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抽象代数电子教案

《抽象代数》课程教案

第一章基本概念

教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。

教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。

教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。

教学措施：黑板板书与口授教学法。教学时数：12学时。教学过程：

§1 集合

定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集

合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。

定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。（2）集合表示：

习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，

习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。

若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）：例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。

3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之

间的关系。

（3）集合的蕴含（包含）

定义：若集B 中每个元素都属于集A ，则称B 是A 的子集，记为A B ?，否则说

B 是A 的子集，记为A B ?. 定义：设A B ?，且存在B a A a ?∈但，那么称B 是A 的真子集，否则称B 不是

A 的真子集。

定义：若集合A 和B 含有完全一样的元素，那么称A 与B 相等，记为A =B . 结论：显然，A B B A B A ???=且. （4）集合的运算

①集合的并：{}

B x A x x B A ∈∈=或 ②集合的交：{}B x A x x B A ∈∈=且 ③集合的差：{}B x A x x B A ?∈=-且 ④集合在全集内的补：{}A x E x x A ?∈=且 ⑤集合的布尔和（对称差）：

{})()()()( B A B A A B B A B A x B x A x x B A -=--=?∈∈=⊕但或 ⑥集合的卡氏积：{}B b A a b a B A ∈∈=?且),(

注：B A ?中的元素可看成由A 和B 坐标轴所张成的平面上的点。卡氏积的推广：

{}

m i A a a a a A A A A m A A A i i m m m

i i m ,,2,1,),,,( ,,,21211

21 =∈=???=∏=：

成的卡氏积为个集合，那么由它们做是令

对上述集合运算，可以得到一批基本公式：

B A A A B A A A A A A A A A E E A A A E A A A E A A A

C A B A C B A C A B A C B A C

B A

C B A C B A C B A A B B A A B B A ================)(;)()6(;;;)5(.;;;)4()()()();()()()3()()(;)()()2(.

;)1( 吸收律：φφφφ

例题：

例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B={2}

A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A ∩B=空集合.

例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A ∪B={1.2.3.4.6} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A ∪B={1.2.3.4.5.6}

§2 映射

定义：设φ是集合A 到B 的一个对应法则：对于任何一个12n A A A ??

?的元

12()()n i i a a a a A ??

?∈，都能够得到一个唯一的D 的元d ，那么这个法则φ

叫做集合12n A A A ??

?到集合D 的一个映射。

其中，元d 是12()n a a a ??

?在映射φ的象，a 是b 在φ下的逆象。

例1：A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合. φ：（a 1,a 2,……,a n ）→ a 12+a 22+……+a n 2=φ(a 1,a 2,…,a n )是一个 A 1×A 2×…×A N 到D 的映射.

例2 ：A 1={东,西},A 2={南}，D={高,低}

φ1：（西,南）→高=φ1（西,南）不是一个A 1×A 2到D 的映射. φ2:(西,南）→高，（东,南）→低，则φ2是一个A 1×A 2到D 的映射.

例3：A 1=D=所有实数所成的集合. φ：a →a 若a ≠1 1→b 这里b 2=1 不是一个A 1到D 的映射.

例4：A 1=D=所有实数所成的集合.

φ：a →a-1不是一个A 1到D 的映射. 定义：我们说，12n A A A ??

?到集合D 的两个映射φ1与φ2是相同的，假如对任何一个元12()n a a a ???来说，φ112()n a a a ??

?=φ212()n a a a ??

?。

例5：A=D=所有正整数的集合. φ1：a →1=φ1（a ）

φ2: a →0a =φ2（a ）则φ1与φ2是相同的.

§3 代数运算

设给定D A A A f D A A A m m →?????? 2121:的映射到，如果n=2时，f 就叫做代数运算。一般地有

定义：任一个D B A 到?的映射都叫做D B A 到?的一个代数运算。

例1：A={所有整数}，B={所有不等于零的整数}。D={所有有理数}

0：（a.b ） b

=a b 是一个A×B 到D 的代数运算，即普通的除法.

例2：令V 是数域F 上一个向量空间，那么F 的数与V 的向量空间的乘法是一个

F×V 到V 的代数运算.

例3：A={1},B={2},D={奇，偶} 0：（1.2）→奇=1 2 是一个A×B 到D 的代数运算.

例4 A={1.2},B={1.2},D={奇，偶} 0：（1.1）→奇（2.2）→奇（1.2）→奇（2.1）→偶是一个A×B 到D 的代数运算.

代数运算表：当B A ,都是有限集时，那么D B A 到?的每一个代数运算都可以用运算表表示。

设{}{}m n b b b B a a a A ,,,,,,,2121 ==，则运算表为：

注：对于代数运算D A B →?的运算表，要求B A 与中元素在上表中的位置互换。

在实际工作中，更多的是D B A ==的情形，这时，有如下定义：定义：若A A A 到是? 的代数运算，则可称是A 的代数运算或二元运算。

§4 结合律

例题:A={所有整数}，代数运算是普通减法那么（a-b ）-c ≠a-(b-c) 除非c=0.

