2015东大真题解答

2015年东南大学724预防基础综合考研真题（回忆版）统计学一、选择填空20分各种资料类型，选统计方法二、简答1．给一份样本能否代替总体2．写出至少3个影响P值的因素3．给了一个线性回归方程，回归系数的意义4．给你一组数据，可用哪些指标描述集中趋势和变异程度？三、论述题1．病例对照研究、卡方检验(可不计算结果，但要讨论)；OR 计算。

2．两样本t 检验和总体差值的区间估计。

流行病学一、名词解释1．incidence rate & prevalent rate2．epidemic & outbreak3．odds rate & relation rate4．exposure & exposure biomarker5．Berkson bias & Neyman bias二、连线题给出多种研究实例，选择流行病学方法三、大题1．疾病负担及其指标，并给糖尿病，流感，胃癌，脑卒中选择合适的疾病负担指标。

2．实验流行病学的定义，特征，实施原则的目的及意义。

3．（给了一个筛检表格）评价筛检的真实性和预测值以及之间的关系。

4．筛检的原则？实施原则的目的及意义。

毒理学一、名词解释（8个，中文翻英文）1．毒理学2．未观察到损害作用剂量3．急性毒性4．毒物动力学5．免疫毒理学6．可接受危险度7．每日摄入量8．污染物的迁移和转化二、大题:（6个）1．化学物的分布特征及研究意义2．化学致癌三阶段及特征3．肝脏损害严重的原因4．剂量反应关系及毒理学应用和最新进展5．毒理学安全度评价毒理学实验有哪些阶段试验？具体有哪些试验？6．急性毒性实验设计的基本要求、原则。

东大15春学期《机械设计》在线作业1答案一、单选题（共 10 道试题，共 50 分。

）1. 轴直径计算公式，（）。

A. 只考虑了轴的弯曲疲劳强度B. 考虑了弯曲和扭转应力的合成C. 只考虑了轴的扭转强度条件D. 考虑了轴的扭转刚度正确答案：C2. 对轴进行表面强化处理，可以提高轴的（）。

A. 疲劳强度B. 刚度C. 静强度D. 耐冲击性能正确答案：A3. 齿轮传动中引起附加动载荷、产生振动、冲击的主要原因是（）。

A. 齿形误差B. 周节误差C. 基节误差D. 中心距误差正确答案：C4. 某材料制成的零件工作中受静拉力作用，危险截面处的最大应力，材料的屈服极限，硬度为200HBS，许用拉应力，则零件的许用安全系数[S]为（）。

A. 1.25B. 1.40C. 1.60D. 2.25正确答案：C5. 蜗杆传动的当量摩擦系数随着相对滑动速度的增大而（）。

A. 增大B. 减小C. 不变D. 不确定正确答案：B6. 对于闭式蜗杆传动进行热平衡计算，其主要目的是为了防止温度过高导致（）。

A. 零件力学性能下降B. 润滑油变质C. 蜗杆热变形过大D. 润滑油黏度降低而使润滑条件恶化正确答案：D7. 为了限制链传动的动载荷，在链节距河小链轮齿数一定时，应限制（）。

A. 小链轮的转速B. 传递的功率C. 传递的圆周力D. 传动比正确答案：A8. 一对圆柱齿轮，通常把小齿轮的齿宽做的比大齿轮宽一些，其主要原因是（）。

A. 为使传动平稳B. 为了提高传动效率C. 为了提高齿面接触强度D. 为了便于安装，保证接触线长正确答案：D9.某齿轮传动装置如图所示，轮1为主动轮，当轮1作双向回转时，则轮1齿面接触应力按（）变化。

A. 对称循环B. 脉动循环C. 循环特性r=-0.5的循环D. 循环特性r=+1的循环正确答案：A10. 在直齿圆柱齿轮设计中，若中心距保持不变，而增大模数m，则可以（）。

A. 提高齿面的接触强度B. 提高轮齿的弯曲强度C. 弯曲与接触强度均可提高D. 弯曲与接触强度均不变正确答案：B15春学期《机械设计》在线作业1二、判断题（共 10 道试题，共 50 分。

广大考生请注意：众所周知，考研真题是考研复习过程中极为重要的复习资料。

为了帮助大家顺利通过研究生入学考试，勤思考研辅导老师会在第一时间为大家搜集整理历年心理学考研真题及相关的复习资料，希望对大家的复习备考有所帮助！不管你是咨询2015年复试技巧，还是2016年考研的复习计划，我们的老师都会耐心解决你的问题，让你少走弯路，助你考研成功。

