高考数学立体几何题大纲解析

专题12：文科立体几何高考真题大题（全国卷）赏析（解析版）

题型一：求体积

1，2018年全国卷Ⅲ文数高考试题

如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

【答案】（1）证明见解析

（2）存在，理由见解析

【详解】

分析：（1）先证ADCM,再证CMMD，进而完成证明．

（2）判断出P为AM中点，，证明MC∥OP，然后进行证明即可．

详解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．

因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．

因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．

又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．

而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．

（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．

证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．

连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．

MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．

点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．

2，2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷）

如图，在平行四边形ABCM中，3ABAC，90ACM，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA．

（1）证明：平面ACD平面ABC；

（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且23BPDQDA，求三棱锥QABP的体积．

【答案】(1)见解析.

(2)1.

【解析】

分析：(1)首先根据题的条件，可以得到BAC=90，即BAAC，再结合已知条件BA⊥AD，利用线面垂直的判定定理证得AB⊥平面ACD，又因为AB平面ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD⊥平面ABC；

1 专题07 立体几何综合问题

【题型解读】

题型特点 命题趋势

从近几年的高考试题来看，立体几何是高考解答题的必考内容，主要考查的热点题型是线面位置关系与体积计算、平面图形的折叠，探索开放性问题等，题目难度中等，题型规范，方法可循. 1.线、面的平行与垂直关系是考查的热点，通过空间几何体的体积计算，考查学生的空间想象能力．

2．平面图形折叠成空间几何体．

3．是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题.

▶▶题型一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算

(1)空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解．

(2)利用向量求空间角的步骤：

第一步：建立空间直角坐标系；

第二步：确定点的坐标；

第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；

第四步：计算向量的夹角(或函数值)；

第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；

第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．

【例1】 (2019·河南郑州高三联考)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝π6，AB＝2AD.

(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；

(2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值．

【答案】见解析

【解析】(1)在△ABD中，∠ABD＝π6，AB＝2AD， 2 由余弦定理，得BD＝3AD，

从而BD2＋AD2＝AB2，

所以△ABD为直角三角形且∠ADB＝90°，

故BD⊥AD.

因为DE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DE⊥BD.

又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.

因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.

(2)由(1)可得，在Rt△ABD中，∠BAD＝π3，BD＝3AD，

OyxzFEGHIJOyxzA'C'BB'CD'A立体几何解答题的建系设点问题

在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。

一、基础知识：

（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴

1、z轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z轴要与坐标平面xOy垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z轴与底面的交点

2、,xy轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：

（1）尽可能的让底面上更多的点位于,xy轴上

（2）找角：,xy轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件

（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点

3、常用的空间直角坐标系满足,,xyz轴成右手系，所以在标,xy轴时要注意。

4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。

5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。

6、与垂直相关的定理与结论：

（1）线面垂直：

① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直

② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直

③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直

④ 直棱柱：侧棱与底面垂直

（2）线线垂直（相交垂直）：

① 正方形，矩形，直角梯形

② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）

③ 菱形的对角线相互垂直

④ 勾股定理逆定理：若222ABACBC，则ABAC

（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类

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课 题 立体几何（一）

教学目的

教学内容

一、 知识网络

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二、命题分析

立体几何在高考中考查的主要内容有：空间几何体的性质、线面关系的判定与证明、表面积与体积的运算、空间几何体的识图，空间中距离、角的计算等．

从近几年高考来看，一般以2～3个客观题来考查线面关系的判定、表面积与体积、空间中的距离与角、空间几何体的性质与识图等，以1个解答题来考查线面关系的证明以及距离、角的计算．在高考中属于中档题目．而三视图作为新课标的新增内容，在2011年高考中，有多套试卷在此知识点命题，主要考查三视图和直观图，特别是通过三视图来确定原图形的相关量．预计今后高考中，三视图的考查不只在选择题、填空题中出现，很有可能在解答题中与其他知识点结合在一起命题.

三、复习建议

在2012年高考复习中注意以下几个方面：

(1)从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变，除保留传统的“四选一”的选择题外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类题目往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合．

在2012年高考复习中注意以下几个方面：

(1)从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变，除保留传统的“四选一”的选择题外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类题目往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合．