2018年西南大学《中学几何研究》作业

西南大学附属中学校高2018级第四次月考数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：解一元二次不等式得集合A，再确定出集合B中的元素后，可根据交集定义求解．详解：由题意，，∴．故选B．点睛：本题考查集合的交集运算，而解决集合的问题关键是确定集合的元素，对列举法表示的集合，集合元素可以一一列举，对描述法表示的集合一定要注意代表元形式，由代表元可确定集合上函数的定义域，还是函数的值域，或者是不等式的解集等.2. 下列说法正确的是（）A. “”是“函数是奇函数”的充要条件B. 样本的相关系数，越接近于，线性相关程度越小C. 若为假命题，则，均为假命题D. “若，则”的否命题是“若，则”【答案】D【解析】分析：依次判断各个命题的真假，可得出正确结论．详解：A．是奇函数，但不存在，是偶函数，也满足，因此应为既不充分也不必要条件，A 错；B．样本的相关系数，越接近于，线性相关程度越大，B错；C．只要中有一个是假命题，则为假命题，C错；D．由否命题的定义知D正确．故选D．点睛：本题考查命题的真假判断，一般需要对每个命题进行判断，这就要求学生必须掌握相应的概念、性质，属于难题．3. 等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由等比数列的性质求解较方便．详解：∵是等比数列，∴也是等比数列，∴．故选A．点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算，当然应用性质求解更应提倡．本题所用性质为：数列是等比数列，则（为常数）仍是等比数列．4. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由列出方程组求解.详解：由题意，即，∵，∴.故选C.点睛：本题考查平面向量的数量积，考查数量积的性质，特别是性质：，利用此性质可把向量的垂直转化为向量的数量积运算.5. 已知定义在上的函数，记，，，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：判断函数的单调性与奇偶性，利用单调性可比较大小.详解：易知是偶函数，在上是减函数，又，而，∴，即.故选D.点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，比较大小问题，一般要利用函数的单调性，这里必须让函数的自变量在同一单调区间上，本题利用偶函数的性质易于转换.是比较大小的常见类型，应掌握其方法.6. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：模拟程序运行，观察变量的变化规律，找到程序的本质后可得结论.详解：模拟程序运行，本程序实质是计算，即，而，因此上面和式中计算到，当时应结束循环，所以.故选B.点睛：本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察其中变量的变化规律，寻找程序的数学本质，由数学知识推导出判断条件.7. 设曲线及直线所围成的封闭图形为区域，不等式组所确定的区域为，在区域内随机取一点，则该点恰好在区域内的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：求出两个区域的面积，由几何概型概率公式计算可得.详解：由题意，，∴，故选C.点睛：以面积为测度的几何概型问题是几何概型的主要问题，而积分的重要作用正是计算曲边梯形的面积，这类问题巧妙且自然地将新课标新增内容——几何概型与定积分结合在一起，是近几年各地高考及模拟中的热点题型．预计对此类问题的考查会加大力度．8. 已知，的最大值为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用导数求得的最大值，再进行变形详解：由已知，∴，又，联立可解得或. 当时，，当时，，显然是最大值，∴.故选C.点睛：对处处可导的连续函数，为极值点时，，因此象本题用导数知识求解比较方便，当然本题也可用三角函数的辅助角公式变形求解.9. 某个班级组织元旦晚会，一共准备了、、、、、六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排或，最后一个节目不能排，且、要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先排第一个节目，同时把C、D捆绑在一起作为一个元素，按第一个节目排A还是排B分类，如果第一个是B，则第二步排最后一个节目，如果第一个是A，则后面全排列即可．详解：由题意不同节目顺序有．故选B．点睛：本题考查了排列、组合题两种基本方法(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．(2)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列．10. 若函数有一个极值点为，且，则关于的方程的不同实数根个数不可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：详解：由已知，由题意有两个不等实根，不妨设为，因此方程有两个不等实根，即或，由于是的一个极值，因此有两个根，而有1或2或3个根（无论是极大值点还是极小值点都一样，不清楚的可以画出的草图进行观察），所以方程的根的个数是3或4或5，不可能是2．故选A．点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及方程根的个数等基础知识，考查了数形结合的思想方法、揄能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．11. 已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：不妨设在第二象限，由外接圆面积得其半径，设，利用正弦定理求出，从而可得，然后求得点坐标，把点坐标代入双曲线方程可得关系式，化简后可求得离心率．详解：不妨设在第二象限，则在等腰中，，设，则，为锐角．外接圆面积为，则其半径为，∴，∴，，∴，，设点坐标为，则，，即点坐标为，由点在双曲线上，得，整理得，∴．故选C．点睛：本题将解三角形和双曲线的几何性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中之间的数量关系，其中通过解三角形得出点的坐标，是解题的突破点，在得到点坐标后，根据点在双曲线上得出间的关系，最后根据可求得离心率．12. 已知函数，，若成立，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．详解：设，则，，，∴，令，则，，∴是上的增函数，又，∴当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，，∴的最小值是．故选A．点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设，其中，是实数，则__________．【答案】【解析】分析：由复数相等求出实数，再由复数的模的定义求得模．详解：由得，即，∴．故答案为．点睛：本题考查复数相等的概念和复数模的概念，两个复数相等的充要条件是实部和实部相等，虚部和虚部相等，由此可求得实数，再根据模的定义求得模，属于基础题．14. 设变量，满足：，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：作出可行域，作直线，求得的最大值和最小值后可得结论．详解：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当过时，取得最小值－8，当过时，取得最大值4，∴的最大值为8．故答案为8．点睛：本题考查简单的线性规划问题，求绝对值的最大值问题，根据绝对值的定义，要同时求得的最大值和最小值，然后比较这两个数的绝对值的大小得出结论．15. 