计算力学大作业报告
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计算力学基础大作业 航21 苏浩 尹思凡
计算力学基础大作业报告
航21班 苏浩 尹思凡
一、求解流程说明
本次作业的求解过程主要分为三个步骤：
1. 前处理
网格划分——采用ABAQUS软件进行画网格，并输出前处理文件。
形成前处理文件——利用matlab编程，形成inmesh文件。
2. 有限元计算
采用上机课上提供的FEATP程序计算，程序略有修改，使其能够计算单元和节点数目更多的算例。本次大作业所有的图中str1~3,分别代表x（r）、y(theta)方向的正应力，剪力。
3. 后处理
采用Tecplot软件画图，得到位移场和应力场的云图。
二、所编程序及功能简介
程序名称 题目 功能
abs2pt.m 1、2、3、4（两种情况）、7 将ABAQUS的前处理文件进行处理，得到p、t矩阵
semibw.m 1、2、3、4（两种情况）、7 优化总刚矩阵并计算半带宽（已修改为适合3、4、6、8节点的情况）
viewmsh.m 1、2、3、4（两种情况）、7 显示网格（主要目的是检查边界条件是否施加正确，调bug用）
readdata.m 1、2、3、4 直接输出featp程序可以读取的节点信息和单元信息，可以直接复制到inmesh中。
readdata_7.m 7 直接输出featp程序可以读取的节点信息和单元信息，可以直接复制到inmesh中。
bianjie_n.m
（n为对应题号） 1、2、3、4（两种情况4_1平面应变和4_2轴对称）、7
（每道题的程序都不同） 直接输出featp程序可以读取的位移边界条件条件和力边界条件，可以直接复制到inmesh中。
xy2rtheta_n.m
（n为对应题号） 3、4（平面应变） 将笛卡尔坐标系中求得的位移和应力转换到极坐标系中，可以用tecplot画图 计算力学基础大作业 航21 苏浩 尹思凡
work8.m 8 读取abaqus的前处理文档，并计算出半带宽，直接输出featp程序可以读取的节点信息、单元信息、位移边界条件条件和力边界条件，可以直接复制到inmesh中。
work5.m 5 得到5题域内温度场,可以直接在tecplot中画图
output_stress.m 1、2、4、7 将不同情况算得的应力进行比较，以确定单元收敛性。
get_road3.m 3 沿不同路径对应力r进行比较，观察应力沿截面的分布。
get_road4.m 4 沿不同路径对应力r进行比较，观察应力沿截面的分布。
get_road4_2.m 4 对第四题轴对称问题取得路径上的r
lilunjie4.m 4 得到第四题的理论解
二、具体算例
1.悬臂梁问题
1.1 问题描述
图1所示悬臂梁，一端固支，承受集中力 P=1000N，梁的长度为 100mm，高度为10mm，厚度为1mm，材料弹性模量为2×1011Pa，泊松比为0.32，假定在变形过程中界面始终保持完整，利用有限单元法计算位移场分布，并利用求得的位移场计算结点应力，讨论与理论解的误差。分别使用不同类型不同阶次单元进行计算，比较结果精确度，单元收敛性等。
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1.2 解析计算
采用材料力学方法进行计算，建立主轴坐标系，根据材料力学的推导，有如下公式：
()0()zxzyyzxyzMxyIQSyIt （1.1）
其中()zMx是z轴正方向的弯矩，yQ是方向为y轴正方向的剪力，zI是梁对z方向的惯性矩，()zSy是横截面对z轴的静面矩，t为厚度。
由题目中的数据，可以得到：
33422223221000()()1000(100)()10125012123111()()()(25)2242yzzyyzhhQPNMxPLxxNmmhtImmhSyytdytytyymm （1.2）
将（1.2）中的公式带入（1.1）中，可以得到:
212(100)06(25)()xyxyxyMPayMPa (1.3)
材料力学中的挠度公式和转角公式：
22()zzzMxdEIdxddx (1.4)
而x方向的位移：
(,)()zuxyxy (1.5)
将（1.2）中的计算结果和材料参数带入，并对式（1.4）进行积分，得到： 计算力学基础大作业 航21 苏浩 尹思凡
521523121610(100)21610(50)6dxxcdxxxcxc （1.6）