定义：设是集合A 的一个代数运算，如果A c b a ∈?,,都有)()(c b a c b a =，

则称满足结合律。

定义：设A 中的代数运算为，任取)2(>n n 个元素n a a a ,,,21 ，如果所有加括

号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用n a a a 21来表示。

定理：如果A 的代数运算满足结合律，那么对于A 的任意)2(≥n n 个元素

n a a a ,,,21 来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的

结果就可用n a a a 21来表示。

[论证思路] ?

因n 是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。

?任取一种加括号的步骤)(21n a a a π，往证：

)()(2121n n a a a a a a =π

对n 用数学归纳法。

①2121)(b b a a a n =π

②1b 和2b 分别是i 和i n -个元素经加括号而运算的结果. ③1,1-≤--≤n i n n i ，由归纳假设释之.

§5交换律

定义：设是集合A 的一个代数运算，如果A b a ∈?,都有a b b a =，则称满足

交换律。

定理：设A 的代数运算同时满足结合律和交换律，那么n a a a 21中的元的

次序可以任意掉换。

[论证思路] ?

采用数学归纳法，归纳假设1-n 时命题成立.

?对n 的情形，任掉换i a 的位置，使之成为n i i i a a a 21.

?注意n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列. 令n i k =. ?

用结合律和归纳法假设证明之.

§6分配律

代数运算?与⊕的第一分配律和第二分配律的定义，以及⊕的结合律与这两种分配律的综合运用

定义：设B A ,都是集合，而?是A A B →?的代数运算，而⊕是A 的代数运算，

如果A a a B b ∈?∈?21,,，都有

)()()(2121a b a b a a b ?⊕?=⊕?

那么称⊕?,适合第一分配律。

例. 假如B 与A 都是全体实数的集合，?和⊕就是普通的乘法和加法，则 b ? (a 1⊕a 2)=(b ?a 1) ⊕ (b ?a 2)就变为

b(a 1+a 2)=(ba 1)+(ba 2) 定理1：设B A ,和⊕?,如上，如果⊕满足结合律，且⊕?,满足第一分配律，那么

A a a a

B b n ∈?∈?,,,,21 ，都有

)()()()(2121n n a b a b a b a a a b ?⊕⊕?⊕?=⊕⊕⊕?

[论证思路] ?

采用数学归纳法，归纳假设1-n 时命题成立。 ?

先后利用：结合律——2=n 的归纳假设——1-n 的归纳假设直至完成证明。定义：设B A ,和⊕?,同上，若A a a B b ∈?∈?21,,，若有

)()()(2121b a b a b a a ?⊕?=?⊕，那么称⊕?,满足第二分配律.

定理2：设B A ,和⊕?,同上，若⊕适合结合律，而⊕?,适合第二分配律。那么

)()()(,,,,,1121b a b a b a a A a a a B b n n n ?⊕⊕?=?⊕⊕∈?∈? 都有。

§7 一一映射、变换

在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。

例1：A={1，2，3，4，5} A ={2，4，6，8}

则 φ：1→ 2，2 →4，3→6，4→2，5→2。是一个A 到A 的映射. 例2：A={1，2，3，…} A ={奇，偶} 则

φ：1，3，5，…→奇，2，4，6…→偶是一个A 到A 的映射. 定义：若是在一个集合A 到A 的映射?下，A 的每一个元都至少是A 中某一个元

的象，那么?叫做一个A 到A 的满射。定义：一个A 到A 的映射，

:a a ?→叫做一个A 到A 单射，假如

a b a b ≠?≠。

定义：设?是集合A 到A 的映射，且?既是单的又是满的，则称?是一个一一映

射（双射）。

例3：:{1,2,3,}2{2,4,6,}Z Z ?=→=，

其中Z n n n ∈?=,2)(?，可知?显然是一个双射。

注意：Z 与偶数集Z 2之间存在双射，这表明：Z 与它的一个真子集Z 2一样“大”。思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A 为无限集的充要条件是A 与其某个真子集之间存在双射。

定理：一个A 到A 的一一映射?带来一个通常用1-?表示的A 到A 间的一一映射。证明：由于?是A 到A 的双射，那么就A 中任一个元素a ，它在A 中都有逆象a ，并且这个逆象a 是唯一的。利用?的这一特点，则可确定由A 到A 的映射1-?：

a a A a A A =∈?→--)(,,:11??，如果a a =)(?，由上述说明，易知1-?是映射。

1-?是满射：A a ∈?，因?是映射a a A a =∈??)(,?使，再由1-?的定义知

a a =-)(1?，这恰说明，a 是a 在1-?下的逆象。由a 的任意性，知1-?是满射。

1-?是单射：2121,,a a A a a ≠∈?若由?是满射21a a 及?的逆象分别是

22111121)(,)(,a a a a a a ==--??即及，又?是单射21a a ≠?，

这说明)()(2111a a --≠??，所以1-?是单射。综合上述讨论知：1-?是A 到A 的一个双射。结论：设A A →:?是映射，那么：

（1）?是双射??可唯一的确定一个逆映射A A →-:1?，使得：

? 1-?是双射； ? A A 1,111==--????；

? ?也是1-?的逆映射，且??=--11)(；

（2）?是双射A A 与?同时是有限集或同时是无限集。

定义：一个A 到A 的映射叫做A 的一个变换。

一个A 到A 的一一映射（单射，满射）时，也称为A 的一个一一变换（单射变换，满射变换）

例4：A={所有实数}。 τ：X →e x

是A 的一个单射变换.