2015东南大学心理学考研真题（部分题目）1、简述社会化2、简述马斯洛需要层次3、影响人格发展的主要因素4、简述常模参照测验5、简述我发现学习理论观点6、什么是内隐记忆，研究内隐记忆的意义7、根据维果茨基社会文化历史观，联系实际谈谈思维发展和语言的关系8、关于小悦悦事件，谈谈当时18位路人无动于衷的行为原因2015东南大学心理学考研真题解析一、考试内容二、试卷结构分析三、题目分析以及复习策略题目分析：简答社会心理学原理解释“一个和尚挑水喝，两个和尚抬水喝，三个和尚没水喝”的现象。

勤思考研辅导老师提醒考点参照社会心理学责任分散。

论述评述以下在心理学研究中常用的研究技术的优点、局限性和应用现状ERP技术 fMRI技术眼动技术其他某一种你熟悉的研究技术勤思张老师提醒考点为实验心理学的研究技术论述,在实验心理学第五章常用的心理学实验技能 PET 脑磁图等参考。

四、复习建议：1．东南大学考题中以选择题为主，主要普通心理学分值很多不可轻视，题难度不大应多拿分。

普通心理学是基础，不允许丢分，复习时一定要打好基础，知识点看仔细。

2．勤思张老师提醒一定要把范围和面铺开，尤其是跨考的同学，心理学素养一定要有。

学校给的参考书里根本没有社会，最后社会考了一个简答一个论述。

3．如果你已经不迷信所谓的重难点了，那是不是打算每个科目都看好几本参考书呢？那张老师告诉你，无论你打算啃多少参考书。

你的书单里必须有实验、统计、测量这些。

不要告诉我之前的学姐学长告诉我不考。

偏偏到你这里就考了呢？今年的题里实验统计测量一样都不少4．实验心理学、社会心理学所占分数比重很大，简答论述都考了。

来自QQ2102905080
东南大学2015年研究生入学考试传热学(回忆版)
一、术语解释（3*10）
肋效率傅里叶数表面热阻总传热系数表面传热系数
牛顿冷却公式光谱辐射率换热器效能时间常数有效辐射
二、模型分析
1、把一个高温小球放到环境中，分析影响小球内部温度分布与时间
的规律的因素，分析影响小球内部温度变化的因素
2、一维非稳态有内热源平板导热边界节点显性差分方程
3、影响温度计测量精度的因素，提高温度测量精度的措施
4、恒定热流密度的管内对流换热系数随x的变化规律，以及流体温
度随时间变化规律
5、根据管内自然对流实验关联式推到传热系数与管径的关系
三、计算题
1、一个内部是110度的蒸汽管道，管径133mm，保温材料1，导热
系数0.04，保温材料2，导热系数0.08，厚度都为30mm，问从减少
散热量的角度分析，应该把哪中材料放在里面，并估计散热量,外部
环境温度10度，h为425w/m2k
2、两个圆盘上下平行放置，直径都是1m，表面1的0.8 900k，
表面2 0.9 300k，1-2角系数0.85，外部环境相当于0k的黑体，画出图，求1表面的净辐射量1-2的辐射量
3、换热器内逆流换热，用175度的油加热35度的水到90度，水
的cp4200，油的cp2100，水的q0.8，油q0.9，换热系数425，求
换热面积、换热器单元数、换热器效能、，画出温度变化图
4、温度为65的管道加热30度水到50度，水的流量0.8，管径
25mm，求表面传热系数，求单位长度1m的换热量。

教育硕士入学考试教育综合真题东北师范大学2015年(总分150, 做题时间90分钟)第一部分教育学原理一、名词解释1.狭义教育SSS_TEXT_QUSTI分值: 5狭义教育是指专门组织的教育，主要指学校教育。

它是根据一定社会的现实和未来的需要，遵循受教育者身心发展的规律，有目的、有计划、有组织地引导受教育者主动地学习，积极进行经验的改组和改造，促使他们提高素质、健全人格的一种活动，以便把受教育者培养成为适应一定的社会需要，能促进社会的发展的人。

