爱提分几何第 讲风筝模型

板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）S 4S 3S 2S 1O DC BA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO baS 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)知识框架风筝模型和梯形蝴蝶定理【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDCBA76【巩固】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA【例 2】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC ？321GDCBA【巩固】 在△ABC 中DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OEOB=? 例题精讲【例 3】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．BA【巩固】 如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．A B【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDC BA【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。

风筝模型和梯形蝴蝶定理知识框架板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）S 4S 3S 2S 1O DC BA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO baS 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)例题精讲【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDC BA76【巩固】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA【例 2】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC ？CB【巩固】 在△ABC 中DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OEOB=?【例 3】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．BA【巩固】 如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．A B【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDC BA【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。

几何的五大模型之风筝模型和蝴蝶模型☆基础题1、如图，S△AOB＝24平方厘米，S△AOD＝18平方厘米，S△COD＝12平方厘米，则S△COB为多少平方厘米？＝7平方厘米，S△AOD＝6平方厘米，则S△COB为多少平2、如图，S四边形ABCD＝52平方厘米，S△AOB方厘米？3、如图，S四边形ABCD＝56平方厘米，S△AOB＝8平方厘米，S△AOD＝6平方厘米，则S△COB为多少平方厘米？4、如图，S△ACB＝27平方厘米，S△ACD＝18平方厘米，DO＝15厘米，则BO多少厘米？5、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．AB垂直AC，并且已知AO＝4厘米，AB＝5厘米，那么三角形DOC的面积是多少平方厘米？☆☆提高题1、如图，S△ACB＝24平方厘米，S△ACD＝16平方厘米，S△ABD＝25平方厘米，则S△COB为多少平方厘米？2、如图，S△ACB＝48平方厘米，S△ACD＝32平方厘米，S△ABD＝45平方厘米，则S△COB为多少平方厘米？3、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB垂直AC，并且已知AO＝6厘米，BO＝10厘米，那么三角形DOC的面积是多少平方厘米？4、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS 的面积是多少？5、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS 的面积是多少？6、如图，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是21和49，则三角形BEN的面积为多少？7、如图，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是23和53，则三角形BEN的面积为多少？☆☆☆竞赛题1、已知梯形ABCD的面积是32，AD：BC＝1：3，E是BC上一点，请问红色阴影部分的面积与蓝色阴影部分面积之差是多少？2、已知梯形ABCD的面积是48，AD：BC＝1：2，E是BC上一点，请问红色阴影部分的面积与蓝色阴影部分面积之差是多少？3、如图所示，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别是2、5、8平方厘米，求四边形OFBC的面积？几何的五大模型之风筝模型和蝴蝶模型能力达标卷答案解析☆基础题1、答案：16平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：S△AOD：S△AOB＝S△COD：S△COB，即18：24＝12：S△COB，S△COB＝24×12÷18＝16（平方厘米）2、答案：21平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：S△AOD：S△AOB＝S△COD：S△COB＝6：7，S△COD＋S△COB＝52—（6＋7）＝39（平方厘米），所以S△COB＝39×767＋＝21（平方厘米）3、答案：24平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：S△AOD：S△AOB＝S△COD：S△COB＝6：8＝3：4，S△COD＋S△COB＝56—（6＋8）＝42（平方厘米），所以S△COB＝42×434＋＝24（平方厘米）4、答案：22.5厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：DO：BO＝S△ACD：S△ACB＝18：27＝2：3，所以BO＝15÷2×3＝22.5（厘米）5、答案：10平方厘米解析：在梯形ABCD中，根据蝴蝶定理得：S△DOC＝S△AOB＝4×5÷2＝10（平方厘米）☆☆提高题1、答案：9平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：DO：BO＝S△ACD：S△ACB＝16：24＝2：3，则：S△AOB＝35S△ABD＝35×25＝15（平方厘米），则S△COB＝S△ACB—S△AOB＝24—15＝9（平方厘米）2、答案：21平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：DO：BO＝S△ACD：S△ACB＝32：48＝2：3，则S△AOB＝35S△ABD＝35×45＝27（平方厘米），则S△COB＝S△ACB—S△AOB＝48—27＝21（平方厘米）3、答案：24平方厘米解析：在梯形ABCD中，根据蝴蝶定理得：S△DOC＝S△AOB在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB2＝OB2—OA2＝102—62＝64＝82，所以AB＝8所以：S△DOC＝S△AOB＝6×8÷2＝24（平方厘米）4、答案：17解析：如下图，连接EF、GH和IJ在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：S△ABP＝S△EPF＝6，在平行四边形EFGH中，S△EQF＝S△GQH ＝13—6＝7；在平行四边形IDCJ中，S△DCT＝S△IJT＝5，在平行四边形GIJH中，S△GSH＝S△ISJ ＝15—5＝10，所以S四边形GQHS＝S△GQH＋S△ISJ＝7＋10＝175、答案：17解析：如下图，连接EF、GH和IJ在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：S△ABP＝S△EPF＝6，在平行四边形EFGH中，S△EQF＝S△GQH ＝12—6＝6；在平行四边形IDCJ中，S△DCT＝S△IJT＝5，在平行四边形GIJH中，S△GSH＝S△ISJ ＝16—5＝11，所以S四边形GQHS＝S△GQH＋S△ISJ＝6＋11＝176、答案：28解析：如下图，连接AM。