例5：A={所有整数}。 τ：a →

假如a 是偶数 a →2

+a 假如a 是奇数

是A 的一个满射变换.

例6：A={1，2，3}

τ1：1→1，2→2，3→3

τ2：1→2，2→3，3→1都是A 的一一变换.

§8 同态

定义：一个A 到A 的映射?叫做一个对于代数运算,和来说的，A 到A 的同态

映射，假如，在?之下，不管a 和b 是A 的那两个元，只要

,a a b b →→

就有 a b a b →。

例1：φ：a →1 (a 是A 的任一元)是一个A 到A 的同态映射，φ1是一个A 到A 的映射，显然对于的任意两个整数a 和b 来说，有a →1, b →1,a+b →1=1×1 例 2：φ2 ：a →1 若a 是偶数 a →-1 若a 是奇数

φ2是一个A 到A 的满射的同态映射

例 3：φ3 ：a →-1(a 是A 的任一元) 固然是一个A 到A 的映射，但不是同态映射

定义：假如对于代数运算,和来说，有一个A 到A 的满射的同态映射存在，则

称这个映射是一个是同态满射。

在近世代数中，同态满射是尤其重要的。

定理1：假设对于代数运算和来说，A 与A 同态，那么 Ⅰ）若适合结合律，也适合结合律 Ⅱ）若适合交换律，也适合交换律。

证明：（1）任取?因,,,A c b a ∈是满射b b a a A c b a ==∈??)(,)(,,,??使，又因为

A 中的满足结合律c b a c b a )()(=? 即))(())((c b a c b a ??=，但是?是同态映射。

)()]()([)()()())((c b a c b a c b a c b a ===?????? c b a c b a c b a c b a )()()]()([)()()))((===?????? 所以c b a c b a )()(= 同理可以证明（2）

定理2：假定，?，⊕都是集合A 的代数运算，?， ⊕都是集合A 的代数运算，

并且存在一个A 到A 的满射φ，使得A 与A 对于代数运算?，?来说同态。对于代数运算⊕，⊕来说也是同态，那么

Ⅰ）若?，⊕ 适合第一分配律，?， ⊕也适合第一分配律 Ⅱ）若?，⊕ 适合第一交换律，?， ⊕也适合第一交换律

证明：（1）?因,,,A c b a ∈?是满射c c b b a a A c b a ===∈??)(,)(,)(,,,???使. 又因为?是关于⊕?,及⊕?,的同态映射?

)()()]()([)]()([)()()]()[()]([))()(()()(c a b a c a b a c a b a c a b a c b a c b a c b a ?⊕?=?⊕?=?⊕?=

?⊕?=⊕?=⊕?=⊕????????????

即)()()(c a b a c b a ?⊕?=⊕?. 同理可证明（2）。

§9 同构、自同构

定义：一个A 到A 的一一映射?是一个对于代数运算,和来说的，A 到A 的同

构映射，假如，在?之下，不管a 和b 是A 的那两个元，只要

,a a b b →→

就有 a b a b →。

假如在一个A 与A 之间，对于代数运算,和来说，存在一个A 到A 的同构映射，则称对于代数运算,和来说，A 与A 同构，记为A A ?。例1：A={1，2，3} . A ={4，5，6}. 1 2 3 4 5 6

1 3 3 3 4 6 6 6

3 3 3 5 6 6 6 3 3 3 3 6 6 6 6

各是A 与A 的代数运算与的表，那么

1→4，2→5，3→6，是一个A 与A 之间的同构映射。

定义：对于代数运算和来说的一个A 到A 的一个同构映射叫做A 的一个对于

来说的A 的自同构。

例2：A={1，2，3} 代数运算由下表给定：

1 2 3

1 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3

那么φ：1→2，2→1，3→3 是一个对于来说的 A 的自同构。

§10 等价关系与集合的分类

定义：设A 为集合，=D {对，错}，那么一个A A ?到D 的映射R 就叫做A 的一

个关系.（也称为二元关系）

若对→),(:b a R ，就称a 与b 符合关系R ，记为aRb 若错→),(:b a R ，就称a 与b 不符合关系R ，记为b R a

由上述定义知，A 中任一对元b a ,，都可以判定a 与b 是否符合这个关系。例1：A={所有实数}

R:(a,b) →对，若是b-a 是正的 (a,b) →错，若是b-a 不是正的是A 的元间的一个关系。定义：设是集合A 的元间的一个关系～叫做一个等价关系，如果～满足以下规律：

