第1节 数据的集中趋势
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1 第二十章 数据的分析
第1节 数据的集中趋势
（时间60分钟，总分100分）
一、本节课的知识点
1．解统计学的几个基本概念
总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。
2.平均数、众数与中位数:平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。
（1）平均数有算术平均数和加权平均数
平均数的求法：x=1n(x1+x2+…+xn)；
加权平均数计算公式为：x=1n(x1f1+x2f2+…+xkfk)，其中f1，f2，…，fk代表各数据的权.
（2）中位数的求法
数据从大到小或从小到大排好顺序以后，若为偶数个数，就是最中间的两个数加起来除以2，即两个数的平均数;若为奇数个数，就是中间个数.
（3）众数：指一组数据中出现次数最多的数.
二、对理解本节课知识点的例题及其解析
【例题1】对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分共4个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，这些学生的平均分数是（ ）
2 A．2.25 B．2.5 C．2.95 D．3
答案：C
解析：考点有扇形统计图，条形统计图，频数、频率和总量的关系，加权平均数。
由得4分的频数12，频率30%，得总量12÷30%=40。
由得3分的频率42.5%，得频数40×42.5%=17。
由得1 分的频数3，得频率3÷40=7.5%。
∴得2分的频率为1－（7.5%＋42.5%＋30%）=20%。
∴这些学生的平均分数是：1×7.5%＋2×20%＋3×42.5%＋4×30%=2.95。
【例题2】某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：
用电量（度） 120 140 160 180 200
户数 2 3 6 7 2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
答案：A
解析：众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是180，故这组数据的众数为180。
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此将这组数据重新排序为120，120，140，140，140，160，160，160，160，160，160，180，180，180，180，180，180，180，200，200，∴中位数是第10和11个平均数，它们都是160，故这组数据的中位数为160。
【例题3】某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数是________．
答案：7
解析：众数是在一组数据中，出现次数最多的数据。根据条形统计图可知，环数为5，6，7，8，9，10的人数依次为：1，2，7，6，3，1，其中环数7出现了7次，次数最多，即为这组数据的众数。
【例题4】在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如下：
3
（Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动．
解析：（Ⅰ）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数是：
132731741855 x3.350。
∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是4。
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，
∴这组数据的中位数是3。
（Ⅱ）∵这组样本数据的平均数是3.3，
∴估计全校1200人参加活动次数的总体平均数是3.3，
∴3.3×1200=3960。
∴估计该校学生共参加活动约为3960次。
【例题5】为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初四年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）：
（1）根据以上信息回答下列问题：
①求m值．
②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数．
③补全条形统计图．
（2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数．
解析：考点有众数；扇形统计图；条形统计图；加权平均数；中位数．
4 （1）①根据2小时所占扇形的圆心角的度数确定其所占的百分比，然后根据条形统计图中2小时的人数求得m的值；②求得总人数后减去其他小组的人数即可求得第三小组的人数；
①∵课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为90°，
∴其所占的百分比为=，
∵课外阅读时间为2小时的有15人，
∴m=15÷=60；
②第三小组的频数为：60﹣10﹣15﹣10﹣5=20，
补全条形统计图为：
（2）利用众数、中位数的定义及平均数的计算公式确定即可．
∵课外阅读时间为3小时的20人，最多，
∴众数为 3小时；
∵共60人，中位数应该是第30和第31人的平均数，且第30和第31人阅读时间均为3小时，
∴中位数为3小时；
平均数为：≈2.92小时．
三、本节课的课时作业
1. 数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是（ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
答案：B
解析：中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此将这组数据重新排序为5，5，5，6，7，8，13，∴中位数为：6。
2. 某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况（满分100分）如下表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是（ ）
5 分数（分） 89 92 95 96 97
评委（位） 1 2 2 1 1
A．92分 B．93分 C．94分 D．95分
答案：C
解析：考点是加权平均数。先去掉一个最低分去掉一个最高分，再根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式进行计算即可：
由题意知，最高分和最低分为97，89，则余下的数的平均数=（92×2+95×2+96）÷5=94。
3. 某中学篮球队13名队员的年龄情况如下：
年龄（单位：岁） 15 16 17 18
人 数 3 4 5 1
则这个队队员年龄的中位数是（ ）
A．15.5 B．16 C．16.5 D．17
答案：B
解析：根据中位数的定义，把13名同学按照年龄从小到大的顺序排列，找出第7名同学的年龄就是这个队队员年龄的中位数，根据图表，第7名同学的年龄是16岁，所以，这个队队员年龄的中位数是16。
4. 某射击运动员在一次射击练习中，成绩(单位：环)记录如下：8，9，8，7，10．这
组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．8，8 B．8.4，8 C．8.4，8.4 D．8，8.4
答案：B
解析：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。因此，8，9，8，7，10的平均数为：15×(8＋9＋8＋7＋10)＝8.4。
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此将这组数据重新排序为7，8，8，9，10，∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：8。
5. 2019年5月某日我国部分城市的最高气温统计如下表所示：
城 市 武汉 成都 北京 上海 海南 南京 拉萨 深圳
气温（℃） 27 27 24 25 28 28 23 26
6 请问这组数据的平均数是（ ）
A.24 B.25 C.26 D.27
答案：C
解析：根据算术平均数的求法，求这组数据的算术平均数，用8个城市的温度和÷8即可：
（27+27+24+25+28+28+23+26）÷8=208÷8=26（℃）
6. 在体育达标测试中，某校初三5班第一小组六名同学一分钟跳绳成绩如下：93，138，98，152，138，183；则这组数据的极差是（ ）
A．138 B．183 C．90 D．93
答案：C
解析：根据一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差的定义，可得
极差为183﹣93=90。故选C。
7. 已知一组数据3，a，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：B。
解析：∵数据3，a，4，5的众数为4，∴4出现的次数最多，即a=4。
∴其平均数为（3+4+4+5）÷4=4。故选B。
8. 为了解长城小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如下表：
锻炼时间（时） 3 4 5 6 7
人数（人） 6 13 14 5 2
这40名居民一周体育锻炼时间的中位数是（ ）
A.4小时 B.4.5小时 C.5小时 D.5.5小时
答案：C
解析：中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此这组数据的中位数是按从小到大排列后第20和21个数的平均数，它们都为5。故这40名居民一周体育锻炼时间的中位数是5小时。故选C。
9. 为做好“四帮四促”工作，黔南州某局机关积极倡导“挂帮一日捐”活动。切实帮助贫困村民，在一日捐活动中，全局50名职工积极响应，同时将所捐款情况统计并制成统计图，根据图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