几何风筝模型原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊几何风筝模型原理。

你看那风筝，在天空中飘啊飘的，多自由啊！其实这几何风筝模型原理就跟风筝很像呢。

想象一下，风筝的骨架就像是几何中的线条，把各个部分连接起来，让风筝有了形状。

咱这几何风筝模型里，那些线条和角度可是有着大讲究的。

就好像放风筝的时候，线的长短、角度不一样，风筝飞的状态也不同。

这模型里的线条和角度决定了整个结构的稳定性和灵活性。

比如说吧，要是线条的长度不合适，那整个模型不就歪七扭八的啦？这就好比风筝的一边线长一边线短，那还怎么飞得稳呢。

再说说角度，角度要是不对，那模型看起来就会很别扭呀，就像风筝的骨架歪了，还能好看吗？
而且啊，这几何风筝模型原理在生活中也有很多应用呢！你想想看，那些漂亮的建筑，它们的结构不也得符合一定的几何原理吗？那可不就是一个大大的几何风筝模型嘛！还有那些精美的艺术品，不也是通过巧妙的线条和角度组合而成的。

咱平时做事儿也可以借鉴这原理呀。

做事要有条理，就像风筝的骨架一样，把各个方面都安排得妥妥当当的。

角度呢，就代表着我们看事情的不同视角，多换换角度，也许就能发现不一样的风景呢！
这几何风筝模型原理就像是一个隐藏在生活中的小秘密，等着我们去发现，去运用。

它能让我们的生活变得更加有序，更加有趣。

所以啊，别小看了这看似简单的几何风筝模型原理，它里面蕴含的智慧可多着呢！它就像一个无声的老师，默默地教给我们很多东西。

让我们一起好好利用它，让我们的生活像那高飞的风筝一样，自由自在，精彩无限！。

风筝法解题
风筝法是一种数学解题方法，主要用于解决几何问题。

这种方法通过构造一个风筝形状的辅助线，将问题转化为更易于解决的形式。

以下是一个使用风筝法解题的示例：
题目：在三角形ABC中，D是BC的中点，E是AD上的一点，且BE垂直于AC。

F是CE的中点，连接BF交AD于G。

求证：AG=GD。

证明：
第一步，过点D作AC的平行线，分别交BF、CE的延长线于H、I。

第二步，由于D是BC的中点，且DH与AC平行，所以BH=HC。

第三步，由于BE垂直于AC，且DH与AC平行，所以BE垂直于DH。

又因为D是BC的中点，所以DE=EC。

第四步，由于F是CE的中点，所以DF=FC=EI。

第五步，由于角GDF=角EGI（对顶角），根据三角形的相似与全等定理，三角形GDF与三角形EGI全等。

第六步，由于GD=EI，且BH=HC，所以AG=GD。

综上所述，我们证明了AG=GD。

板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）S 4S 3S 2S 1O DC BA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO baS 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)知识框架风筝模型和梯形蝴蝶定理【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDCBA76【巩固】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA【例 2】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC ？321GDCBA【巩固】 在△ABC 中DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OEOB=? 例题精讲【例 3】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．BA【巩固】 如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．A B【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDC BA【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。

风筝模型定理公式
风筝模型定理是用于计算等效压力点的重要原理，表示为下列公式：
其中，p表示等效压力点的位置，ρ为空气密度，v为风筝所受风速，S是风筝的表面积，Cp表示风压系数，它表示对于一个给定形状的风筝，产生的压力和动压力相比的比例。

等效压力点是指，当风筝受到风力时，整个风筝体系所产生的总压力和重力所负载的力点相交的位置。

在实际风筝的设计和测试过程中，等效压力点的位置对风筝的稳定性、安全性等方面的影响非常重要，因此风筝模型定理及相关公式的使用无疑是非常关键的。

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。

编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。

正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。

于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。

《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。

1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。

4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。

5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。

时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。

黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！101数学创作社2024年9月16日第二单元多边形的面积·几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型【五大考点】【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 (3)【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 (4)【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 (7)【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 (8)【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型 (11)【第三篇】典型例题篇【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用。

风筝模型编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（风筝模型）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为风筝模型的全部内容。

风筝模型1用风筝模型求面积例题1 如图所示，四边形ABCD中，AC与BD相交于O点;OA、OB、OC、OD的长度分别为1、2、3、4.求：（1）S1：S2 = S4：S3 =SΔ ADB :SΔ CDB =(2） SΔ ADC：SΔ ABC =练习1 如图所示,四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点,三角形ABO的面积等于10厘米，三角形AOD的面积等于5平方厘米,三角形DOC的面积等于2平方厘米，求三角形DOC的面积等于多少？例题2 如图所示，图中是一块总面积是52公顷四边形土地，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。

那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？练习2 如图所示，一个四边形的面积是52平方厘米，两天对角线将这个平行四边形分成四个小三角形。

如果其中较大的三角形面积分别为18平方厘米和21平方厘米，那么较小的两个三角形的面积分别是多少？2已知面积求线段比或已知线段比求面积比例题3 如图所示，在四边形ABCD中,对角线AC和BD交于O点，已知AO=1，并且S =3：5，那么OC的长度是多少？Δ ABD :SΔ CBD练习3 如图所示,四边形ABCD的对角线AC与BD交于O.如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的三分之一,且AO=2，DO=3,那么CO的长度是DO长度的（ )倍。

例题4 如图所示，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中3个三角形的面积如图所示,求（1）三角形BGC的面积是多少？(2）AG：CG=？练习4 如图所示，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，Δ AOB面积为1平方千米，Δ DOC面积为2平方千米，Δ COD的面积为3平方千米，公园由6。