已知的部分图象如图所示，则__________．【答案】【解析】分析：根据已知条件求出函数的解析式后，再求值．详解：由题意，，（），∵，∴，，，∴，∴．故答案为．点睛：由图象确定函数的解析式问题，一般可与“五点法”联系，结合“五点法”中五点：易求得结论．16. 已知，是抛物线上一动点，若以为圆心，为半径的圆上存在点，满足，则点横坐标的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：由圆P与圆C有公共点可得相应不等式，从而求得的范围．详解：设（），由题意圆与圆有公共点，∴，即，即，解得．故答案为．点睛：本题实质考查两圆的位置关系，题意说明圆与圆有公共点，因此圆心距满足，从而可求得的范围，两圆的位置关系一般都是通过比较圆心距与两半径之和或差的关系来确定．掌握两圆位置关系的判定是解题关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和满足：.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由求得，由时，可得的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列的前项和可用裂项相消法求得．详解：（1）∵①当时，，∴当时，②由①-②得：∴∴是以为首项，公比为的等比数列∴（2）∵∴点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．18. 某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）.无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2．表1停车距离表2毫克米回答以下问题．（1）由表1估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；（2）根据最小二乘法，由表2的数据计算关于的回归方程；（3）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”大于（1）中无酒状态下的停车距离平均数的倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（2）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（精确到个位）（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，）【答案】（1）27.1（2）（3）大于毫克时为“醉驾”【解析】分析：（1）每个区间的中点作为估计值进行计算可得平均数；（2）根据所给公式计算回归方程中的系数即可；（3）由（2）解不等式可得．详解：（1）（2）∴∴回归方程为（3）由题意知：，∴∴预测当每毫升血液酒精含量大于毫克时为“醉驾”点睛：本题考查线性回归直线方程，解题时根据所给公式计算即可，属于基础题．19. 已知函数.（1）求的对称轴所在直线方程及其对称中心；（2）在中，内角、、所对的边分别是、、，且，，求周长的取值范围．【答案】（1）对称轴方程为，，对称中心为，（2）【解析】分析：（1）用两角和的正弦公式展开变形，用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数的形式，再根据正弦函数的性质可得结论；（2）由，求得，再由余弦定理得的等量关系，利用基本不等式和三角形中两边之和大于第三边可得的取值范围，从而得周长范围．详解：（1）由，∴∴的对称轴方程为，由，∴，∴的对称中心为，（2）∵，∴，∴，∴，得：，，∴又，∴，∴点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：解：∵，∴，∵，∴∴，∴由正弦定理得：∴，∴∵，∴∴的周长范围为20. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设、、是椭圆上三动点，且，线段的中点为，，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．说明，再由直角三角形得，从而可得值，得标准方程；（2）关键是把表示为一个变量的函数，当直线斜率不存在时，可直接求出的长，当直线斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立方程组，变形后由判别式写出一个不等关系，并设，由韦达定理得出，由表示出点坐标代入椭圆方程得，代入刚才的得的关系式：，它满足判别式＞0，计算中点的坐标，再计算线段长，最终表示为的函数，从而中求得取值范围．详解：（1）由题意，，，∴，∴椭圆（2）设，，，由∴，得：当的斜率不存在时，，由,，得，∴，当的斜率存在时，设得：，，由点在椭圆上得得：，此时总成立又，∴，∴且，∴且综上：点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系问题，考查“设而不求”的思想方法，考查范围问题，解析几何中范围问题一般要把目标表示出一个参数的函数，这里关键是参数的选择要恰当．第（2）题中可用下列方法建立函数：设中点，则，∴∴设，则∴21. 函数，.（1）求函数的单调区间及极值；（2）若，是函数的两个不同零点，求证：①；②.【答案】（1）在递减，递增，，无极大值（2）见解析【解析】分析：（1）求出，解不等式得增区间，解不等式得减区间，从而也可得到极值；（2）①先确定函数的变化趋势，由函数式，知或时，都有，从而要有两个零点，则必有，从而得．因此两个零点，不妨设，通过构造函数，由的单调性可证，即，最后由的单调性，得证，②证明：令，然后证明＝，由，得，计算，由由得，再由在上的单调性可证结论．详解：（1）定义域：令，则，令，则∴在递减，递增∴，无极大值（2）由（1）知时，；时，要使有两个不同零点，则即不妨设，①证明：令，则在递增而，∴∴即∵，∴∵且在递减∴，即②证明：令，下面先证明，∵，，∴在递增∴，∴在递增，∴即在总成立，∵，∴又∵由知，又，且及在递减∴，即点睛：本题考查函数的单调性、极值、零点、函数与方程、不等式等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，考查转化与化归等数学思想，属于难题．解题的关键是构造新函数，通过新函数的单调性过渡到原函数的单调性，转化与化归思想在这里有着充分的体现．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），与轴交于，以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于、两点．（1）求曲线的直角坐标方程和点的一个极坐标；（2）若，求实数的值．【答案】（1），（2）【解析】分析：（1）由可把极坐标方程与直角坐标方程互化；（2）把直线的参数方程直接代入曲线C的直角坐标方程，利用韦达定理得，由得，与韦达定理所得式子联立可解得．详解：（1）由得，∴，点坐标为，其极坐标为．（2）将代入得∵，∴∴，∴点睛：过，倾斜角为的直线的标准参数方程为（为参数），直线上点对应的参数为，则表示有向线段的数量，即，．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）对，都有恒成立，求的取值范围；（2）设不等式的解集为，若，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）设，可由绝对值的定义去掉绝对值符号，得分段函数，从而可得的最小值，从而得的取值范围；（2）解不等式得，计算并因式分解后可证得其小于0，最后可证题中不等式．详解：（1）∵，∴∴在上递减，在上递增，当时为常数∴，∴（2）∵，∴∵∵,∴,,∴,∴，∴，∴点睛：解含绝对值的不等式，一般是用绝对值的定义去掉绝对值符号，化含绝对值的不等式为不含绝对值的不等式，分类求解．有时也可利用绝对值的性质求解．求含绝对值的函数的最值也是根据绝对值定义去绝对值符号后，再利用单调性等函数的性质得出．。