位移边界条件：0,0,0dvxdx
得到位移场：
525231610(100)21610(50)6uxxyxx （1.7）
1.3 问题讨论
（1）位移边界条件：固定位移：左边界——中点 u=0 v=0
其余点 u=0
（2）载荷条件：右上角点
1.4 用不同类型的单元求解位移场和应力场
1.4.1 三角形三节点单元
（1）网格划分
采用三种不同疏密度的网格计算：
（2）计算结果
这里仅选取网格密度最大的第三种情况的结果
位移场,uv 计算力学基础大作业 航21 苏浩 尹思凡
应力场,,xyxy
1.4.2 四边形四节点单元
（1）网格划分 计算力学基础大作业 航21 苏浩 尹思凡
采用四种不同疏密度的网格计算：
（2）计算结果
位移场,uv
应力场,,xyxy 计算力学基础大作业 航21 苏浩 尹思凡
1.4.3 四边形八节点单元
（1）网格划分
采用三种疏密度不同的网格计算 计算力学基础大作业 航21 苏浩 尹思凡
（2）计算结果
位移场,uv
应力场,,xyxy 计算力学基础大作业 航21 苏浩 尹思凡
1.5 单元精度与单元收敛性
1）考虑平面应力问题，理论上v的挠度位移：
3635PLPLvEIGA （1.8）
代入数据：P=1000N，L=100mm E=2×105MPa G=E/(2（1+）)=75757.6MPa
得到理论挠度：
3353610001006100010020.1584135575757.6110321011012PLPLvmmEIGA
以（100,5）处的节点位移为例
网格密度 5*5 2.5*2.5 1*1 0.5*0.5
三节点三角形 10.9669 16.6118 19.4961 19.9965
四节点四边形 17.9468 19.5623 20.0715 20.1480
八节点四边形 20．1658 20．1711 20.1733
2）再对应力场进行检验
以（50,10）处的正应力值x作为收敛对象，理论121005053000xMPa
5*5 2.5*2.5 1*1 0.5*0.5
三节点三角形 0.109718E+04 0.208489E+04 0.271027E+04 0.288455E+04
四节点四边形 0.282321E+04 0.299333E+04 0.301933E+04 0.301339E+04
八节点四边形 0.299998E+04 0.299998E+04 0.299999E+04
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上表及上图中，三角形单元T3的节点数分别为63、205、1111和4221，四边形单元Q4和Q8的单元数相同，节点数分别为Q4：63、205、1111、4221;Q8:165,569,3221。
由对比可以看出，三角形三节点单元的解的误差要远大于四边形单元的解的误差，这是由于悬臂梁问题中，四边形单元的划分方式对位移的描述更符合实际的位移分布；二次单元的解的精度比一次单元解的精度高，且四边形八节点单元在节点数很少时收敛精度就已经很高，由材料力学解可以看出，悬臂梁问题中的位移场u是二次的，二次单元得到的与实际位移场阶数相同，因此二阶单元的精度很高是合理的。
2. 带孔方板问题 计算力学基础大作业 航21 苏浩 尹思凡
2.1 问题描述
图2所示中间含椭圆孔的矩形薄板，在上下两边受均布载荷 p作用，计算沿椭圆轴向的应力分布和应力集中系数。p 取 50MPa，薄板长宽均为 20mm，圆直径为 5mm。弹性模量
E=210GPa，泊松比v=0.32。探讨下列变量（不局限于下列变量）对结果的影响：
（1）椭圆孔不同的长短轴之比 a/b
（2）板长与椭圆轴之比 s/a或s/b
（3）网格密度
2.2 解析计算
对于带圆孔的方板问题，解析解的应力图x如图所示（图示解析解的拉力方向是向右拉伸）
对于无限域椭圆孔的单向均匀拉伸问题（Kirsch问题），椭圆孔的应力分布存在解析解，椭圆的长轴出应该出现应力集中，应力集中系数：21akb
2.3 问题讨论 计算力学基础大作业 航21 苏浩 尹思凡
由于椭圆孔方板的对称性，本题只取板的1/4进行计算，且单元类型均为三角形T3单元。且位移边界均根据对称性给出，左边界限制u方向位移，下边界限制v方向位移。
同时，对应力集中区域进行了网格加密。
2.3.1 椭圆孔不同长短轴之比a/b（s=20）
(1)a=5,b=1
网格划分：
计算结果：
位移场,uv
