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数值计算⽅法习题答案（第⼆版）（绪论）数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的⽜顿迭代公式112(),0,1,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成⽴下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......k k k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k k x a x x x x +-??-=+==? ??（2）取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+-= +=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤-110218，⽽()k k k k k x x x x x 288821821-=-???? ??+=-+ nn k k x x 2122110215.22104185.28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法.①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表⽰为m n a a a x 10......021*?±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11 **1021--?≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第⼀个⾮零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=??≤--x e x ②第⼆种⽅法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种⽅法均可得出相对误差限，但第⼀种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成⽴的正确结论，故他对误差限的估计偏⼤，但计算略简单些；⽽第⼆种⽅法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -219 1 -3 8 -24 73 -223所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
《计算方法教程(第二版)》习题答案第一章 习题答案1、浮点数系),,,(U L t F β共有 1)1()1(21++---L U t ββ 个数。
3、a ．4097b ．62211101110.0,211101000.0⨯⨯c ．6211111101.0⨯ 4、设实数R x ∈，则按β进制可表达为：,1,,,3,2,011)11221(+=<≤<≤⨯++++++±=t t j jd d l t t d t t d dd x βββββββ按四舍五入的原则，当它进入浮点数系),,,(U L t F β时，若β211<+t d ，则 l tt d dd x fl ββββ⨯++±=)221()(若 β211≥+t d ，则 l tt d d d x fl ββββ⨯+++±=)1221()(对第一种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯+=-βββββ21)21(1)()(11对第二种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯--=-ββββββ21)21(1)(11就是说总有： tl x fl x -≤-β21)( 另一方面，浮点数要求 β<≤11d ， 故有l x ββ1≥，将此两者相除，便得t x x fl x -≤-121)(β 5、a ． 5960.1 b ． 5962.1 后一种准确6、最后一个计算式：00025509.0原因：避免相近数相减，避免大数相乘，减少运算次数7、a ．]!3)2(!2)2(2[2132 +++=x x x yb ．)21)(1(22x x x y ++=c ．)11(222-++=x x x yd ． +-+-=!2)2(!6)2(!4)2(!2)2(2642x x x x y e ．222qp p q y ++=8、01786.098.5521==x x9、 m )10(m f - 1 233406.0- 3 20757.0- 5 8.07 710计算宜采用：])!42151()!32141()!22131[()(2432+⨯-+⨯-+⨯--=x x x f第二章 习题答案1、a ．Tx )2,1,3(= b ．Tx )1,2,1,2(--= c ．无法解 2、a ．与 b ．同上， c ．T T x )2188.1,3125.0,2188.1,5312.0()39,10,39,17(321---≈---=7、a ．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14112111473123247212122123211231321213122 b ． ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----333211212110211221213231532223522121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111211212130213221219、T x )3415.46,3659.85,1220.95,1220.95,3659.85,3415.46(1= T x )8293.26,3171.7,4390.2,4390.2,3171.7,8293.26(2= 10、T LDL 分解：)015.0,579.3,9.1,10(diag D =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16030.07895.05.018947.07.019.01L Cholesky 分解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1225.01408.10833.15811.18918.12333.12136.23784.18460.21623.3G 解：)1,1,2,2(--=x 12、16,12,1612111===∞A A A611,4083.1,61122212===∞A A A2)(940)()(12111===∞A Cond A Cond A Cond524)(748)()(22221===∞A C o n d A C o n d A C o n d⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--180.0000180.0000- 30.0000 180.0000- 192.0000 36.0000- 30.0000 36.0000- 9.0000,0.0139 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0556 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0139 1211A A1151.372,1666.0212211==--A A15、 1A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 2A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 3A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代收敛；第三章 习题答案1、Lagrange 插值多项式：)80.466.5)(20.366.5)(70.266.5)(00.166.5()80.4)(20.3)(70.2)(00.1(7.51)66.580.4)(20.380.4)(70.280.4)(00.180.4()66.5)(20.3)(70.2)(00.1(3.38)66.520.3)(80.420.3)(70.220.3)(00.120.3()66.5)(80.4)(70.2)(00.1(0.22)66.570.2)(80.470.2)(20.370.2)(00.170.2()66.5)(80.4)(20.3)(00.1(8.17)66.500.1)(80.400.1)(20.300.1)(70.200.1()66.5)(80.4)(20.3)(70.2(2.14)(4--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L Newton 插值多项式：)80.4)(20.3)(70.2)(00.1(21444779.0)20.3)(70.2)(00.1(527480131.0)70.2)(00.1(855614973.2)00.1(117647059.22.14)(4----+------+-+=x x x x x x x x x x x N2、设)(x y y =，其反函数是以y 为自变量的函数)(y x x =，对)(y x 作插值多项式：)1744.0)(1081.0)(4016.0)(7001.0(01253.0)1081.0)(4016.0)(7001.0(01531.0)4016.0)(7001.0(009640.0)7001.0(3350.01000.0)(----+---+--+--=y y y y y y y y y y y N 3376.0)0(=N 是0)(=x y 在]4.0,3.0[中的近似根。
计算方法第二版课后练习题含答案前言本文将为大家提供计算方法第二版课后练习题的答案，旨在帮助读者更好地学习和掌握计算方法的知识。
本文全部内容均为作者整理，尽可能保证每一题的答案正确性。
读者可以借助本文的答案，检验自己的练习成果，加强对计算方法知识的理解和掌握程度。
同时，读者也应该注意切勿直接复制答案，本文的答案仅供参考，希望读者能够通过自己的思考和探索，获得更深层次的学习感悟。
第一章引论1.1 计算方法的基本概念和思想练习题 1写出计算方法的三要素，并分别简要解释。
答案计算方法的三要素为：模型、算法、误差分析。
•模型：计算方法所涉及的实际问题所对应的数学模型，是解决问题的基础；•算法：根据模型，构造相应的计算程序，即算法；•误差分析：计算结果与实际应用中所需的精度之间的差异，称为误差。
误差分析是对计算结果质量的保障。
1.2 算法的误差练习题 2写出二分法算法，并解释其误差。
答案算法：function binarySearch(a, target) {let low = 0;let high = a.length - 1;while (low <= high) {let midIndex = Math.floor((low + high) / 2);let midValue = a[midIndex];if (midValue === target) {return midIndex;} else if (midValue < target) {low = midIndex + 1;} else {high = midIndex - 1;}}return -1;}误差:二分法算法的误差上界为O(2−k)，其中k为迭代次数。
在二分法被成功应用时，k取决于与目标值x的距离，即 $k=\\log _{2}(\\frac{b-a}{\\epsilon})$，其中[a,b]是区间，$\\epsilon$ 是目标值的精度。
《计算方法教程（第二版）》习题答案第一章习题答案1、浮点数系F（0丄L、U）共有2（0-l）0i（U-厶+1） + 1个数。
3、a.4097b.0.11101000 x 22 , 0.11101110 x 25 6c.0.11111101x264、设实数xeR,则按0进制可表达为：1"1 V00 <> d j < p , J = 2,3,…+ 1,…按四舍五入得原则，当它进入浮点数系F（PJ,LM）时，若心V丄0,则2/心）"（第+2+…2“P pZ P1cK （1 +1/（□"（卡+样+…丄厂）〃P P L P l对第一种情况妝一."（x）| = （滸 + …）X0**G）X0‘ =^0 一对第二种情况:卜_/心卜爭巴一…"V *（£）x0詁旷就就是说总有：心）&丄0一2另一方面，浮点数要求1M/V0,故有|A-|^1/7\将此两者相除，便得r5 a. 1.5960 b. 1.5962后一种准确6最后一个计算式:0.00025509原因:避免相近数相减，避免大数相乘,减少运算次数2\I~X (Jx ，+1 + J 牙2 _])(2x)2 (2x)4 (2x)6(2x)2"^! 41- ~6!2!_3 -0.20757 5 0.8 7107计算宜采用:去)+G -親)x+G - 土用+…]第二章习题答案1. a.x = (3,1, 2)7b.x = (2, — 1, 2, — 1 )zc.无法解2、 a.与b.