人教A版高中数学必修5第三章 3.3 3.3.2 第2课时 线性规划的实际应用练习

第2课时线性规划的实际应用课时过关·能力提升基础巩固1某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名,若x和y须满足约束条件--则该校招聘的教师人数最多是A.6B.8C.10D.12解析:该校招聘男教师x名,女教师y名,此时该校招聘的教师人数为z名,则z=x+y,且x≥0,y≥0,x,y均为自然数,画出可行域如图阴影部分中的整数点所示,可得M(3,1),所以可行解有(3,1),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4),(5,5),则z=4,6,7,8,9,10,所以z的最大值是10,即该校招聘的教师人数最多是10.答案:C2在一次促销活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为().A.2 000元B.2 200元C.2 400元D.2 800元答案:B3已知签字笔2元一支,练习本1元一本.某学生欲购买的签字笔不少于3支,练习本不少于5本,但买签字笔和练习本的总数量不超过10,则支出的钱数最多是元.答案:154某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为元.答案:2 3005某家具厂有方木料90 m3,五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3,五合板2 m2,生产每个书橱需要方木料0.2 m3,五合板1 m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元,则线性约束条件是,线性目标函数是.答案:∈∈6某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.解析:设生产产品A x件,生产产品B y件,由题意得∈即∈目标函数z=2 100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),作直线y=当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z取最大值,由解得所以z max=2 100×60+900×100=216 000.答案:216 0007某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的且对每个项目的投资不能低于5万元.对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润.该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润是多少?解设投资项目甲x万元,投资项目乙y万元,可获得利润为z万元,则目标函数为z=0.4x+0.6y.由图知,目标函数z=0.4x+0.6y在A点取得最大值.由-得A(24,36).故y max=0.4×24+0.6×36=31.2(万元),即获得的最大利润为31.2万元.8某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,由题意知目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域(阴影部分含边界)如图所示,即可行域.作直线l0:x+0.5y=0,并作平行于直线l0的一族直线x+0.5y=z,z∈R,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线x+0.5y=0的距离最大,这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解方程组得x=4,y=6,此时z=4+0.5×6=7(万元).∵7>0,∴当x=4,y=6时,z取得最大值.故投资人用4万元投资甲项目,6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.能力提升1某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元解析:设该企业每天生产甲、乙两产品分别为x吨、y吨,由题意知,x,y需满足约束条件每天可获得利润z=3x+4y.由约束条件画出可行域,如图所示,l0:y=平移l0得点C,使z取得最大值.由得C(2,3),故z max=6+12=18(万元).答案:D★2如图,目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界),若是该目标函数z=ax-y的最优解,则a的取值范围是()A--B--CD-解析:最优解为C点,则目标函数表示的直线斜率在直线BC与AC的斜率之间.因为k BC=k AC=所以a∈--答案:B3某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载质量为10吨的甲型卡车和7辆载质量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z等于()A.4 650元B.4 700元C.4 900元D.5 000元解析:设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则目标函数z=450x+350y.画出可行域,如图阴影部分的整数点.当目标函数经过∈∈A(7,5)时,利润z最大,为4 900元.答案:C4铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表:某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为百万元.解析:可设需购买A铁矿石x万吨,B铁矿石y万吨,则根据题意得到约束条件为目标函数为z=3x+6y.当目标函数对应的直线经过点(1,2)时,目标函数取最小值,最小值为z min=3×1+6×2=15.答案:155某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式有种.解析:设购买软件x片,磁盘y盒.由题意,得∈∈即∈∈∴3≤x≤6.∴x=3,4,5,6.当x=3时,2≤y此时y=2,3,4.当x=4时,2≤y此时y=2,3.当x=5时,2≤y此时y=2.当x=6时,y=2.∴整点为(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2),则不同的选购方式有7种.答案:76已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤,西车站每年最多能运360万吨煤,甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少?解设甲煤矿向东车站运x万吨煤,乙煤矿向东车站运y万吨煤,那么总运费z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(260-y)(万元),即z=716-0.5x-0.8y.x,y应满足----即作出上面的不等式组所表示的平面区域,如图.设直线x+y=280与y=260的交点为M,则M(20,260).把直线l0:5x+8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时,z的值最小.因为点M的坐标为(20,260),所以甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨,向西车站运180万吨,乙煤矿生产的煤全部运往东车站时,能使总运费最少.★7甲、乙两公司生产同一种产品,但由于设备陈旧,需要更新,经测算,对于函数f(x),g(x)及任意的x≥0,当甲公司投入x万元改造设备时,若乙公司投入改造设备费用小于f(x)万元,则乙有倒闭的风险,否则无倒闭的风险;同样当乙公司投入x万元改造设备时,若甲公司投入改造设备费用小于g(x)万元,则甲有倒闭的风险,否则无倒闭的风险.(1)请解释f(0),g(0)的实际意义;(2)设f(x)=x+5,g(x)甲、乙两公司为了避免恶性竞争经过协商同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能地减少改造设备资金问此时解(1)f(0)表示当甲公司不投入资金改造设备时,乙公司要避免倒闭,至少要投入f(0)万元的资金;g(0)表示当乙公司不投入资金改造设备时,甲公司要避免倒闭,至少要投入g(0)万元的资金.(2)设甲公司投入的资金为x万元,乙公司投入的资金为y万元.依题意,甲、乙两公司均无倒闭风险,需改造设备资金为z=x+y,此不等式组表示的平面区域(阴影部分)如图所示.作直线l0:x+y=0,平移直线l0,在可行域中的点P处z=x+y取得最小值.得P(25,30),由-故在双方均无倒闭风险的情况下,甲公司至少要投入25万元,乙公司至少要投入30万元,此时改造设备资金最少为55万元.。