初中数学找规律解题方法及技巧

初中数学找规律解题方法及技巧

第 1 页 共 18 页 初中数学找规律解题方法及技巧

此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。

（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.

（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。

二、基本技巧

（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是 10021 ，第n个数是 n12。

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：0，3，8，15，24，……。

序列号： 1，2，3， 4， 5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是2n-1，第100项是2100—1

（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。

例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（ 2)12(n ），

1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。

（三）看例题：

A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18

答案与3有关且是n的3次幂，即：n3+1

B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：n2

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……，

序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为12n。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在12n的基础上加2，得到原数列第n项12n

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数）

同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n2，原初中数学找规律解题方法及技巧

第 2 页 共 18 页 数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4 n2，则求出第一百个数为4*1002=40000

（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。

（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。

三、基本步骤

1、 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。

2、 如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律

3、 如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律

4、 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题

四、练习题

例1：一道初中数学找规律题

0，3，8，15，24，······ 2，5，10，17，26，····· 0，6，16，30，48······

（1）第一组有什么规律？

答：从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。

（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？

答：第一组是位置数平方减一，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可以看出都等于2，说明第二组的每项都比第一组的每项多2，则第二组第n项是：位置数平方减1加2，得位置数平方加1即12n。

第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍，则第三组第n项是：122n

（3）取每组的第7个数，求这三个数的和？

答：用上述三组数的第n项公式可以求出，第一组第七个数是7的平方减一得48，第二组第七个数是7的平方加一得50，第三组第七个数是2乘以括号7的平方减一得96，48+50+96=194

2、观察下面两行数

2，4，8，16，32，64， ．．．（1）

5，7，11，19，35，67．．．（2）

根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。（要求写出最后的计算结果和详细解题过程。）

解：第一组可以看出是2n，第二组可以看出是第一组的每项都加3，即2n+3，

则第一组第十个数是210=1024，第二组第十个数是210+3得1027，两项相加得2051。

3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？

解：从数列中可以看出规律即：1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，…….，每二项中后项减前项为0，1，2，3，4，5……，正好是等差数列，并且数列中偶项位置全部为黑色珠子，因此得出2002除以2得1001，即前2002个中有1001个是黑色的。

4、2213=8 2235=16 2257=24 ……用含有N的代数式表示规律

解：被减数是不包含1的奇数的平方，减数是包括1的奇数的平方，差是8的倍数，奇数项第n个项为2n-1，而被减数正是比减数多2，则被减数为2n-1+2,得2n+1，则用含有n的代数式初中数学找规律解题方法及技巧

第 3 页 共 18 页 表示为：221212nn=8n。

写出两个连续自然数的平方差为888的等式

解：通过上述代数式得出，平方差为888即8n=8X111,得出n=111，代入公式：

（222+1）2-（222-1）2=888

五、对于数表

1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律

2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差

六、数字推理基本类型

按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：

1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。

(1)等差关系。

12，20，30，42，( 56 )

127，112，97，82，( 67 )

3，4，7，12，( 19 )，28

(2)移动求和或差。从第三项起，每一项都是前两项之和或差。

1，2，3，5，( 8 )，13

A.9 B.11 C.8 D.7

选C。1 +2=3，2+ 3=5，3+ 5=8，5+ 8=13

0，1，1，2，4，7，13，( 24)

A.22 B.23 C.24 D.25

选C。注意此题为前三项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。

5，3，2，1，1，(0 )

A.-3 B.-2 C.0 D.2

选C。前两项相减得到第三项。

2.乘除关系。又分为等比、移动求积或商两种

(1)等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。

8，12，18，27，(40.5)后项与前项之比为1.5。

6，6，9，18，45，(135)后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，2.5，3

(2)移动求积或商关系。从第三项起，每一项都是前两项之积或商。

2，5，10，50，(500)

100，50，2，25，(2/25)

3，4，6，12，36，(216) 从第三项起，第三项为前两项之积除以2

1，7，8，57，(457)第三项为前两项之积加 1

3.平方关系

1，4，9，16，25，(36)，49 为位置数的平方。

66，83，102，123，(146) ，看数很大，其实是不难的，66可以看作64+2，83可以看作81+2，102可以看作100+2，123可以看作121+2，以此类推，可以看出是8，9，10，11，12的平方加2

4.立方关系

1，8，27，(81)，125 位置数的立方。

3，10，29，(83)，127 位置数的立方加 2

0，1，2，9，(730) 后项为前项的立方加1

5.分数数列。 初中数学找规律解题方法及技巧

第 4 页 共 18 页 关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案

21 34 49 516 625 (736)分子为等比即位置数的平方，分母为等差数列，则第n项代数式为：21nn

2/3 1/2 2/5 1/3 (1/4) 将1/2化为2/4，1/3化为2/6，可得到如下数列：2/3, 2/4,

2/5, 2/6, 2/7, 2/8 …….可知下一个为2/9，如果求第n项代数式即：22n，分解后得：21nn

6.、质数数列

2，3，5，(7)，11 质数数列

4，6，10，14，22，(26) 每项除以2得到质数数列

20，22，25，30，37，(48) 后项与前项相减得质数数列。

7.、双重数列。

又分为三种：

(1)每两项为一组，如

1，3，3，9，5，15，7，(21) 第一与第二，第三与第四等每两项后项与前项之比为3

2，5，7，10，9，12，10，(13)每两项中后项减前项之差为3

1/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，(104 ) 两项为一组，每组的后项等于前项倒数*2

(2)两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。

22，39，25，38，31，37，40，36，(52) 由两个数列，22，25，31，40，( )和39，38，37，36组成，相互隔开，均为等差。

34，36，35，35，(36)，34，37，(33) 由两个数列相隔而成，一个递增，一个递减

(3)数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数列。

2.01， 4.03， 8.04， 16.07，(32.11)整数部分为等比，小数部分为移动求和数列。双重数列难题也较少。能看出是双重数列，题目一般已经解出。特别是前两种，当数字的个数超过7个时，为双重数列的可能性相当大。