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近世代数学习系列二群近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。
群就是具有一个代数运算的代数系，群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。
群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。
这演算通常称为乘法，两个元a、b关于这乘法进行演算的结果，通常写为a∙b或者就简略记为ab。
乘法被要求满足下面三个条件：1.结合律。
a∙ ( b∙c ) = ( a∙b ) ∙c2.存在单位元e，对任意元a都有e∙a = a∙e = a3.对任意元a，都存在a的逆元a-1，满足a∙a-1 = a-1∙a = e如果这乘法还满足交换律a∙b = b∙a，则把这群称为加群或Abel群。
这时更多地把演算写成加法。
群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为0。
单位元是唯一的，这是因为如果d和e都是单位元，则根据定义我们有d = de = e。
同样逆元也是唯一的，因为如果b和c都是a的逆元，则b = bac = c。
显然 ( a-1 ) -1 = a。
在一个集合A上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合A加上了群的结构”。
有一种结构就有保持这种结构的映射。
从群G到群H的映射f被称为同态映射，如果f满足条件：对于G中任意两个元σ、τ，总有f ( στ ) = f ( σ ) f ( τ )。
这也可以说成f是和两个群中的乘法演算相容的。
容易看出同态映射一定把单位元映到单位元，逆元映到逆元。
如果一个同态映射是全单射，那它一定是同构，也就是说其逆映射也一定是同态映射。
群的例子有比如说映一个集合A到其自身的所有全单射的全体，关于映射的合成做成一个群。
近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全部整数的集合关于一般减法来讲是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 关于一般乘法来讲是一个群.3. 证明, 咱们也能够用条件1,2和下面的条件 ''5,4来作群的概念:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 关于G 的任何元a 都成立'5. 关于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元必然是一个左逆元,意思是由e aa=-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1因此))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([ 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 必然也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =如此就取得群的第二概念. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就取得群的第一概念.反过来有群的概念取得''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 假设群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 确实是互换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(假设有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因此 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2) a 的阶大于2, 那么1-≠a a 假设 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 那么 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双显现,因此有限群里阶大于2的元的个数必然是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数必然是奇数.证 依照上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,因此阶 2≤的元的个数必然是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,因此这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因此a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是必然相同? 证 不必然相同 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对一般乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(那个地址x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会可不能有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 咱们的回答是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的能够写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.那个群是不是一个互换群? 证 (1) :τ b ax x +→:λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 那么 :ε x x → (4) :τ b ax + )(1:1ab x a x -+→-τ而 εττ=-1因此组成变换群.又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因此不是互换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,咱们临时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来讲明一个变换τ.证明,咱们能够用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,那个乘法也适合结合律,而且关于那个乘法来讲ε仍是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→ :2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 此刻证那个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε仍是S 的单位元 :ε )(a a a ε=→ :ετ )()]([a a a ττε=→τ:τε )()]([a a a τετ=→∴ τεετ=4． 证明一个变换群的单位元必然是恒等变换。
近世代数群（续一）作用设有集合G作用于集合A上。
如果G是一个群，并且群的乘法和作用的合成是一致的，我们就说群G作用于A上。
如果G是不可换的，那么“群的乘法和作用的合成是一致的”这话还会稍微有一点歧意。
对于G的两个元σ、τ，先把σ作用于A再把τ作用于A，这个合成是由στ来对应还是由τσ来对应呢？我们把前者称为G从右边作用于A，后者则称为G 从左边作用于A。