曲南人学培训与继续教佇学院1、用复数的棣莫弗公式,可以推导（三角函数的n倍角公式9 一元二次方程的求根公式点到直线的距离公式2、不定方程求解的嫌理依据是（）B.孙子定理辗转相除法妙单因子构件法拉格朗日插值法3、下列说法，哪一个是错谋的（＞钺徳金分割屮对有理数集的分割满足"不空"、"不漏"、"不乱"三个条件戴徳金分割和有理数区间套定义是等价的戴徳金分割的下集存在最大数时，上集存在最小数9仁高中代数课程的基本主线是（）. 函数. 数列•方程5、在屮学代数教学中，应提傅的•个朋本腹则是：们彫式化的同时•加强代坡知识的（）VVlwtw VV ■ vJl I I ■I. 直观理解". 恒等变换6、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有（）. 连续性•完备性. 稠密性•可数性“7、下列说法，哪个是正确的（）•复数集是一个有序域. 复数可以比较大小•复数可以排序98、下列哪个说法是错谋的（）. 用尺规作图可以三等分角匸. 用尺规作图可以二等分角•用尺规作图可以画直线外一点到该直线的乖直线. 用尺规作图可以洒出根号5的数9、任慰两个有理数之间，均存在--个有理数.这说明有理数具有（）. 完备性. 稠密性&. 可数性. 连续性10、用下列哪种方法，对任意有限数列都可以给出该数列的通项农达式（）. 拉格朗日插值公式9. 数列的母函数. 高阶数列的求和公式11、加权平均不等式和下列哪种不等式有联系（）•柯西不等式•排序不等式. 均值不等式“12、三角％的余弦定理同（）有内在联系. 二维柯西不等式9. 二维排序不等式•二维均值不等式13、对有理数运算中的“负负得正”,可以用'）给予解释•复数坐标表达式的乘法运算. 复数三角表达式的乘法运算9复数向•©表达式的乘法运算千=-—14、下列说法，哪…个是错決的g %. 有理数集是可数的. 实数集是可数的”. 自然数集是可数的15、用（）方法，对任意有限数列都可以给出该数列的通项表达式。

