《弹性力学》试题(2003级)参考答案

《弹性力学》试题（A）参考答案（2003级）

一、填空题（每小题4分）

1．最小势能原理等价于弹性力学方程中： 平衡微分 方程和 应力 边界条件。

2．将平面应力情况下物理方程中的E、分别换成 21E 、1，

即得到平面应变情况下的物理方程。

3．等截面直杆扭转问题中， MdxdyD2的物理意义是 端部边界条件 。

4．平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数及yx,在边界上值的物理意义分别是 面力对某一点的矩

， 面力的主矢量（合力投影）

。

5．对无限大多连体，解析函数)(),(11zz中常数CiBB,的物理意义为：

无穷远处的主应力及其方向 。

二、简述题（每小题6分）

1．试简述力学中圣维南原理的要点及在弹性力学分析中作用。

圣维南原理的要点：（1）静力等效；（2）一小部分边界（次要边界）；（3）近处的应力明显受影响而远处应力的影响可忽略不计。

圣维南原理在弹性力学分析中作用：（1）近似列出复杂面力的应力边界条件；（2）将一小部分位移边界条件转化为应力边界条件问题。

2．材料的泊松比为，试根据三向拉伸时体积膨胀，单向拉伸时产生横向收缩的性质，证明：在线弹性情况下有，210。

证明：

（1）当物体处于三向等拉应力状态时，其任意方向的线应变有：

E21

因为，0，0E，0 ，所以有：021，即 21

（2）当物体处于单向拉伸时，其横向线应变有：



因为，物体发生横向收缩变形，应有：0。考虑到拉伸轴向应变0，由上式可得

0

综合以上讨论，得在弹性阶段，材料的泊松比，有

210

3．下面给出平面应力问题（单连通域，无体力）一组应力分量和一组应变分量，试判断它们是否可能。

（1）,21yCxCx,43yCxCyyCxCxy14；

（2）),(22yxCx,2CyyCxyxy2。

解：（1）

判断应力分量是否满足平衡微分方程：

计算：1Cxx，1Cyxy，4Cyy，4Cxxy

代入平衡微分方程（设无体力），有

011CCyxxyx，044CCyxyxy

可见满足平衡微分方程。

判断应力分量是否满足相容方程：

计算：yCCxCCyx)()(4231

0)()()())((423122222222yCCxCCyxyxyx

可见满足相容方程。

综合以上判别得：所给应力分量为一组可能应力分量。

（2） 判断应力分量是否满足变形协调方程：

计算：CyxCyyx2)(222222，022222Cyxxy，

CCxyyxyxxy2)2(22

将其代入变形协调方程：yxxyxyyx22222，显然有：

CC22

满足变形协调方程，表明所给应变分量一组可能的应变分量。

4．图示曲杆，在br边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。

题二（4）图

（1）0 ,brrbrrq；

（2）0 ,0arrarr

（3） cos sinPdrPdrbarba

2sinbaPrdrba

5．试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性。

Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：

（1）变求一般函数（),(),,(),,(yxwyxvyxu或),(),,(rurur）为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。

（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。

适用性：Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；

Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。

三、计算题

1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。 （13分）

题三（1）图

解：d很小，PdM，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。

其应力函数),(r可取为：

BAr2sin),(

将应力函数),(r代入应力分量公式，可求得应力分量：

2sin4112222Arrrrr； 022r；

)2cos2(112BArrrr

边界条件：

（1）0 ,00000rrr； 0 ,00202rrr

代入应力分量式，有

0)2(12BAr 或 AB2 （1） （2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：rr,，和M = Pd

由该脱离体的平衡，得

0222Mdrr

将r代入并积分，有

0)2cos2(12222MdrBAr

02sin22MBA 得 0MB （2）

联立式（1）、（2）求得：

PdMB，2PdA

代入应力分量式，得

22sin2rPdr； 0； 22cosrPdr。

结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。

2．图示顶角为的楔形体，下端无限长，受水平方向的常体力作用，设单位体积的水平力为p，试用纯三次多项式为应力函数求其应力分量。 （12分）

题三（2）图

解：由题意，取应力函数为

3223),(dycxyybxaxyx （1） 计算应力分量：

22yxdycx62

pyxy22pybyax26 （2）

yxxy2cybx22

边界条件1：

00yy，00yxy （3）

将式（2）代入得：

06ax

02bx，

解得：0,0ba。式（2）变为：

22yxdycx62

pyxy22py （4）

yxxy2cy2

考察边界条件（tanxy）：

0)()(sxysxml

0)()(sysxyml

其中：sin),cos(xNl，cos),cos(yNm。将上式及式（4）代入，有

0)(cos)2(sin0)2(cos)62(sinpycycydycx （5）

将tanxy代入解得：

cot2pc

2cot3pd

将上述结果代入式（4），得

)cot2(cotyxpx

pyy （6）

ypxycot

3．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试求：

（1）用三角函数形式和多项式写出梁挠度（w）近似函数的表达式；

（2）在上述梁挠度（w）近似函数中任选一种，用最小势能原理或Ritz法求梁挠度（w）的近似解（取1项待定系数）。 （13分）

题三（3）图

解：两种形式的梁挠度试函数可取为

)()(23212xAxAAxxw —— 多项式函数形式

))12(cos1()(1nmmlxmAxw —— 三角函数形式

此时有：

0)()(023212xxAxAAxxw 0)()(2)(03222321xxAAxxAxAAxxw

0))12(cos1()(01xnmmlxmAxw

0)12(sin)12()(01xnmmlxmmlAxw

即满足梁的端部边界条件。

梁的总势能为

202022)(21)(21lwkdxxqwdxdxwdEIΠll

取：21)(xAxw，有

1222Adxwd，21)(lAlw

代入总势能计算式，有

221012021)(21)2(21lAkdxAqxdxAEIΠll

42131212132lkAlqAEIlA

由0Π，有

0343411lqlkAEIlA

)4(34301klEIllqA

代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为

2320)4(3)(xklEIlqxw

4．已知受力物体内某一点的应力分量为：0x，MPa2y，MPa1z，MPa1xy，0yz，MPa2zx，试求经过该点的平面13zyx上的正应力与剪应力。 （12分）

解：由平面方程13zyx，得其法线方向单位矢量的方向余弦为

1111311222l，1131313222m，1111311222n

102021210ij， 131111nmlL

111131102021210131111LLTN

MPa 64.21129111131375

22222NNNNNZYX

2zxxyxnml

2yzyxynml

2zzyxznml2)(N

2222112911311711512172

MPa77.01126117212172N