2x2行列式的计算方法

1

行列式的几种常见计算技巧和方法

2.1定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计

算量大，有一定的局限性.

0 0 0 1

例1计算行列式 0 0 2 0

0 3 0 0

4 0 0 0

解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有 4!二24项，但由

于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少•具体的说，展开 式中的项的一般形式是a1jl a2j2 a3j3a4j4 .显然，如果人=4，那么a^二0， 从而这个项就等于零•因此只须考虑 的项，同理只须考虑

j2 =3,j3 =2, j4 =1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有

a14a23a32a41，而.4321 =6，所以此项取正号•故

2.2利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 •该

方法适用于低阶行列式.

2.2.1 化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下： 0 0

0 0

0 3

4 0 0

2

0

0 1

0

0

0 =(—1 )耳4321 »14&23&32玄41 二 24. 2

解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对 应相同，故用第一行的：［-1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元

素全部变为零•即：化为上三角形.

可得

2.2.2连加法

这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列） 后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计 算•这类计算行列式的方法称为连加法.

1 ai a2 … an

0 bi 0 0 0

Dn4i = I- a + a

0 0 0 … bn =bib2…bn . aii

0

0 ai2

a22

0 ai3

a23

a33 ain

a2n

a3n -aiia22…ann ,

a nn

ai1

a21

a31 a22

a32 a33 —a a 丄・n a

a11a22 ann ・

文章编号：１００７—１４２３（２０１４）１２—００２０—０４　ＤＯＩ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１００７—１４２３．２０１４．１２．００５　

浅析行列式的计算方法　

杨芳　

（内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特０１００５１）　

摘要：　

行列式不仅在数学领域。且在包含经济学在内的很多其他学科都有广泛应用．行列式的计算又是学习高等数学的基　

础，在求解线性方程组、求解逆矩阵和求矩阵特征值中占有不可替代的地位。计算行列式的方法很多，难度较大，综合　

性较强。为了能熟练计算行列式的值，需要多观察总结行列式的特点和计算方法。通过一些例子，对行列式的计算做　

全面的总结与探讨　

关键词：　

行列式：高等数学；特征值　

０　引言　

在高等数学中．行列式是研究数学问题的重要工　

具．它渗透在代数的各个部分．因此掌握好行列式的计　

算方法是至关重要的　本文对行列式的计算做了全面　

的总结与探讨．从而在计算行列式的过程中更具有针　

对性和技巧性　

１　定义法　

根据行列式的定义Ｄ　＝∑（一１）　口　…　，我们　

，　２　可以用定义直接计算低阶稀疏行列式，其中　Ｕ　一　）　

是　ｊ２．－　的逆序数。　

例计算ｎ阶行列式　

０　ａｌ　

０　０　

●●●　●●●　０　０　

％０　０　…　０　

…０　

０　…　％一ｌ　

０　…　０　解这是一个ｎ级行列式．在展开式中共有ｎ！个　

项，观察此行列式可得出每行都有ｎ—１个元素为零，因　

此只需考虑每一列不为零的那些项。即只需考虑在每　

一行不为零的元素．因此在完全展开式中可能不为零　

④　现代计算机２０１４．０４下　的项只有一项．这个行列式的值为：　

（一１）　‘趋　ａ１￣．３…０　ｌ　（　１（一１）　Ｉ１０１ｃｚ２…０　１（　

２　三角化法　

在一些特殊的行列式中我们看到一个上三角行列　

式　ａｌｌ　ａ１２　０　ａｅ２　

●　●　：　：　０　０　’一　ａｌｎ　

…０　：　●　…吗　就等于其主对角线元素的乘积　

ａ］ｌａ　：…‰。这种计算是相对简单的，那么我们就可以根　

专题讲座五 行列式的计算方法

1.递推法

例1 求行列式的值：

（1） 的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。

解 把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。

把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是

另一项是

上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n – 2 阶行列式，这个n – 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系：

（2）

移项，提取公因子β：

类似地：

（递推计算）

直接计算 若；否则，除以后移项：

再一次用递推计算：

∴， 当β≠α （3）

当β = α，从

从而。

由（3）式，若。 ∴

注 递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程.

注1 仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式 （3）

和三对角线型行列式

（4）

有相同的递推关系式

（5）

（6）

注意

两个序列

和

的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有

由（4）式，的每一行都能提出一个因子a ，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故

例2 计算n阶范德蒙行列式行列式

解:

即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积

2．拆元法

例3：计算行列式

解

①×（x + a）

②×（x – a）

3．加边法

例4 计算行列式

分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法.

解

4．数学归结法

例5 计算行列式

解：

猜测：

证明

（1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设n≤k – 1 时命题成立,考察n=k的情形：

1 行列式的计算方法

摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组, 行列式的计算是一个重要的问题。本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。

关键词：行列式 矩阵 降阶

The Methods of Determinant Calculation

Abstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants

produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is

based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers

of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant:

direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging

method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear