1.7.2 定积分在物理中的应用

第一章 导数及其应用

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

§1.1.3 导数的几何意义

§1.2 导数的计算

§1.2.1 几个常用函数的导数

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

§1.3 导数在研究函数中的应用

§1.3.1 函数的单调性与导数

§1.3.2 函数的极值与导数

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数

§1.4 生活中的优化问题举例

§1.5 定积分的概念

§1.5.1 曲边梯形的面积

§1.5.2 汽车行驶的路程

§1.5.3 定积分的概念

§1.6 微积分基本定理

§1.7 定积分的简单应用

§1.7.1 定积分在几何中的应用

§1.7.2 定积分在物理中的应用

章末整合提升 章末达标测试

第二章 推理与证明

§2.1 合情推理与演绎推理

§2.1.1 合情推理

§2.1.2 演绎推理

§2.2 直接证明与间接证明

§2.2.1 综合法和分析法

§2.2.2 反证法

§2.3 数学归纳法

章末整合提升

章末达标测试

第三章 数系的扩充与复数的引入

§3.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.2 复数的几何意义

§3.2 复数代数形式的四则运算

§3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

§3.2.2 复数代数形式的乘除运算

章末整合提升

章末达标测试

模块综合检测

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

[课标要求]

1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点)

2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)

3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)

一、函数平均变化率

如果函数关系用y＝f(x)表示，那么变化率可用式子f（x2）－f（x1）x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是平均变化率可以表示为ΔyΔx．

