2020年中考数学复习解答题专项训练---四边形(特殊四边形)的相关计算和证明题(无答案)

《四边形》1．【习题再现】课本中有这样一道题目：如图1，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD＝BC．求证：∠EFM ＝∠FEM．（不用证明）【习题变式】（1）如图2，在“习题再现”的条件下，延长AD，BC，EF，AD与EF交于点N，BC与EF 交于点P．求证：∠ANE＝∠BPE．（2）如图3，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，交BA的延长线于点G，连接GD，∠EFC＝60°．求证：∠AGD＝90°．【习题变式】解：（1）∵F，M分别是CD，BD的中点，∴MF∥BP，，∴∠MFE＝∠BPE．∵E，M分别是AB，BD的中点，∴ME∥AN，，∴∠MEF＝∠ANE．∵AD＝BC，∴ME＝MF，∴∠EFM＝∠FEM，∴∠ANE＝∠BPE．（2）连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH．∵H，F分别是BD和AD的中点，∴HF∥BG，，∴∠HFE＝∠FGA．∵H，E分别是BD，BC的中点，∴HE∥AC，，∴∠HEF＝∠EFC＝60°．∵AB＝CD，∴HE＝HF，∴∠HFE＝∠EFC＝60°，∴∠A GF＝60°，∵∠AFG＝∠EFC＝60°，∴△AFG为等边三角形．∴AF＝GF，∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，∴∠AGD＝60°+30°＝90°．2．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是BD＝CE，位置关系是BD⊥CE．（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，请直接写出线段AD的长．解：（1）问题：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）探索：结论：DE2＝BD2+CD2，理由是：如图2中，连接EC．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∵△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∴DE2＝BD2+CD2；（3）拓展：如图3，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG，则△DAG是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠GDC＝90°，同理得：△BAD≌△CAG，∴CG＝BD＝3，Rt△CGD中，∵CD＝1，∴DG＝＝＝2，∵△DAG是等腰直角三角形，∴AD＝AG＝2．3．如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．（1）BE和DG的数量关系是BE＝DG，BE和DG的位置关系是BE⊥DG；（2）把正方形ECGF绕点C旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）设正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，正方形ECGF绕点C旋转过程中，若A、C、E三点共线，直接写出DG的长．解：（1）BE＝DG．BE⊥DG；理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴CD＝BC，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG＝90°，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS），∴BE＝DG；如图1，延长GD交BE于点H，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGC+∠EBC＝∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠BHG＝90°，即BE⊥DG；故答案为：BE＝DG，BE⊥DG．（2）成立，理由如下：如图2所示：同（1）得：△DCG≌△BCE（SAS），∴BE＝DG，∠CDG＝∠CBE，∵∠DME＝∠BMC，∠CBE+∠BMC＝90°，∴∠CDG+∠DME＝90°，∴∠DOB＝90°，∴BE⊥DG；（3）由（2）得：DG＝EB，分两种情况：①如图3所示：∵正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，∴AC⊥BD，BD＝AC＝AB＝4，OA＝OC＝OB＝AC＝2，CE＝3，∴AE＝AC﹣CE＝，∴OE＝OA﹣AE＝，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；②如图4所示：OE＝CE+OC＝2+3＝5，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；综上所述，若A、C、E三点共线，DG的长为或．4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点D从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，动点E从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．设点D，E运动的时间是t（s）（0＜t＜5）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）t为何值时，DE⊥AC？（2）设四边形AEFC的面积为S，试求出S与t之间的关系式；（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形AEFC：S△ABC＝17：24，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）当t为何值时，∠ADE＝45°？解：（1）∵∠B＝90o，AB＝6 cm，BC＝8 cm，∴AC＝＝＝10（cm），若DE⊥AC，∴∠EDA＝90°，∴∠EDA＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即：＝，∴t＝，∴当t＝s时，DE⊥AC；（2）∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°，∴∠DFC＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CAB，∴＝，即＝，∴CF＝，∴BF＝8﹣，BE＝AB﹣AE＝6﹣t，∴S＝S△ABC﹣S△BEF＝×AB•BC﹣×BF•BE＝×6×8﹣×（8﹣t）×（6﹣t）＝﹣t2+t；（3）若存在某一时刻t，使得S四边形AEFC：S△ABC＝17：24，根据题意得：﹣t2+t＝××6×8，解得：t1＝，t2＝（不合题意舍去），∴当t＝s时，S四边形AEFC：S△ABC＝17：24；（4）过点E作EM⊥AC与点M，如图所示：则∠EMA＝∠B＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AEM∽△ACB，∴＝＝，即＝＝，∴EM＝t，AM＝t，∴DM＝10﹣2t﹣t＝10﹣t，在Rt△DEM中，当DM＝ME时，∠ADE＝45°，∴10﹣t＝t，∴t＝∴当t＝s时，∠ADE＝45°．5．我们定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且项角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．例如，如图（1），△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）（1）熟悉模型：如图（2），已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；（2）运用模型：如图（3），P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，求∠APB 的度数．小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手全等模型”，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连结CM，通过转化的思想求出了∠APB的度数，则∠APB的度数为150 度；（3）深化模型：如图（4），在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC ＝45°，求BD的长．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：以BP为边构造等边△BPM，连接CM，如图（3）所示：∵△ABC与△BPM都是等边三角形，∴AB＝BC，BP＝BM＝PM，∠ABC＝∠PBM＝∠BMP＝60°，∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBM﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBM，在△ABP和△CBM中，，∴△ABP≌△CBM（SAS），∴AP＝CM，∠APB＝∠CMB，∵PA：PB：PC＝3：4：5，∴CM：PM：PC＝3：4：5，∴PC2＝CM2+PM2，∴△CMP是直角三角形，∴∠PMC＝90°，∴∠CMB＝∠BMP+∠PMC＝60°+90°＝150°，∴∠APB＝150°，故答案为：150；（3）解：过点A作EA⊥AD，且AE＝AD，连接CE，DE，如图（4）所示：则△ADE是等腰直角三角形，∠EAD＝90°，∴DE＝AD＝4，∠EDA＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝45°+45°＝90°，在Rt△DCE中，CE＝＝＝，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝．6．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO ＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）请回答：∠ADB＝75 °，AB＝3（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点0，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB ＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长解：（1）如图2中，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°．∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝＝2，．又∵AO＝，∴OD＝2AO＝2，∴AD＝AO+OD＝3．∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝3；故答案为75，3．（2）如图3中，过点B作BE∥AD交AC于点E．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°．∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝＝2．∵BO：OD＝1：3，∵AO＝，∴EO＝2，∴AE＝3．∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝3，∴AB＝AC＝6，AD＝在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即62+（）2＝CD2，解得：CD＝（负根已经舍弃）．7．正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在AB、BC边上（不与点A、B重合）．（1）如图1，连接CE，作DM⊥CE，交CB于点M．若BE＝3，则DM＝ 5 ；（2）如图2，连接EF，将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；再将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…，①如图3，线段EF经过两次操作后拼得△EFD，其形状为等边三角形，在此条件下，求证：AE＝CF；②若线段EF经过三次操作恰好拼成四边形EFGH，（3）请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE＝BF；（4）以1中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCM＝90°，∵BE＝3，BC＝4，∴CE＝＝＝5，∵DM⊥EC，∴∠DMC+∠MCE＝90°，∠MCE+∠CEB＝90°，∴∠DMC＝∠CEB，∵BC＝CD，∴△BCE≌△CDM（AAS），∴DM＝EC＝5．故答案为5．（2）如题图3，由旋转性质可知EF＝DF＝DE，则△DEF为等边三角形．故答案为等边三角形．（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE＝BF．理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M．由旋转性质可知，EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，由△EGM≌△FHN，可知EG＝FH，∴四边形EFGH的形状为正方形．∴∠HEF＝90°∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3．∵∠3+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠2＝∠4．在△AEH与△BFE中，，∴△AEH≌△BFE（ASA）∴AE＝BF．故答案为正方形，AE＝BF．（4）利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，∴BF＝CG＝DH＝AE＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝4﹣x．∴y＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝4×4﹣4×x（4﹣x）＝2x2﹣8x+16．∴y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4）∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，∴当x＝2时，y取得最小值8；当x＝0时，y＝16，∴y的取值范围为：8≤y＜16．8．已知：如图1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点B的坐标是（6，4）．（1）直接写出A点坐标（ 6 ，0 ），C点坐标（0 ， 4 ）；（2）如图2，D为OC中点．连接BD，AD，如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形OADP的面积是△ABC面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；（3）如图3，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N 从点A出发．以每秒2个单位的速度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0），在M，N运动过程中．