（1）反射律（反身性）：a A a ,,∈?～a

（2）对称律（对称性）：,,A b a ∈?当a ～b 时必有b ～a ；（3）推移律（传递性）：,,,A c b a ∈?当a ～b 且b ～c 时，

必有a ～c 。

当a ～b 时，习惯称a 与b 等价。

定义：若把一个集合A 分成若干个叫做类的子集，使得A 的每一个元属于而且只

属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A 的一个分类。定理1：集合A 的每个分类都决定了A 的元间的一个等价关系。

证明：设}{I i A A i ∈?=Ω是A 的一个分类，用Ω我们可以规定A 上的一个二元关系：a ～b a b 与?在同一类里，显然～是A 的一个关系，须证～是等价关系。（1）反身性：a A a a A a I i A a i i ∴∈∈∈?中同在与故使则有,,～a 。（2）对称性：,,A b a ∈?

若a ～b A a b A b a I i b i i ∴∈中在与当然中同在与使则有,,,～a .

（3）传递性：,,,A c b a ∈?

若a ～b b ,～c ，,,,,j i j i A A b A c b A b a I j i ∈?∈同在与中同在与使故存在

a A c a A A i j i ∴?=,同在与由分类的特性知～c 。

定理2：集合A 的一个等价关系～决定A 的一个分类。

证明：,A a ∈?，令x A x a ∈={][～}a ，如此确定的这些子集具有：（1）?≠][a ：由a ～][a a a ∈?；

（2）?=][][b a ，当a 与b 不等价时：若x b a x ?∈][][ ～x a ,～b ，由～的对称性和传递性知a ～b ，推出矛盾，所以?=][][b a 。（3） A

a a A ∈?=

][： A

a a a a A a ∈?∈?∈?][][。

A A a a 是}]{[∈?=Ω∴的一个分类。注意：

（1）a ～][][b a b =? “?”a ～b []b a ∈?

[][]又～传递性由～～],[][,”“,b a b x b x a x a x ?∴∈∴??∈?

b ～][][][a b a b a ??∈?，][][b a =∴

“?”a b a b a a ∴∈?=∈][][][～b （2）若][][][][b a b a =??≠

因为设x a x b a x 即][][][∈?∈ ～x b x a 即又][,∈～b ，由传递性推出a ～b 再由（1）知][][b a =。

定义：假定我们有一个集合的分类，那么，一个类里的任何一个元叫做这个类的

一个代表。刚好由每一类的一个代表组成的集合叫做一个全体代表团。注：由于][a b ∈?，那么b ～a ，这表明对等价类][a 来说，][a 中任何元素b 均可作为][a 的代表，即等价类与其代表元素的选取无关。一种重要的等价关系——同余关系

定义. 任取Z n ∈<0，可以在Z 中确定一种等价关系

b a n aRb Z b a R -?∈?,,:

则称R 为模n 的同余关系，并将aRb 记为 )()

(n b a n b a 模同余≡

由同余关系确定的分类中的等价关系为模n 的剩余类。而由同余关系引导出来的商集R

Z 习惯上记为n Z .

模n 的同余关系为：

4{[0],[1],[2],

,[]}Z n =，其中

[0]{,2,,0,,2,}

[1]{,21,1,1,1,21,}[1]{1,1,1,21,}

n n n n n n n n n n n n =--=-+-+++-=----

第二章群论

教学目的与教学要求：理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法;理解单位元、逆元、元的阶的定义，初步地掌握利用单位元、逆元、元阶的定义证明有关的性质和定理;理解群同态思想，理解若群G 同态G'则群G 的许多代数性质可以传递给它的同态象;理解变换群的定义应用几何上的实际问题，并且理解变换群在群论上的重要性，同群论中具有的普遍性，弄清楚变换群和变换群的区别;理解置换群，n 次对称群，循环置换的定义，搞清楚置换乘法的先后顺序是从右到左，并且搞清楚置换的循环分解，多做练习;理解循环群的思想，理解循环群结构中的主要的结果（i ）数量问题，(ii)构造问题，（iii ）循环群的生成元;理解子群的判定方法和构造群的子群的方法;理解左（右）陪集的思想，理解陪集定义的最基本的两种出发点;

教学重点：群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法;单位元、逆元、消去律、元的阶，并且利用这些概念;有限群的定义，利用有限群的思想，利用定义证明有关定理和例子;群的同态定义，利用群的同态定义证明由G 是群可以推出G'也是群（G~G'条件下）;变换群的定义，Cayley 定理，变换群的判定常用的方法;置换，转换群，n 次对称群，循环置换的定义，利用这些概念的定义证明每一个有限群都一个置换群同构;G=的定义，利用G=的定义，证明有关的定理和命题，（如：循环群，乘余类加群）;子群定义，利用子群定义证明有关的问题，群的一个非空集组成子群的充要条件;左、右陪集的定义，群G 的子群H 的阶，H 在G 里的指数；任两个左（右）陪集间存在双射的概念;

