1 圆锥曲线中的定点、定直线、定值问题
例题分析
1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
2、已知椭圆C的离心率32e，长轴的左右端点分别为12,0A，22,0A。（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线1xmy与椭圆C交于P、Q两点，直线1AP与2AQ交于点S。
试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
3、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21，离心率为22e
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点1,0作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，MPMQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由﹒
4、已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24xy的焦点，离心率25e，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点(,0)Mm是线段OF上的一个动点，且()MAMBAB，求m的取值范围；
（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。
2 课堂练习
1．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有( )
A．x3＝x1＋x2 B．x1x2＝x1x3＋x2x3
C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
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圆锥曲线中定值问题的解题策略
作者：李小华
来源：《高中生·高考指导》2015年第02期
在圆锥曲线中有一类曲线，当参数取不同值时，曲线本身性质不变或形态发生变化时，其某些共同的性质始终保持不变，我们把这类问题称为圆锥曲线的定值问题.历年来，高考都青睐于对圆锥曲线中定值问题的考查.定值问题涉及的知识很多，综合性强，能较好地考查同学们对知识的综合运用能力.
一、参数的表达式的值为定值
例1 如图1所示，椭圆C0： ; + ; =1（a>b>0，a，b为常数），动圆C1：x2+y2=t21（b
（1）求直线AA1与直线A2B 的交点M 的轨迹方程.
（2）设动圆C2：x2+y2=t22与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b
（1）解：点M 的轨迹方程为 ; - ; =1（x<-a，y<0）.
（2）证明：设点A的坐标为（x1，y1），点A′的坐标为（x2，y2），由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1|·|y1|=4|x2|·|y2|，即x21y21=x22y22.由点A，A′均在椭圆上，得b2x21（1- ; ）=b2x22（1- ; ），即a2（x21- x22）=x41-x42.由t1≠t2，知x1≠x2，所以x21+x22=a2，从而y21+y22=b2.故t21+t22=a2+b2为定值.
小结 本题由椭圆与圆的交点坐标的对称性，易得两个矩形的面积，再由点A，A′均在椭圆上，得x21+x22=a2，y21+y22=b2.由于表达式x21+x22与y21+y22的值为定值，所以利用整体不变性，设而不求，从而巧妙消参，这是解这类题目的常用方法.
二、点到直线的距离为定值
例2 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1.设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：点O到直线MN的距离是定值.
圆锥曲线中的定点、定值问题
目录
01 方法技巧与总结..............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结..............................................................................................................................3
题型一：面积定值................................................................................................................................3
题型二：向量数量积定值....................................................................................................................4
题型三：斜率和定值............................................................................................................................7
题型四：斜率积定值............................................................................................................................8
1 圆锥曲线中的定点、定值问题
一、题型选讲
题型一 、 圆锥曲线中过定点问题
圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：
（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点
（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E：2
2
21x
y
a+=
（a>1）的左、右顶点，G为E的上
顶点，
8AGGB
=，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F为抛物线C：2
2ypx=
（0p
）的焦点，过点
F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°
时，16MN=
.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由.
2 例3、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2
=−2py经过点（2，−1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分
别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
题型二、圆锥曲线中定值问题
圆锥曲线中常见的定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根
据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去
变量，从而得到定值
例4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C：22
221(0)xy
ab
ab+=的离心率为2
2，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
例5、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()22