当MN＝5时，直接写出时间t的值．解：（1）∵四边形OABC是长方形，∴AB∥OC，BC∥OA，∵B（6，4），∴A（6，0），C（0，4），故答案为：6，0，0，4；（2）如图2，由（1）知，A（6，0），C（0，4），∴OA＝6，OC＝4，∵四边形OABC是长方形，∴S长方形OABC＝OA•OC＝6×4＝24，连接AC，∵AC是长方形OABC的对角线，∴S△OAC＝S△ABC＝S长方形OABC＝12，∵点D是OC的中点，∴S△OAD＝S△OAC＝6，∵四边形OADP的面积是△ABC面积的2倍，∴S四边形OADP＝2S△ABC＝24，∵S四边形OADP＝S△OAD+S△ODP＝6+S△ODP＝24，∴S△ODP＝18，∵点D是OC的中点，且OC＝4，∴OD＝OC＝2，∵P（m，1），∴S△ODP＝OD•|m|＝×2|m|＝18，∴m＝18（由于点P在第二象限，所以，m小于0，舍去）或m＝﹣18，∴P（﹣18，1）；（3）如图3，由（2）知，OA＝6，OC＝4，∵四边形OABC是长方形，∴∠AOC＝∠OCB＝90°，BC＝6，由运动知，CM＝t，AN＝2t，∴ON＝OA﹣AN＝6﹣2t，过点M作MH⊥OA于H，∴∠OHM＝90°＝∠AOC＝∠OCB，∴四边形OCMH是长方形，∴MH＝OC＝4，OH＝CM＝t，∴HN＝|ON﹣CM|＝6﹣2t﹣t|＝|6﹣3t|，在Rt△MHN中，MN＝5，根据勾股定理得，HN2＝MN2﹣MH2，∴|6﹣3t|2＝52﹣42＝9，∴t＝1或t＝3，即：t的值为1或3．9．综合与实践问题情境数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB ＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度数吗？（1）小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后，得出了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP'，求出∠APB的度数．请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程．类比探究（2）如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，，求∠APB的度数．拓展应用（3）如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点O，∠AOC＝90°，∠BOC＝120°，则△AOC的面积是．解：（1）思路一，如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，则△ABP'≌△CBP，AP'＝CP＝3，BP'＝BP＝2，∠PBP'＝90°∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，，∵AP＝1，∴AP2+P'P2＝1+8＝9，又∵P'A2＝32＝9，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°．思路二、同思路一的方法．（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．则△ABP'≌△CBP，，BP'＝BP＝1，∠PBP'＝90°∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，，∵AP＝3，∴AP2+P'P2＝9+2＝11，又∵，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．（3）如图，将△ABO绕点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接OE．则△BAO≌△BCE，∠AOB＝∠BEC＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∵△BOE是等边三角形，∴∠BEO＝∠BOE＝60°，∴∠OEC＝90°，∠OEC＝120°﹣60°＝60°，∴sin60°＝＝，设EC＝k，OC＝2k，则OA＝EC＝k，∵∠AOC＝90°，∴OA2+OC2＝AC2，∴3k2+4k2＝7，∴k＝1或﹣1（舍弃），∴OA＝，OC＝2，∴S△AOC＝•OA•OC＝××2＝．故答案为．10．如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N．（1）求证：∠BAP＝∠BGN；（2）若AB＝6，BC＝8，求；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠BAP＝∠APB＝90°∵BP＝BE，∴∠APB∠BEP＝∠GEF，∵MN垂直平分线段AP，∴∠GFE＝90°，∴∠BGN+∠GEF＝90°，∴∠BAP＝∠BGN．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABP＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠APB＝∠BEP＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE＝8，∴BE＝BP＝BD﹣DE＝10﹣8＝2，∴PA＝＝＝2，∵MN垂直平分线段AP，∴AF＝PF＝，∵PB∥AD，∴＝＝＝，∴PE＝PA＝，∴EF＝PF﹣PE＝﹣＝，∴＝＝．（3）解：如图3中，连接AM，MP．设CM＝x．∵四边形AB CD是矩形，∴∠ADM＝∠MCP＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵MN垂直平分线段AP，∴MA＝MP，∴AD2+DM2＝PC2+CM2，∴82+（6﹣x）2＝62+x2，∴x＝，∵∠PFM＝∠PCM＝90°，∴P，F，M，C四点共圆，∴∠CFM＝∠CPM，∴tan∠CFM＝tan∠CFM＝＝＝．11．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD的取值范围是1＜AD＜7 ．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围．②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论．解：（1）延长AD到点E，使AD＝DE，连接BE，如图①所示：∵点D是BC边上的中点，∴BD＝CD，在△A DC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝EB＝6，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴8﹣6＜AE＜8+6，即2＜AE＜14，∴1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7；（2）①延长ED到点N，使ED＝DN，连接CN、FN，如图②所示：∵点D是BC边上的中点，∴BD＝CD，在△NDC和△EDB中，中，，∴△NDC≌△EDB（SAS），∴BE＝CN＝4，∵DF⊥DE，ED＝DN，∴EF＝FN，在△CFN中，CN﹣CF＜FN＜CN+CF，∴4﹣2＜FN＜4+2，即2＜FN＜6，∴2＜EF＜6；②CE⊥ED；理由如下：延长CE与DA的延长线交于点G，如图③所示：∵点E是AB中点，∴BE＝AE，∵∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，∴DG∥BC，∴∠GAE＝∠CBE，在△GAE和△CBE中，，∴△GAE≌△CBE（ASA），∴GE＝CE，AG＝BC，∵BC＝CF，DF＝AD，∴CF+DF＝BC+AD＝AG+AD，即：CD＝GD，∵GE＝CE，12．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC、AD于点E、F，已知AB＝1，，连接BF．（1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图②，当α＝45°时，请写出线段BF与DF的数量关系，并证明；（3）如图③，当α＝90°时，求△BOF的面积．解：（1）AF＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠FAO＝∠ECO，∴在△AFO与△CEO中，，∴△AFO≌△CEO（ASA），（2）BF＝DF；理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO＝AC＝1，∴AB＝AO，又∵AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∵α＝45°，∠AOF＝45°，∴∠BOF＝∠AOB+∠AOF＝45°+45°＝90°，∴EF⊥BD，∵BO＝DO，∴BF＝DF；（3）∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠AOF＝α＝90°，∴AB∥EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AB＝EF＝1，由（1）得：△AFO≌△CEO，∴OF＝OE＝EF＝，由（2）得：AO＝1，∵AB∥EF，AO⊥EF，∴S△BOF＝S△AOF＝AO•OF＝×1×＝．13．综合与实践（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．（2）类比探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．填空：①∠AEB的度数为90°；②线段CM，AE，BE之间的数量关系为AE＝BE+2CM．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，则四边形ABEC的面积为35 ．解：（1）∠AEB＝60°，AD＝BE，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．AD＝BE，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．（2）猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．故答案为：90°，AE＝BE+2CM；（3）由（2）得：∠AEB＝90°，AD＝BE＝4，∵△DCE均为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，∴CM⊥AE，DE＝2CM＝6，∴AE＝AD+DE＝4+6＝10，∴四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积＝AE×CM+AE×BE＝×10×3+×10×4＝35；故答案为：35．14．如图，正方形OABC的边长为8，P为OA上一点，OP＝2，Q为OC边上的一个动点，分别以OP\PQ为边在正方形OABC内部作等边三角形OPD和等边三角形PQE．（1）证明：DE＝OQ；（2）直线ED与OC交于点F，点Q在运动过程中．①∠EFC的度数是否发生改变？若不变，求出这个角的度数；若改变，说明理由；②连结AE，求AE的最小值．（1）证明：如图1中，∵△OPD和△PQE是等边三角形，∴PO＝PD，PQ＝PE，∠OPD＝∠QPE＝60°，∴∠OPQ＝∠DPE，∴△OPQ≌△DPE（SAS），∴DE＝OQ．（2）①∵△OPQ≌△DPE，∴∠EDP＝∠POQ＝90°，∵∠DOP＝∠ODP＝60°∴∠FDO＝∠FDO＝30°，∴∠EFC＝∠FOC+∠FDO＝60°．②如图2中，当点Q与点C重合时，以PQ为边作正三角形PQM．∵∠EFC＝60°为定值，点E的运动路径为线段DM，过点P作PH⊥EA，垂足为H，∴当AE⊥DE时，AE的值最小∵∠PDE＝∠DEH＝∠PHE＝90°，∴四边形PDEH是矩形，∴∠DPH＝90°，EH＝PD＝2，∴EH＝DP＝2，在△PHA中，∠AHP＝90°，∠HPA＝30°∴AH＝PA＝3，∴AE＝EH+AH＝2+3＝5．15．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．（1）解：四边形ABCD是垂直四边形；理由如下：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂直四边形；（2）证明：设AC、BD交于点E，如图2所示：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：连接CG、BE，如图3所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，CG＝AC＝4，BE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∵∠AEC+∠CEB+∠ABE＝90°，∴∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂直四边形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣BC2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．。

2020中考数学压轴题综合提升训练：《四边形》1．如图①，在矩形ABCD中，已知BC＝8cm，点G为BC边上一点，满足BG＝AB＝6cm，动点E以1cm/s的速度沿线段BG从点B移动到点G，连接AE，作EF⊥AE，交线段CD于点F．设点E移动的时间为t（s），CF的长度为y（cm），y与t的函数关系如图②所示．（1）图①中，CG＝ 2 cm，图②中，m＝ 2 ；（2）点F能否为线段CD的中点？若可能，求出此时t的值，若不可能，请说明理由；（3）在图①中，连接AF，AG，设AG与EF交于点H，若AG平分△AEF的面积，求此时t的值．解：（1）∵BC＝8cm，BG＝AB＝6cm，∴CG＝2cm，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC＝90°，且∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，且∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF，∴，∵t＝6，∴BE＝6cm，CE＝2cm，∴∴CF＝2cm，∴m＝2，故答案为：2，2；（2）若点F是CD中点，∴CF＝DF＝3cm，∵△ABE∽△ECF，∴，∴∴EC2﹣8EC+18＝0∵△＝64﹣72＝﹣8＜0，∴点F不可能是CD中点；（3）如图①，过点H作HM⊥BC于点M，∵∠C＝90°，HM⊥BC，∴HM∥CD，∴△EHM∽△EFC，∴∵AG平分△AEF的面积，∴EH＝FH，∴EM＝MC，∵BE＝t，EC＝8﹣t，∴EM＝CM＝4﹣t，∴MG＝CM﹣CG＝2﹣，∵，∴∴CF＝∵EM＝MC，EH＝FH，∴MH＝CF＝∵AB＝BG＝6，∴∠AGB＝45°，且HM⊥BC，∴∠HGM＝∠GHM＝45°，∴HM＝GM，∴＝2﹣，∴t＝2或t＝12，且t≤6，∴t＝2．2．问题提出：（1）如图1，△ABC的边BC在直线n上，过顶点A作直线m∥n，在直线m上任取一点D，连接BD、CD，则△ABC的面积＝△DBC的面积．问题探究：（2）如图2，在菱形ABCD和菱形BGFE中，BG＝6，∠A＝60°，求△DGE的面积；问题解决：（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝10，在矩形ABCD内（也可以在边上）存在一点P，使得△ABP的面积等于矩形ABCD的面积的，求△ABP周长的最小值．解：问题提出：（1）∵两条平行线间的距离一定，∴△ABC与△DBC同底等高，即△ABC的面积＝△DBC的面积，故答案为：＝；问题探究：（2）如图2，连接BD，∵四边形ABCD，四边形BGFE是菱形，∴AD∥BC，BC∥EF，AD＝AB，BG＝BE，∴∠A＝∠CBE＝60°，∴△ADB是等边三角形，△BGE是等边三角形，∴∠ABD＝∠GBE＝60°，∴BD∥GE，∴S△DGE＝S△BGE＝BG2＝9；（3）如图3，过点P作PE∥AB，交AD于点E，∵△ABP的面积等于矩形ABCD的面积的，∴×12×AE＝×12×10∴AE＝8，作点A关于PE的对称点A'，连接A'B交PE于点P，此时△ABP周长最小，∴A'E＝AE＝8，∴AA'＝16，∴A'B＝＝＝20，∴△ABP周长的最小值＝AP+AB+PB＝A'P+PB+AB＝20+12＝32．3．（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≌△EAF，从而得到结论：DE+BF＝EF．根据这个结论，若CD＝6，DE＝2，求EF的长．（2）方法迁移：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F 分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．解：（1）方法感悟：∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DE＝2，∵△GAF≌△EAF∴GF＝EF，∵CD＝6，DE＝2∴CE＝4，∵EF2＝CF2+CE2，∴EF2＝（8﹣EF）2+16，∴EF＝5；（2）方法迁移：DE+BF＝EF，理由如下：如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转可得，AH＝AE，BH＝DE，∠1＝∠2，∠D＝∠ABH，∵∠EAF＝∠DAB，∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD，∴∠HAF＝∠EAF，∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝180°，∴点H、B、F三点共线，在△AEF和△AHF中，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝HF，∵HF＝BH+BF，∴EF＝DE+BF．（3）问题拓展：EF＝BF﹣FD，理由如下：在BC上截取BH＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，且AB＝AD，BH＝DF，∴△ABH≌△ADF（SAS）∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AD，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD，∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF，且AE＝AE，AH＝AD，∴△HAE≌△FAE（SAS）∴HE＝EF，∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF．4．如图1，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2，设移动时间为t（s）（0＜＜4），连结PQ，MQ，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥MN？（2）当t为何值时，∠CPQ＝45°？（3）当t为何值时，PQ⊥MQ？解：（1）∵AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，∴AC＝＝4cm，∵MN∥AB，PQ∥MN，∴PQ∥AB，∴，∴，∴t＝s（2）如图2，过点Q作QE⊥AC，则QE∥AB，∴，∴，∴CE＝，QE＝t，∵∠CPQ＝45°，∴PE＝QE＝t，∴t+t+t＝4，∴t＝s（3）如图2，过点P作PF⊥BC于F点，过点M作MH⊥BC，交BC延长线于点H，∴四边形PMHF是矩形，∴PM＝FH＝5，∵∠A＝∠PFC＝90°，∠ACB＝∠PCF，∴△ABC∽△FPC，∴，∴＝∴PF＝，CF＝，∴QH＝5﹣FQ＝5﹣（CF﹣CQ）＝，∵PQ⊥MQ，∴∠PQF+∠MQH＝90°，且∠PQF+∠FPQ＝90°，∴∠FPQ＝∠MQH，且∠PFQ＝∠H＝90°，∴△PFQ∽△QHM，∴，∴∴t＝s．5．问题背景：如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得四边形EFGH是正方形．类比探究：如图2，在正△ABC的内部，作∠1＝∠2＝∠3，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）．（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；（3）如图3，进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：∵△ABC是正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC，又∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAF，在△ABD、△BCE和△CAF中，，∴△ABD≌△BCE≌△CAF（ASA）；（2）△DEF是正三角形；理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；（3）c2＝a2+ab+b2．作AG⊥BD于G，如图所示：∵△DEF是正三角形，∴∠ADG＝60°，在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝b，在Rt△ABG中，c2＝（a+b）2+（b）2，∴c2＝a2+ab+b2．6．如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠ABC＝∠CDA＝90°，BC＝CD，延长BC交AD的延长线于点E．（1）求证：AB＝AD；（2）若AE＝BE+DE，求∠BAC的值；（3）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P，连接PB．设PB＝a，点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，点O与点E是否可能重合？若可能，请说明理由并求此时MO+PO的值（用含a的式子表示）；若不可能，请说明理由．（1）证明：∵∠ABC＝∠CDA＝90°，∵BC＝CD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．∴AB＝AD．（2）解：∵AE＝BE+DE，又∵AE＝AD+DE，∴AD＝BE．∵AB＝AD，∴AB＝BE．∴∠BAD＝∠BEA．∵∠ABC＝90°，∴∠BAD═45°．∵由（1）得△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC．∴∠BAC═22.5°．（3）解：当MO+PO的值最小时，点O与点E可以重合，理由如下：∵ME∥AB，∴∠ABC＝∠MEC＝90°，∠MAB＝∠EMA．∵MP⊥DC，∴∠MPC＝90°．∴∠MPC＝∠ADC＝90°．∴PM∥AD．∴∠EAM＝∠PMA．由（1）得，Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠EAC＝∠MAB，∴∠EMA＝∠AMP．即MC平分∠PME．又∵MP⊥CP，ME⊥CE，∴PC＝EC．如图，连接PB，连接PE，延长ME交PD的延长线于点Q．设∠EAM＝α，则∠MAP＝α．在Rt△ABE中，∠BEA＝90°﹣2α．在Rt△CDE中，∠ECD＝90°﹣∠BEA＝2α．∵PC＝EC，∴∠PEB＝∠EPC＝∠ECD＝α．∴∠PED＝∠BEA+∠PEB＝90°﹣α．∵ME∥AB，∴∠QED＝∠BAD＝2α．当∠PED＝∠QED时，∵∠PDE＝∠QDE，DE＝DE，∴△PDE≌△QDE（ASA）．∴PD＝DQ．即点P与点Q关于直线AE成轴对称，也即点M、点E、点P关于直线AE的对称点Q，这三点共线，也即MO+PO的值最小时，点O与点E重合．因为当∠PED＝∠QED时，90°﹣α＝2α，也即α＝30°．所以，当∠ABD＝60°时，MO+PO取最小值时的点O与点E重合．此时MO+PO的最小值即为ME+PE．∵PC＝EC，∠PCB＝∠ECD，CB＝CD，∴△PCB≌△ECD（SAS）．∴∠CBP＝∠CDE＝90°．∴∠CBP+∠ABC＝180°．∴A，B，P三点共线．当∠ABD＝60°时，在△PEA中，∠PAE＝∠PEA＝60°．∴∠EPA＝60°．∴△PEA为等边三角形．∵EB⊥AP，∴AP＝2AB＝2a．∴EP＝AE＝2a．∵∠EMA＝∠EAM＝30°，∴EM＝AE＝2a．∴MO+PO的最小值为4a．7．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上运动，从点A出发向点D运动，到达D点停止运动．作射线CE，并将射线CE绕着点C逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB边交于点F，连接EF．（1）依题意补全图形；（2）猜想线段DE，EF，BF的数量关系并证明；（3）过点C作CG⊥EF，垂足为点G，若正方形ABCD的边长是4，请直接写出点G 运动的路线长．解：（1）补全图形如图1所示：（2）线段DE，EF，BF的数量关系为：EF＝DE+BF．理由如下：延长AD到点H，使DH＝BF，连接CH，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠ADC＝∠B＝90°，BC＝DC，∴∠CDH＝90°＝∠B，在△CDH和△CBF中，，∴△CDH≌△CBF（SAS）．∴CH＝CF，∠DCH＝∠BCF．∵∠ECF＝45°，∴∠ECH＝∠ECD+∠DCH＝∠ECD+∠BCF＝45°．∴∠ECH＝∠ECF＝45°．在△ECH和△ECF中，，∴△EC H≌△ECF（SAS）．∴EH＝EF．∵EH＝DE+DH，∴EF＝DE+BF；（3）由（2）得：△ECH≌△ECF（SAS），∴∠CEH＝∠CEF，∵CD⊥AD，CG⊥EF，∴CD＝CG＝4，∴点G的运动轨迹是以C为圆心4为半径的弧DB，∴点G运动的路线长＝＝2π．8．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF．（1）若∠BAP＝α，直接写出∠ADF的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：BF⊥DF；（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．（1）解：由轴对称的性质得：∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，∴∠ADF＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝（90°+2α）＝45°+α；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵点E与点B关于直线AP对称，∴∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．∴AE＝AD．∴∠ADE＝∠AED．∵∠AED+∠AEF＝180°，∴在四边形ABFD中，∠ADE+∠ABF＝180°，∴∠BFD+∠BAD＝180°，∴∠BFD＝90°∴BF⊥DF；（3）解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为AF＝BF+CF，理由如下：过点B作BM⊥BF交AF于点M，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠CBF，∵点E与点B关于直线AP对称，∠BFD＝90°，∴∠MFB＝∠MFE＝45°，∴△BMF是等腰直角三角形，∴BM＝BF，FM＝BF，在△AMB和△CFB中，，∴△AMB≌△CFB（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝FM+AM，∴AF＝BF+CF．9．如图1，已知等腰Rt△ABC中，E为边AC上一点，过E点作EF⊥AB于F点，以为边作正方形，且AC＝3，EF＝．（1）如图1，连接CF，求线段CF的长；（2）将等腰Rt△ABC绕点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC，MF，求MC与MF关系．解：（1）如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝3，∴AB＝3，过点C作CM⊥AB于M，连接CF，∴CM＝AM＝AB＝，∵四边形AGEF是正方形，∴AF＝EF＝，∴MF＝AM﹣AF＝﹣，在Rt△CMF中，CF＝＝＝；（2）CM＝FM，CM⊥FM，理由：如图2，过点B作BH∥EF交FM的延长线于H，连接CF，CH，∴∠BHM＝∠EFM，∵四边形AGEF是正方形，∴EF＝AF∵点M是BE的中点，∴BM＝EM，在△BMH和△EMF中，，∴△BMH≌△EMF（AAS），∴MH＝MF，BH＝EF＝AF∵四边形AGEF是正方形，∴∠FAG＝90°，EF∥AG，∵BH∥EF，∴BH∥AG，∴∠BAG+∠ABH＝180°，∴∠CBH+∠ABC+∠BAC+∠CAG＝180°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠CBH+∠CAG＝90°，∵∠CAG+∠CAF＝90°，∴∠CBH＝∠CAF，在△BCH和△ACF中，，∴△BCH≌△ACF（SAS），∴CH＝CF，∠BCH＝∠ACF，∴∠HCF＝∠BCH+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝90°，∴△FCH是等腰直角三角形，∵MH＝MF，∴CM＝FM，CM⊥FM；10．如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．（1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时．①求∠DAQ的度数；②若AB＝6，求PQ的长度．解：（1）如图1中，∵MN∥B′D′，∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝45°，∠C′NM＝∠C′D′B′＝45°，∴∠C′MN＝∠C′NM，∴C′M＝C′N，∵C′B′＝C′D′，'∴MB′＝ND′，∵AB′＝AD′，∠AB′M＝∠AD′N＝90°，∴△AB′M≌△AD′N（SAS），∴∠B′AM＝∠D′AN，∵∠B′AD′＝90°，∠MAN＝45°，∴∠B′AM＝∠D′AN＝22.5°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAB′＝22.5°，∴α＝22.5°．（2）①如图2中，∵∠AB′Q＝∠ADQ＝90°，AQ＝AQ，AB′＝AD，∴Rt△AQB′≌Rt△AQD（HL），∴∠QAB′＝∠QAD，∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°，∴∠B′AD＝30°，∴∠QAD＝∠B′AD＝30°．②如图2中，连接AP，在AB上取一点E，使得AE＝EP，连接EP．设PB＝a．∵∠ABP＝∠AB′P＝90°，AP＝AP，AB＝AB′，∴Rt△APB≌Rt△APB′（HL），∴∠BAP＝∠PAB′＝15°，∵EA＝EP，∴∠EAP＝∠EPA＝15°，∴∠BEP＝∠EAP+∠EPA＝30°，∴PE＝AE＝2a，BE＝a，∵AB＝6，∴2a+a＝6，∴a＝6（2﹣）．∴PB＝6（2﹣），∴PC＝BC﹣PB＝6﹣6（2﹣）＝6﹣6，∵∠CPQ+∠BPB′＝180°，∠BAB′+∠BPB′＝180°，∴∠CPQ＝∠BAB′＝30°，∴PQ＝＝＝12﹣4．11．已知，如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边AD上，过点A作AG⊥EF，分别交线段CD、EF于点G、H（点G不与线段CD的端点重合）．（1）如图2，当G是边CD中点时，求AF的长；（2）设AF＝x，四边形FHGD的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结ED，当∠FED＝45°时，求AF的长．解：（1）∵E是AB的中点，AB＝2，∴AE＝AB＝1，同理可得DG＝1，∵AG⊥EF，∴∠AHF＝∠HAF+∠AFH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝90°＝∠DAG+∠AGD，∴∠AFH＝∠AGD，∵∠EAF＝∠ADG＝90°，∴△EAF∽△ADG，∴，即，∴AF＝；（2）如图1，由（1）知：△EAF∽△ADG，∴，即，∴DG＝2x，∵∠HAF＝∠DAG，∠AHF＝∠ADG＝90°，∴∠AHF∽△ADG，∴＝，∴＝，∴AH＝＝，FH＝＝，∴y＝S△ADG﹣S△AFH，＝，＝2x﹣，如图2，当G与C重合时，∵EF⊥AG，∴∠AHE＝90°，∵∠EAH＝45°，∴∠AEH＝45°，∴AF＝AE＝1，∴0＜x＜1；∴y关于x的函数关系式为：y＝2x﹣（0＜x＜1）；（3）如图3，过D作DM⊥AG，交BC于M，连接EM，延长EA至N，使AN＝CM，连接DN，设CM＝a，则AN＝a，∵AD＝CD，∠NAD＝∠DCM＝90°，∴△NAD≌△MCD（SAS），∴∠ADN＝∠CDM，DN＝DM，∵EF⊥AG，DM⊥AG，∴EF∥DM，∴∠EDM＝∠FED＝45°，∴∠ADE+∠CDM＝∠EDM＝45°，∴∠NDA+∠ADE＝∠NDE＝∠EDM，∵ED＝ED，∴△NDE≌△MDE（SAS），∴EN＝EM＝a+1，∵BM＝2﹣a，在Rt△EBM中，由勾股定理得：BE2+BM2＝EM2，∴12+（2﹣a）2＝（a+1）2，a＝，∵∠AEF+∠EAG＝∠EAG+∠DAG，∴∠AEF＝∠DAG＝∠CDM，∴tan∠AEF＝tan∠CDM，∴，∴，∴AF＝．12．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG，AB⊥AE 且AE＝AB，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：连接AC，BD，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴AC是线段BD的垂直平分线，∴四边形ABCD是垂美四边形；（2）∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案为：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝．13．如图1，四边形ACEB，连接BC，∠ACB＝∠BEC＝90°，D在AB上，连接CD，∠ACD＝∠ABC，BE＝CD．（1）求证：四边形CDBE为矩形；（2）如图2，连接DE，DE交BC于点O，若tan∠A＝2，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有长度与AD的长度相等的线段．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵∠ACD＝∠ABC，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°＝∠BEC，在Rt△BCD和Rt△CBE中，，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），∴BD＝CE，∵CD＝BE，∴四边形CDBE是平行四边形，又∵∠BEC＝90°，∴四边形CDBE为矩形；（2）解：图中所有长度与AD的长度相等的线段为AC＝OC＝OB＝OD＝OE＝AD．理由如下：由（1）得：四边形CDBE为矩形，∠ADC＝90°，∴BC＝DE，OD＝OE，OB＝OC，∴OC＝OB＝OD＝OE＝BC，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴tan∠A＝2＝＝，∴CD＝2AD，BC＝2AC，∴AC＝＝＝AD，∴DE＝BC＝2AC，∴OC＝OB＝OD＝OE＝BC＝AC＝AD，∴AC＝OC＝OB＝OD＝OE＝AD．14．如图在直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点的坐标为（a，0），D点的坐标为（0，b），且a，b满足（a﹣3）2+|b﹣|＝0．（1）求A点和D点的坐标；（2）若∠DAE＝∠OAB，请猜想DE，OD和EB的数量关系，说明理由．（3）若∠OAD＝30°，以AD为三角形的一边，坐标轴上是否存在点P，使得△PAD 为等腰三角形，若存在，直接写出有多少个点P，并写出P点的坐标，选择一种情况证明．解：（1）∵（a﹣3）2+|b﹣|＝0，∴a＝3，b＝，∴D（0，），A（3，0）；（2）DE＝OD+EB；理由如下：如图1，在CO的延长线上找一点F，使OF＝BE，连接AF，在△AOF和△ABE中，，∴△AOF≌△ABE（SAS），∴AF＝AE，∠OAF＝∠BAE，又∵∠OAB＝90°，∠DAE＝，∴∠BAE+∠DAO＝45°，∴∠DAF＝∠OAF+∠DAO＝45°，∴∠DAF＝∠EAD，在△AFD和△AED中，，∴△AFD≌△AED（SAS），∴DF＝DE＝OD+EB；（3）有3种情况共6个点：①当DA＝DP时，如图2，Rt△ADO中，OD＝，OA＝3，∴AD＝＝＝2，∴P 1（﹣3，0），P2（0，3），P3（0，﹣）；②当AP4＝DP4时，如图3，∴∠ADP4＝∠DAP4＝30°，∴∠OP4D＝60°，Rt△ODP 4中，∠ODP4＝30°，OD＝，∴OP4＝1，∴P4（1，0）；③当AD＝AP时，如图4，∴AD＝AP 5＝AP6＝2，∴P 5（3+2，0），P6（3﹣2，0），综上，点P的坐标为：∴P（﹣3，0）或（0，3）或（0，﹣）或（1，0）或（3+2，0）或（3﹣2，0）．证明：P 5（3+2，0），∵∠OAD＝30°且△ADO是直角三角形，又∵AO＝3，DO＝，∴DA＝2，而P 5A＝|3+2﹣3|＝2，∴P5A＝DA，∴△P5AD是等腰三角形．15．已知，在四边形ABCD中，点M、N、P、Q分别为边AB、AD、CD、BC的中点，连接MN、NP、PQ、MQ．（1）如图1，求证：四边形MNPQ为平行四边形；（2）如图2，连接AC，AC分别交MN、PQ于点E、F，连接BD，BD分别交MQ、NP于点G、H，AC与BD交于点O，且AC⊥BD，若tan∠ADB＝，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于OD的线段．（1）证明：如图1，连接BD．∵Q，P分别是BC，CD的中点，所以PQ∥BD，PQ＝BD．∵M，N分别是AB，AD的中点．∴MN∥BD，MN＝BD．∴PQ∥MN，且PQ＝MN．∴四边形MNPQ是平行四边形．（2）解：∵四边形MNPQ是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形MNPQ是矩形，∴四边形NHOE和四边形EOGM都是矩形，∴NH＝OE＝MG＝AE＝，∵tan∠ADB＝，∴，∴NH＝OE＝MG＝AE＝．即长度等于OD的线段有NH，OE，MG，AE．。

初中数学特殊平行四边形解答题专项训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、解答题（共15题）1、如图，在四边形中，，，，交于点，过点作，垂足为，且．（ 1 ）求证：四边形是菱形；（ 2 ）若，求的面积．2、如图，在等腰直角三角形中，，，边长为 2 的正方形的对角线交点与点重合，连接，．（ 1 ）求证：；（ 2 ）当点在内部，且时，设与相交于点，求的长；（ 3 ）将正方形绕点旋转一周，当点、、三点在同一直线上时，请直接写出的长．3、如图（ 1 ），在菱形ABCD 中，∠ ABC ＝60° ，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，交BD 于点F ．（ 1 ）如图（2 ），若点M 在BC 边上，且DE ＝CM ，连结AM ，EM ．求证：三角形AEM 为等边三角形；（ 2 ）设，求tan∠ AFB 的值（用x 的代数式表示）；（ 3 ）如图（3 ），若点G 在线段BF 上，且FG ＝ 2 BG ，连结AG 、CG ，，四边形AGCE 的面积为S 1 ，ABG 的面积为S 2 ，求的最大值．4、如图，在△ABC 中，点 D 为边BC 的中点，点 E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE⊥AE 点F 在AB 上，且BF=DE（ 1 ）求证：四边形BDEF 是平行四边形（ 2 ）线段AB ，BF ，AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论5、在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将沿翻折，点的对应点为点．（ 1 ）如图，设，，在点从点运动到点的过程中．① 最小值是 ______ ，此时x =______ ；② 点的运动路径长为 ______ ．（ 2 ）如图，设，当点的对应点落在矩形的边上时，求的值．6、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，，．（ 1 ）求证：四边形AOBE 是菱形；（ 2 ）若，，求菱形AOBE 的面积．7、如图，菱形 ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，点G 在射线OD 上，且，过点 G 作交射线 OC 于点 E ，过点 E 作OE 的垂线，与过点G 作OG 的垂线交于点P ，得到矩形OEFG ．射线AD 交线段GF 于点H ，将沿直线 AH 折叠，得到，当点 M 在矩形OEFG 的边上时，____ ．8、如图，已知Rt △ ABC 中，∠ ABC =90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90° 至△DBE 后，再把△ ABC 沿射线平移至△ FEG ，DF 、FG 相交于点H ．（ 1 ）判断线段DE 、FG 的位置关系，并说明理由；（ 2 ）连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．9、已知四边形ABCD 为凸四边形，点M 、N 、P 、Q 分别为AB 、BC 、CD 、DA 上的点（不与端点重合），下列说法正确的是 ______ （填序号）① 对于任意凸四边形ABCD ，一定存在无数个四边形MNPO 是平行四边形；② 如果四边形ABCD 为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ 是矩形；③ 如果四边形ABCD 为任意矩形，那么一定存在一个四边形为正方形；④ 如果四边形ABCD 为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形．10、如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH⊥AB 于点H ，连OH 接，求证：∠DHO=∠DCO.11、如图① ，在正方形ABCD 中，点E 为BC 边上任意一点（点E 不与B 、C 重合），点F 在线段AE 上，过点F 的直线，分别交AB 、CD 于点M 、N ．（ 1 ）求证：（ 2 ）如图②，当点F 为AE 中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD 、MN 与BD 交于点G ，连接BF ．求证：．12、对于平面直角坐标系中的图形M ，N ，给出如下定义：如果点 P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，那么称线段长度的最小值为图形M ，N 的“ 近距离” ，记作，特别地，当图形M 与图形N 存在公共点时，图形M ，N 的“ 近距离” 为0 ．若图形M ，N 的“ 近距离” 小于或等于 1 ，则称图形M ，N 互为“ 可及图形”若图形M 为边长等于 2 的正方形ABCD ，其对角线的交点记为正方形的中心G ．（ 1 ）当正方形ABCD 的顶点分别为：，，，① 如果点，，那么____________ ，____________ ．② 如果直线与正方形ABCD 互为“ 可及图形” ，求b 的取值范围；（ 2 ）将（1 ）中正方形沿x 轴方向平移，设直线与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，如果正方形ABCD 和互为“ 可及图形” ，直接写出正方形中心G 的横坐标m 的取值范围．13、如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O ，．（ 1 ）求证：四边形是矩形；（ 2 ）若，，求矩形的周长．14、在正方形ABCD 中，AB ＝ 8 ，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝ 6 ，P 为对角线BD 上一个动点，求PM ﹣PN 的最大值．15、如图，是的对角线．（ 1 ）尺规作图（请用 2 B 铅笔）：作线段的垂直平分线，交，，分别于，，，连接，（保留作图痕迹，不写作法）．（ 2 ）试判断四边形的形状并说明理由．============参考答案============一、解答题1、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）先利用角平分线判定定理证得，再由已知角的等量关系推出，并可得，则可证明四边形是平行四边形，最后由得，即可证得结论；（ 2 ）由菱形的性质可得，再根据角的等量关系求出，则可利用三角函数求得，此题得解．【详解】（ 1 ）证明：如图，∵ ，∴ ，又∵ ，且，∴ 为的角平分线，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，又∵ ，∴ 四边形是平行四边形，∵ ，∴ ，∴四边形是菱形．（ 2 ）解：由（1 ）得四边形是菱形，∴ ，∵ ，，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．2、（ 1 ）见详解；（ 2 ）；（ 3 ）-1 或+1【分析】（ 1 ）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得∠ACD =∠ BCE ，，CD = CE ，进而即可得到结论；（ 2 ）先求出DC = ，AD = ，再证明，进而即可求解；（ 3 ）分两种情况：①当点D 在线段AE 上时，过点C 作CM ⊥ AE ，② 当点E 在线段AD 上时，过点C 作CM ⊥ AD ，分别求解，即可．【详解】解：（ 1 ）∵在等腰直角三角形中，，，在正方形中，CD = CE ，∠ DCE =90° ，∴∠ DCE -∠ BCD =∠ ACB -∠ BCD ，即：∠ ACD =∠ BCE ，∴ ；（ 2 ）∵正方形的边长为 2 ，∴ DC = GC =2÷ = ，∵ ，∴ AD = ，∵∠ GDE = ，∴∠ ADM =∠ CDE =45° ，∴∠ ADM =∠ CGM =45° ，即：AD ∥ CG ，∴ ，∴ ，即：，∴ AM = ；（ 3 ）①当点D 在线段AE 上时，过点C 作CM ⊥ AE ，如图，∵ 正方形的边长为 2 ，∴ CM = DM =2÷2=1 ，AM = ，∴ AD = AM - DM = -1 ；② 当点E 在线段AD 上时，过点C 作CM ⊥ AD ，如图，同理可得：CM = DM =2÷2=1 ，AM = ，∴ AD = AM + DM = +1 ．综上所述：AM = -1 或+1【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质以及正方形的性质，全等三角形的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，画出图形，添加合适的辅助线，是解题的关键．3、（ 1 ）证明见解析；（ 2 ）；（ 3 ）【分析】（ 1 ）如图，连接证明都为等边三角形，可得再证明从而可得答案；（ 2 ）如图，记交于点设四边形为菱形，表示利用则再利用三角函数的定义可得答案；（ 3 ）如图，设证明再表示结合菱形的轴对称的性质可得：表示可得可得再利用二次函数的性质可得答案 .