教学难点：群的定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定;群的判定常用的方法。且半群中消去律与元的可逆性之间的关系和定理的证明;掌握群同态定义中的同态映射的要求;变换群的定义，利用变换群在几何上的实际应用和群的理论上的重要性;置换群中元素是n 次置换非常具体，所以n 次置换，及置换乘积是本节中较难的概念;G=（a ）的构选问题，利用G=（a ）的定义证明若a 为无限阶的，则≌{Z,+}；若a 的阶为n ，则 ≌{Zn ，+}

;作成子群的充分必要条件的证明过程，子群的判定方法;左（右）陪集的定义，利用左（右）陪集的定义掌握左（右）陪集的判别条件;

群的第一定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，假如:

Ⅰ。G对于这个乘法来说是闭的；

Ⅱ。结合律成立：a(bc)=(ab)c对G的任意三个元都对；

Ⅲ。对于G的任意两个元a,b来说，方程ax=b和ya=b在G中都有解，是一个有限整数。

例 1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。

例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。

例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。

群G有以下性质：

Ⅳ。G里至少有一个元e,叫做G的一个左单位元，能让

ea=a

对于G的任何元a都成立。

Ⅴ。对于G的每一个元a,在G里至少存在一个元1

a-，叫做a的一个左逆元，能让

a-a=e

成立。这里e是一个固定的左单位元。

证明：略。

群的第二定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，假如:

Ⅰ。G对于这个乘法来说是闭的；

Ⅱ。结合律成立：a(bc)=(ab)c对G的任意三个元都对

Ⅳ。G里至少有一个元e,叫做G的一个左单位元，能让

ea=a

对于G的任何元a都成立；

Ⅴ。对于G的每一个元a,在G里至少存在一个左逆元，能让

a-a=e。

证明思路：1。一个左逆元也一定是一个右逆元；

2．一个左单位元也一定是一个右单位元；

3．最终结论。

定义：一个群叫做有限群，假如这个群的元的个数是一个有限整数。否则这个群叫做无限群。一个有限群元的个数叫做这个群的阶。

定义：一个群叫做交换群，假如

ab=ba

对于G的任何两个元a,b都成立。

§2 单位元、逆元、消去律

定理1：在一群G里存在一个并且只存在一个元e，能使

ea-ae=a

定理2：对于群G的每一个元a来说，在G里存在一个而且只存在一个元1

a-，能使

a-=e

a-a=a1

提示：只须用反证法证唯一性。

定义：唯一的能使

a-=e

a-a=a1

的元1

a-叫做元a的逆元（有时简称逆）

例1：全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是零，元a的逆元是-a。

例2．全体整数对于普通加法来说作成一个群。这个群的单位元是零，a的逆元是-a.

定义：群G的一个元a，能够使得

a=e

的最小的正整数m叫做a的阶。若是这样一个m不存在，我们说，a是无限阶的。

例3：G刚好包含3x=1的三个根：

1，112ε-+=

,212

ε--= 对于普通乘法来说成一个群。 Ⅰ，Ⅱ显然； Ⅳ。1是G 的单位元；

Ⅴ。1的逆元是1，1ε的逆元是2ε，2ε的逆元是1ε。

定理3：一个群的乘法适合

III'消去律：若 ax=ax' , 那么x=x'；

若 ya=y'a ，那么y=y' 证明：略。

若G 是群，则G 必满足（1）封闭性（2）结合律（3）消去律。但如果代数体系},{ G 能满足（1）（2）和（3），是否可断定G 就是群呢？先看下面的例子：

例：G={所有不等于零的整数}

对于普通乘法来说这个G 适合I ，II ，III'，可是不适合III 。如果是有限集，那情形就不一样了。

定理：一个有乘法的有限集合G ，若是适合I ，II 和III'，那么它也适合III 。有限群的另一定义：一个有乘法的有限不空集合G 作成一个群，假如I ，III ，

III'能被满足。

证明：（只需证明b ax =方程b ya =和在G 中有解）先证b ax =在G 中有解，G b a ∈?,.

因为G 是有限集，不妨设n G =，即},,,{21n a a a G =，现用a 左乘G 中的每个元素，得到},,,{21n aa aa aa G ='.

由（1）?G '中每个),,2,1(n i G aa i =∈，所以G G ?'

又由于（3）?只要j i ≠，则G aa aa j i '?≠中也含有n 个元素，于是G

G ='

又由于G b ∈，即)1(n k k G b ≤≤??'∈使b ax a b aa k k =∴=是,的解.

同理可以证明b ya =有解.

§4 群的同态

设{} ,G 和{}

，G 都是群，如果存在映射G G →：?使,G b ,a ∈?都有

()()()b a b a ??? =，则称?是群同构态映射；如果?是满射，则必?为群满

同态映射，（注：这是重要的一种同态，要特别关注）简称 G 与G 同态,并记为G ~ G ,此时也称G 是G 的同态像.

