高考文科数学二轮复习专题集训：专题八选修系列8.3

高考文科数学二轮复习专题集训：专题八选修系列8.3 1 / 5

A 级

1． (2017 ·州市诊疗考试兰 )已知函数 f(x)＝ |x＋ 1|＋ |x－ 3|－

m的定义域为 R.

(1)求 m 的取值范围；

(2)若 m 的最大值为 n，解对于 x 的不等式： |x－ 3|－ 2x≤2n－ 4.

分析： (1) 由于函数 f(x)的定义域为 R，

因此 |x＋1|＋ |x－ 3|－ m≥0 恒建立，

设函数 g(x)＝ |x＋ 1|＋ |x－ 3|，

则 m 不大于函数 g(x)的最小值，

又 |x＋ 1|＋ |x－3|≥|(x＋ 1)－ (x－ 3)|＝ 4，

即 g(x)的最小值为 4.

因此 m≤4.

故 m 的取值范围为 (－ ∞， 4]．

(2)当 m 取最大值 4 时，

原不等式等价于 |x－ 3|－ 2x≤4，

x≥3， x<3， ， 因此 或

x－ 3－ 2x≤43－ x－2x≤4

解得 x≥3 或－ 1≤x<3.

3

因此原不等式的解集为 x x≥－ 1 .

3

2． (2017 广·东省五校协作体第一次诊疗考试 )已知函数 f(x)＝ |x－ a|，此中 a>1.

(1)当 a＝ 3 时，求不等式 f( x) ≥4－|x－ 4|的解集；

(2)若函数 h(x) ＝ f(2x＋ a)－ 2f(x)的图象与 x 轴， y 轴围成的三角形面积大于 a＋ 4，求 a

的取值范围．

－ 2x＋ 7，x≤3，

分析： (1)当 a＝ 3 时， f(x)＋ |x－ 4|＝ 1， 3

2x－ 7， x≥4.

3 当 x≤3 时，由 f(x)≥4－ |x－ 4|得，－ 2x＋ 7≥4，解得 x≤ ；

2

当 3

11 当 x≥4 时，由 f(x)≥4－ |x－ 4|得， 2x－ 7≥4，解得 x≥ .

2

∴ f(x)≥4－ |x－ 4|的解集为 3 11 . x|x≤ 或 x≥

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(2)由于 h(x)＝ f(2x＋a)－ 2f( x)，

－ 2a， x≤0，

因此 h(x)＝ 4x－ 2a， 0

2a， x≥a，

1 a 因此 S＝ ×2a× >a＋ 4，解得 a>4.

2 2

故 a 的取值范围为 (4，＋ ∞)．

3．设函数 f( x)＝ |x＋2|＋ |x－ 2|， x∈ R，不等式 f(x) ≤6的解集为 M.

(1)求 M；

(2)当 a， b∈ M 时，证明： 3|a＋ b| ≤|ab＋3|.

分析： (1) f(x)＝ |x＋ 2|＋ |x－ 2|≤6 等价于

x≤－ 2， － 2

－2x≤6 或 或 解得－ 3≤x≤3，

4≤6 2x≤6，

∴ M＝[－3,3]．

(2)证明：当 a， b∈ M，即－ 3≤a≤3，－ 3≤b≤3 时，

要证 3|a＋b|≤|ab＋ 3|，即证 3(a＋ b)2≤(ab＋ 3)2.

∵ 3(a＋ b)2－ (ab＋ 3)2＝ 3(a2＋ 2ab＋ b2)－ (a2b2＋ 6ab＋ 9)＝ 3a2＋ 3b2－ a2b2－ 9＝ ( a2 － 3)(3

－ b2)≤0，

∴ 3|a＋ b|≤|ab＋ 3|.

4．已知函数

f(x) ＝|2x＋ 1|， g(x)＝ |x|＋ a.

(1)当 a＝ 0 时，解不等式 f( x) ≥g(x)；

(2)若存在 x∈R ，使 f(x) ≤g(x)建立，务实数 a 的取值范围．

分析： (1) 当 a＝ 0 时，由 f(x)≥g(x)得 |2x＋ 1|≥|x|，两边平方整理得

3x2＋ 4x＋ 1≥0，解得

x≤－ 1 或 1

x≥－ 3， 1

故原不等式的解集为 (－∞，－ 1]∪ － ，＋ ∞ .

(2)由 f(x)≤g(x)得 a≥|2x＋ 1|－ |x|，

令 h(x)＝ |2x＋ 1|－ |x|，

－ x－ 1， x≤－ 1，

2

则 h(x)＝ 1

3x＋ 1，－ 2

x＋1， x≥0.

