高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》单元汇编含答案
- 格式：doc
- 大小：2.14 MB
- 文档页数：17
新数学《空间向量与立体几何》高考复习知识点
一、选择题
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A．64 B．643 C．16 D．163
【答案】D
【解析】
根据三视图知几何体是：三棱锥DABC为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B是棱的中点，由正方体的性质得，CD平面,ABCABC的面积12442S，所以该多面体的体积1164433V，故选D.
2．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．163 B．643 C．16643 D．1664
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4 的正方形，高为4 ，圆锥的底面半径为4 ，高为4，该几何体的体积为， 221116644444333V， 故选C.
3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )
A．132 B．7 C．152 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．
【详解】
由题意可知：几何体是一个圆柱与一个14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，
可得：该几何体的表面积为：22141212274．
故选：B．
【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）
A．23 B．13 C．12 D．34
【答案】B
【解析】
分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
详解：几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于21111=33，
选B.
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.
5．已知正方体1111ABCDABCD中，M，N分别为AB，1AA的中点，则异面直线1CM与BN所成角的大小为（ ）
A．30° B．45 C．60 D．90
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解
【详解】
如图：
作AN的中点'N，连接'NM，1'CN由题设可知'NMBNP，则异面直线1CM与BN所成角为1'NMC或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，'5NM
，16CM，1'41CN，得21122''NMMCNC，即1'90NMC
故选D
【点睛】
本题考查异面直线的求法，属于基础题
6．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．920 B．926 C．520 D．526
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积2112141222S14224520，故选C.
【点睛】
本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
7．如图，在正方体1111ABCDABCD，点P在线段1BC上运动，则下列判断正确的是（ ）
①平面1PBD平面1ACD
②1//AP平面1ACD
③异面直线1AP与1AD所成角的取值范围是0,3π
④三棱锥1DAPC的体积不变
A．①② B．①②④ C．③④ D．①④
【答案】B 【解析】
【分析】
由面面垂直的判定定理判断①，由面面平行的性质定理判断②，求出P在特殊位置处时异面直线所成的角，判断③，由换底求体积法判断④．
【详解】
正方体中易证直线AC平面11BDDB，从而有1ACBD，同理有11BDAD^，证得1BD平面1ACD，由面面垂直判定定理得平面1PBD平面1ACD，①正确；
正方体中11//ABCD，11//BCAD，从而可得线面平行，然后可得面面平行，即平面11ABC//平面1ACD，而1AP平面11ABC，从而得1//AP平面1ACD，②正确；
当P是1BC中点时，1AP在平面11ABCD内，正方体中仿照上面可证1AD平面11ABCD，从而11ADAP，1AP与1AD所成角为90．③错；
∵11DAPCPADCVV，由1//BC平面1ACD，知P在线段1BC上移动时，P到平面1ACD距离相等，因此1PADCV不变，④正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理、面面平行的性质定理、异面直线所成的角、棱锥的体积等知识，考查学生的空间想象能力，属于中档题．
8．在正方体1111ABCDABCD中，点E平面11AABB，点F是线段1AA的中点，若1DECF，则当EBCV的面积取得最小值时，EBCABCDSS△（ ）
A．255 B．12 C．55 D．510
【答案】D
【解析】
【分析】
根据1DECF分析出点E在直线1BG上，当EBCV的面积取得最小值时，线段EB的长度为点B到直线1BG的距离，即可求得面积关系．
【详解】 先证明一个结论P：若平面外的一条直线l在该平面内的射影垂直于面内的直线m，则l⊥m，
即：已知直线l在平面内的射影为直线OA，OA⊥OB，求证：l⊥OB.
证明：直线l在平面内的射影为直线OA，
不妨在直线l上取点P，使得PA⊥OB，OA⊥OB，OA，PA是平面PAO内两条相交直线，
所以OB⊥平面PAO，PO平面PAO，
所以PO⊥OB，即l⊥OB.以上这就叫做三垂线定理.
如图所示，取AB的中点G，
正方体中：1111ACDB，CF在平面1111DCBA内的射影为11AC，
由三垂线定理可得：11CFDB，
CF在平面11ABBA内的射影为FB，1FBBG
由三垂线定理可得：1CFBG，1BG与11DB是平面11BDG内两条相交直线，
所以CF平面11BDG，
∴当点E在直线1BG上时，1DECF，
设BCa，则1122EBCSEBBCEBa△，
当EBCV的面积取最小值时，
线段EB的长度为点B到直线1BG的距离，
∴线段EB长度的最小值为5a，
2152510EBCABCDaaSSa△.
故选：D.
【点睛】 此题考查立体几何中的轨迹问题，通过位置关系讨论面积关系，关键在于熟练掌握线面垂直关系的判定和平面图形面积的计算.
9．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．
A．130 B．140 C．150 D．160
【答案】D
【解析】
设直四棱柱1111ABCDABCD中，对角线119,15ACBD，
因为1AA平面,ABCDACÌ,平面ABCD，所以1AAAC，
在1RtAAC中，15AA，可得221156ACACAA,
同理可得2211200102BDDBDD，
因为四边形ABCD为菱形，可得,ACBD互相垂直平分，
所以2211()()1450822ABACBD，即菱形ABCD的边长为8，
因此，这个棱柱的侧面积为1()485160SABBCCDDAAA，
故选D.
点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.
10．在ABC中，设BAC，CA与CB所成的角是，绕直线AC将AB旋转至AB，则在所有旋转过程中，关于AB与BC所成的角的说法正确的是( )
A．当4时，, B．当4时，,
C．当4时，, D．当4时，,
【答案】D 【解析】
【分析】
首先理解异面直线所成的角的范围是0,2，排除选项A,B,C,对于D可根据
AB绕AC旋转，形成以AC为轴的圆锥，AB是母线，再将异面直线所成的角，转化为相交直线所成的角，判断最大值和最小值.
【详解】
因为是异面直线所成的角，所以0,2
A.当4时，的范围有可能超过2，比如，3,46，所以不正确；
B.当4时，当3,46，此时,，也不正确；
C.当4，当3,46，此时,，故也不正确；
D. 4时，AB绕AC旋转，形成以AC为轴的圆锥，AB是母线，如图，
过点A作BC的平行线AD，且CAD，'AB与BC所成的角转化为AB与AD所成的角，由图象可知，当AB是AB时，角最大，为，当AB在平面ABC内时，不与AB重合时，角最小，此时为
故选：D
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，重点考查轨迹，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是判断，并画出AB绕AC旋转，形成以AC为轴的圆锥.
11．已知m，l是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是（ ）
A．ml，m，l B．ml，lI，m