【详解】证明：（ 1 ）如图，连接菱形ABCD 中，∠ ABC ＝60° ，都为等边三角形，是等边三角形（ 2 ）如图，记交于点设四边形为菱形，则（ 3 ）如图，设四边形是平行四边形，FG ＝ 2 BG ，根据菱形的轴对称的性质可得：，所以有最大值，当时，最大值为：【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解本题的关键 .4、（ 1 ）见解析；（ 2 ），理由见解析【分析】（ 1 ）延长CE 交AB 于点G ，证明，得 E 为中点，通过中位线证明DE AB ，结合BF=DE ，证明BDEF 是平行四边形（ 2 ）通过BDEF 为平行四边形，证得BF=DE= BG ，再根据，得 AC=AG ，用AB-AG=BG ，可证【详解】（ 1 ）证明：延长CE 交AB 于点G∵AE CE∴在和∴∴GE=EC∵BD=CD∴DE 为的中位线∴DE AB∵DE=BF∴ 四边形BDEF 是平行四边形（ 2 ）理由如下：∵ 四边形BDEF 是平行四边形∴BF=DE∵D ， E 分别是BC ，GC 的中点∴BF=DE= BG∵∴AG=ACBF= （ AB-AG ）= （ AB-AC ）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键．5、（ 1 ）①2 ，；② ；（ 2 ）或【分析】（ 1 ）①由题意，当点恰好在直线AC 上时，有最小值，然后求出答案即可；② 先证明点在以A 为圆心， 1 为半径的圆上，再求出，然后根据弧长公式，即可求出答案；（ 2 ）分两种情况，①当点落在AD 边上时，四边形为正方形，然后求出答案；② 当点落在CD 边上时，证明，利用相似三角形的性质，即可求出答案．【详解】解：（ 1 ）①连接，如图 1 ，,由折叠的性质得：，，∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ，∴ ；当点恰好在直线AC 上时，有最小值，∵ ，∴ ，，∴ ，，∴ ，，∴ ，∴ ，∴ ；故答案为： 2 ，；② 当点E 从B 到点C 的过程中，，∴ 点在以A 为圆心， 1 为半径的圆上，由① 知，，∴ ，∴ 点的运动路径长为：；故答案为：；（ 2 ）当点落在边上时（如图），四边形为正方形，∴ ，∴ ，解得；当点落在边上时（如图），由折叠得，∴ ，，由得，∴ ，，解得，∵ ，∴ ，∴ 或；【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形的判定和性质、含 30 度直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、弧长公式等知识，熟练掌握所学的知识，正确进行分析题意是解题的关键．6、（ 1 ）证明过程见解答；（ 2 ）【分析】（ 1 ）根据BE ∥ AC ，AE ∥ BD ，可以得到四边形AOBE 是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到OA = OB ，由菱形的定义可以得到结论成立；（ 2 ）根据∠AOB =60° ，AC =4 ，可以求得菱形AOBE 边OA 上的高，然后根据菱形的面积 = 底×高，代入数据计算即可．【详解】解：（ 1 ）证明：∵BE ∥ AC ，AE ∥ BD ，∴ 四边形AOBE 是平行四边形，∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AC = BD ，OA = OC = AC ，OB = OD = BD ，∴ OA = OB ，∴ 四边形AOBE 是菱形；（ 2 ）解：作BF ⊥ OA 于点F ，∵ 四边形ABCD 是矩形，AC =4 ，∴ AC = BD =4 ，OA = OC = AC ，OB = OD = BD ，∴ OA = OB =2 ，∵∠ AOB =60° ，∴ BF = OB • sin ∠ AOB = ，∴ 菱形AOBE 的面积是：OA • BF = = ．【点睛】本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积 = 底×高或者是对角线乘积的一半．7、或【分析】由菱形和平行线的性质得出∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠DGE=∠CDB=∠HDG ，由折叠的性质得DG=DM ，GH=MH ，∠HDG=∠HDM ，分两种情况讨论：①若点M 在EF 上；②若点M 在OE 上；由锐角三角函数定义、相似三角形的判定与性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB ，AC⊥BD ，∵GE//CD ，∴∠DGE=∠CDB ，∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB =∠DGE =∠HDG ，由折叠的性质得： DG=DM ，GH=MH ，∠HDG=∠HDM ，① 若点M 在EF 上，如图 1 所示：设 BD=2OB=2OD=2b ，AC=2OA=2OC=2kb ，∴DG=DM=3OD=3b ，OG=DG+OD=3b+b=4b ，∵tan∠ADB= =k ，∴ =k ，∴OE=kOG=4kb ，GH=HM=3kb ，∴FH=OE-GH=4kb-3kb=kb ，过点 D 作DN⊥EF 于点N ，∵∠FHM+∠FMH=∠FMH+∠DMN ，∴∠FHM=∠DMN ，∵∠F=∠DNM=90° ，∴△MFH∽△DNM ，∴ ，即，∴MN=b ，∵DM 2 =DN 2 +MN 2 ，∴(3b) 2 =(4kb) 2 +b 2 ，解得： k= ，或 k=- （不合题意舍去），∴ = ，∴ ；② 若点M 在OE 上，如图 2 所示：设∠GDH=∠ADO=∠ABO=∠ODC=α ，OD=x ，则 DG=3x ，OG=4x ，∵∠MOG=∠DGH=90° ，∴GH=DG•tanα=3x•tanα ，OC=OD•tanα=x•tanα ，由折叠性质知， DG=DM=3x ，GM⊥DH ，∴∠OGM+∠MGH=∠MGH+∠GHD=90° ，∴∠OGM=∠GHD ，∴△OGM∽△GHD ，∴ ，∴OM= ，由勾股定理得， OD 2 +OM 2 =DM 2 ，∴ ，解得：tanα= ，∴ ，∴ ；综上所述，的值为：或，故答案为：或．【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形与矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．8、（ 1 ）FG ⊥ E D ，理由详见解析；（ 2 ）详见解析【分析】（ 1 ）由旋转及平移的性质可得到∠DEB+∠GFE=90°，可得出结论；（ 2 ）由旋转和平移的性质可得BE=CB ，CG∥BE ，从而可证明四边形CBEG 是矩形，再结合CB=BE 可证明四边形CBEG 是正方形．【详解】（ 1 ）FG ⊥ E D ．理由如下：∵△ ABC 绕点B 顺时针旋转90° 至△DBE 后，∴∠ DEB =∠ ACB ，∵ 把△ABC 沿射线平移至△ FEG ，∴∠ GFE =∠ A ，∵∠ ABC =90° ，∴∠ A +∠ ACB =90° ，∴∠ DEB +∠ GFE =90° ，∴∠ FHE =90° ，∴ FG ⊥ ED ；（ 2 ）根据旋转和平移可得∠GEF =90° ，∠CBE =90° ，CG ∥ EB ，CB = BE ，∵ CG ∥ EB ，∴∠ BCG =∠ CBE =90° ，∴∠ BCG =90° ，∴ 四边形BCGE 是矩形，∵ CB = BE ，∴ 四边形CBEG 是正方形．【点睛】本题主要考查旋转和平移的性质，掌握旋转和平移的性质是解题的关键，即旋转或平移前后，对应角、对应边都相等．9、④【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，逐一判断各个选项，即可．【详解】解：① 对于任意凸四边形ABCD ，当点M 、N 、P 、Q 分别为AB 、BC 、CD 、DA 上的中点时，四边形MNPO 是平行四边形，故原说法错误；② 如果四边形ABCD 为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形，故原说法错误；③ 如果四边形ABCD 为任意矩形，不一定存在一个四边形为正方形，故原说法错误；④ 如果四边形ABCD 为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形，原说法正确．故答案是：④.【点睛】本题主要考查四边形综合，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，是解题的关键．10、证明见解析 .【详解】试题分析：根据菱形的对角线互相平分可得 OD=OB ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB ，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH ，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH=∠ODC ，然后根据等角的余角相等证明即可．试题解析：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴OD=OB ，∠COD=90°，∵DH⊥AB ，∴OH= BD=OB ，∴∠OHB=∠OBH ，又∵AB∥C D ，∴∠OBH=∠ODC ，在Rt△COD 中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt△DHB 中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO ．考点：菱形的性质．11、（ 1 ）见详解；（ 2 ）见详解【分析】（ 1 ）作辅助线，构建平行四边形PMND ，再证明△ ABE ≌△ DAP ，即可得出结论；（ 2 ）连接AG 、EG 、CG ，构建全等三角形和直角三角形，证明AG ＝EG ＝CG ，再根据四边形的内角和定理得∠ AGE ＝90° ，在Rt △ ABE 和Rt △ AGE 中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BF ＝AE ，FG ＝AE ，则BF ＝FG ．【详解】证明：（ 1 ）如图，过点D 作PD ∥ MN 交AB 于P ，则∠ APD ＝∠ AMN ，∵ 正方形ABCD ，∴ AB ＝AD ，AB ∥ DC ，∠ DAB ＝∠ B ＝90° ，∴ 四边形PMND 是平行四边形且PD ＝MN ，∵∠ B ＝90° ，∴∠ BAE ＋∠ BEA ＝90° ，∵ MN ⊥ AE 于F ，∴∠ BAE ＋∠ AMN ＝90° ，∴∠ BEA ＝∠ AMN ＝∠ APD ，又∵ AB ＝AD ，∠ B ＝∠ DAP ＝90° ，∴△ ABE ≌△ DAP （AAS ），∴ AE ＝PD ＝MN ．（ 2 ）如图，连接AG 、EG 、CG ，由正方形的轴对称性△ ABG ≌△ CBG ，∴ AG ＝CG ，∠ GAB ＝∠ GCB ，∵ MN ⊥ AE 于F ，F 为AE 中点，∴ AG ＝EG ，∴ EG ＝CG ，∠ GEC ＝∠ GCE ，∴∠ GAB ＝∠ GEC ，由图可知∠ GEB ＋∠ GEC ＝180° ，∴∠ GEB ＋∠ GAB ＝180° ，又∵ 四边形ABEG 的内角和为360°，∠ABE ＝90° ，∴∠ AGE ＝90° ，在Rt △ ABE 和Rt △ AGE 中，AE 为斜边，F 为AE 的中点，∴ BF ＝AE ，FG ＝AE ，∴ BF ＝FG ．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形，在有中点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等．12、（ 1 ）①，；② ；（ 2 ）或．【分析】（ 1 ）①根据近距离的定义，直接求解即可；②设直线与x 轴、y 轴的交点分别是H ，K ，线段HK 的中点为Q ，连接AQ ，则AQ 就是直线与正方形ABCD 的近距离，当AQ =1 时，列出关于b 的方程，进而即可求解；（ 2 ）分两种情况：①设在直线上存在一点P （x ， - x +6 ）与正方形A’B’C’D’ 的近距离为 1 ，即D’P =1 ，延长A’D’ 交直线于点T ，过点P 作PJ ⊥ D’T ，可得x -( m +1)=- x +6-1= ，从而求出m 的值；② 若正方形ABCD和可及的点在边ON 上时，此时正方形ABCD 的边长与ON 的近距离为 1 ，则点G 与ON 的距离为 2 ，进而求出m 的范围即可．【详解】解：（ 1 ）①∵正方形ABCD ，，，，，，，∴ AD ∥ x 轴，∴ 点与AD 的最近距离为：，即，如图，连接DF ，由图可知：点F 与正方形ABCD 的最近距离就是DF 的长，∴ DF = ，即：．故答案是：，；② 如图，设直线与x 轴、y 轴的交点分别是H ，K ，线段HK 的中点为Q ，连接AQ ，则AQ 就是直线与正方形ABCD 的近距离，∵ H （ - b ， 0 ），K （ 0 ，b ），∴ Q （，）∴ 当AQ =1 时，，解得：，，同理，当直线与 y 轴交于负半轴时，线与正方形ABCD 的近距离为 1 时，，∴ 直线与正方形ABCD 互为“ 可及图形” ，b 的取值范围为：；（ 2 ）如图，设在直线上存在一点P （x ， - x +6 ）与正方形A’B’C’D’ 的近距离为 1 ，即D’P =1 ，延长A’D’ 交直线于点T ，过点P 作PJ ⊥ D’T ，∵∠ PTD’ =∠ NMO =45° ，D’P ⊥ MN ，∴ 是等腰直角三角形，∴ PJ = D’J = ，∵ G （m ， 0 ），∴ x -( m +1)=- x +6-1= ，解得：m =4- ，x = ，当正方形A’B’C’D’ 移至点M 的右侧时，存在一点G’ 与点G 关于M 点对称，∵ M （ 6 ，0 ），∴ G’ （ 8+ ， 0 ），∴ 当时，正方形ABCD 和互为“ 可及图形” ，同理，若正方形ABCD 和可及的点在边ON 上时，此时正方形ABCD 的边长与ON 的近距离为 1 ，则点G 与ON 的距离为 2 ，∴ 当时，正方形ABCD 和互为“ 可及图形” ，故答案是：或．【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，根据题意，画出图形，掌握正方形和一次函数图像的性质，理解“ 图形近距离” 的定义，是解题的关键．13、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）利用全等三角形性质和菱形对角线互相垂直平分，证四边形是矩形；（ 2 ）根据菱形性质得出，，由含 30 度直角三角形的性质求出OB ，即可求解．【详解】（ 1 ）证明：∵△BOC ≅△CEB ．∴ ，（全等三角形的对应边相等）∴ 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）∵ 四边形是菱形，∴ （菱形的两条对角线互相垂直）∴∴ 四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（ 2 ）∵四边形是菱形，，，∴ （菱形的四条边相等），∵∴在中，（在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半），∴ 矩形的周长．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形性质、平行四边形的判定和性质以及矩形的性质，熟记各种特殊四边形的判定方法和性质以及勾股定理是解题的关键．14、MP - NP 的值最大为 2 ．【分析】作N 点关于BD 的对称点N ' ，连接MN ' 交BD 于点P ，过点M 作MG ⊥ AC 交于点G ，当M 、N 、P 三点共线时，MP - NP 的值最大，求出MN ' 即为所求．【详解】解：作N 点关于BD 的对称点N ' ，连接MN ' 交BD 于点P ，过点M 作MG ⊥ AC 交于点G ，∵ NP = N ' P ，∴ MP - NP = MP - N ' P ≤ MN ' ，当M 、N 、P 三点共线时，MP - NP 的值最大，∵ BC =8 ，BM =6 ，∴ CM =2 ，AC =8 ，∵ N 是AO 的中点，∴ AN =2 ，∴ CN '=2 ，在Rt △ MCG 中，∠ GCM =45° ，∴ CG = MG = ，∴ N ' G = ，在Rt △ MN ' G 中，MN '=2 ，∴ MP - NP 的值最大为 2 ．【点睛】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，正方形的性质是解题的关键．15、（ 1 ）见解析；（ 2 ）菱形，见解析【分析】（ 1 ）利用尺规作图画出垂直平分线即可；（ 2 ）根据一组对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解．【详解】解：（ 1 ）作的垂直平分线连接，．（ 2 ）解：四边形是菱形，理由如下：∵ 是的垂直平分线，∴ ，，∵ 四边形是平行四边形，∴ ，∴ ，在和中，∴ ，∴ ，∴ 四边形是平行四边形，又∵ ，∴ 四边形是菱形．【点睛】本题考查尺规作图——线段垂直平分线、菱形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键．。