・２４・　科技论坛　定积分在物理学中的应用探讨　王宏宇　（哈尔滨师范大学松北校区物理与电子工程学院，黑龙江哈尔滨１５００００）　摘要：众所周知，物理学是一门综合性极强的学科，我们在学习的过程中通常都会将课堂理论知识和实践活动有机的结合在一起，　从而使得物理教学的质量得到有效的提高。然而，在物理教学的过程中，学生们通常都会遇到许多的问题，比如解积分困难等。这就使得　学生对物理知识的把握能力存着一定的不足，从而导致学生的专业知识学习的过程中出现一定的问题。因此＂－３前我们在对物理学的学习　中，就要将定积分应用到其中，从而有效的处理人们在物理学学习的过程中存在着难点。本文首先对定积分的相关内容进行简要的介绍，　其次讨论了定积分在物理教学中的实际应用，以供参考。　关键词：定积分；物理学；功；引力　目前，我们在物理学学习的过程中，由于物理学有着极强的综　合性，而且其中所涉及的内容比较复杂，因此这就导致学生在学习　时存在许多的问题，从而导致人们在对积分进行求解的过程中存在　一定的难度，并使得学生对物理学中相关的知识无法进行很好的掌　握。因此，我们为了保证物理学学习的顺利，就要将定积分应用到其　中，进而有效的解决物理学中存在的相关问题。下面我们就对定积　分在物理学中的实际应用进行简要的介绍。　１定积分的概述　１．１定积分的定义　所谓的定积分也就是对函数ｆｆｘ）的求解，从而得到的正确答　案。因此，我们在物理学中相关的函数问题进行解决的时候，我们就　要对定积分进行有效的应用，从而使得我们在函数计算的过程中得　到一个正确的数值。　Ｉ．２定积分的性质　目前，定积分在使用的过程中，它的性质主要体现为以下几点：　第一，人们在对函数公式进行计算的过程中，可以将常数提取　到积分号的前面，以方便人们对积分的计算分析；第二，当我们在对　代数和的积分进行计算分析的过程中，积分代数和的数值和代数和　的积分是相等的；第三，定积分的可加性。　１．３基本定理　目前，我们在对定积分进行分析的过程中，往往会将不定积分　的相关理念联系在一起，从而将相关的数据信息转化成计算积分，　这种转化手段主要是利用一个定积分式的数值，在原函数值的上限　基础之上来，来和下限函数差进行求解，而我们则将这种理论叫做　布尼茨兹公式，这也正是定积分在应用过程中的基本理念。　２定积分在物理学中的实际应用　随着我国教育制度和内容的不断改革，物理学中所涉及到的内　容逐渐的复杂化，这就导致人们在学习过程中存在的问题也越来越　多，尤其是在微积分的求解上，这些问题也越来越突出，因此我们使　得积分在求解过程中，得到正确的数值，我们就将定积分应用到物　理学当中，从而当前人们对物理学中的相关知识有着一定的掌握。　目前我们在物理学中，定积分主要应用在以下几个方面：　２．１变力沿直线所做的功　在对物理学基础之上学习的过程中，人们往往会涉及到物体在　移动过程中，物体在移动时所做的功大小的计算，因此我们将以对　其进行计算的过程中，一般都将物体移动的距离ｓ和常力Ｆ，按照　Ｗ＝Ｆ　Ｘ　Ｓ的求解公式来对其进行计算。　当物体在运动时，有时会受到变力的作用，使其移动到一定的　位置上，因此我们在对物体沿直线所做的功进行求解的过程中，就　可以利用积分微元的计算方法来对其所做的功进行计算。在通常情　况下，我们都会在【ａ，ｂ】函数图中架设一个ｒ（ｘ），从而通过变力Ｆ（ｘ）　所做的功在［ａ，ｂ］中的位移量，来对其进行计算分析，从而取得相应　的计算数值。而且在实际应用的过程中，我们也可以利用物体受力　变化的直线变量来对其所做的工作的相关情形，进行计算分析。下　面我们就利用实际例子在对相关的数值进行计算分析。　例：把一个带＋ｑ电量的点电荷放在ｒ轴上的坐标原点处，它产　生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力。由物理学知道，如果　一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为的地方，那么电场对它　的作用．力的大小就可以准确的计算出来。　试计算：当这个单位正电荷在电场中从ｒ＝ａ处沿ｒ轴移动到ｒ＝ｈ　处时，电场力Ｆ对它所做的功。　解：注意到将单位正电荷在瑚上从点ａ移动到点ｂ的过程中，　电场对该单位正电荷的作用力是变化的，问题可归结为变力沿直线　做功的情形处理。　取ｒ为积分变量，其变化区间为【ａ，ｂ】，任取微元［ｒ，ｒ＋ｄｒ］当单位正　电荷从ｒ移动到ｒ＋ｄｒ时，电场．力对它所做的功近似值进行很好的　计算分析，从而对电场中的电位移动所作的功进行很好的计算。因　此在一计算电场中某点的电位时，要考虑将单位正电荷从该点　ａ１　移动到无穷远处时电场力所做的功时，我们就可以准确的计算出电　位在移动过程中所做的功。　２．２水压力　根据初等物理知识，在水深ｈ处的压强为ｐ＝ｙｈ，这里ｙ是水的　比重。如果有一面积为Ａ的平板水平地放置在水深为ｈ处，则我们　就可以利用Ｐ＝ｐ　Ｘ　Ａ的计算公式来对水压力值进行计算。　如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强Ｐ不相　等，平板一侧不同深处所受的水压力是不同的，此时，我们就可以采　用微元法来对其进行相关的计算分析，从而得到准确的数值。　任取微元［－ｘ，ｘ＋ｄｘ｝，则小矩形上的压强近似为ｐ＝ｙｘ，从而对小矩　形片的压力微元进行计算。下面我们通过具体例子来说明。　例：将直角边分别为ａ和２ａ的直角三角形薄板垂直地浸入水中　斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于　该边的边长，求薄板所受的侧压力。　解：建立坐标系，取ｘ为积分变量，它的变化范围为［Ｏ，ａ］，任取微　元Ｉｘ，ｘ＋ｄｘ］，则小矩形片的面积为２（ａ—ｘ）ｄｘ，我们就可以对小矩形片　上各处的压强近似值进行计算。　２．３对引力的计算分析　如果要计算一根细棒或一平面对一个质点的引力，则由于细棒　或平面上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方　向也是变化的。　假设有一长度为ｌ，线密度为Ｐ的均匀细棒，在其中垂线上距离　ａ单位处有一质量为ｍ的质点Ｍ，试计算该棒对质点Ｍ的引力。此　时，我们就可以通过相关的计算公式，来对其进行处理。　综上所述，我们发现，要求某个量，只要找出这个量ｖ的微积分　ｄｖ，再在量的区间上做定积分即可。通过上述几个例子，可看出定积　分在物理学中的应用优势。　结束语　由此可见，人们在物理学学习的过程中，我们就可以利用定积　分的方法，来对其进行相关的计算分析，从而有效的解决人们在物　理学计算中存在的相关问题，进而得到准确的数值。　参考文献　『１］王新民，王富英．高效教学中的知识、方式与评价『Ｊ］．内江师范学院　学报，２０１　ｌ（６）．　【２］李玲．高等数学在不同学科领域中的应用ｆＪ］．四川文理学院学报，　２０１１（２１．　，　『３］黎定国　邓玲娜，刘义保，潘小青．大学物理中微积分思想和方法教　学浅谈　大学物理，２００５（１２）．