左和右的区别，来自于我们书写的时候，如果把映射写在左边，即对于A的元a，把先作用σ再作用τ写成τ ( σ ( a ) )，那么自然的这合成的样子就像是τσ；反之如果把映射写在右边，记为 ( aσ ) τ，这看起来的样子就像是στ了。
如果把群G本身看成一个集合，我们比如说可以这样定义群G在集合G 上的作用：对于群G的任意一个元σ，σ的作用定义为把集合G上的每个元都“左乘” σ。
即，对于集合G的任意元g，σ的作用把g映到σg。
这显然是从左边的作用。
这作用有时被称为“左移动”。
同样的我们也可以定义“右移动”。
一个左（右）移动显然是集合G的一个置换，并且对于不同的σ，其所对应的置换显然是不同的。
于是群G就可以看成是集合G上的置换群的一个子群。
于是我们得到，任何群都是某个置换群的子群。
G还可以像这样作用于G本身：对于群G的任意一个元σ，σ的作用把G的任意元g映到σgσ-1。
这作用的特点是它保持G的群结构不变。
也就是说，把G的任意元g映到σgσ-1是G的一个自同构。
这是因为对于G 的任意两元f、g，我们显然有 ( σfσ-1 )( σgσ-1 ) = σ ( fg ) σ-1。
这作用是从左边的，我们也可以同样地定义从右边的作用为，σ把G的任意元g映到σ-1gσ。
对于G的元g或G的子群U，我们通常把形如σgσ-1的元和形如σUσ-1的子群分别称为g和U的共轭。
于是U是正规子群的条件也可以陈述为，U在取共轭的作用下不变。
一般的如果X是具有某种结构的集合，则X的所有自同构关于映射的合成做成一个群。
1．设 为整数加群, ,求 ?]:[=H Z解在 Z 中的陪集有:,, ,,, 所以, 5]:[=H Z .2、找出3S 的所有子群。
解：S 3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）} 若S 3的一个子群H 包含着两个循环置换，那么H 含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H 含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S 3。
同理，若是S 3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。
这个子群也必然是S 3。
用完全类似的方法，可以算出，若是S 3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S 3。
7．试求高斯整环 的单位。
解 设() 为的单位, 则存在, 使得, 于是因为, 所以. 从而,, 或. 因此可能的单位只有显然它们都是的单位. 所以恰有四个单位:5． 在 12Z 中, 解下列线性方程组:解: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-9111632511311612531y x 即 , .12. 试求 的所有理想. 解 设 为的任意理想, 则 为的子环， 则 , , 且 .对任意的, , 有,从而由理想的定义知, 为 的理想. 由此知,的全部理想为且 .13、数域F 上的多项式环[]F x 的理想253(1,1)x x x +++是怎样的一个主理想。
解 由于()()5332111x x xx++-+=，所以()25311,1x x x ∈+++，于是得()()2531,11[]xx x F x +++==。
14、在 中, 求 的全部根. 解共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知共有下列4个元素, , , 为的根.20.设R 为偶数环.证明： {}.4R R r r N∈=问：4=N 是否成立？N 是由哪个偶数生成的主理想？解： R m n N m n ∈∈∀,,4,4： R m n N m n m n ∈-∈-=- ,)(444 故,)44(N m n ∈-另外R r N r R n ∈∈∀∈∀,4,,,)(4)4()4()4(,)(4)4(R r n R n N r n r n r n r n Rrn N rn n r ∈'⇒∈'∈'='==∈∈=故.)4(),4(N n r r n ∈总之有{}.4R R r r N∈=另方面，由于{}{},,16,8,0,8,16,4 --=∈=R r r N且.4N ∉而且实际上N 是偶数环中由8生成的主理想，即{}{}{}Z n n Z n R r n r R r r N ∈=∈∈+==∈=8,8884，但是{}{}{},8,4,0,4,8,4,444--=∈=∈∈+=Z n n Z n R r n r 因此，4≠N .实际上是.48⊂=N22、设{(1),(12)}H =,求3S 关于H 的所有左陪集以及右陪集.解 3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =, H 的所有左陪集为:(1)(12){(1),(12)}H H H ===;(13)(123){(13),(123)}H H ==;(23)(132){(23),(132)}H H ==．H 的所有右陪集为:(1)(12){(1),(12)}H H ==;13(132){(13),(132)}H H ==（）;(23)(123){(23),(123)}H H ==.1．在群 中, 对任意 , 方程与 都有唯一解. 证明 令, 那么, 故 为方程的解。
第二章群论群是最简单，最重要，有广泛应用的代数系统。
在本章里主要研究具有某种特殊的群存在，结构和构造等。
学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群，共讲十一个问题，它是以下几章的基础，本章开头提出的十一问题是：一、群在的定义及其基本性质七、循环群；二、单位元、逆元、消去律；八、子群；三、有限群的另一定义；九、子群的陪集；四、群的同态；十、不变子群、商群；五、变换群；十一、同态与不变子群。
六、置换群；§2.1 群的定义●课时安排约1课时●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35群的思想：第一，它有满足结合律的代数运算；第二，这个代数运算具有逆运算。
定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，则等价于下列条件: （1）（G，·）有单位元，且G中每一个元有逆元。
（2）（G，·）有左单位元，且G 中每个元有左逆元；（3）（G，·）有右单位元，且G 中每个元有右逆元；（4）a,b∈G，方程a.x=b和y.a=b在G中都有解，是一个有限整数；不然的话，这个群叫做无限群，有限群的元素个数叫做这个群的阶。
定义：对 a,b∈G来说，满足ab=ba条件的群叫做交换群。
例 1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。
例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。
例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。
习题选讲：P38 1，3●教学重点群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法。
●教学难点群定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定。
●教学要求理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，多训练（做题）。
●布置作业 P35 1，3（2）●教学辅导一、掌握三个基本概念（1）群的最本质的特点（2）群的思想方法主要体现在包含的方面。
（3）代数系充（G，·）是群当且仅当（i）结合律成立（ii）方程ax=b，ya=b在G中有解，其 a,b∈G.二、精选习题：（1）在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)（2）设（G，·）为半群，如果方程ax=b与ya=b a,b∈G在G中有解，（不要求唯一性）则G（）。