2020年中考数学压轴题专项训练——特殊的平行四边形1．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，求证：AE＝EF；（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）判断四边形ACDF的形状；（2）当BC＝2CD时，求证：CF平分∠BCD．3．在菱形A BCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE＝AF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G．（1）求证：△ACE≌△CBF；（2）求∠CGE的度数．4．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试判断四边形AEDF的形状．（2）当△ABC满足条件时，EF∥BC；当△ABC满足条件时，EF＝AD．5．如图正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．（1）若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；（2）若该正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．6．一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中四边形PRBA，RQDC，QPFE为正方形．记正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为S1，S2，S3，RH⊥PQ，垂足为H．（友情提示：正方形的四个内角都等于90度，四边都相等）（1）若PR⊥QR，S1＝16，S2＝9，则S3＝，RH＝；（2）若四边形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为25m2、13m2、36m2①求△PRQ的面积；②请判断△PRQ和△DEQ的面积的数量关系，并证明你的结论；③六边形花坛ABCDEF的面积是m2．7．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D 不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：①△BCG≌△DCE．②BH⊥DE．（2）当BH平分DE时，求GC的长．8．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求EF的长．9．已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD满足条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．10．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结C E，DF．（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P 从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值；（2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出t的值．12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC到点E，使得CE＝DC，连接BE．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）填空：①当∠ADC＝°时，四边形ACEB为菱形；②当∠ADC＝90°，BE＝4时，则DE＝．13．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，EF垂直平分AM，分别交BC，AM，AD于点E，O，F，连接AE，MF．（1）求证：四边形AEMF是菱形；（2）若AB＝6，H为AB的中点，连接OH交AE于点P，OH+OA＝9，求△OPE的周长．14．在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ．（1）如图（1），求证：AP＝AQ；（2）如图（2），连接PQ、AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．15．如图，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，E为对角线AC上一点，且AE＝AB，F为CE的中点，接DF、BF，BG⊥BF与AC交于点G；（1）若AB＝2，求EF的长；（2）求证：CG﹣EF＝BG．参考答案1．（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，∵∠B＝90°，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵AB＝BC，BM＝BE，∴AM＝EC，在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）解：取AB中点M，连接EM，∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，∴AM＝CE＝BE，∴∠BME＝∠BME＝45°，∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF（ASA），∴EM＝CF，∵AB＝2，点E是边BC的中点，∴BM＝BE＝1，∴CF＝ME＝．2．（1）解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠F AE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△F AE和△CDE中，，∴△F AE≌△CDE（ASA），∴CD＝F A，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）证明：∵BC＝2CD，AB＝CD，四边形ACDF是平行四边形，∴AF＝CD，BF＝BC，∴△BCF是等腰直角三角形，∴∠BCF＝45°，∴∠DCF＝45°，∴CF平分∠BCD．3．（1）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，∵BE＝AF，∴BE+BC＝AF+AB，即CE＝BF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（SAS）；（2）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，∴∠E＝∠F，∵∠BAE＝∠F AG，∴∠E+∠BAE＝∠F+∠F AG，∴∠CGE＝∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠CGE＝60°．4．解：（1）四边形AEDF是菱形；理由如下：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，∴∠ADF＝∠F AD，∴F A＝FD，∴四边形AEDF是菱形；（2）当△ABC满足AB＝AC条件时，EF∥BC；当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，EF ＝AD．理由如下：由（1）得：四边形AEDF是菱形，∴AD⊥EF，∵AB＝AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，∴EF∥BC；当∠ABC＝90°时，四边形AEDF是正方形，∴EF＝AD；故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．5．（1）证明：如图，延长CD至E'，使DE'＝BE，连接AE'，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠B＝90°，∴∠ADE'＝90°＝∠ABE，在△ADE'和△ABE中，，∴△ADE'≌△ABE（SAS），∴AE'＝AE，∠DAE'＝∠BAE，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠B AE＝45°，∴∠DAF+∠DAE'＝∠E'AF＝45°＝∠EAF，在△E′AF和△EAF中，，∴△E′AF≌△EAF（SAS），∴E′F＝EF，∵E′F＝DE′+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）延长CD至E'使DE'＝BE，连接AE'，由（1）知，△ADE'≌△ABE（SAS），∴AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，设BE＝x，DF＝y，∵正方形ABCD的边长为1，∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y，∵△CEF的周长为2，∴CE+CF+EF＝2，∴1﹣x+1﹣y+EF＝2，∴EF＝x+y＝BE+DF＝DE'+DF＝E'F，在△E'AF和△EAF中，，∴△E'AF≌△EAF（SSS），∴∠E'AF＝∠EAF，∴∠DAE'+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°，∴∠EAF＝45°．6．解：（1）∵PR⊥QR，∴∠PRQ＝90°，∴PR2+RQ2＝PQ2，∵S1＝16，S2＝9，∴S3＝16+9＝25，∴PR＝4，RQ＝3，PQ＝5，∵RH⊥PQ，∴PR•RQ＝PQ•RH，∴RH＝＝，故答案为：25，2.4；（2）①设PH＝a，则QH＝6﹣a，∵RH2＝PR2﹣PH2＝RQ2﹣HQ2，∴25﹣a2＝13﹣（6﹣a）2，解得：a＝4，∴RH2＝PR2﹣PH2＝25﹣16＝9，∴RH ＝3，∴S △PQR ＝×6×3＝9；②S △PRQ ＝S △DQE ，证明：延长RQ 到点M ，使QM ＝RQ ，连结PM ，∵QD ＝QM ，∠DQE ＝∠MQP ，QE ＝QP∴△DQE ≌△MQP （SAS ），∴S △DQE ＝S △MQP ，∵RQ ＝QM ，∴S △PRQ ＝S △MQP ，∴S △PRQ ＝S △DQE ；③六边形花坛ABCDEF 的面积＝25+13+36+4×9＝74+36＝110m 2． 故答案为：110．7．（1）证明：∵正方形ABCD ，∴∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，同理：CG ＝CE ，∠GCE ＝90°，∴∠BCD ＝∠GCE ＝90°，，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴∠GBC＝∠CDE，在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°，∴∠GBC+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BHE）＝90°，∴BH⊥DE；（2）若BH垂直平分DE，连接BD，∴BD＝BE，∵BD＝，∴CG＝CE＝BE﹣BC＝﹣1．8．解：（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝，在Rt△CDF中，cos∠DCF＝，∠DCF＝30°，∴CF＝＝2，∵四边形AECF是菱形，∴CE＝CF＝2．9．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形．10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCD＝∠GCD，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△CFG≌△EDG（ASA），∴FG＝EG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6，∴BM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，∵AE＝7，∴DE＝3＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：7；②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝10，AE＝4，∴DE＝6，∵CD＝6，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：4．11．解：（1）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，∵AP∥BQ，∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四边形．此时，t＝22﹣3t，t＝．当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD∥QC，∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形．此时，16﹣t＝3t，t＝4，∵线段PQ为平行四边形的一边，故当t＝或4时，线段PQ为平行四边形的一边．（2）当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形．由PD＝BQ，得16﹣t＝22﹣3t，解得t＝3，当t＝3时，PD＝BQ＝13，AP＝AD﹣PD＝16﹣13＝3．在Rt△ABP中，AB＝8，根据勾股定理得，BP═≠13∴四边形PBQD不能成为菱形；如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，由题意得，，解得，．故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在t＝6时为菱形．12．（1）证明：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BF＝DF，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CD B．∵∠AFB＝∠CFD，∴△AFB≌△CFD（ASA），∴AB＝CD．又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）①当∠ADC＝60°，四边形ACEB为菱形，∵∠ADC＝60°，∴∠BCE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴CE＝BE，∴四边形ACEB为菱形，故答案为：60；②当∠ADC＝90°，BE＝4时，DE＝4，故答案为：4．