高中数学常见题型解决方法归纳 反馈训练及详细解析 专
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用心 爱心 专心 1 第17讲：异面直线所成的角的求法
【考纲要求】
能用向量方法解决直线与直线的夹角的计算问题。
【基础知识】
一、异面直线的定义
的方向向量。
四、求异面直线所成的角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答。
五、温馨提示
如果你解三角形得到的角的余弦是一个负值，如1cos2，你不能说两条异面直线所成的角为0120，你应该说两条异面直线所成的角为00018012060，因为两条异面直线所成的角的范围为(0,]2。
例1 在正四棱柱1111ABCDABCD中，122ABBB，P为11BC的中点．
（1）求直线AC与平面ABP所成的角；
（2）求异面直线AC与BP所成的角；
（3）求点B到平面APC的距离．
解：（1）∵AB⊥平面BC1，PC平面BC1，∴AB⊥PC
在矩形BCC1B1 中，BC=2，BB1=1，P为B1C1的中点，∴PC⊥PB
∴PC⊥平面ABP，∴∠CAP为直线AC与平面ABP所成的角
∵PC=2，AC=22，∴在Rt△APC中，∠CAP=300
∴直线AC与平面ABP所成的角为300 P 用心 爱心 专心 2 （2）取A1D1中点Q，连结AQ、CQ，在正四棱柱中，有AQ∥BP，
∴∠CAQ为异面直线AC与BP所成的角
【变式演练1】已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2 (1)求PC的长；
(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；
(3)求证：二面角B—PC—D为直二面角.
例2 如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD.
（1）求二面角B-AD-F的大小；
（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值.
解 （1）∵AD与两圆所在的平面均垂直，
∴AD⊥AB，AD⊥AF，
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.
依题意可知，四边形ABFC是正方形，
∴∠BAF=45°.
即二面角B—AD—F的大小为45°;
（2）以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示）， 用心 爱心 专心 3 则O（0，0，0），A（0，-32，0），
B（32，0，0），D（0，-32，8），
E（0，0，8），F（0，32，0），
∴BD=（-32，-32，8），
EF=（0，32，-8）.
cos〈BD,EF〉=.10828210064180||||·EFBDEFBD
设异面直线BD与EF所成角为，则
cos=|cos〈EFBD,〉|=1082.
即直线BD与EF所成的角的余弦值为1082.
【变式演练2】如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′对角线BD′上,∠PDA=60°
(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
【高考精选传真】
1.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABCABC，12CACCCB，则直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为（ ）
A. 55 B.53 C. 255 D. 35
2.【2012高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，
BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________. 用心 爱心 专心 4
3．（2012高考真题上海理19）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，
PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，
AD=22，PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；（6分）
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）
222224||||cosBCAEBCAE，=4.
由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是4
[解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则
EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线
BC与AE所成的角 ……8分 A
B C D P
E F 用心 爱心 专心 5 在AEF中，由EF=2、AF=2、AE=2
知AEF是等腰直角三角形，
所以∠AEF=4.
因此异面直线BC与AE所成的角的大小是4
【反馈训练】
1．四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2.ABCD—A1B1C1D1为正方体,点P在线段A1C1上运动,异面直线BP与AD1所成的角为θ,则θ的范围为( )
A.(0,2) B.(0,2］
C.(0,3) D.(0,3］
3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )
A.6 B.4 C.3 D.2
4. 直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A．1030 B．21 C．1530 D．1015
5 已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2
(1)求PC的长；
(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；
(3)求证 二面角B—PC—D为直二面角
7一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角
(1)求证 平面ABD⊥平面ACD；
(2)求AD与BC所成的角；
(3)求二面角A—BD—C的大小
PABCDDCBAABCD用心 爱心 专心 6
【变式演练详细解析】
【变式演练1详细解析】
(1)解：因为PA⊥平面AC，AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理得PB=222ABPA.∴PC=622PCPB.
(2)解：如图，过点C作CE∥BD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为∠PCE或它的补角.
∵CE=BD=2，且PE=1022AEPA
∴由余弦定理得cosPCE=632222CEPCPECEPC
∴PC与BD所成角的余弦值为63.
(3）证明：设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，则GF∥BC∥AD，且GF=21BC=1=AD，从而四边形ADFG为平行四边形，
又AD⊥平面PAB，∴AD⊥AG，即ADFG为矩形，DF⊥FG.
在△PCD中，PD=2，CD=2，F为BC中点，∴DF⊥PC
从而DF⊥平面PBC，故平面PDC⊥平面PBC，即二面角B—PC—D为直二面角.
【变式演练2详细解析】 用心 爱心 专心 7 解得m=22,所以DH=1,22,22.
所以〈DH,DC〉=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
【反馈训练详细解析】
1.A【解析】：取AD中点G，连结EG、GF，则GE 21CD，GE=21AB
∵CD=2AB ∴GE=2GF，∵EF⊥AB，∴EF⊥GF．∴∠GEF=30°，答案：A
2.D【解析】:取点P的极限位置,即线段A1C1的端点.答案:D
3.D 【解析】：(特殊位置法）将P点取为A1，作OE⊥AD于E，连结A1E，则A1E为OA1的射影，又AM⊥A1E，∴AM⊥OA1，即AM与OP成90°角.答案：D
4. A【解析】解法一：(几何法)如图，连结D1F1，
则D1F1 1121CB
11CB BC ∴D1F1 BC21
设点E为BC中点
∴D1F1 BE 1BD EF1
∴∠EF1A或补角即为所求
由余弦定理可求得cos∠EF1A=1030．
解法二：(向量法)建立如图所示的坐标系，设BC=1
则A（－1，0，0），F1（－21，0，1），
B（0，－1，0），D1（－21，－21，1）
即1AFuuur =（21，0，1），1BDuuuur =（－21，21 ，1）
∴cos<1AFuuur，1BDuuuur >=103041411411141 ABCA1B1C1D1EF1xzy用心 爱心 专心 8 5.【解析】 (1)解 因为PA⊥平面AC，AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理得PB=222ABPA ∴PC=622PCPB
∴PC与BD所成角的余弦值为63
(3）证明 设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，
则GF∥BC∥AD，且GF=21BC=1=AD，
从而四边形ADFG为平行四边形，
又AD⊥平面PAB，∴AD⊥AG，
即ADFG为矩形，DF⊥FG
在△PCD中，PD=2，CD=2，F为BC中点，
∴DF⊥PC
从而DF⊥平面PBC，故平面PDC⊥平面PBC，
即二面角B—PC—D为直二面角
另法（向量法） (略)
6 【解析】解 (1)如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，则AH⊥平面DBC，
∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，
∴∠ADH=45°
(2)∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，
∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90°
(3)过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角
设BC=a,则由题设知，AH=DH=2,23aBHa,在△HDB中，HR=43a，∴tanARH=HRAH=2
故二面角A—BD—C大小为π－arctan2
另法（向量法） (略)
7 【解析】 (1)证明 取BC中点E，连结AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD， FGPABCDPABCDoxzyRHABCDRHABCDzy
