2019届高考数学二轮复习 第二部分专项三 专题强化训练 Word版含解析

一、选择题

1．(2018·合肥模拟)我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )

A．五寸B．二尺五寸

C．三尺五寸 D．四尺五寸

解析：选B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B.

2．(2018·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为( )

A．15 B．16

C．47 D．48

解析：选D.执行程序框图，n＝3，x＝3，v＝1，i＝2≥0，v＝1×3＋2＝5，i＝1≥0，v＝5×3＋1＝16，i＝0≥0，v＝16×3＋0＝48，i＝－1<0，退出循环，输出v的值为48.故选D.

3．(2018·沈阳教学质量监测(一))刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )

A.334π B.332π

C.12π D.14π 解析：选B.如图，在单位圆中作其内接正六边形，则所求概率P＝S六边形S圆＝34×12×6π×12＝332π.

4．(2018·高考北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )

A.32f

B.322f

C.1225f D.1227f

解析：选D.从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f，公比为122的等比数列，记为{an}，则第八个单音频率为a8＝f(122)8－1＝1227f，故选D.

5．(2018·潍坊模拟)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( )

A．己亥年 B．戊戌年

C．庚子年 D．辛丑年

解析：选C.由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．

6．(2018·惠州第二次调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：

卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数

坤 000 0

艮 001 1 坎 010

2

巽 011

3

依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )

A．33 B．34

C．36 D．35

解析：选B.由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.

7．(2018·兰州模拟)刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为( )

A.3π B.3π2

C．3πD．4π

解析：选B.由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P-ABCD，其中底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD且PA＝1，所以PC＝3，PC是四棱锥P-ABCD的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为4π3323＝3π2，故选B.

8．(2018·唐山五校联考)割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．这是公元三世纪我国古代数学家刘徽大胆地应用以直代曲、无限趋近求圆周率的思想方法．现利用刘徽的“割圆术”思想设计一个计算圆周率的近似值的程序框图(如图)．若输入的a＝3，n＝10，则输出的n＝( )

A．20 B．40

C．80 D．160

参考数据：

α 36° 18° 9° 4.5°

sin α 0.587 8 0.309 0 0.156 4 0.078 5

解析：选B.当a＝3，n＝10时，b＝3，a＝12×10sin360°10＝2.939，此时|a－b|＝0.061>0.05，不满足条件，则n＝20，b＝2.939，a＝12×20×sin360°20＝3.090，此时|a－b|＝0.151>0.05，不满足条件，则n＝40，b＝3.090，a＝12×40×sin360°40＝3.128，此时|a－b|＝0.038<0.05，满足条件，故输出的n＝40.故选B.

9．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝14c2a2－c2＋a2－b222.若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为( )

A.3 B．2

C．3

D.6

解析：选A.根据正弦定理，由a2sinC＝4sinA，得ac＝4.再结合(a＋c)2＝12＋b2，得a2＋c2－b2＝4，则S＝14c2a2－c2＋a2－b222＝16－44＝3，故选A.

10．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )

A.392 B.752

C．39 D.6018 解析：选B.设下底面的长为x92≤x<9，则下底面的宽为18－2x2＝9－x.由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V＝16×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋17x2＋392，故当x＝92时，体积取得最大值，最大值为－922＋92×172＋392＝752.故选B.

11．(2018·昆明模拟)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面面积，“势”是几何体的高．意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现在一旋转体D(如图1所示)，它是由抛物线y＝x2(x≥0)，直线y＝4及y轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周形成的几何体，旋转体D的参照体的三视图如图2所示，利用祖暅原理，则旋转体D的体积是( )

A.16π3 B．6π

C．8π D．16π

解析：选C.由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积V＝12×4×4×π＝8π，故旋转体D的体积为8π，故选C.

12．(2018·郑州第一次质量预测)刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为( )

A．24 B．325

C．64 D．326

解析：选B.由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中S四边形ABED＝S四边形ACFD，

S△ABC＝S△DEF.过点A向平面BCFE作垂线，垂足为A′，作AM⊥CF于点M，作AN⊥BC于点N，连接A′N，易知AA′＝4，A′N＝CM＝8－42＝2，CN＝12BC＝2.在Rt△AA′N中，AN＝AA′2＋A′N2＝42＋22＝25，在Rt△ANC中，AC＝CN2＋AN2＝22＋（25）2＝26，在Rt△AMC中，AM＝AC2－CM2＝（26）2－22＝25.

所以S四边形ACFD＝12×(4＋8)×25＝125，S△ABC＝12×BC×AN＝12×4×25＝45.所以该茅草屋顶的面积为2×125＋2×45＝325，故选B.

二、填空题

13．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)．

解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a1＝3，公比为12的等比数列{an}，设其前n项和为An；莞草的长度组成首项为b1＝1，公比为2的等比数列{bn}，设其前n项和为Bn.则An＝31－12n1－12，Bn＝2n－12－1，令31－12n1－12＝2n－12－1，化简得2n＋62n＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝lg6lg2＝1＋lg3lg2≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等．

答案：3

14．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝________．