2.隐性课程SSS_TEXT_QUSTI分值: 5隐性课程是以内隐的、间接的方式呈现的课程，也称潜在课程、隐蔽课程。

隐性课程是学生在显性课程以外所获得的所有学校教育的经验，不作为获得特定教育学历或资格证书的必备条件。

隐性课程的主要表现形式有观念性隐性课程、物质性隐性课程、制度性隐性课程和心理性隐性课程等。

隐性课程是学生思想意识形成的重要诱因，是进行道德教育的重要手段，是学生主体成长发展的重要精神食粮。

3.榜样示范法SSS_TEXT_QUSTI分值: 5榜样示范法是以他人的高尚思想、模范行为和卓越成就来影响学生品德的方法。

这种方法的特点是把抽象的道德规范和高深的政治思想原理具体化、人格化，以生动具体的典型形象影响学生心理，使教育有很强的吸引力、说服力和感染力。

榜样的类型有伟人的典范、教育者的示范、学生中的好样板等。

为了充分有效地发挥榜样的教育作用，教育者要做到：所选榜样必须真实可信；帮助学生缩短自己和榜样的角色距离；促使榜样成为学生自律的力量。

4.教学评价SSS_TEXT_QUSTI分值: 5教学评价是对教学工作质量所作的测量、分析和评定。

它以参与教学活动的教师、学生，教学目标、内容、方法，教学设备、场地和时间等因素的有机组合的过程和结果为评价对象，是对教学活动的整体功能所作的评价。

教学评价是实现教学目的的重要手段，它是为了解、诊断、评定、调整与促进教学服务的。

一，填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ,{}5,4,2=B ,则集合B A 中圆素地个数为_______.【结果】5【思路】试题思路：{123}{245}{12345}5A B == ，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据地平均数为________.【结果】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位）,则z 地模为_______.【思路】试题思路：22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=考点：复数地模,可知输出地结果S 为________.【结果】7【思路】试题思路：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环,输出7.S =考点：循环结构流程图5.袋中有形状，大小都相同地4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同地概率为________.【结果】5.6（第4题图）考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(,b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -地值为______.【结果】3-【思路】试题思路：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-考点：向量相等7.不等式224x x-<地解集为________.【结果】(1,2).-【思路】试题思路：由题意得：2212x x x -<⇒-<<,解集为(1,2).-考点：解指数不等式与一圆二次不等式8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β地值为_______.【结果】3【思路】试题思路：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作地底面半径为5,高为4地圆锥和底面半径为2，高为8地圆柱各一个。

东南大学2015年硕士研究生入学考试初试试题（A卷）科目代码：505 满分：150分科目名称：规划设计基础（快题，6小时）注意：1认真阅读答题纸上的注意事项；2所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上均无效；3本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！南京城南老城更新中的创意街区规划一、概况城南老城是南京历史传统特色风貌区。

随着老城传统住区的环境改造，一些闲置老工厂的改造开始纳入南京城市文化创意产业发展计划，位于门东地区的南京棉毛纺织厂成为这一发展计划的先行区。

纺织厂北距“夫子庙”200米，东离“白鹭洲”200米，南至南京“老门东”700米，北临内秦淮河（宽20米），厂区南、西南以地区街道为界，基地东侧道路是城南地区生活性干道（宽24米），南侧与西侧街道为老城传统街巷，规划拓宽到14米，是门东地区居民生活与通勤的主街，城市公交车站位于厂区的东北角，厂区内有幢民国年间建造的纺织车间，为城南传统工业建筑的代表，需保留。

政府意向将厂区打造成文化创意产业发展基地、金陵艺术家工作坊群、城市文化休闲旅游目的地，成为老城南重要的公共文化活动聚集场所。

二、方案征集选择纺织厂地块作为创意园区发展的先行区，地方政府寄希望于厂区的开发，将南侧“老门东”，北面“夫子庙”与东部“白鹭洲”公园等文化、旅游休闲资源整合起来，引领老城新一轮产业与旅游发展。

征集方案规划面积7.0公顷（详见附图，比例1:2000），容积率为1.0，建筑密度为35%，绿地率为25%，沿河控制13米绿带，具体要求如下：1.规划区作为城市产业与休闲功能拓展区，创意文化产业发展是主要动因，保护与新建建筑应与周边传统个风貌协调，同时要有风格创新，体现时代特色，满足青年人时尚休闲与创新体验需求；2.规划总建筑面积不得超过70000平方米（包括2950平米昂米的保留厂房面积）。