0772 20182单项选择题1、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有（）.稠密性.可数性.完备性2、高中代数课程的基本主线是（）.方程.不等式.函数.数列3、下列哪一个数，用尺规是可以做出的（）.根号2.圆周率.欧拉数e4、对有理数运算中的“负负得正”，可以用（）给予解释.复数坐标表达式的乘法运算.复数向量表达式的乘法运算.复数三角函数表达式的乘法运算5、幂数列属于（）. E. 等比数列.高阶等差数列.等差数列6、“等价关系”和“顺序关系”的区别在于，后者不具有（）.反身性.对称性.传递性7、复数集按照“字典排序”关系，是一个.复数域.全序集.有序域8、两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为.结构.序偶.关系.对偶9、下列说法，哪个是正确的（）. A. 复数可以排序.复数集是一个有序域.复数可以比较大小10、下列那个定理所体现出来的方法是单因子构件法（）.韦达定理.代数基本定理.正弦定理.孙子定理11、用实数的（）的定义，可以较好地解释0、999…….=1.无穷小说定义.有理数区间套定义.有理数基本序列说.戴德金分割说12、三角形余弦定理同（）有内在联系.二维柯西不等式.二维均值不等式.加权平均不等式.二维排序不等式13、在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的（）.形式推导.恒等变换.直观理解14、二维柯西不等式同（）有内在联系.基本不等式.平面三角不等式.二维排序不等式15、自然数公理系统是（）的逻辑基础.数学归纳法.反证法.定义法16、下列说法，哪一个是错误的（）.有理数具有可数性.有理数具有完备性.有理数具有稠密性17、复数集按照“字典排序”关系，是一个（）.数域.序域.数集.序集判断题18、给定两个长为a,b的线段，用尺规可以作出a与b的和、差、积、商。

