第二章复习提纲
- 格式：doc
- 大小：153.50 KB
- 文档页数：4
第二章 导数与微分
一．导数的概念
1. 熟悉导数的概念
（1）x
y x f x ∆∆='→∆00lim )( ， （2）x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000 或 h
x f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→， （3）0
00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 知道单侧导数的概念，会利用下列结论判断分段函数在分界点处是否可导（难点） 左导数 000)()(lim )(x x x f x f x f o x x --='-→-，右导数 0
00)()(lim )(x x x f x f x f o x x --='+→+， )(0x f '存在⇔左导数 )(0x f -'和右导数 )(0x f +'存在且相等
2. 熟悉导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =在点),(00y x 处切线的斜率，会求切线方程以及法线方程
切线方程 ))((000x x x f y y -'=-
法线方程 )()
(1000x x x f y y -'-=- （0)(0≠'x f ） 3. 知道位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度，即
)()()(,)()(t s t v t a t s t v ''='='=
4. 知道 “可导⇒连续”
二．函数的求导法则(重点)
1. 熟记基本初等函数的求导公式（见教材）
2. 熟练掌握求导的四则运算法则
（1）v u v u '±'='±)(，
（2）v u v u uv '+'=')( ， u C Cu '=')(（C 为常数），
（3）2v v u v u v u '-'='⎪⎭
⎫ ⎝⎛. 3. 熟练掌握复合函数的求导法则
)]([x g f y =，则 )()]([x g x g f y '⋅'='
注：会求含有抽象函数的复合函数的导数，如2()y f x =，则
2()2dy f x x dx '=⋅. 4. 了解反函数的求导法则 dy
dx dx
dy 1=
三．高阶导数
1. 知道高阶导数的记号，在求函数的二阶导数时必须对一阶导数进行化简
⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy dx d dx
y d 22 2. 会利用下列公式计算某些函数的n 阶导数
（1）()!)(n x n n =，()0)(=k n x （n k >）
（2）()()n x n x a a a ln )(=，()x n x
e e =)( （3）1)()
(!)1(1++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n b ax a n b ax （4）()[]
n n n n b ax a n b ax )()!1()1(ln 1)(+--=+- （5）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin sin )(πn x x n ，()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=2cos cos )(πn x x n 四．隐函数的导数 对数求导法 参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
1． 会求隐函数的导数
注意 在方程两边同时对x 求导时，把y 看成x 的函数
例如 ()dx dy y y dx d ⋅=22 ， ()dx
dy y y dx d ⋅=cos sin ， ()
dx dy e e dx d y y ⋅=， ()dx dy y y dx d ⋅=1ln . 2． 会利用对数求导法求以下两类函数的导数
（1）函数为多个因式的乘除、乘方或开方 （2）幂指函数
注意 取对数后一定要先化简，然后再两边对x 求导，记住()dx
dy y y dx d ⋅=1ln 3． 会求由参数方程所确定函数的一阶导数dx dy 和二阶导数2
2dx y d 设⎩⎨⎧==)
()(t y y t x x ，则 dt
dx dt dy dx dy =， dt dx dx dy dt d dx y d ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22 常见错误：
（1）在求一阶导数dx
dy 时，把公式中的分子与分母颠倒； （2）在求二阶导数22dx
y d 时，只是将一阶导数dx dy 对t 求导. 4． 会求相关变化率
设)(v f u =，其中)(t u u =，)(t v v =，则)()()(t v v f t u '⋅'='，于是可以由一个变量 的变化率（即导数）求得另一个变量的变化率，关键是建立两个变量之间的关系)(v f u =.
五．函数的微分
1. 了解微分的定义和微分的几何意义
2. 知道 “可微⇔可导”
3. 会利用公式dx x f dy )('=求函数)(x f y =的微分（重点）
4. 掌握基本初等函数的微分公式、微分的四则运算法则
5.了解微分形式不变性
6.了解微分在近似计算中的运用。