我们已多次谈到 “满同态”的重要性质--------具有 “传递”作用.那么在群的满同态映射里,它能传递一些什么呢? 定理1：假设G 与G 对于它们的乘法来说同态，那么G 也是一个群。证明:对{}G ，而言,“ ”满足封闭性是显而易见的,而由于{},

G 中的 “ ”

满足集合律.""也满足结合律.下面须证{}

G ，有单位元和,a G a ?∈有逆元. {},

G 是群,设e 是单位元并设()e e =? ,须证 e 是{}G ，的单元.事

实上,,

a G ?∈?是满射a G ??∈，使()a a ?=,那么

()()()()a a a e a e a e ====???? ,同理a e a a e ==, 由a 的任意性 ? e 是单位元.

,a G ?∈?为满射,则 a G ?∈使()a a ?=，而{},

G 是群,故a 有逆元

1-a ,设()

11--=a a ?，须证1-a 是a 的逆元。

事实上,()()()

(),1

e e a a

a a a a ====---????

例1：设A={a,b,c},A 的乘法由下表夫定：

a b c a a b c b b c a c c a b

从近世代数看数系扩充

从近世代数看数系的扩充现行中小学数学教材中,关于数的概念的发展历程如下: N0 正分数Q+ 负分数 Q 无理数 R 虚数 C 上式中N0：非负整数集；Q+：非负有理数集；Q：有理数集；R：实数集；C：复数集. 在教学中，前两次扩充都是从实践需要来说明其必要性的.这样处理学生易于理解,符合可接受性原则.若从数学本身发展的需要出发,则常从以下两方面来说明:(l)某一运算的逆运算在原有数集中不封闭;(2)某一方程在原有数集中没有解. 事实上,这两个方面是相互等价且互为补充的.我们说某一运算的逆运算在原数集中不封闭,则必定存在与此运算有关的方程在此数集中无解;反之,若存在某一方程在原数集中无解,则此方程中涉及到未知数运算的逆运算并不封闭·例如,在N0中减法不封闭,这意味着当a>b时,方程a+x=b在N0中无解. 从代数系统(A,?)扩充到代数系统(B,。),必须满足以下四个条件:(1)A?B;(2)a°b=a?b,?a,b∈A;(3)在(B,°)中,方程a°x=b有唯一确定的解;(4)如果(C,十)也满足性质(1)~(3),则存在(B,。)到(C,+)的同构映射,这个映射使A中的元素及运算保持不变. 满足上述条件的数集的扩充可能有多种方法.在中学数学教学中,数集扩充的方法是在已知的集合A上补充新数的集合A,构成扩集B,使B=A∪A这种扩充思想虽易于接受,但不太严密,且不易了解数的结构思想. 另一种途径是从数学结构的角度,用旧数系中的数为材料构成一个新数集B,然后使它的某个子集与旧数系A相等(严格地说,是同构).下面说明通过这种途径来建立数系的过程. 一自然数集N 自然数是最简单、最基本的数,皮亚诺四条公理揭示了自然数的根本性质. 在给出加法运算,乘法运算的定义之后,可以证明(N,十,?)是具有加法、乘法交换律和加法、乘法结合律以及分配律的代数系统. 在N中,序关系(<)是利用自然数的加法来定义的.可以证明“<”满足反对称性、传递性、可比性以及最小数原理.所以(N,<)不仅是一个全序集,而且是一个良序集. 在(N,+,·)中,方程a+x=b,a?x=b不一定有解,因此,在N中,加法、乘法的逆运算都不封闭.对于减法要限制施行.对于除法则分两种情况讨论:(l)a整除b,(2)带余除法. 二从N到有理数域Q的扩充定理可换半群(A,+)可扩充的充分必要条件是运算“+”是可消去的. 证明必要性:若a+c=a+b,a,b,c∈A,设(B,+)是(A,+)的扩充,则在(B,+)中,a+x=a+b有唯一解x=b;又由a+c=a+b,知c满足a+x=a+b,所以b=c.

近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)1

近世代数课后习题参考答案第一章基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明如下当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{ 100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c

b b c a a a a a c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 12)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? a b c a a b c b b c a c c a b

近世代数教案 (2)

近世代数教案西南大学数学与统计学院张广祥学时数：80（每周4学时）使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005 教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加

教学的教师集体研讨备课。每节配有3—5题常规练习作业。每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。主要参考书： 1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社 2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,1999 3.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社2002 4.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社 5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002 第二章数环与数域本章教学目标： 1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。 2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。 3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。 4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。 5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。教学时数：共6节，8学时 2.1 整数剩余类环复习引入：通过整数的整除性问题，了解引入整数剩余类环的必要性，一方面使学生知道

抽象代数期末考试试卷及答案

抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。 A 、2阶 B 、3 阶 C 、4 阶 D 、 6 阶 2、设G 是群，G 有（）个元素，则不能肯定G 是交换群。 A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。 A 、偶数 B 、奇数 C 、4的倍数 D 、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（） A 、（N,≤） B 、（Z,≥） C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D 、 (P(A),?) 5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（） A 、(1)，(123)，(132) B 、12)，(13)，(23) C 、(1)，(123) D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。 2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------。 3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a =ο的单位元是-------。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z 8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。 8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。 9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为--------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。S 1+S 2也是子环吗？ 3、设有置换)1245)(1345(=σ， 6)456)(234(S ∈=τ。 1．求στ和στ-1； 2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