. A.√. B.×19、有理数对极限运算是封闭的。

. A.√. B.×20、不定方程求解的算理依据是辗转相除法。

西南大学附属中学校初2018级第九次月考数学试题一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1.计算：=-⨯)1(2（ ）A ．–2B ．–21 C ．2 D ．21 2. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）3. 下列运算正确的是（ ）A ．a 2+a 3=a 5B ．(－2a 3)2=4a 6C ． a 6÷a 3=a 2D ．(a+2b)2=a 2+2ab+b 2 4.无理数a 满足： 2＜a ＜3，那么a 可能是（ ）A ．10B ．6C ．5.2D ．7205. 合作交流是学习数学的重要方式之一．某校九年级每个班合作学习小组的个数分别是，，，，，．这组数据的众数是（ ） A ． B ． C ． D ．6.如图，直线AB ∥CD ，∠C=44°，∠E 为直角，则∠1等于（） A ．132° B ．134°C ．136° D ．138°7.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则下列结论错误的是（ ） A ．0<ac B ．20a b +=C ．0a b c -+> D ．420a b c ++>8. 如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，∠AOB=100°，则∠ACB 的度数为( ) A ．100° B ．130° C ．150° D ．160°9.一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y （千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象是（ ）87789777.58910. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②CE 2＝AB·CF ；③CF ＝31FD ；④△ABE ∽△AEF.其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个11.如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要（ ）枚棋子．A.115 B ．122C ． 127D ． 13912.如图，四边形OABC 是平行四边形，点A 的坐标为A （3，0），060=∠COA ，D 为边AB 的中点，反比例函数)0(>=x xky 的图象经过C ，D 两点，直线CD 与y 轴相交于点E ，则点E 的坐标为（ ）A.（0，32）B.（0，33）C.（0，5）D.（0，6）二、填空题（本题6个下题，每小题4分，共24分）13．据报道，2015年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过60500元，将数60500用科学计数法表示为 ．14．计算：+（﹣2）0= ．15．如图，OA ，OB 是⊙O 的半径，点C 在⊙O 上，连接AC ，BC ，若∠AOB=120°，则∠ACB= 度．16．从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k=mn，则正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是．17．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是米．18．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是．三、解答题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上．1．如图，AC = AE，12∠=∠．∠=∠，AB = AD．求证：B D2．“六一”儿童节前夕，某县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对某小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为6名，7 名，8 名，10 名，12 名这五种情形，并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据上述统计图，解答下列问题：(1) 该校有_______个班级；各班留守儿童人数的中位数是_______；并补全条形统计图；(2) 若该镇所有小学共有65 个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名留守儿童． 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 3．4． 为提高学校的机房条件，学校决定新购进一批电脑，经了解某电脑公司有甲、乙两种型号的电脑销售，已知甲电脑的售价比乙电脑高1000元，如果购买相同数量的甲、乙两种型号的电脑，甲所需费用为10万元，乙所需费用为8万元．(1) 问甲、乙两种型号的电脑每台售价各多少元？(2) 学校决定购买甲、乙两种型号的电脑共100台，且购买乙型号电脑的台数超过甲型号电脑的台数，但不多于甲型号电脑台数的4倍，则当购买甲、乙两种型号的电脑各多少台时，学校需要的总费用最少？并求出最少的费用．5． 如图，一次函数3y kx =+的图像与反比例函数my x=的图像交于P 、Q 两点，PA x ⊥轴于点A ，一次函数的图像分别交x 轴、y 轴于点C 、点B ，其中OA = 6，且12OC CA =．(1) 求一次函数和反比例函数的表达式； (2) 求APQ △的面积；(3) 根据图像写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．6． 对于实数x ，y 我们定义一种新运算()L x y ax by =+，（其中a ，b 均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为()L x y ，，其中x ，y 叫做线性数的一个数对．若Q①____________a b ==，；②若正格线性数(2)L m m -，，求满足50(2)100L m m <-<，的正格数对有多少个；③若正格线性数()76L x y =，，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由．五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 7． 如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG ⊥AP 于点G ，在AP 的延长线上取点E ，使AG = GE ，连接BE ，CE ．8． 如图1，平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++经过点D (2，4)，且与x 轴交于(30)A ，，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，CD ，BC ．C 1B 1(A 1)图1图2图3AABB CC DDGGPP NE图1图2图3西南大学附属中学校初2018级第九次月考数学试题参考答案1-12 ACBBA BDBCC CB二、填空题（本题6个下题，每小题4分，共24分）13．据报道，2015年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过60500元，将数60500用科学计数法表示为 6.05×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于60500有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．【解答】解：60500=6.05×104．故答案为：6.05×104．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．14．计算：+（﹣2）0=3．【分析】根据开平方，非零的零次幂等于1，可得答案．【解答】解：+（﹣2）0=2+1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了零指数幂，利用非零的零次幂等于1是解题关键．15．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB=60度．【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=120°×=60°，故答案为：60．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．16．从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k=mn，则正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是．【分析】根据题意先画出图形，求出总的情况数，再求出符合条件的情况数，最后根据概率公式进行计算即可．【解答】解：根据题意画图如下：共有12种情况，∵正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限，∴k＞0，∵k=mn，∴mn＞0，∴符合条件的情况数有2种，∴正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是=；故答案为：．【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是175米．【分析】根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终点时甲所走的路程，最后用总路程﹣甲所走的路程即可得出答案．【解答】解：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，设乙的速度为m米/秒，则（m﹣2.5）×150=75，解得：m=3米/秒，则乙的速度为3米/秒，乙到终点时所用的时间为：=500（秒），此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），甲距终点的距离是1500﹣1325=175（米）．故答案为：175．【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．18．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是．【分析】如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．易知△AEB≌△AED≌△ADE′，先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，根据S四边形ABFE′=S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB即可解决问题．【解答】解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE=DE′，AE=AE′，∴AD垂直平分EE′，∴EN=NE′，∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=，∴AM=EM=EN=AN=1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN=EO=1，AO=+1，∴AB=AO=2+，∴S△AEB=S△AED=S△ADE′=×1（2+）=1+，S△BDE=S△ADB﹣2S△AEB=1+，∵DF=EF，∴S△EFB=，∴S△DEE′=2S△ADE﹣S△AEE′=+1，S△DFE′=S△DEE′=，∴S四边形AEFE′=2S△ADE﹣S△DFE′=，∴S四边形ABFE′=S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB=．故答案为．【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共78分）19．证明：∵∠1 =∠2，∴∠BAE +∠1 =∠BAE +∠2，即∠BAE =∠BAE ·····································3分在△CAB和△EAD中AC AECAB EAD AB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAB≌△EAD（SAS） ································································6分∴∠B =∠D····················································································7分20．(1) 16；9名；5个 ····················································································3分(2) 解：1(617285106122)6516⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ ·········································· 5分 585= ·························································································· 6分答：该镇小学生中，共有585名留守儿童 ················································· 7分21．解：(1) 原式2222222(4)2a ab a b a ab b =---+++ ·········································· 3分222a b =-+ ············································································· 5分(2) 原式4(2)3(1)(1)[]2(1)11x x x x x x x x x -+-=+÷-+--- ········································ 1分 2424211x x x x x --=+÷+-- ······························································ 2分 42121(2)(2)x x x x x x --=+⨯+-+- ······················································ 3分 4122x x =-++ ········································································· 4分 32x =+ ·················································································· 5分 22．解：(1) 设乙种型号的电脑每台售价为x 元则100000800001000x x=+ ······································································· 2分解得x = 4 000················································································ 3分 经检验：x = 4 000为原方程的解 ······················································· 4分 10005000x +=(元)答：甲、乙两种型号的电脑每台售价各为5 000元和4 000元 ·················· 5分 (2) 设购买甲种型号的电脑a 台，学校需要的总费用为W 元 则购买乙种型电脑(100 – a )台，50004000(100)1000400000W a a a =+-=+ ······································· 6分∵1001004a a a a->⎧⎪⎨-≤⎪⎩∴2050a ≤≤ ··························································· 8分 ∴当a = 20时，100 – a = 80，W min = 420 000元答：当购买甲、乙两种型号的电脑各20台、80台时，学校需要的总费用最少，最少费用为420 000元． ········································································· 10分23．解：(1) ∵12OC CA =，OA = 6，∴OC = 2，C (2，0)··········································· 1分 将C (2，0) 代入3y kx =+，得32k =-∴一次函数的表达式为332y x =-+ ··················································· 2分将x = 6代入332y x =-+得6y =-，∴(66)P -， ··································· 3分将(66)P -，代入my x=得36m =-∴反比例函数的表达式为36y x=-····················································· 4分 (2) 由33236y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得(49)Q -， ······························································ 6分11()6(64)3022APQ P Q S AP x x =-=⨯⨯+= △ ·········································· 8分 （1111||||4946302222APQ QAC PAC Q P S S S AC y AC y =+=+=⨯⨯+⨯⨯= △△△） (3) 由图知：当406x x -<<>或时，一次函数的值小于反比例函数的值． ·· 10分(2) 如图，易求出直线AC 的解析式为：443y x =-+设P 点坐标为248(4)33m m m -++，，则E (m ，0)，4(4)3M m m -+，，易证△COB ∽△MEG ，∴OB GEOC ME =，即14443GE m =-+ ∴113GE m =-+，∴14(1)133OG OE GE m m m =-=--+=-∴443(1)433AG OA OG m m =-=--=-+ ············································ 5分1122GMC CGA MGA S S S OC AG ME AG =-=⨯-⨯△△△221414488834(4)(4)(4)()2232339392m m m m m m =⨯-+--+-+=-+=--+ ∴当32m =时，GMC S △最大值为2 ······················································· 7分(3) ∵1111A B C S =△，要使重叠部分面积为45，则有以下两种情况满足条件 ········ 8分①设PQ= x ，则1324x AQ AQ x ==， ∴154AA x t ==，11AC t =-∴45x t =，14(1)3MC t =-∴11222141422(1)(21)252353PAA AMC S S S t t t t t t =-=--=--+ △△2442415335t t =-+-= 24201012t t -+-= 2420220t t -+=B 12210110t t -+=t ==··············· 10分 ②14A B t =-，设PQ = x∵PQ ∥OC ，∴41x BQ=PQ ∥B 1C 1，∴1121AQx A B BQ ==+∴424x x t =-+ ∴416x t =-∴1111141(4)(416)25A B C PA Q S S S t t =-=---= △△∴21(4)10t -=，4t =∵t > 4∴4t =··········································································· 12分综上，当445t t S ===或B 1A 1QP C 1。

