一元二次方程基础讲义

一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高

次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式：20(0)axbxca。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项

注意：1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。

专题一：一元二次方程定义及一般形式1、下列方程，是一元二次方程的是（）

①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2-1x=4，④x2=0，⑤x2-3x+3=0

A．①②B．①④⑤C．①③④D．①②④⑤2、方程2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、2、5B．2、3、5C．2、﹣3、﹣5D．﹣2、3、5

专题二：应用一元二次方程的定义求字母参数的方法

3、若关于x的方程2m110xmx是一元二次方程，则m的取值范围是（）

A．m1.B．m1.C．m1D． m0.

4、若2223aax是关于x的一元二次方程，则a的值是（）

A．0B．2C．-2D．±2

专题三：一元二次方程的根的应用方法

韦达定理（根与系数关系）

我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a≠0，Δ≥）之后，设它的两个根是1x和2x，

则1x和2x与方程的系数a，b，c之间有如下关系：

1x+2x＝ba；1x2x＝ca

1、关于x的一元二次方程240xxm的两实数根分别为1x、2x，且1235xx，则

m的值为（）

A．74B．75C．76D．0

2、已知a、b为一元二次方程2290xx的两个根，那么2aab的值为（）

A．-7B．0C．7D．11

3、若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a﹣3b+6的值为（）

A．9B．3C．0D．﹣3专题四：一元二次方程根的判别式的应用方法

一元二次方程20(0)axbxca根的判别式：24bac

0方程有两个不相等的实根()fx的图像与x轴有两个交点

0方程有两个相等的实根()fx的图像与x轴有一个交点

0方程无实根()fx的图像与x轴没有交点

1、关于x的方程2(5)410axx有实数根，则a满足（）

A．1aB．1a且5aC．1a且5aD．5a

2、已知关于x的一元二次方程2230xkx有两个相等的实根，则k的值为（）

A．26B．6C．2或3D．2或3

3、关于x的一元二次方程x2-2x-（m-1）=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围

是（）A．0m且1mB．0mC．0m且1mD．0m

练习：1、下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（）

A．x﹣1=0B．x2+3x﹣5=0C．x3+x=3D．ax2+bx+c=0

2、若方程211120mmxmx是一元二次方程，则m的值为（）

A．0B．±1C．1D．–1

3、关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（）A．1B．2C．1或2D．0

4、一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（）

A．10B．9C．8D．7

5、若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋32ax－a2＝0的一个根，则a的值为（）

A．－1或4B．－1或－4

C．1或－4D．1或4

6、若关于x的一元二次方程222(1)10xkxk有实数根，则k的取值范围是（）

A．k≥1B．k＞1C．k＜1D．k≤17、方程(−2)2−3−𝐵+14=0有两个实数根，则的取值范围（）

A．>52B．≤52且≠2C．≥3D．≤3且≠2

专题五：解一元二次方程

1、直接开平方法：形如2()(0)xabb的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得xab或者xab，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。

例一：32−27=023−12=8练习一：−22−5=922－16=0

2、配方法：配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的

平方”

用配方法解一元二次方程20(0)axbxca的一般步骤

移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)xmnn的形式；

【注意】：1）当0n时，方程无解

2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”

求解：判断右边等式符号，开平方并求解。例题二：

练习二：2+2−2=042＋8𝐫1=0

配方法的应用：一：二：三：

3、公式法：用公式法解一元二次方程20(0)axbxca的一般步骤：

把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);

求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;

如果b2-4ac≥0,将a、b、c的值代入求根公式：242bbacxa

最后求出x1，x2例题三：练习三：

2−43＋10=0122+12＋18=0

3、因式分解灵活运用提公因式法，平方差公式和完全平方公式例题四：习题四：

4、十字相乘法：例题五：练习五：例题六：练习六：

专题六：用一元二次方程解决平均增长率问题1、某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分

率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1＋x）2＝315B．560（1－x）2＝315C．560（1－2x）2＝315D．560（1－x2）＝3152、某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为

x，则可列方程为（）

A．48（1﹣x）2=36B．48（1+x）2=36C．36（1﹣x）2=48D．36（1+x）2=48

3、某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四

月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是()

A．2120%1115%xB．2115%(1)120%x

C．2115%1120%xD．2120%(1)115%x

专题七：用一元二次方程解决“每每型”问题1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快

减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价1元，平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价（）

A．5元B．10元C．20元D．10元或20元2、宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天

的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为x元时，宾馆当天的利润为10890元.则有()

A．(18020)501089010xxB．1805050201089010xx

C．180(20)501089010xxD．(180)5050201089010xx

3、一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，

该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单

价每降低1元，平均每天可多售出2件.

（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

专题八：用一元二次方程解决几何图形问题1、如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然

后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的

小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）

A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32

C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=32

2、如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩

余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m2，道路的宽为xm，则可列方程为（）

A．32×20﹣2x2＝570B．32×20﹣3x2＝570B．（32﹣x）（20﹣2x）＝570D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570

3、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如

图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方

程是（）

A．213014000xxB．2653500xx

C．213014000xxD．2653500xx

专题九：用一元二次方程解决传播问题1、某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每

个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干

长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7

2、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照

片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）

A．x(x+1)=1035B．x(x-1)=1035C．12x(x+1)=1035D．12x(x-1)=1035

3、某校羽毛球队有若干名队员，任意两名队员之间进行一场友谊赛，共进行了36场比赛.

如果全队有x名队员，根据题意下列方程正确的是（）

A．(1)36xxB．(1)36xxC．(1)362xxD．(1)362xx