高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》经典测试题附答案解析

【高中数学】高考数学《平面向量》练习题(1)

一、选择题

1．设x，y满足102024xxyxy，向量2,1axr，1,bmyr，则满足abrr的实数m的最小值为（ ）

A．125

B．125

C．32 D．32

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据平面向量垂直的坐标表示，得2myx，根据约束条件画出可行域，再利用m的几何意义求最值，只需求出直线2myx过可行域内的点C时，从而得到m的最小值即可．

【详解】

解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为2,1axr，1,bmyr，

由abrr得20xmy，∴当直线经过点C时，m有最小值，

由242xyxy，得8545xy，∴84,55C，

∴416122555myx，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．

2．已知5MNabuuuurrr，28NPabuuurrr，3()PQabuuurrr，则（ ）

A．,,MNP三点共线 B．,,MNQ三点共线 C．,,NPQ三点共线 D．,,MPQ三点共线

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平面向量共线定理进行判断即可.

【详解】

因为28NPabuuurrr,3()PQabuuurrr

所以2835NQNPPQabababuuuruuuruuurrrrrrr,

因为5MNabuuuurrr,所以MNNQuuuuruuur

由平面向量共线定理可知,MNuuuur与NQuuur为共线向量,

又因为MNuuuur与NQuuur有公共点N,所以,,MNQ三点共线.

故选: B

【点睛】

本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

3．下列说法中说法正确的有（ ）

①零向量与任一向量平行；②若//abrr，则()abRrr；③()()abcabcrrrrrr④||||||ababrrrr；⑤若0ABBCCAuuuruuuruuurr，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

A．①④ B．①②④ C．①②⑤ D．③⑥

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用向量的基础知识的应用求出结果.

【详解】

对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；

对于②：若//abrr，则abRrr，必须有0brr，故②错误；

对于③：abcabcrrrrrr，ar与cr不共线，故③错误；

对于④：ababrrrr，根据三角不等式的应用，故④正确；

对于⑤：若0ABBCCAuuuruuuruuurr，则,,ABC为一个三角形的三个顶点，也可为0r，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.

综上：①④正确. 故选：A.

【点睛】

本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．

4．已知O是平面上一定点，满足()||cos||cosABACOPOAABBACCuuuruuuruuuruuuruuuruuur，[0，)，则P的轨迹一定通过ABC的（ ）

A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心

【答案】B

【解析】

【分析】

可先根据数量积为零得出BCuuur与()||cos||cosABACABBACCuuuruuuruuuruuur垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论．

【详解】

Q()||cos||cosABACOPOAABBACCuuuruuuruuuruuuruuuruuur，

()||cos||cosABACOPOAABBACCuuuruuuruuuruuuruuuruuur，

即()||cos||cosABACAPABBACCuuuruuuruuuruuuruuur，

QcosBABCBBABCuuuruuuruuuruuur，cosCACBCCACBuuuruuuruuuruuur，

()0||cos||cosABACBCBCBCABBACCuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，

∴BCuuur与()||cos||cosABACABBACCuuuruuuruuuruuur垂直，

即APBCuuuruuur，

点P在BC的高线上，即P的轨迹过ABC的垂心.

故选：B．

【点睛】

本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.

5．在平面直角坐标系中，1,2A，,1Ba，,0Cb，,abR．当,,ABC三点共线时，ABBCuuuruuur的最小值是（ ） A．0 B．1 C．2

D．2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量共线的坐标表示可求得12ba，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为211a，由二次函数性质可得结果.

【详解】

由题意得：1,1ABauuur，,1BCbauuur，

,,ABCQ三点共线，111aba，即12ba，1,1BCauuur，

2111ABBCauuuruuur，即ABBCuuuruuur的最小值为1.

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.

6．如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D为劣弧AC的中点，则ODuuur（ ）

A．2133BAACuuuruuur B．2133BAACuuuruuur C．1233BAACuuuruuur D．4233BAACuuuruuur

【答案】A

【解析】

【分析】

连接BO，易知B，O，D三点共线，设OD与AC的交点为E，列出相应式子得出结论.

【详解】

解：连接BO，易知B，O，D三点共线，设OD与AC的交点为E，

则221121332333ODBOBEBABCBABAACBAACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur.

故选：A.

【点睛】

本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.

7．在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，CE的延长线交AB于点,F则（ ）

A．1162DFABACuuuruuuruuur B．1134DFABACuuuruuuruuur

C．3142DFABACuuuruuuruuur D．1126DFABACuuuruuuruuur

【答案】A

【解析】

【分析】

设ABAFuuuruuur，由平行四边形法则得出144AEAFACuuuruuuruuur，再根据平面向量共线定理得出得出=3，由DFAFADuuuruuuruuur，即可得出答案.

【详解】

设ABAFuuuruuur，111124444AEABAACAACDFuuuruuuuuuruuurruuuruuur

因为CEF、、三点共线，则1=144，=3

所以1111132262DFAFADABABACABACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

故选：A

【点睛】

本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.

8．在ABC中，5,6,7ABBCAC，点E为BC的中点，过点E作EFBC交AC所在的直线于点F，则向量AFuuur在向量BCuuur方向上的投影为（ ）

A．2 B．32 C．1 D．3

【答案】A

【解析】 【分析】

由1()2AFAEEFABACEFuuuruuuruuuruuuruuuruuur， EFBC，得12AFBCuuuruuur，然后套用公式向量AFuuur在向量BCuuur方向上的投影||AFBCBCuuuruuuruuur，即可得到本题答案.

【详解】

因为点E为BC的中点，所以1()2AFAEEFABACEFuuuruuuruuuruuuruuuruuur，

又因为EFBC，

所以22111()()()12222AFBCABACBCABACACABACABuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，

所以向量AFuuur在向量BCuuur方向上的投影为2||AFBCBCuuuruuuruuur.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.

9．在ABC中，已知3AB，23AC，点D为BC的三等分点(靠近C)，则ADBCuuuvuuuv的取值范围为（ ）

A．3,5 B．5,53 C．5,9 D．5,7

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量加法法则把所求数量积转化为向量ABACuuuruuur，的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．

【详解】

如图，13ADBCACCDACABACCBACABuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

11213333ACABACACABACABACABuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

22211333ACABABACuuuruuuruuuruuur

＝8﹣113233cosBAC

＝7﹣2cos∠BAC

∵∠BAC∈（0，π），