西南大学附属中学校第五次月考数 学 试 题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答．2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项．参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为（2b a-，244ac b a -），对称轴公式为2bx a =-．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1． 在1021--，，，四个数中，绝对值最大的数是（ ）A ．1-B ．0C ．2-D ．12． 下列欧洲足球俱乐部标志中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 计算323(2)x x -的结果是（ ）A ．56x -B ．66x -C ．5x -D ．5x4． 由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5． 若△ABC ∽△DEF ，且对应中线比为2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ）A ．3∶2B ．2∶3C ．4∶9D ．9∶166． 在函数4xy x=-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．4x ≠ B ．4x ≠- C ．0x ≠且4x ≠ D ．4x <7． 下列说法不正确的是（ ）A ．了解重庆市民对重庆自然博物馆的知晓度的情况，适合用抽样调查B ．若甲组数据方差20.39S =甲，乙组数据方差20.27S =乙，则乙组数据比甲组数据稳定 C ．数据1-、1.5、2、2、4的中位数是2 D ．数据1.5、2、1.5、4、2的众数是28．式子201()(2sin 452---+︒的结果介于（ ）之间A ．2和3B ．3和4C ．4和5D ．5和69． 如图，在△ABC 中，BC = 4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF = 40°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．984π-B ．94π-C ．948π-D ．988π-10． 观察下图，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第（ ）个图形共有45个★．A ．9B ．10C ．11D ．1211． 最近央视纪录片《航拍中国》中各地的美景震撼了全国观众．如图是航拍无人机从A 点俯拍在坡比为3∶4的斜坡CD 上的景点C ，此时的俯角为30︒，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B 点，此时的俯角变为45︒．已知无人机与斜坡CD 的坡底D 的水平距离DE 为400米，则斜坡CD 的长度为（ ）米（精确到0.11.411.73） A ．91.1B ．91.3C ．58.2D ．58.412． 关于x 的不等式组22141x k x k ≤-⎧⎨+≥-⎩无解，且二次函数22(1)3y x k x =--+当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，满足条件的所有整数k 的和为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对DCEDCB A应的横线上．13． 今年是重庆直辖20周年，直辖后重庆经济高速发展，2016年全市GDP 达到17558亿元，增速全国排名第二．将数17558用科学记数法表示为14． 方程组2431y x x y =-⎧⎨+=⎩的解为 ．15． 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB = 10 cm ，CD = 8 cm ，那么AE的长为 cm ．16． 从背面标有数字0、1-、2、3的卡片中任意取一张，它背面的数记为m ；再从剩余的卡片中任意取一张，它背面的数记为n ，则点()P m n ，关于原点的对称点恰好在第二象限的概率为 ．17． 在我校刚刚结束的缤纷体育节上，初三年级参加了60 m 迎面接力比赛．假设每名同学在跑步过程中是匀速的，且交接棒的时间忽略不计，如图是A 、B 两班的路程差y （米）与比赛开始至A 班先结束第二棒的时间x （秒）之间的函数图象．则B 班第二棒的速度为___________米/秒．（15题图）（17题图）（18题图）18． 在正方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接BE ，BF 平分EBC ∠交CD 于点F ，交AC于点G ，将△CGF 沿直线GF 折叠至△'C GF ，BD 与△C'GF 相交于点M,N ，连接CN ，若6AB =，则四边形CNC'G 的面积是 .三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上．19． 如图所示，AB ∥CD ，AF 与CD 交于点E ，BE ⊥AF ，∠B = 65°，求∠DEF 的度数．20． 为了在中考体育考试中取得好成绩，每位同学都认真训练，体育成绩也大幅提高．这是从EDCBA我校某次模拟考试中随机抽取了50名同学的一分钟跳绳次数，并绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，如下图所示：请结合图表完成下列问题： (1) 表中的_________； (2) 请把频数分布直方图补充完整；(3) 若初三年级共有800名学生，中考体考一分钟跳绳次数大于等于185即为满分20分．根据以上信息，请你估算全年级学生一分钟跳绳次数得满分的人数．四、解答题：（本大题5个小题，每小题10分，共50分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 21． 化简：(1) 2(2)()(2)x y x y x y --++ (2)22213(1)11x x x x x -+-÷+-+22． 如图，在平面直角坐标系x0y 中，一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数(0)my m x=≠的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为（6，n ）．线段OA 13E 为x 轴上一点，且tan ∠AOE =32． (1) 求该反比例函数和一次函数的解析式； (2) 求△AOB 的面积．23． 手机下载一个APP 、缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行a =组别 次数（x ）频数（人数）第1组 125140x ≤< 6 第2组 140155x ≤< 8 第3组 155170x ≤< a 第4组 170185x ≤< 18 第5组185200x ≤<6OxyAC EB车任意骑行……最近的网红非“共享单车”莫属，共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙．人们在享受科技进步、共享经济带来的便利的同时，随意停放、加装私锁、推车下河、大卸八块等毁坏共享单车的行为也层出不穷．某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%，二月初又投入1200辆进入市场，使可使用的自行车达到7500辆．(1) 一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？(2) 二月份的损坏率为20%．进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a %，由于媒体的关注，毁坏共享单车的行为点燃了国民素质的大讨论，三月份的损坏率下降为1%4a ，三月底可使用的自行车达到7752辆．求a 的值．24． 一个三位正整数N ，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N 为“公主数”．例如：132，选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31，选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21，选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”． (1) 判断123是不是“公主数” ？请说明理由.(2) 证明：当一个“伯伯数”xyz 是“公主数”时，则2z x =.(3) 若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”.25． 如图，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，AC BC =，点D 是AC 边上一点，30CBD ∠=，点E 是BD 边上一点，且12CE AB =．(1) 如图①，若22AB=，求BCE S △．(2) 如图②，过点E 作EQ BD ⊥交BC 于点Q ，求证：122AC BD EQ =+．图① 图②五、解答题：（本大题1个小题，共12分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 26． 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线243y ax bx =++与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，且34OC OB =，对称轴为直线3x =，点()230E ,，连接CE 交对称轴于点F ，连接AF 交抛物线于点G ． (1) 求抛物线的解析式和直线CE 的解析式；(2) 如图②，过E 作EP x ⊥轴交抛物线于点P ，点Q 是线段BC 上一动点，当45QG QB+最小时，线段MN 在线段CE 上移动，点M 在点N 上方，且152MN =，请求出四边形PQMN 周长最小时点N 的横坐标．(3) 如图③，BC 与对称轴交于点R ，连接BD ，点S 是线段BD 上一动点，将△DRS 沿直线RS 折叠至△'D RS ，是否存在点S 使得△'D RS 与△BRS 重叠部分的图形是直角三角形？若存在，请求出BS 的长，若不存在，请说明理由．（参考数据：1241tan DBC ∠=）图①图②图③。