近世代数讲义(电子教案)

《近世代数》课程教案第一章基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。教学措施：网络远程。教学时数：8学时。教学过程： §1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）：例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之

近世代数期末考试试卷与答案

一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。 A、a B、 a , e 33 C、 e, a D、 e, a , a 2、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群 A、G为整数集合， * 为加法 B、G为偶数集合， * 为加法 C、G为有理数集合， * 为加法 D、G为有理数集合， * 为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、 3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3=（） A、2 B 、12 D 、2 1 12C 、2 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。 4 3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a的阶等于 ------。 4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。 5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=----- 。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。 7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的----- a 0 , a1 , , a n使得 n a 0 a 1 a n0 。

近世代数第一章练习题

近世代数试题一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分，共15分) 1.设A=R（实数域），B=R+（正实数域） φ:a→10a?a∈A 则φ是从A到B的( )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 2.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( )。 A.x→10x B.x→2x C.x→|x| D.x→-x 3.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 4.整数环Z中，可逆元的个数是( )。 A.1个 B.2个 C.4个 D.无限个 5.剩余类加群Z18的子群有( )。 A.3个 B.6个 C.9个 D.12个二、填空题(每空3分，共27分) 1.设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个. 2.n次对称群S n的阶是____________. 3.一个有限非可换群至少含有____________个元素. 4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有____________个. 5.除环的理想共有____________个. 6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________. 7.设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是____________. 8.在2, i+3, π2, e-3中，____________是有理数域Q上的代数元. 9.2+ 3在Q上的极小多项式是____________. 三、解答题(第1、2小题各12分，第3小题10分，共34分) 1.设G是6阶循环群，找出G的全部生成元，并找出G的所有子群. 2.求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是Z6的理想？ 3.设Z是整数环，则(2)∩(3)、(2,3)是Z的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z的理想吗？为什么？

近世代数第二章答案

近世代数第二章群论答案 §1.群的定义 1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？解：不是，因为普通减法不是适合结合律。例如 () 321110 --=-= --=-=() 321312 ()() --≠-- 321321 2.举一个有两个元的群的例。解：令G=,e a {},G的乘法由下表给出首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ()(),, = ∈ x y z x y z x y z G 因为，由于ea ae a ==，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有 ()aa a ea a == a aa ae a ==() 而(1)仍成立。其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。 3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV'，V'来做群的

定义： IV ' G 里至少存在一个右逆元1a -，能让 =ae a 对于G 的任何元a 都成立； V ' 对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，能让 1=aa e - 解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V 来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。 §2. 单位元、逆元、消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程2=x e ，那么G 是交换群。解：令a 和b 是G 的任意两个元。由题设 ()()()2 ==ab ab ab e 另一方面 ()()22====ab ba ab a aea a e 于是有()()()()=ab ab ab ba 。利用消去律，得 =ab ba 所以G 是交换群。 2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。解：令G 是一个有限群。设G 有元a 而a 的阶>2n 。考察1a -。我们有 ()1=n n a a e - ()()11==n n e a a e -- 设正整数

近世代数电子教案

近世代数电子教案第一章基本概念在普通代数里，我们计算的对象是数，计算的方法是加、减、乘、除。数学渐渐进步，我们发现，可以对于若干不是数的事物，用类似普通计算的方法加以计算。这种例子我们在高等代数里已经看到很多，例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算。近世代数（抽象代数）的主要内容就是研究所谓代数系统，即带有运算的集合。近世代数在数学的其它分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用。近二十多年来，它的一些成果更被直接应用于某些新兴的技术。我们在高等代数里已经初步接融到的群、环、域是三个最基本的代数系统。在本书里我们要对这三个代数系统做略进一步的介绍。在这一章里，我们先把常要用到的基本概念介绍一下。这些基本概念中的某一些，例如集合和影射，在高等代数里已经出现过。但是为了完整起见，我们不得不有所重复。 §1.1 集合 ●课时安排约1课时 ●教学内容(《近世代数》张禾瑞著) 集合的概念，元素，空集合，集合与集合之间的包含、交、并、积，子集的概念例题：例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B={2} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∩B=空集合例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A∪B={1.2.3.4.6} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∪B={1.2.3.4.5.6} 1 习题选讲P 4 ●教学难点元素与集合的关系（属于）集合与集合的关系（包含） ●教学要求掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念 2 ●布置作业P 4 ●教学辅导精选习题：（侧重概念性、技巧性的基本问题） 1.B A,但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？ §1.2 映射 ●课时安排约1课时 ●教学内容(《近世代数》张禾瑞著) 映射，象，原象，映射相同的定义及映射的表示方法