同上，c.x = —(-17, 39, -10,-39)7 « (-0.5312,1.218&一0.3125,-1.2188)7(2 -2 -1、/ 、 1、2 -2 -15p -17、a.3-12 =% 12%=3 21J 23,、％ %1J 3%丿1 1J<12 1 -2〕1-2 1 -2、 25 3 -22 11 12 -2 -23 5 -2 2 13 -3、132 3 >、1 2 0 1；3 ,(1 、 (\2 1 -2]2 1 1 1 2 -2 2 31 -1\ 1 2 0 3； 1 19、=(46.3415 , 85.3659 , 95.1220 , 95.1220 , 85.3659 , 46.3415)b. y =2x 2(l + x)(l +8、 X| =55.98 9、m 1x 2 = 0.01786 /(10-H,) -0.233406x 2 =(26.8293, 7.3171, 2.4390,2.4390, 7.3171,26.8293/ 10、厶£）厶了分解:D = diag( 10,1.9, 3.579,0.015)12、阀“16, ||州厂 12, ||州8 = 16h||2 =1.4083, ||A|L=1%Cond x (A|) = Cond n (A 】)=4% Cond 2 (^) = 2 Cond { (A 2) = Cond^(A 2) = 748Cond 2(A 2) = 524第三章习题答案1、Lagrange 插值多项式:'0.0139 -0.1111 ・0.0694、( 9.0000 -36.0000 30.0000、v-0.1111 0.0556 -0.1111，^2 = -36.0000 192.0000 -180.0000,・ 0.0694 ・ 0.1111 0.0139>(30.0000 -180.0000 180.0000,A ；'= 372.1151 -眉— 0.1666…,0.91L =0.7 0.89471.0.5 0.7895 0.6030 Cholesky 分解、H1623 2.8460G =2.2136 1.2333 1.8918J.5811 1.0833 1.1408 0.1225丿15. A 】 :对应 Gauss — Seidel 迭代收敛,Jacobi 迭代不收敛;:对应 Gauss — Seidel 迭代收Jacobi 迭代不收敛;:对应 Gauss — Seidel 迭代收Jacobi 迭代收敛;1丿 解：2(2, — 2,1, —1)(x - 2.70)(x- 3・20)(x - 4.80)(x 一 5.66)(1.00 - 2.70)(l .00 - 3.20)(1.00 - 4.80)(l .00 - 5.66)(x 一 1.00)(% 一 3.20)(x 一 4.80)(x 一 5.66)(2.70 -1.00)(2.70 - 3.20)(2.70 - 4.80)(2.70 - 5.66)(x -1.00)(x- 2.70)(x 一 4.80)(x- 5.66) (3.20 -1.00)(3.20 - 2.70)(3.20 - 4.80)(3.20 - 5.66)… (x-l ・00)(x-2・70)(x-3・20)(x-5・66) + 3 & 3 x -------------------------------------------(4.80 一 1.00)(4.80 一 2.70)(4.80 一 3.20)(4.80 一 5.66) (x-1.00)(x 一 2.70)(x 一 3.20)(x- 4.80)+ 51.7 x ---------------------- ---------------------(5.66 一 1.00)(5.66 一 2.70)(5.66 一 3.20)(5.66 - 4.80)Newton 插值多项式：^4(x) = 14.2 + 2.117647059(% -1.00)+ 2.855614973(x- 1.00)(x 一 2.70)一 0.527480131(x-1.00)(x 一 2.70)(x- 3.20)+ 0.21444779(“ 一 1.00)(x- 2.70)(x - 3.20)(x 一 4.80)差商表:2、设y = y(x),其反函数就是以y 为自变量得函数x = x(y)^x(j)作插值多项式: N(y)= 0.1000-0・3350(y — 0.7001)+ 0.009640( y-0.700 l)(y - 0.4016)+ 0.0153 l(y - 0.700 l)(y - 0.4016)(y - 0.1081) + 0.01253(0.7001)( V - 0.4016)(y -0.108 l)(y - 0.1744)N(0) = 0.3376 就是 y(x) = 0在［0.3, 0.4 ］中得近似根。
《计算方法教程(第二版)》习题答案第一章 习题答案1、浮点数系),,,(U L t F β共有 1)1()1(21++---L U t ββ 个数。
3、a ．4097b ．62211101110.0,211101000.0⨯⨯c ．6211111101.0⨯4、设实数R x ∈，则按β进制可表达为：,1,,,3,2,011)11221(+=<≤<≤⨯++++++±=t t j jd d lt t d t t d dd x βββββββ按四舍五入的原则，当它进入浮点数系),,,(U L t F β时，若β211<+t d ，则 l tt d dd x fl ββββ⨯++±=)221()(若 β211≥+t d ，则 l tt d d d x fl ββββ⨯+++±=)1221()(对第一种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯+=-βββββ21)21(1)()(11对第二种情况：t l ltl t t d x fl x -++=⨯≤⨯--=-ββββββ21)21(1)(11 就是说总有： tl x fl x -≤-β21)( 另一方面，浮点数要求 β<≤11d ， 故有l x ββ1≥，将此两者相除，便得t x x fl x -≤-121)(β 5、a ． 5960.1 b ． 5962.1 后一种准确6、最后一个计算式：00025509.0原因：避免相近数相减，避免大数相乘，减少运算次数7、a ．]!3)2(!2)2(2[2132 +++=x x x yb ．)21)(1(22x x x y ++=c ．)11(222-++=x x x yd ． +-+-=!2)2(!6)2(!4)2(!2)2(2642x x x x ye ．222qp p q y ++=8、01786.098.5521==x x9、 m )10(m f - 1 233406.0- 3 20757.0- 5 8.07 710计算宜采用：])!42151()!32141()!22131[()(2432+⨯-+⨯-+⨯--=x x x f第二章 习题答案1、a ．T x )2,1,3(= b ．T x )1,2,1,2(--= c ．无法解2、a ．与 b ．同上， c ．T T x )2188.1,3125.0,2188.1,5312.0()39,10,39,17(321---≈---=7、a ．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14112111473123247212122123211231321213122 b ． ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----333211212110211221213231532223522121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111211212130213221219、T x )3415.46,3659.85,1220.95,1220.95,3659.85,3415.46(1= T x )8293.26,3171.7,4390.2,4390.2,3171.7,8293.26(2= 10、T LDL 分解：)015.0,579.3,9.1,10(diag D =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16030.07895.05.018947.07.019.01L Cholesky 分解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1225.01408.10833.15811.18918.12333.12136.23784.18460.21623.3G 解：)1,1,2,2(--=x 12、16,12,1612111===∞A A A611,4083.1,61122212===∞A A A2)(940)()(12111===∞A Cond A Cond A Cond524)(748)()(22221===∞A C o n d A C o n d A C o n d⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--180.0000180.0000- 30.0000 180.0000- 192.0000 36.0000- 30.0000 36.0000- 9.0000,0.0139 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0556 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0139 1211A A1151.372,1666.0212211==--A A15、 1A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 2A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 3A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代收敛；第三章 习题答案1、Lagrange 插值多项式：)80.466.5)(20.366.5)(70.266.5)(00.166.5()80.4)(20.3)(70.2)(00.1(7.51)66.580.4)(20.380.4)(70.280.4)(00.180.4()66.5)(20.3)(70.2)(00.1(3.38)66.520.3)(80.420.3)(70.220.3)(00.120.3()66.5)(80.4)(70.2)(00.1(0.22)66.570.2)(80.470.2)(20.370.2)(00.170.2()66.5)(80.4)(20.3)(00.1(8.17)66.500.1)(80.400.1)(20.300.1)(70.200.1()66.5)(80.4)(20.3)(70.2(2.14)(4--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L Newton 插值多项式：)80.4)(20.3)(70.2)(00.1(21444779.0)20.3)(70.2)(00.1(527480131.0)70.2)(00.1(855614973.2)00.1(117647059.22.14)(4----+------+-+=x x x x x x x x x x x N2、设)(x y y =，其反函数是以y 为自变量的函数)(y x x =，对)(y x 作插值多项式：)1744.0)(1081.0)(4016.0)(7001.0(01253.0)1081.0)(4016.0)(7001.0(01531.0)4016.0)(7001.0(009640.0)7001.0(3350.01000.0)(----+---+--+--=y y y y y y y y y y y N 3376.0)0(=N 是0)(=x y 在]4.0,3.0[中的近似根。
5.4 迭代法的收敛性定理5.2.1 （迭代法基本定理）设有n 阶方程组对于任意初始向量和右端项，迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径该定理说明，迭代法的收敛性取决于迭代矩阵B 的谱半径，B 又依赖于方程组的系数矩阵A ，而与初始向量的选取和方程组的右端项无关。
另外，越小，序列收敛也越快，由此可给出收敛速度的定义。
定义5.2.1称为迭代法的收敛速度。
f x x +B =)0(x f .1)(<B ρ()B ρ{})(k x )(ln )(B -=B ρR一般当n 较大时，迭代矩阵B 的特征值计算比较复杂，定理5.2.1的条件较难验证。
利用定理5.1.3的结论用作为的上界的一种估计，于是得定理：定理5.2.2 （迭代法收敛的充分条件）若，则由迭代公式（5.1.3）所产生的向量序列收敛于方程组的精确解，且有误差估计式1<B {})(k x f x x +B =*x )1()(*)(1--B-B≤-k k k x x x x )9.2.5(()ρB B )0()1(*)(1x x x x k k -B -B ≤-)10.2.5(在实际计算时，利用（5.2.9），可将作为终止计算的条件。
()(1)k k x x ε-∞-<雅克比迭代法的算法框图中表示为精度控制常数，当时，计算终止，为最大迭代次数。
e ε,)1()(∞--k k x x ε<e 0NN Y()n i x a b a y n i j j j ij i ii i ,,2,11,1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-←∑≠=i i ni y x e -←≤≤1max ε<e ()n i y x i i ,,2,1 =←并终止计算及输出),...,2,1(,n i y k i =0,,,,(1,2,...,)i n b x i n εA N =输入及初值计算对于0,2,1N = k 信息次仍求不不出近似解的输出迭代0N高斯—赛德尔迭代法的算法框图中t 用于暂时存放的旧值，以便计算Y i x .)1()(--k i k i x x ),......2,1(,,,,0n i x N b A n i =及初值输入ε计算对于0,......2,1N k =0←e 计算对于n i ,......2,1=)(1,1j n i j j ij i ii i x a b a x ∑≠=-←e t x i ≤-||||t x e i -←ε<e 并中止程序输出),...2,1(,n i x k i =息次仍求不出近似解的信输出迭代0N YN i x t ←N。
