2q −1)≥1q n (q −2)≤−1，对任意n ∈N ∗恒成立．∵ q n ≥q >1，2q −1>1，−1<q −2≤0． ∴ {q(2q −1)≥1q(q −2)≤−1 ，解得q =1，又1<q ≤2，此时q 不存在． 综上所述，q 的取值范围是[12,1]．。