近世代数基础习题课答案到第二章9题

第一章第二章第一章 1. 如果在群G 中任意元素,a b 都满足222()ab a b =, 则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有abab aabb =. 由消去律有ab ba =. □ 2. 如果在群G 中任意元素a 都满足2a e =,则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有222()ab e a b ==. 由上题即得. □ 3. 设G 是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足: (1) ()()a bc ab c =, 任意,,a b c G ∈. (2) 若ab ac =则b c =. (3) 若ac bc =则a b =. 求证: G 关于这个乘法是一个群. 证明: 任取a G ∈, 考虑2{,,,}a a G ??. 由于||G <∞必然存在最小的i +∈ 使得i a a =. 如果对任意a G ∈, 上述i 都是1, 即, 对任意x G ∈都有2x x =, 我们断言G 只有一个元, 从而是幺群. 事实上, 对任意,a b G ∈, 此时有: ()()()ab ab a ba b ab ==, 由消去律, 2bab b b ==; 2ab b b ==, 再由消去律, 得到a b =, 从而证明了此时G 只有一个元, 从而是幺群. 所以我们设G 中至少有一个元素a 满足: 对于满足 i a a =的最小正整数i 有1i >. 定义e G ∈为1i e a -=, 往证e

为一个单位元. 事实上, 对任意b G ∈, 由||G <∞, 存在最小的k +∈ 使得k ba ba =. 由消去律和i 的定义知k i =: i ba ba =, 即be b =. 最后, 对任意x G ∈, 前面已经证明了有最小的正整数k 使得k x x =. 如果1k =, 则2x x xe ==, 由消去律有x e = 从而22x e e ==, 此时x 有逆, 即它自身. 如果1k >, 则11k k k x x xe xx x x --====, 此时x 也有逆: 1k x -. □ 注: 也可以用下面的第4题来证明. 4. 设G 是一个非空集合, G 上有满足结合律的乘法. 如果该乘法还满足: 对任意,a b G ∈, 方程ax b =和ya b =在G 上有解, 证明: G 关于该乘法是一个群. 证明: 取定a G ∈. 记ax a =的在G 中的一个解为e . 往证e 是G 的单位元. 对任意b G ∈, 取ya b =的一个解c G ∈: ca b =. 于是: ()()be ca e c ae ca b ====. 得证. 对任意g G ∈, 由gx e =即得g 的逆. □ 5. 找两个元素3,x y S ∈使得222()xy x y =/. 解: 取(12)x =, (13)y =. □ 6. 对于整数2n >, 作出一个阶为2n 的非交换群. 解: 二面体群n D . □ 7. 设G 是一个群. 如果,a b G ∈满足1r a ba b -=, 其中r 是正整数, 证明: i i i r a ba b -=, i 是非负整数.

近世代数期末试题

近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。（） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。（） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。（） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。（） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。（） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。（） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。（） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么在Z 中（） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

近世代数习题解答(张禾瑞)一章

近世代数习题解答第一章基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明如下当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A I ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A =I ,B B A ?Y , 及由B A ?得B B A ?Y ,故B B A =Y , 2 映射 1.A =}{ 100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c b b c a a a a a

近世代数期末考试题库

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。（） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。（） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。（）三．证明题 1．设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。

近世代数期末考试试题和答案解析

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-1(新)

b b c a a a a a c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 1 2)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? a b c a a b c b b c a c c a b

近世代数讲义(电子教案)

《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，

逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????，的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

《近世代数》教学大纲

《近世代数》课程教学大纲一、课程性质与目标（一）课程性质《近世代数》是数学专业本科生专业基础课，是现代数学的基本内容，培养并提高学生的抽象思维能力，从中掌握分析与解决问题的方式、方法。（二）课程目标通过本课程的学习，使学生初步掌握基本的系统的代数知识和抽象严谨的代数方法，进一步熟悉和掌握代数处理问题的方法；进一步提高才抽象思维能力和严格的逻辑推理能力；进一步理解具体和抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系。能应用所学理论指导中学数学教学以及其它工作，培养学生独立提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学基本素质，同时为今后继续学习奠定基础。二、课程内容与教学（一）课程内容 1、课程内容选编的基本原则（1）把握概念、推理证明相结合的基本原则（2）注意教学内容与其他相关课程的联系和渗透 2、课程基本内容群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。重点：群、正规子群、商群、循环群、环、理想、商环、同态基本原理等。难点：商群、理想、商环等。（二）课程教学 1、注重数学思想与数学素养的培养，阐述所讲内容在整个理论体系中的作用和地位。 2、在传授基础理论，基本概念的掌握的同时，加强学生逻辑推理能力和计算能力的培养。 3、注重课堂讲授、习题课、习题批改等环节。三、课程实施与评价（一）学时本课程总学时为54学时（讲授46学时，习题课8学时）。（二）教学基本条件 1、教师教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。 2、教学设备（1）配备多媒体教学设备。（2）配置与教学内容相关的图书、期刊、音像资料等。（三）课程评价 1、对学生能力的评价（1）基础理论，基本概念的掌握。（2）逻辑推理能力，包括逻辑思维的合理性和严密性

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