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（重庆专用）专题13 几何综合探究问题（共48题）一．解析题（共10小题）1．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF=√22AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG 与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．2．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2√3．以AE 为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面五年中考真题积．3．（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP=√17，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD=√2CM+2CE．4．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB=√6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=√2CG．6．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12√2，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．7．（2017•重庆）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB＝3√2，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．8．（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB＝4√2，BE＝5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF＝DF时，求证：DC＝BC．9．（2016•重庆）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出ABCG 的值．10．（2016•重庆）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，CD =12BC ，DE ⊥CE ，DE ＝CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点．（1）如图1，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB ＝4时，求CM 的长；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证：MN ⊥AE ； （3）如图3，将图2中的△CDE 绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝30°，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，探索MNAC 的值并直接写出结果．一．解答题（共38小题）1．（2020•渝中区校级二模）如图，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，连接CD ；点E 为CD 的中点，EF ＝EG ＝EC ，且∠FEG ＝90°；点O 为CB 的中点，直线GO 与直线CF 交于点N ．（1）如图1，若∠FCD ＝30°，OC =√2，求CF 的长；（2）连接BG 并延长至点M ，使BG ＝MG ，连接CM ．①如图2，若NG ⊥MB ，求证：AB =√10CM ；②如图3，当点G 、F 、B 共线时，BM 交AC 于点H ，AH =14AC ，请直接写出FCMH 的值．一年模拟新题2．（2020•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．3．（2020•沙坪坝区校级一模）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2√3，求AB的长；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD=√2BE；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．4．（2020•南岸区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF=√2AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．（2020•南岸区校级模拟）△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：PQ=12BD．（1）如图1，理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ=√3，求PF的长．（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．6．（2020•九龙坡区校级模拟）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．7．（2019•渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．8．（2019•重庆模拟）一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C 外）任意一点时，求证：AD＝DE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）9．（2020•南岸区校级模拟）如图1，直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠A＝60°，O为BC中点，将△ABC 绕O 点旋转180°得到△DCB ．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A →B →D 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ⊥AC 交折线段A ﹣C ﹣D 于M ．（1）如图2，当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN ∥PM 交折线段A ﹣C ﹣D 于N ，设点Q 的运动时间为t 秒，（0＜t ＜10）直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）如图3，当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B →C →D 的路线运动，且在BC 上以每秒√32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀速运动，是否存在这样的P 、R ．使△BPR 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC ，动点P 从A 点出发沿射线AB 方向运动，同时动点Q 从B 点出发以与P 点相同的速度沿射线BC 方向运动，连接AQ ，CP ，直线AQ 与直线CP 交于点H ．（1）如图1，当P ，Q 两点分别在线段AB 和线段BC 上时，直接写出∠CHQ 的度数；（2）如图2，当P ，Q 两点分别运动到线段AB 和线段BC 的延长线上时，试问（1）问中的结论是否成立：若成立请说明理由，若不成立，请求出∠CHQ 的度数；（3）如图3，在（2）问的前提下，连接DH ，过点D 作DE ⊥PH 交PH 延长线于点E ．求证：AH ﹣CE =12DH ．11．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 分别在线段OB ，线段AB 上，且AF ＝OE ，连接AE 交OF 于G ，连接DG 交AO 于H ．（1）如图1，若点E为线段BO中点，AE=√5，求BF的长；（2）如图2，若AE平分∠BAC，求证：FG＝HG；（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos ∠HDO的值．12．（2020•沙坪坝区自主招生）在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．（1）如图1．若AB＝AE，BF＝3，求BE的长；（2）如图2，若AB＝AE，点G是BE的中点，∠F AG＝∠BFG，求证：AB=√10FG；（3）如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．13．（2020•巴南区自主招生）已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ 的最大值．14．（2020•南岸区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM ⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE=√2NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．（2020•北碚区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE=√2，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG=√22BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F 作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．16．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，点F，G在边BC上，且AF＝AG．（1）如图1，若AG平分∠F AC，∠AFC＝5∠BAF，且AF＝4，求线段AC的长；（2）如图2，点E在边AB上，且BE＝EF，证明：AE＝BG；（3）在（2）的条件下，连接CE（如图3），若∠AEC＝∠ACD，你能得到AD，FG，BE怎样的数量关系？试证明你的猜想．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，到达A点停止运动；同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，到达D点停止运动，设点E移动的时间为t（秒）．（1）当t＝1时，求四边形BCFE的面积；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的关系式，并写出t的取值范围；（3）若F点到达D点后立即返回，并在线段CD上往返运动，当E点到达A点时它们同时停止运动，求当t为何值时，以E，F，D三点为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此的等腰三角形的面积S△EDF．18．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE 交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2√5，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4√2，请直接写出MN的最小值．19．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN=√10，请求出四边形ABED的⽴积．20．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB=12∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．21．（2019秋•吉州区期末）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．22．（2019春•江北区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点A （﹣2，0），线段AB＝8，线段AD＝6，且∠BAD＝60°，AD与y的交点记为E，连接BE．（1）求▱ABCD的面积．（2）如图2，在线段BE上有两个动点G、K（G在K点上方），且KG=√3，点F为BC中点，点P为线段CD上一动点，当FG+GK+KP的值最小时，求出此时P点的坐标；此时在y轴上找一点H，x轴上线一点M，使得PH+HM−√22AM取得最小值，请求出PH+HM−√22AM的最小值．（3）如图3，将△AOE沿射线EB平移到△A′O'E'的位置，线段E′A′的中点N落在x轴上，此时再将△A′O'E'绕平面内某点W旋转90°，旋转后的三角形记为△A''O''E''，若△A''O''E'恰好只有两个顶点同时落在直线BC和直线BE上，且△A''E''B''的边均不在直线BC或直线BE上，请求出满足条件的W的坐标．23．（2019秋•北碚区校级月考）已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM=34，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．24．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥CD于点E，点G，F分别为AD，BC上一点，连接CG交AE于点H，连接AF，AF＝AH，∠GCF＝∠F AE＝45°．（1）若tan∠DAE=23，GH＝4，求AF的长；（2）求证：AG+√2GH＝GC．25．（2020春•北碚区校级期末）已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3．（1）如图1，若∠ACB＝90°，B、A、D三点共线，连接CE：①若CE=5√22，求BD长度；②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：CE=√2EF；（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．26．（2020春•重庆期末）已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，﹣4），M（4，﹣4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（﹣2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证：∠NEF＝2∠AOG．27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为斜边作Rt△AEC，∠AEC＝90°，AB与CE相交于点D．（1）如图1，AB平分∠CAE，BD＝4，CD＝5，求AC；（2）如图2，若AC＝BC，点F在EA的延长线上，连接FB、FC，FB与CE相交于点G，且∠EAD＝∠ACF，求证：AF＝2GE；（3）如图3，在（2）的条件下，CE的中垂线与AB相交于点Q，连接EQ，若∠DEQ+2∠ACE＝90°，请直接写出线段FC、ED、EQ的关系．28．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．①若∠ABD＝30°，DE=√6+√2，求BF的长度；②求证：DG＝EF﹣FG；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．29．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．（1）如图1，若DE＝3√10，BC＝2√3，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：AB=12EF；（3）在（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．30．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF=√2DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．31．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，DB＝DE．（1）如图1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的长；（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，①求证：BF+EF＝BD；②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出EFBF的值．32．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC，△CDE中，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接BD，F为BD中点，连接AF，EF．（1）如图1，若A，C，E三点在同一直线上，∠ABC＝∠EDC＝45°，已知AB＝3，DE＝5，求线段AF的长；（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝45°，求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）如图3，若∠ABC＝∠EDC＝30°，请判断△AEF的形状，并说明理由．33．（2019秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．（1）如图1，若∠ACB＝90°，AB＝4，求△BCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接AE、CE，且AE⊥CE，延长BC至点F，连接AF，使得∠F＝30°，求证：AF＝CE+√3AE．34．（2020春•南岸区期末）把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE．（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分∠BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE＝DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出∠F的度数（用含α的式子表示）．35．（2020春•渝中区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．（1）如图1，若AD＝2√3、DE＝2，当∠ADG＝150°时，求AG的长；（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．36．（2020春•沙坪坝区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4√3，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，求证：PM＝QN．37．（2019秋•江津区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝CD，∠BAC＝90°，点E为BC边上一点，将AE绕点A顺时针旋转90°后得到线段AF，连接FB，FB⊥BC．且FB的延长线与AE的延长线交于点G，点E是AG的中点．（1）若BG＝2，BE＝1，求FG的长；（2）求证：√2AB＝BG+2BE．38．（2020春•渝北区期中）如图1，光线照射在光滑表面上时会发生反射现象，入射光线与镜面的夹角等于出射光线与镜面的夹角，即∠1＝∠2．（1）如图1，AB、BC为两个平面镜，∠B＝90°，一束光线l经两次反射后，经点D，由从点E射出，求证：DM∥EN；（2）如图2，AB、BC为两个平面镜，∠B＝122°，一束光线l经两次反射后，经点D，且由从点E射出，且EN⊥AB，求∠ADM的度数；（3）如图3，已知FL∥GS，FG⊥GS，∠LPK＝∠SQK＝30°，∠PKQ绕点K顺时针旋转，旋转速度为5°/秒，记旋转角α（0＜α≤360°），同时，射线FG绕点F顺时针旋转，旋转速度为3°/秒，记旋转角β（0＜β≤360°），当FG所在直线平行于∠PKQ边所在直线时，直接写出对应时间t的所有值．。