13．（1）证明：∵EF垂直平分AM，∴AE＝EM，OA＝OM．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠AFO＝∠MEO，在△OF和△MOE中，，∴△AOF≌△MOE（AAS）．∴OF＝OE．∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE＝EM．∴四边形AEMF是菱形；（2）解：∵O、H分别为AM、AB的中点，∴BM＝2OH，AM＝2OA，∴AM+BM＝2OA+2OH＝18．设BM＝x，则AM＝18﹣x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：62+x2＝（18﹣x）2，解得：x＝8，∴BM＝8，AM＝10．∴OA＝AM＝5，设EM＝m，则BE＝8﹣m，AE＝EM＝m，在Rt△ABE中，由勾股定理得：62+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝，∴AE＝EM＝在Rt△AOE中，EO＝＝＝．∵OP∥EM，∴＝＝1，∴AP＝PE，∴OP＝EM＝，∵PE＝AE＝，∴△OPE的周长＝EO+PE+OP＝++＝10．14．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∵P、Q分别是边BC、CD的中点，∴BP＝CQ，在△ABP和△ADQ中，，∴△ABP≌△ADQ（SAS），∴AP＝AQ，（2）∵AP＝AQ，∴△APQ是等腰三角形，∵BC＝CD，∵P、Q分别是边BC、CD的中点，∴PC＝CQ，∴△PQC是等腰三角形，∵AB＝BC，AD＝CD，∴△ABC，△ACD是等腰三角形，∴图中所有的等腰三角形有△ABC，△APQ，△ACD，△CPQ．15．（1）解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠OAB＝∠BAD＝30°，∴OB＝AB＝1，OA＝OB＝，∴AC＝2OA＝2，∵AE＝AB＝2，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵F为CE的中点，∴EF＝CE＝﹣1；（2）证明：设AB＝2a，同（1）得：OB＝AB＝a，OA＝OB＝a，∴AC＝2OA＝2a，∵AE＝AB＝2a，∴CE＝AC﹣AE＝（2﹣2）a，OE＝AE﹣OA＝（2﹣）a，∵F为CE的中点，∴EF＝CE＝（﹣1）a，∴OF＝OE+EF＝（2﹣）a+（﹣1）a＝a，∴OB＝OF，∵AC⊥BD，∴△BOF是等腰直角三角形，∴∠BFG＝45°，∵BG⊥BF，∴△BFG是等腰直角三角形，∴GF＝BG，∵GF＝CG﹣CF＝CG﹣EF，∴CG﹣EF＝BG．。

4.5特殊的四边形易错清单1.矩形的性质.【解析】连接BE,设AB=3x,BC=5x,根据勾股定理求出AE=4x,DE=x,求出x的值,求出AB,BC,即可求出答案.【答案】如图,连接BE,则BE=B C.设AB=3x,BC=5x,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=3x,AD=BC=5x,∠A=90°.由勾股定理,得AE=4x,则DE=5x-4x=x,【误区纠错】本题考查了矩形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是求出x的值.2.菱形面积的计算.【例2】(2014·甘肃兰州)如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足那么菱形的面积等于.【解析】根据非负数的性质列式求出a,b,再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.【答案】由题意,得a-1=0,b-4=0,解得a=1,b=4,∵菱形的两条对角线的长为a和b,∴菱形的面积【误区纠错】本题考查了非负数的性质,菱形的性质,主要利用了菱形的面积等于对角线乘积的一半.3.正方形的性质.【例3】(2014·广东梅州)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?【解析】(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.(2)由(1)得,CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.【答案】(1)在正方形ABCD中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.(2)GE=BE+GD成立.理由如下:∵由(1),得△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS).∴GE=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.【误区纠错】本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想,在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段,从而证出关系是不是成立.名师点拨重点:特殊平行四边形的性质和判定的应用.难点:以特殊平行四边形为对象,进行图形变换(如旋转、翻折等),以及将图形问题与函数、方程综合应用的问题.提分策略1.在特殊平行四边形的背景中,探究与三角形相关的问题.以特殊平行四边形为原型,通过图形变换,构造出特殊三角形,提出与三角形相关的问题,解决此类问题的关键是适时添加辅助线,将四边形的问题转化为三角形的问题.【例1】如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12厘米,EF=16厘米,则边AD的长是().A. 12厘米B. 16厘米C. 20厘米D. 28厘米【解析】本题考查的是翻折变换及勾股定理、全等三角形的判定与性质,解答此题的关键是作出辅助线,构造出全等三角形,再根据直角三角形及全等三角形的性质解答.我们先求出△EFH是直角三角形,再根据勾股定理求出FH=20,再利用全等三角形的性质解答即可.【答案】设斜线上两个点分别为P,Q,如图.∵点P是点A对折过去的,∴∠EPH为直角,△AEH≌△PEH.∴∠HEA=∠HEP.同理∠PEF=∠BEF.∴∠PEH+∠PEF=90°.∴四边形EFGH是矩形.∴△DHG≌△BFE,△HEF是直角三角形.∴BF=DH=PF.∵AH=HP,∴AD=HF.∵EH=12cm,EF=16 cm,∴FH===20(cm).∴FH=AD=20cm.故选C.2.以三角形为基本图形,通过图形变换构造四边形问题.以三角形为起点,经历图形变换形成较为复杂的图形,提出与四边形相关的问题,解决此类问题的关键是明确四边形的形成过程,从而根据四边形的边、角及对角线的特性去判定四边形的形状.【例2】如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径在AC两边作弧,交于两点M,N;②连接MN,分别交AB,AC于点D,O;③过C作CE∥AB交MN于点E,连接AE,CD.(1)求证:四边形ADCE是菱形;(2)当∠ACB=90°,BC=6,△ADC的周长为18时,求四边形ADCE的面积.【解析】此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的四边形面积求法,根据已知得出△ADO∽△ABC,进而求出AO的长是解题关键.(1)利用直线DE是线段AC的垂直平分线,得出AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,进而得出△AOD ≌△COE,即可得出四边形ADCE是菱形.(2)利用当∠ACB=90°时,OD∥BC,即有△ADO∽△ABC,即可得出AC和DE的长即可得出四边形ADCE的面积.【答案】(1)由题意,知直线DE是线段AC的垂直平分线,∴AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,且AD=CD,AO=CO.又CE∥AB,∴∠ADO=∠CEO.∴△AOD≌△COE.∴OD=OE.∴四边形ADCE是菱形.(2)当∠ACB=90°时,∵OD∥BC,∴△ADO∽△ABC.又BC=6,∴OD=3.又△ADC的周长为18,∴AD+AO=9,即AD=9-AO.∴AO=4.∴DE=6,AC=8.3.利用菱形、正方形的对称性进行解题.求线段和的最小值问题,就是利用轴对称的性质,解决的方法是先确定一点关于直线的对称点,连接另一点与对称点,即可得到线段和的最小值,而在“确定一点关于直线的对称点”时,就是利用了菱形、正方形的对称性.【例3】如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M,N分别是边AB,BC的中点,则PM+PN的最小值是.【解析】由对角线是6和8,知菱形边长为5,作M关于AC的对称点M',连接M'N交AC于点P,则此时PM+PN和最小为线段M'N的长,此时M'N=AB=5.【答案】 54.与正方形相关的综合性问题.由于正方形的特殊性质,可以借助正方形进行运动变化,从而使问题具有较强的探究性,也可以与方程、函数联系起来,即用方程或函数研究图形问题.【例4】已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N,AH⊥MN于点H.(1)如图(1),当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:;(2)如图(2),当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图(3),已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)【解析】(1)由三角形全等可以证明AH=AB.(2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB.(3)分别沿AM,AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.【答案】(1)AH=AB.(2)数量关系成立.如图(4),延长CB至E,使BE=DN.∵ABCD是正方形,∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°.∴Rt△AEB≌Rt△AND.∴AE=AN,∠EAB=∠NAD.∴∠EAM=∠NAM=45°.∵AM=AM,∴△AEM≌△ANM.∵AB,AH是△AEM和△ANM对应边上的高,∴AB=AH.(4)(5)(3)如图(5)分别沿AM,AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND.∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°.分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD.由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3.在Rt△MCN中,由勾股定理,得MN2=MC2+NC2.∴52=(x-2)2+(x-3)2.解得x1=6,x2=-1(不符合题意,舍去).∴AH=6.专项训练一、选择题1. (2014·江苏常熟二模)如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm, 8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是().(第1题)(第2题)2.(2014·广西梧州模拟)如图,矩形纸片ABCD中,AD=4,CD=3,折叠纸片使AB边与对角线AC 重合,折痕为AE,记与点B重合的点为F,则△CEF的面积与矩形纸片ABCD的面积的比为().3.(2013·江苏扬州弘扬中学二模)如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是().(第3题)A. 2+B. 2+2C. 12D. 184. (2013·山西中考模拟六)在下列命题中,正确的是().A. 一组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形二、填空题5. (2014·广东深圳模拟)如图, 点A在双曲线上,点B在双曲线上,且AB∥x 轴,点C,D在x轴上,若四边形ABCD为矩形, 且它的面积为3,则k= .(第5题)(第6题)6. (2013·辽宁铁岭模拟)如图,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B,D作DE⊥a 于点E,BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为.三、解答题7. (2014·安徽安庆一模)如图,n×n的正方形网格.请按图形的规律,探索以下问题:(第7题)…(1)第④个图形中阴影部分小正方形的个数为;(2)是否存在阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形的个数的?如果存在,是哪个图形,如果不存在,请说明你的理由.参考答案与解析1. D[解析] AC,BD的长分别为6cm, 8cm,2. B[解析] AF=AB=3, CF=AC-AF=5-3=2,设BE=x, 则CE=4-x, EF=x,∴x2+22=(4-x)2.3. B[解析]可以自己动手折一下得出正确的答案.4. C[解析]一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.6. 7[解析]可证△ABF≌△DAE,则AF=DE,BF=AE,所以EF=AF+AE=3+4=7.7. (1)22个(2)存在.解得n1=10,n2= (舍去).所以第⑩个图形存在.。

四边形（特殊四边形）的相关计算和证明题1.（2019∙青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形?请说明理由。

2.（2019∙聊城）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE=BF+EF.3.（2019∙泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF=90∘，FG⊥AD，垂足为点C.(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明；(2)若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗?若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由。

4.（2019∙潍坊）如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接DG,过点A作AH∥DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：△AHF为等腰直角三角形。

(2)若AB=3，EC=5，求EM的长。

5.（2019∙滨州）如图,矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积。

6.（2019∙安徽）如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.(1)求证：△BCE≌△ADF；的值。