其中，艺术家独立工作坊（200-300平方米/幢），避免外部干扰，不少于30个；独栋办公楼（1000-1500平方米，即一个公司一栋建筑，独立门禁管理）10个；综合办公楼20000平方米；街区多功能活动中心4000平方米，内设展示、表演与学术交流设施、游客服务中心等；商业、餐饮、文化休闲设施15000平方米；3.规划地区西、南、北侧新建建筑需退后边界13米；东侧需退后边界20米。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上.(1)下列反常积分收敛的是()2・t 工函数f x 齐叫1 ^x 》)t 在(」：，：：)内()a 1门x cos —p — 01 f 0 二 lim ------ x---- 二 lim x 4cos j10xX T x(A) :1 」x dx (B)(C)三丄dx2xlnx(D)::x2护【答案】(D) 【解析】=_(x 1)e_ ，则 ^dx = _(x 1)e*e-bo2，只有一个选项符合(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 有无穷间断点【答案】(B)(D) x 1 2sin t x 2Sin t — lim -------- 【解析】f(x)=1叫(1 ■—)t 二 &0,xt二e x ， x = 0，故f (x)有可去间断点x = 0 . ⑶设函数f x =x ：cos*,x 0G 0/ 0)，若f ' x 在x = 0处连续则：()(A)—>0(C)# >2 -T- < 2【答案】(A)【解析】x ：0时,f x ]=0 f_ 0 =0x 0时,二 x 4cos 丄 x _ ysinx1f x 在 x = 0 处连续则：f _ 0 = f. 0 = lim x - cos 0 得:-1 0xJ 0x 1 1 、•]f 0 = lim + f x = lim + :x A cos x^'Asi n =0 T T I x Hx HJ得：：•-] -1 0，答案选择A ⑷设函数f (x)在—：：，•二内连续，其中二阶导数 f “(X)的图形如图所示，则曲线y = f (x)的拐点的个数为【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解数f x, y 在D 上连续，则11 f x, y dxdy 二D(A) 0 【答(B) 1 (C) 2(C)(D)3【解析】根据图像观察存在两点, 为2个.⑸设函数f u,v 满足f x y=x 1 2 -y 2，则,:u u =1 v =1u =1 v =1 依次是 (A) 2,0 【答案】(D)(B) 0,舟(D)令 u = x y,vx从而 f(x y 」)二 x 2xo -y 变为 因而fcuu -1 v =1Pl\2uv + v 」二 u^.故 -丄•故选(D ).2.:u(6)设D 是第一象限由曲线2u(1-v) 2u 2-：v2 ?(1 v)2xy = 1，4xy = 1 与直线 y =x ， y = . 3x 围成的平面区域，函JI二阶导数变号•则拐点个数(B)JT J 為d 日 門2H f(rcos 日,rsin 日 ydr4；2sin2 (C) H 1-3dv sin i 2- f rcosv,rsin dr 4 2sin2-i (D) 匹 1启曲f(rcosO,rsin 日 pr 护sin 2 H【答案】 【解析】 （B ）根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为所以 =舟(r,8) — <0JT1 J_<r < 亠］3 ' 2sin 2二、sin 2=f(x,y)dxdy = 3d} D 1si；G f (r cosv,rsin = )rdr .2sin 2 d‘11 1 '*1、 ⑺设矩阵A = 1 2 a ,b = d J4 a丿 <d 2>故选B. •若集合门 解的充分必要条件为 ( ) =「12，则线性方程组 Ax = b 有无穷多 (A) (B) (C) (D) 广11 1 1、r 1 1 11 、 【解析】（A,b ） = 12 a d T 0 1 a-1 d-1J 4 2 a dje 0 (a-1)(a-2) (d-1)(d —2)」 【答案】 (D) =T (A,b) ：：： 3，故 a =1 或 a = 2,同时 d =1或 d = 2 •故选(D ) 由 r(A) （8）设二次型f x 1,x 2, X 3在正交变换x = Py 下的标准形为2y 2y 2 y 3，其中P = （e 1,e 2,氏），若Q = （-氏，e 2）则f =（X 1,X 2,X 3）在正交变换x =Qy 下的标准形为（）（A ） 2yj -y ：住（B ） 2y f W2 2 2 2 2 2(C) 2y i -y 2 -y 3 (D) 2% g 七【答案】(A)【解析】由 x =Py ，故 f 二x T Ax 二 y T (P T AP)y =2y 2 y 2 - y 3(2 0 O' 且 P TAP = ：O 1 0 .