1 1

故 h(x)min＝ h － 2 ＝－ 2， 高考文科数学二轮复习专题集训：专题八选修系列8.3 3 / 5

因此实数 a 的取值范围为 － 1，＋ ∞ .

2

5． (2017 ·国卷Ⅲ全 )已知函数 f(x)＝ |x＋ 1|－ |x－ 2|.

(1)求不等式 f(x) ≥1的解集；

(2)若不等式 f(x) ≥x2－ x＋ m 的解集非空，求 m 的取值范围．

－ 3， x＜－ 1，

分析： (1) f(x)＝ 2x－ 1， － 1≤x≤2，

3， x＞ 2.

当 x＜－ 1 时， f(x) ≥1 无解；

当－ 1≤x≤2 时，由 f( x)≥1，得 2x－ 1≥1，

解得 1≤x≤2；

当 x＞ 2 时，由 f(x) ≥1，解得 x＞ 2.

因此 f(x)≥1 的解集为 { x|x≥1} ．

(2)由 f(x)≥x2－ x＋m，得

m≤|x＋ 1|－ |x－2|－ x2 ＋x.

而 |x＋ 1|－ |x－2|－ x2＋ x≤|x|＋ 1＋ |x|－2－ x2＋ |x|

＝－ |x|－ 3 2 5 5 ，

2 ＋ ≤

4 4

且当 x＝3时， |x＋ 1|－ |x－ 2|－ x2＋ x＝ 5，

2 4

故 m 的取值范围为 5

－∞，4 . 6．已知函数 f(x) ＝|x－ a|，此中 a>1.

(1)当 a＝ 2 时，求不等式 f( x) ≥4－|x－ 4|的解集；

(2)已知对于 x 的不等式 |f(2x＋ a)－ 2f(x)| ≤2的解集为 { x|1 ≤x≤ 2}，求 a 的值．

－ 2x＋ 6，x≤2，

分析： (1)当 a＝ 2 时， f(x)＋ |x－ 4|＝ 2， 2

2x－ 6， x≥4，

当 x≤2 时，由 f(x)≥4－ |x－ 4|得－ 2x＋ 6≥4，解得 x≤1；

当 2

当 x≥4 时，由 f(x)≥4－ |x－ 4|得 2x－ 6≥4，解得 x≥5.

因此 f(x)≥4－ |x－ 4|的解集为 { x|x≤1 或 x≥5} ．

(2)记 h(x)＝f(2x＋ a)－ 2f(x)，则

－ 2a，x≤0，

h(x)＝ 4x－ 2a， 0

2a， x≥a， 高考文科数学二轮复习专题集训：专题八选修系列8.3 4 / 5

a－ 1 a＋ 1

由 |h(x)|≤2，解得 2 ≤x≤ 2 .

又已知 |h(x)|≤2 的解集为 { x|1≤x≤2} ，

a－ 1＝ 1，

因此 2 于是 a＝ 3.

a＋ 1＝ 2，

2

B 级

1

1． (2017 沈·阳市教课质量检测 (一 ))已知函数 f( x)＝ |x－a|－ 2x(a>0) ．

(1)若 a＝ 3，解对于 x 的不等式 f(x)<0 ；

(2)若对于随意的实数 x，不等式 f(x)－ f(x＋a)

2

分析： (1)当 a＝ 3 时， f(x)＝ |x－ 3|－1x，

2

即 |x－ 1 3|－ x<0，

2 x 1

原不等式等价于－ 2

解得 2

a

(2)f(x)－ f(x＋a)＝|x－ a|－ |x|＋ 2，

原不等式等价于 |x－ a|－ |x|

由三角绝对值不等式的性质，得 |x－ a|－ |x|≤|(x－a)－x|＝ |a|，原不等式等价于 |a|0 ，

∴ a1.

故 a 的取值范围为 (1，＋ ∞)．

2． (2017 ·都市第二次诊疗性检测成 )已知函数 f(x)＝ 4－ |x|－ |x－ 3|.

3

(1)求不等式 f x＋ 2 ≥0的解集；

1 ＋ 1 ＋ 1＝ 4，求 3p＋ 2q＋ r 的最小值．

(2)若 p， q， r 为正实数，且 3p 2q r

3 3 3 3 3

分析： (1)由 f x＋2 ＝ 4－ x＋ 2 － x－2 ≥0，得 x＋ 2 ＋ x－ 2 ≤4.

当 x<－3时，－ x－3－ x＋ 3≤4，解得 x≥－ 2，

2 2 2

∴－ 2≤x<－ 32，

3 3 3 3 ≤4 恒建立， 当－ ≤x≤ 时， x＋ － x＋

2 2 2 2