人教版高中数学目录

1 必修1

第一章 集合与函数概念

1．1 集合

1.1.1集合的含义与表示

1.1.2集合间的基本关系

1.1.3集合的基本运算

1．2 函数及其表示

1.2.1函数的概念

1.2.2函数的表示法

1．3 函数的基本性质

1.3.1单调性与最大小值

1.3.2奇偶性

第二章 基本初等函数（Ⅰ）

2．1 指数函数

2.1.1指数与指数幂的运算

2..1.2指数函数及其性质

2．2 对数函数

2.2.1对数与对数运算

2.2.2对数函数及其性质

2．3 幂函数

第三章 函数的应用

3．1 函数与方程

3.1.1方程的根与函数的零点

3.1.2用二分法求方程的近似解

3．2 函数模型及其应用

3.2.1几类不同增长的函数模型

3.2.2函数模型的应用实例

必修2

第一章 空间几何体

1．1 空间几何体的结构

1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

1.1.2简单组合体的结构特征

1．2 空间几何体的三视图和直观图

1.2.1中心投影与平行投影

1.2.2空间几何体的三视图

1.2.3空间几何体的直观图

1．3 空间几何体的表面积与体积

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.3.2球的体积与表面积

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1平面

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.4平面与平面之间的位置关系

2．2 直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1直线与平面平行的判定

2.2.2平面与平面平行的判定

2.2.3直线与平面平行的性质

2.2.4平面与平面平行的性质

2．3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

2.3.2平面与平面垂直的判定

2.3.3直线与平面垂直的性质

1 1. 7.2定积分在物理中的应用

课前预习学案

【预习目标】

能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功.

【预习内容】

一、知识要点：作变速直线运动的物体在时间区间ba,上所经过的路程S，等于其速度函数)0)()((tvtvv在时间区间ba,上的 ，即 .

例1已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(stsmv）

.6040,905.1;4010,30;100,103)(2ttttttv

求（1）汽车s10行驶的路程；（2）汽车s50行驶的路程；（3）汽车min1行驶的路程.

变式1：变速直线运动的物体速度为,1)(2ttv初始位置为,10x求它在前s2内所走的路程及s2末所在的位置.

二、要点：如果物体在变力)(xF的作用下做直线运动，并且物体沿着与)(xF相同方向从ax移动到),(babx则变力)(xF所作的功W= .

例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，求克服弹力所作的功.

变式2：一物体在变力25)(xxF作用下，沿与)(xF成30方向作直线运动，则由1x运动到2x时)(xF作的功为 . 2 课内探究学案

一、学习目标：

1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.

2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。

二、学习重点与难点：

1. 定积分的概念及几何意义

2. 定积分的基本性质及运算的应用

三、学习过程

(一)变速直线运动的路程

1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 定积分 ，即badttvs)(．

2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是