《初等几何研究》作业参考答案一．填空题1．①射线（或半直线），②。

2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。

3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。

4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。

6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。

7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。

14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.17．1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）.18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。

24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出． 二．问答题1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；2．①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；②当C BA ˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC).3．命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。

4．结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等. 5．长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.6．由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生. 7．通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。

2019年秋西南大学[0775]《中学几何研究》大作业及答案1、44．若三角形两角的平分线相等，则此三角形为（）.直角三角形.不能判断.等腰三角形.等边三角形2、45．下列结论不正确的是（）.两圆的内公切线等于外公切线.中垂线上的点到两端点距离相等.圆的垂径平分弦.角平分线上的点到两边的距离相等3、41．钱大姐常说：“便宜没好货”。

她这句话意思是“不便宜”是“好货”的（）. B. 充分条件.既不充分也不必要.必要条件.充要条件判断题4、38．三角形的高线平分垂足三角形的内角。

. A.√. B.×5、用反证法证明就是证原命题的逆命题不成立。

. A.√. B.×6、33．用反证法证明几何问题时，图形不能按实际情况作图。

. A.√. B.×7、用分析法时思路清晰，所以分析法优于综合法。

. A.√. B.×8、用反证法证明问题的理论根据是原命题与逆否命题同真同假。

. A.√. B.×9、36．用同一法证明问题的理论根据是命题满足同一原理。

. A.√. B.×10、综合法是从命题的条件入手由因导果的方法。

. A.√. B.×11、用综合法时叙述简明，所以综合法优于分析法。

. A.√. B.×12、37．同一性原理是指命题的条件和结论的事项均唯一。

. A.√. B.×13、用同一法证明问题的理论根据是命题满足同一原理。

. A.√. B.×14、26．综合法是从命题的条件入手由因导果的方法。

. A.√. B.×15、证明否定式的结论时一定用反证法。

. A.√. B.×16、用反证法证明几何问题时，图形不能按实际情况作图。

. A.√. B.×17、能用同一法证明的问题均可用反证法证明。

. A.√. B.×18、同一性原理是指命题的条件和结论的事项均唯一。

. A.√. B.×19、31．用反证法证明就是证原命题的逆命题不成立。

西南⼤学《中学代数研究》复习思考题及答案（0772）《中学代数研究》复习思考题⼀、填空题：1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿直接保证了数学归纳法的合理性，所以也可以把数学归纳法当作公理来看待。

2、⽆理数的定义除了⽆穷⼩数说之外，还有＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿。

3、为了加深对⼀些基本不等式的数学本质的理解，在证明及其教学中应强调不等式的＿＿＿＿＿＿＿＿。

4、⽬前⽐较⼴泛使⽤的函数概念有三种定义，分别是＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿。

5、在普通⾼中数学课程标准中（实验稿），对数列内容的处理突出了＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的思想。

6、算法体现了数学的＿＿＿＿＿＿＿思想。

⼆、简述题1、试说明有理数集是⼀个可数集。

2、设A 是半序集，且定义了加法及乘法运算，试说明序关系“ ”满⾜什么条件才是⼤⼩关系？3、试说明复数为什么不能⽐较⼤⼩？4、请写出均值不等式、柯西不等式、排序不等式的⼀般形式，并给出它们的⼆维⼏何解释。

5、⽅程的本质是什么？6、古希腊作图三⼤问题是什么？⼈们是怎样证明其为不可能解的，解决这些问题的基本思想⽅法是什么？7、任意给⼀个有限数列，能否找出它的通项？8、试述孙⼦定理及其解法原则，并举例说明该原则在其它数学理论知识中的体现。

9、数学概念教学的基本⽅式有哪些？请以函数概念的教学为例给以说明，并阐明其基本做法及特征。

10、进⼊21世纪之后，我国新颁布的《⾼中数学课程标准（实验稿）》为什么要把“算法”列⼊必修课？三、证明题1、假设⾃然数的加法交换律、结合律成⽴，试⽤⽪亚诺公理体系证明：⾃然数的乘法满⾜对加法的分配律，即对任意⾃然数N c b a ,,,有()bc ac c b a +=+ 。

2、证明任何⼀个有理数的平⽅都不等于5。

3、证明e 不是有理数。

4、设a 、b 、c 为正数且各不相等，求证b a +2+c b +2+a c +2?c b a ++9 5、x x x n 21，，，∈+R ，求++x x x x 322221x x x x x x x n 2112n n 2+++≥+ ｎ－１四、计算题1、求⽅程3=++xyz y xz z xy 的整数解。

中学代数研究第一次作业简答题答案：1、请举例解释有理数集虽然是稠密的，但不具有完备性（或连续性）。

答：一个数集是完备的是指，对于任意该数集的序列，如果有极限存在，则该极限一定属于该数集。

但对有理数列，它的极限为e不是有理数，故有理数集具有不完备性。

2、怎样科学的描述无理数幂。

答：用有理数区间套等来描述。

第一次作业填空题答案1、在代数发展史中，根据代数所研究的数学对象的不同，可将代数分为古典代数与近世代数。

2、中国传统的中学代数体系，主要内容有：数和数系,方程,函数,不等式, 数列。

3、在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的直观理解.4、布尔巴基学派认为数学有三种基本的结构：代数结构,序结构,拓扑结构。

5、自然数公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性。

6、自然数有两种属性，一是基数属性，一是序数属性。

7、有理数集是一个可数集，就是说它能与自然数集建立一一对应关系。

8、任意两个不同的有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数集具有稠密性。

9、无理数有三种不同的定义方法：无穷小数说，康托的基本序列说，戴德金分割说。

10、复数的棣莫弗公式是。

第二次作业答案1、证明与的和是无理数。

证（反证法）假如与的和是一个有理数a，即，则。

因为全体有理数成为一个域，对减法运算封闭，所以差仍是有理数。

此与是无理数矛盾，所以与的和是无理数。

2、证明任何一个有理数的平方都不等于5？孙子定理：设是个两两互素的正整数，是任意给定的整数，那么一元同余式组必有一解，且解数为1。

孙子定理的解法原则或证明是通过先构造“单因子构件”，然后凑出结果所要求得的构件。

这一原则在插值理论、算子理论中都有体现。

比如拉格朗日插值理论就体现了这一原则。

3、试用柯西不等式求平面上一点到一直线的距离公式答：设平面上有点，一直线为的距离公式。

由柯西不等式，有因为,故有，第三次作业答案1、方程的定义是什么？并说出这样定义的好处？答：方程的定义是：方程是为了求未知数，在未知数与书籍数之间建立的一种等式关系。