安徽省六安市第一中学2017届高三上学期第三次月考理数

安徽省六安市第一中学2017届高三上学期第三次月考

数学（理）试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合122|log12,|21xAxxBxx,则 AB（ ）

A．1,1 B．0,1 C．0,3 D．

【答案】B

考点：不等式的解法与集合的运算.

2.已知a为实数，若复数2341zaaai为纯虚数，则复数aai在复平面内对应的点

位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】

试题分析：由纯虚数的定义可得010432aaa,解之得4a,则复数aai在复平面内对应的点在第四象限,故应选D.

考点：复数的有关概念与几何意义.

3.已知向量1,2,,1ambm,且ab,则b（ ）

A．2 B．2 C．203 D．253

【答案】A 【解析】

试题分析：由题设可得121mm,即122mm,故1m,所以211||b,故应选A.

考点：向量的平行条件及模的计算.

4.在ABC中，若3tantantantan1BCBC，则cos2A（ ）

A．12 B．12 C. 32 D．32

【答案】A

考点：两角和的正切公式及余弦二倍角公式的综合运用.

5.已知两点1,0,1,3,ABO为坐标原点，点C在第二象限，且150AOC，设

2OCOAOBR，则（ ）

A．1 B．12 C. 12 D．1

【答案】C

【解析】

试题分析：由题设2OCOAOBR可得)3,2(C,三角函数的定义可得33tanAOC,即3323,解之得21,故应选C.

考点：向量的坐标运算及三角函数的定义与运用.

6.ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，若7cos,2,38Acab，则a（ ）

A．2 B．52 C. 3 D．72

【答案】A 【解析】

试题分析：由余弦定理可得87)2(32)2(922aaa,解之得2a,故应选A.

考点：余弦定理及运用.

7.已知等边ABC的边长为2，若4,BCBEADDC，则BDAE（ ）

A．2 B．94 C. 94 D．2

【答案】B

考点：向量的几何运算及数量积公式的运用.

8. 直线xt分别与函数1xfxe的图象及2gxx的图象相交于点A和点B，则AB的

最小值为（ ）

A．2 B．3 C. 42ln2 D．32ln2

【答案】D

【解析】

试题分析：因)(12||tFteABt,故2)(/tetF,则当2lnt时, 0)(/tF,函数12)(tetFt单调递增,当2lnt时, 0)(/tF,函数12)(tetFt单调递减,故当2lnt时,函数12)(tetFt取最小值2ln312ln22)2(lnF,应选D.

考点：函数的图象和性质与导数在求最值中的运用.

9.已知函数22212121xxxxfxxeexee，则满足0fx的实数x的取值范

围是（ ）

A．11,3 B．,1 C.1,3 D．1,1,3

【答案】A

【解析】

试题分析：令)()(2xxeexxh,则)()12()12(12122xxeexxh,因由0fx可得因)()12()(121222xxxxeexeex,即)12()(xhxh.又)()(xhxh,故函数)()(2xxeexxh是偶函数,所以当0x时,0)(2)()(2/xxxxeexeexxh,即函数)()(2xxeexxh是单调递增函数,故由)12()(xhxh可得|12|||xx,即01432xx,解之得311x,故应选A.

考点：函数的单调性和奇偶性及不等式的解法等知识的综合运用.

【易错点晴】本题以可导函数22212121xxxxfxxeexee满足的不等式0)(xf为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何将不等式0)(xf进行等价转化为)12()(xhxh.再依据题设条件先构造函数)()(2xxeexxh,将问题转化为证明函数)()(2xxeexxh是单调递增函数,从而将不等式)12()(xhxh化为|12|||xx,从而使得问题最终获解.

10.一个边为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方

盒，当无盖方盒的容积V最大时，x的值应为（ ）

A．6 B．3 C.1 D．16

【答案】C

考点：棱柱的体积与导数在实际生活中的运用. 【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的无盖方盒的做法为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答时,设无盖方盒的,高为x,底面边长为x26,进而求该无盖方盒的容积)30(36244)26()(232xxxxxxxV,然后运用导数求得当1x时, 无盖方盒的容积V最大,从而使得问题最终获解.

11.已知函数22lnxxmfxx，若存在1,2x使得'0fxxfx，实数m的取

值范围是（ ）

A．,2 B．52,2 C. 50,2 D．5,2

【答案】D

考点：函数的单调性与导数知识的综合运用.

【易错点晴】本题以可导函数满足的不等式为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何将不等式'0fxxfx进行等价转化化归与利用.求解时依据题设条件先构造函数)()(xxfxF,将问题转化为求函数2)(ln2)()(mxxxxfxF是单调递增函数的前提下,求实数m的取值范围,从而使得问题最终获解.

12.已知函数fx是定义在0,内的单调函数，且对0,,ln1xffxxe，

给出下面四个命题： ①不等式0fx恒成立

②函数fx存在唯一零点，且00,1x

③方程fxx有两个根

④方程'1fxfxe（其中e为自然对数的底数）有唯一解0x，且01,2x.

其中正确的命题个数为（ ）

A．1个 B．2个 C.3个 D．4个

【答案】B

【解析】

试题分析：令0ln)(txxf,则xtxfln)(,注意到tx,的任意性可得xxxfln)(.由于当0ln)(xxf时,0)(tf,因此①是正确的；由于011)(/xxf,即函数xxxfln)(是单调递增函数,且01)1(,02ln)(22feeef,因此函数在)1,0(上存在唯一的零点,故②是正确的；设xxxfxgln)()(,则01)(/xxg,即函数xxgln)(是单调递增函数,且只有一个零点,故答案③是错误的；令111ln1)()()(/exxxexfxfxF,因0111)(2/xxxF,故)(xFy是单调递增函数,且0212ln)2(,02)1(eFeF,因此④是错误的.故应选B.

考点：函数的定义及对应法则及函数的图象和性质的综合运用.

【易错点晴】本题是一道以函数满足的条件0,,ln1xffxxe为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的综合性应用问题.解答本题的关键是如何理解这一条件进行等价转化化归与利用.求解时依据题设条件先构造函数0ln)(txxf,则xtxfln)(,然后逐一对所提供的四个答案进行分析推证,从而使得问题最终获解.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13.21,0cos,0xxfxxx，则1fxdx的值等于 __________. 【答案】2

考点：定积分及计算公式的运用．

14.已知a与b的夹角为120，若2abab，且2a，则b在a方向上的投影为

__________.

【答案】3318

【解析】

试题分析:由2abab可得0222bbaa,即04||||22bb,解之得4331||b,故b在a方向上的投影为8331120cos||0b,故应填答案3318.

考点：向量的数量积公式及投影的定义的综合运用．

15.已知为锐角，且sin13tan101，则的值为_________.

【答案】50

考点：三角变换的公式及运用．

16.若满足2,cossincaCcA的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是_________.

【答案】2,2

【解析】

试题分析:由题设及正弦定理可得ACCAsinsincossin,即1tanC,故045C,由余弦定理可得222222abba,即02222aabb,由题设可知020)2(4222122abbaa,解之得22a.故应填答案2,2.

考点：正弦定理余弦定理及二次方程的根判别式的综合运用．

【易错点晴】本题三角形的边角关系为背景,考查的是与解三角形等有关知识和数学思想的综合问题,解答时先正弦定理求得ACCAsinsincossin,即1tanC,故045C,再运用余弦定理建立方程222222abba,即02222aabb,进而将问题转等价转化为方程有两个不等的正根问题,然后利用方程理论建立不等式组020)2(4222122abbaa,然后解不等式组求出22a,从而获得答案.