(0 0 -b广1 00A由已知可得Q = P 00 1 = PC<0-10」<2 0 0A故 Q TAQ =C T(P TAP)C = 0-10 L0 0b所以 f = x T Ax = y T (Q T AQ) y = 2 y 2 - y ； y ；.选(A ) 二、填空题：9 14小题,每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸(10)函数f(x) =x 2公在x=0处的n 阶导数f n (0)二 【答案】n n T In 2 ° 【解析】根据莱布尼茨公式得：f (n )(0 ) = C ：2(2x阳 =n(n T)2(l 门2厂=n(n- 1)(l n 2 )n X =O 2x 2(11)设 f x 连续，’ x l= ；0 xf t dt ，若1 =1^1 =5， 【答案】2指定位置上.(9)《y 【答案】x =arctant-3t t 3d 2ydx 2t土48 【解析】= 48.d 2y d dx 2dx212^=12t(1 t 2)2FTx1 2 3x2 2 2【解析】已知(x) =x o f(t)dt，求导得「(x) f(t)dt 2x2f(X2)，故有1:⑴二0f(t)dt =1,:(1) =1 2f (1)=5,则f (1)=2.(12)设函数y = y x是微分方程y" • y' -2y =0的解，且在x=0处y x取得极值3,则y x= ----------- .【答案】e2x2e x【解析】由题意知：y0 =3，y 0 =0，由特征方程：，2…_2=0解得=1, = -2 所以微分方程的通解为：y=G e x•C2e°x代入y 0]=3，y 0]=0解得：G =2 C2=1 解得：y = 2e x■ e^x(13)若函数Z =z(x, y )由方程e x知卡z+xyz=1确定，则dz(0,0)= ________________ .1【答案】dx 2dy3【解析】当x = 0, y = 0时z =0，则对该式两边求偏导可得x 2y 3z zx 2y 3z(3e xy) yz -eex(3e x 2y 3z - xy)^ = -xz -2e x 2y 3z.将( 0,0,0)点值代入即有1 2 1则可得dz|(00)= __dx __ dy = __(dx + 2dy ).3 3 3(14)若3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，B =A2- A • E，其中E为3阶单位阵，则行列式B = _____ .【答案】21【解析】A的所有特征值为2,-2」.B的所有特征值为3,7,1所以|B | = 3 7 1 =21・三、解答题：15〜23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、.z:x (0,0) 1 _cz__3,石(0,0)证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)设函数 f(x)=x aln(1 x) bxsinx , g(x)二 kx 3 •若 f(x)与 g(x)在 x > 0 时是等价无穷小，求a, b,k 的值.【答案】^-1,^ —,b3【解析】 方法一:那么,1=lim3=lim ix x aln(1>^)bxsinxx 0g(x) x fikxa 2 a 33(1 a)x (b )x 2x 3o(x 3)可得：b-a=0,2 a方法二: 由题意得= limJ 」 x 0kx 31 -lim x 0 g(x) 二 lim X —0x a ln(1 x) bx sin x kx 3 1 — bsinx bx cosx二 lim 2~ x ① 3kx 2由分母 lim 3kx 2 二 0，得分子 lim (1 a bsin x bxcosx) = lim (1 a) = 0，求得 x ]0 X 「0 ' 1 亠 x x >0X' c ; 是1二lim t g(x) 1 1 bsin x bx cosx 1 ■■ x =lim 1~x2 -------xQ 3kx x b(1 x)sin x bx(1 x)cosx 二 lim2x —3kx (1 x )_li m x +b(1 +x)s i nx +bx(1 +x)c oxxT3kx 2x 2x 3_ _ (3)因为 ln(1 x) = xo(x )， sin x =x3o(x 3)，所以, a = -1*b = —12, 1 k = I 3li m 1 + bsin x +b(1 +x)cosx +b(1 +x) cosx + bxcosx — bx(1 + x)sin x_x 06kx由分母lim 6kx = 0，得分子x ]0 I 叫1 bsin x 2b(1 x) cosx - bxcosx -bx(1 x) sin x] = lim (1 2b cosx) = 0， 1 求得b --—； 2 b 值代入原式 进一步， f(x) 1 =lim x —0 g(x) 1 1 1 1 sin x -(1 x)cosx xcosx x(1 x)sinx Jim 2 2 2 x 「°6kx 1=lim - x )0 1 111 11 cosx - cosx (1 x)sinx cosx xsinx (1 x)sin x xsinx x(1 x)cosx2 2 2 2 2 2 6k 1-2 1 2，求得k 6k 3(16)(本题满分10分)设A>0 , D 是由曲线段y=Asin x(0乞x _ ?)及直线y = 0， 31^2所围成的平面区域，V 1， V 2分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若 【答案】8【解析】由旋转体的体积公式，得Tt K o 2 二f 2(x)dx 二:二(Asinx)2dx 二-A亏1 一 cos2x ,2dx =n 22「xf (x)dx =-2二A 2 xd cox ^2A 0 0 0 由题V 1 =V2,求得A .JIV 2二(17)(本题满分11分) 已知函数 f (x, y)满足 fx ；(x, y) =2(y 1)e x，f x (x,O) x 2=(x 1)e ，f(0, y^y 2y ，求f (x,y)的极值. 【答案】极小值f(0, -1) = -1【解析】f xy (x, y)二2(y 1)e x两边对y 积分，得1 2 x 2 xf x (x, y)=2(—y y)e (x) =(y 2y)e (x),2故 f x (x,O) = ：(x) =(x 1)e x , 求得「(x)二 e x (x 1),故 f x (x, y) =(y 2 • 2y)e x e x (V x)，两边关于 x 积分，得 f (x, y) =(y 2 2y)e x 亠 i e x (1 x)dx二(y 2 2y)e x(1 x)de x=(y 22y)e x(1 x)e x- e xdx=(y 22y)e x(1 x)e x-e xC=(y 22y)e xxe xC由 f (0,y) =y 2 2y C =y 2 2y ，求得 C =0.所以 f (x, y) = (y 2 ■ 2y)e x xe x .f x = (y 22 y) e xe xxe xf ；=(2y+2)e x=0又 f xx =(y 2 2y)e x 2e x xe x ,f xy =2(v 1)e x, f yy=2e x,当 x =0,y =-1 时，A 二 f xx (0, -1)=1, B 二 f xy (0,-1) =0, C 二 f yy (0,-1) =2 ,2AC - B ・0, f(0, -1) = T 为极小值.(18)(本题满分10分)计算二重积分 nx(x y)dxdy ，其中 D - "x, y) x 2 y 2 _ 2, y _ x 2'DH 2 【答案】一-兰45【解析】iix(x y)dxdy 二x 2dxdyDD1 2/ 2=2 dx 2 x dyx2，求得丿x ==2 °x 6 7 8( 2 —x 2—x 2)dx2 u 謬t ：少=2:sin 22tdt蔦匚角n 2udu飞 (19)(本题满分11分)已知函数f X i ；二・t 2dt • X .1 tdt ，求f X 零点的个数? 【答案】2个【解析】f (x) = - 1 x 22x. 1 x 2= . 1 x 2(2x -1)令f (x) =0,得驻点为X ^1,211在(-：：,_) , f(x)单调递减，在(_,：：) , f (x)单调递增2 21 故f()为唯一的极小值，也是最小值. 2_______ 1 _________________ ___________________ _________________而 f ㈠二1. 1 t 2dt 亠 I 9 , 1 tdt 二 1. 1 t 2dt - 八 1 tdt222 4________________ 1二 1.1 t 2dt - 1 .1td - 1 -1 td2 2 4< .1 t ，故 1.1 t 2dt - 1 , 1 tdt < 02 26 1所以函数f （X ）在（-:：，）及（-，•：：）上各有一个零点，所以零点个数为 2.7 2（20）（本题满分10分）f(b) f(b) f(b) f(b)f(b)-f () f (b^ f ( ) f (b)「( ) f (b)f ()因为「(x)0所以f (x)单调递增所以 f (b) f ()所以怡一a 0，即X0 a ，所以a ■ x 0 ::: b ，结论得证=2 'x 2、2 -x 2dx -二5x • • 2sint71 4 2sin 2t2cos 2tdt1从而有f ( ) ::: 02lim f(x) = lim[ . 12t 2dt : .fldt]2x2-------t 2dt=+oC=Jim[ Fldt _「1 t 2dt]f / +tdt 2xJ1 +x2考虑lim _1X lim ，所以lim f(x)=::—.1 t2dt x心门x2 x心130min后该物体降至30 C，若要将该物体的温度继续降至21 C，还需冷却多长时间? 【答案】30min【解析】设t时刻物体温度为x(t)，比例常数为k( . 0)，介质温度为m,则dx k(x —m)，从而x(t) =Ce 上七m，dtx(0) =120, m =20，所以C TOO ,即x(t) =100e» 201 1又x(—) =30,所以k= 2ln10，所以x(t) 口202 100当x =21时，t = 1,所以还需要冷却3 0 min.(21)(本题满分10分)已知函数f x在区间[a,+ ：：1上具有2阶导数，f a]=0, f x 0, 设b a，曲线y = f x在点b, f b 处的切线与x轴的交点是x°,0 , a ：：： x0 :: b .【证明】根据题意得点(b, f(b))处的切线方程为y - f (b) = f (b)(x-b)令y =0，得x0 =bf (b)因为f (x) 0所以f (x)单调递增，又因为f(a) =0所以f (b) 0，又因为f (b)・0又因为x0 -a =b - a -丄型，而在区间(a,b)上应用拉格朗日中值定理有0 f (b)f(b) -f(a)b -a =f ( )/(a,b )所以-a =b _a f '' x ■ 0，I 21 12一-J22=E-AX E-A [=E = X =[E - A E - A i ；=仲 - A E - A2 」二 X 二 E - A -AS-11、 2E-A —A= -111 ，厂1-1 2」P -1 1M0 0^5-1 -1MD -1 0"-1 1 1M0 1 0 T 0 -1 1 M1 0 0 l —1 -1 2M0 0 1」<-1 -1 2M0 0 b广1 -1 -1M0 -1 0^-1 -1M0-1 0" T1-1M1 00 T0 1 -1M10 0<0 -21 M0 -1 h卫 0-1M2 - -1 b-1 0憧0-r『10 0M3 1-2T1 0M1 1 -1 T 0 1 0M11 -1<0 0 1憧 1 -b<0 0 1血 1 T 」12 1 -1 丿(23)(本题满分11 分)'a 1 0、 设矩阵A =1 a -1 且 A 3=021 a >(1) 求a 的值；(22)(本题满分11分)(2⑵若矩阵X 满足X _ XA 2【答案】a = 0, X=-1a 1 01 0⑴ A 3=0二 A =0= 1 a -1 = 1-a 2a -10 1 a_a1 a【解析】=a = 0= a = 0 (II)由题意知 X -XA 2_AX AXA 2二E= X E _A 2-AX E _ A 2EE 为3阶单位阵，求X .-AX AXA 2- E-1(0 2 —3 计(1—2 0]设矩阵A = -1 3 -3 相似于矩阵B= 0 b 0J 一2 a 丿<0 3 1丿(1)求a,b的值；(2)求可逆矩阵P，使p二AP为对角阵.【答案】(1) a=4,b=5 ；(2)"2 -3 -1、P = 1 0 -1<0 1 1」【解析】(I) A ~ B = tr (A) =tr (B) = 3 a = 1 b 10 2 -3 1 -2 0A =B ―-1 3 -3 = 0 b 01 -2 a 03 1a -b = —1 1 a = 4{ 二彳2a-b=3 b=5S 2 -3^ ‘1 0 0、r-1 2 -3"(II) A =-1 3 -3 = 0 1 0 +-1 2 -3 =E+C J-23.<0 0 b J 一2 3」1 2 -3"C = -1 2 -3 = _1 (1-2 3)J -2 3」<1C的特征值\ -，2=0, ‘3 =4'_ 0时(0E -C)x =0 的基础解系为1=(2,1,0)T; 2 =(-3,0,1)T ■ =5时(4E-C)x=0 的基础解系为l=(T,T,1)TA的特征值扎A =1 +:1,1,5•2-3 -1、Z1令P =G,勺,J)= 1 0 _1 ，••• P，AP= 1<0 1 1」<51 1 1f x = ： x，cos 1 x sin 彳1(A) ：3d"sinjn f rcos^rsin^ rdr4 2sin 2 二已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120 C的物体在20 C的恒温介质中冷却,。