(2)设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求ST7.（2019∙重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.(1)如图1,若∠D=30∘,AB=√6，求△ABE的面积；(2)如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF.求证：ED-AG=FC.8.（2019∙泰州）如图,线段AB=8,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且点C.D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A.B不重合).(1)求证：△AEP≌△CEP；(2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由；(3)求△AEF的周长。

2020年中考数学专题复习：与四边形有关的计算1.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是2.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是3.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为4.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB∶BC＝3∶2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝5.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD 沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6.若点E、F分别在AB、CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G、H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为7.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，求MN的长8.如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，求AB的长．9.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，求DP的长．10.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF。

延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD＝4，tan G＝1 2，求AO的长．11.如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，将△BCP沿BP折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC＝43，则线段AB的长为________．12. 如图，将平行四边形ABCD绕点D旋转，点C落在BC上的点H处，点B恰好落在点A处，得平行四边形DHAE，若BH＝2，CH＝3，则DC＝________．13.如图，边长为4的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB的中点)所在直线上的C′处，得到经过点D的折痕DE，则CE＝________．14.如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，求DF的长15. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E是BC上的一点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB＝2CF时，求NM的长16.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边AD的中点，将△ABE折叠后得到△A′BE，延长BA′交CD于点F，连接EF，求DF的长17.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝35，CD＝3，AC是对角线，以CD为边向四边形内部作正方形CDEF，连接BF，求BF的长．18.如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，点G是BC上的一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.若E是AF的中点，求BF的长．19.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，求AB的长．参考答案1. B【解析】如解图，连接EC，∵OA＝OC，且EF⊥AC，∴EC＝AE，设DE ＝x，则EC＝AE＝8－x，在Rt△CDE中，根据勾股定理可得(8－x)2＝x2＋62，解得x＝7 4.第10题解图2. C【解析】如解图所示，连接EF.∵∠EAF＝60°，AE＝AF＝EF，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝60°，AE＝AF＝EF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE＝∠ADF ＝90°，AB＝AD.∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．∴BE＝DF，又∵BC＝CD，∴CE＝CF，设CF＝EC＝x，则EF＝ 2 x，BE＝1－x.在Rt△ABE中，12＋(1－x)2＝( 2 x)2，解得x1＝3－1，x2＝－3－1(舍去)．第11题解图3. D【解析】由旋转的性质可得△ABF≌△ADE，∴S△ABF＝S△ADE，∴S四边形AECF＝S正方形ABCD＝20，∴AD2＝20.∵DE＝2，∴在Rt△ADE中，AE＝AD2＋DE2＝20＋22＝24＝2 6.4. A【解析】如解图，连接OE，延长交AD于F，∵四边形ABCD是矩形，∴OB ＝OC，又∵BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OCEB是菱形，∴BC⊥EF，∴EF∥DC，∴∠EDC ＝∠FED ，易得DF ∶EF ＝2∶9，∴在△EFD 中，tan ∠FED ＝DF EF ＝29，∴tan ∠EDC ＝29.第13题解图5. D 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠CBE ＝∠DCM ＝45°，BC ＝CD ＝2.∴AC ＝BD ＝2.∴OC ＝1.由折叠的性质知，DE ＝CD ＝2，CF ＝EF ，∴BE ＝2－2，∠DFC ＝90°，∴∠CDM ＋∠DCE ＝90°.又∠BCE ＋∠DCE ＝90°，∴∠BCE ＝∠CDM .∴△BCE ≌△CDM .∴CM ＝BE ＝2－ 2.∴OM ＝OC －CM ＝1－(2－2)＝2－1.6. C 【解析】如解图，延长EG 交CD 于点I ，∵矩形ABCD 中，BE ＝2AE ，DF＝2FC ，点G 、H 分别为AC 的三等分点，∴AE AB ＝AG AC ＝13，CF CD ＝CH CA ＝13，∴EG ∥BC ，FH ∥AD ，∴EG BC ＝13，HF AD ＝13，EG ⊥AB ，HF ⊥CD ，∴四边形ADIE 为矩形，AB ＝CD ＝3，∴AE ＝DI ＝CF ＝1，∵BC ＝AD ＝6，BC ∥AD ，∴EG ＝HF ＝2，且EG ∥HF ，∴四边形EHFG 是平行四边形，∴四边形EHFG 的面积为HF ·FI ＝2×1＝2.7. 132 【解析】 如解图，连接FC ，则MN ＝12CF ，在Rt △CFG 中，FG ＝5，CG＝5＋7＝12，∴FC ＝52＋122＝13，∴MN ＝132.第18题解图8. 833 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，OA ＝12AC ，OB ＝12BD ，AC ＝BD .∴OA ＝OB .∵AE ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠AEO ＝90°.∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE＝∠OAE .在△ABE 和△AOE 中，⎩⎨⎧∠AEB ＝∠AEO ，AE ＝AE ，∠BAE ＝∠OAE ，∴△ABE ≌△AOE (ASA)．∴AB ＝AO .∴AB ＝AO ＝OB .∴△ABO 是等边三角形．∴∠ABO ＝60°.在Rt △ABD 中，tan ∠ABO ＝AD AB .∴AB ＝AD tan ∠ABO ＝8tan60°＝83＝833.9. 3－1 【解析】如解图，连接DF ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∴∠PDF ＝60°.∵∠PFD ＝∠ACB ＝12∠BCD ＝12∠BAD ＝30°，∴∠DPF ＝90°.在Rt △DPF 中，tan ∠PFD ＝DPPF ＝33，PF ＝3DP .∴DC ＝DP ＋PC ＝DP ＋PF ＝DP ＋3DP ＝2，解得DP ＝3－1.10. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ， ∴∠BAC ＝∠DAC . ∵AB ＝AD ，BE ＝DF ， ∴AB －BE ＝AD －DF ， 即AE ＝AF .∴△AEF 是等腰三角形． 又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴AC⊥EF；(2)解：由题意作解图如下，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，OB＝12BD＝12×4＝2.∴∠G＝∠AEG.由(1)知EF⊥AC.又∵BD⊥AC.∴EF∥BD.∴∠AEG＝∠ABO.∴∠G＝∠ABO.∵tan G＝1 2，∴tan∠ABO＝AO OB＝12.∴AO＝OB·tan∠ABO＝2×12＝1.11. 8【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，由题意得BF＝12BC，EF∥AB，∴∠ABQ＝∠BQF，由折叠的性质得∠BQP＝∠C＝90°，BQ＝BC，∴∠AQB＝90°，BF＝12BQ，∴∠BQF＝30°，∴∠ABQ＝30°，在Rt△ABQ中，AB＝2AQ，BQ＝3AQ＝43，∴AQ＝4，AB＝8.12.15【解析】∵BH＝2，CH＝3，∴BC＝BH＋CH＝5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ＝BC ＝5，AD ∥CB ，∴∠ADH ＝∠DHC ，∵将平行四边形ABCD 绕点D 旋转，点C 落在点H 处，∴DH ＝DC ，∠C ＝∠AHD ，∴∠C ＝∠DHC ，∵∠ADH ＝∠DHC ，∠C ＝∠AHD ，∴∠C ＝∠DHC ＝∠ADH ＝∠AHD ，∴△ADH ∽△DCH ，∴AD DC ＝DHHC ，∴DC 2＝AD ·HC ＝15，∴DC ＝15.13. 43－4 【解析】如解图，连接BD 交C ′E 于点F ，∵四边形ABCD 为菱形，∴DC ∥AB ，AB ＝AD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∠ADC ＝120°，∴AD ＝BD ，∵P 是AB 的中点，∴AP ＝BP ，∴DP ⊥AB ，∠ADP ＝30°，∴∠PDC ＝120°－30°＝90°，由题意得∠C ′DE ＝∠CDE ＝45°，∠ADB ＝∠CDB ＝60°，∠C ′＝∠C ，∴∠C ′DF ＝90°－60°＝30°，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠A ＝∠C ，AD ＝DC ＝BC ＝4，∵∠C ′＝∠C ，DC ′＝DC ，∴∠C ′＝60°，DC ′＝4，∴∠DFC ′＝90°，cos30°＝DF4，∴DF ＝23，BF ＝4－23，在△DCE 中，∵∠DEC ＝180°－45°－60°＝75°，∴∠DEC ′＝∠DEC ＝75°，∴∠BEF ＝180°－2×75°＝30°，∴BE ＝2BF ＝8－43，∴CE ＝4－(8－43)＝43－4.14. 175 【解析】根据折叠性质可知△DCP ≌△DEP ，∴DC ＝DE ＝AB ＝4，CP ＝EP .在△OEF 和△OBP中，⎩⎨⎧∠EOF ＝∠BOP ，∠E ＝∠B ＝90°，OF ＝OP ，∴△OEF ≌△OBP (AAS )，∴OE ＝OB ，EF ＝BP ，∴BF ＝EP ＝CP ，设BF ＝EP ＝CP ＝x ，则AF ＝4－x ，BP ＝3－x ＝EF ，DF ＝DE －EF ＝4－(3－x )＝x ＋1，∵∠A ＝90°，∴在Rt △ADF 中，AF 2＋AD 2＝DF 2，即(4－x )2＋32＝(1＋x )2，∴解得x ＝125，∴DF ＝125＋1＝175.15. 23 【解析】∵△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点N 处，∴AN ＝AB ＝8，∠BAE＝∠NAE ，∵正方形对边AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠F ，∴∠NAE ＝∠F ，∴AM ＝FM ，设CM ＝x ，∵AB ＝2CF ＝8，∴CF ＝4，∴DM ＝8－x ，AM ＝FM ＝4＋x ，在Rt △ADM 中，由勾股定理得AM 2＝AD 2＋DM 2，即(4＋x )2＝82＋(8－x )2，解得x ＝143，∴AM ＝4＋143＝263，∴NM ＝AM －AN ＝263－8＝23.16. 94 【解析】∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，∵△ABE 沿BE 折叠后得到△A ′BE ，∴AE ＝EA ′，AB ＝BA ′，∴ED ＝EA ′，∵在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EA ′B＝∠A ＝90°，∴∠EA ′F ＝90°，∵在Rt △EDF 和Rt △EA ′F 中，⎩⎨⎧ED ＝EA ′，EF ＝EF ，∴Rt △EDF ≌Rt △EA ′F (HL)，∴DF ＝F A ′，设DF ＝x ，则BF ＝4＋x ，CF ＝4－x ，在Rt △BCF 中，BC 2＋CF 2＝BF 2，∴62＋(4－x )2＝(4＋x )2，解得x ＝94.17. 32 【解析】如解图，连接CE ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝35，∴AC ＝2BC ＝310，∠ACB ＝45°，∵∠D ＝90°，CD ＝3，∴AD ＝AC 2－CD 2＝（310）2－32＝9，∵四边形CDEF 是正方形，∴DE ＝CD ＝3，∠DCF ＝90°，∠ECF ＝45°，CE ＝2CF ，∴AE ＝AD －DE ＝6，∠ACB ＝∠ECF ，∴∠BCF ＝∠ACE ，∵AC BC ＝CE CF ＝2，∴△BCF ∽△ACE ，∴BF AE ＝BC AC ＝12，∴BF ＝AE 2＝62＝3 2.第13题解图18. 5 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AG ，∴∠AED ＝90°，∴∠ADE ＋∠DAE ＝90°，∵∠BAF ＋∠DAE ＝90°，∴∠ADE ＝∠BAF .∵BF ∥DE ，∴∠AFB ＝∠DEG ＝∠AED ，在△ABF 和△DAE 中，⎩⎨⎧∠AFB ＝∠DEA ，∠BAF ＝∠ADE ，AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE (AAS )，∴BF ＝AE ，∵E 是AF 的中点，∴AE ＝EF ，∴BF ＝EF ＝AE ，设BF ＝x ，则AF ＝2x ，在Rt △ABF 中，∵AB 2＝AF 2＋BF 2，∴52＝(2x )2＋x 2，解得x ＝5或x ＝－5(舍去)，∴BF ＝ 5.19. 6 【解析】如解图，连接OB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，∠DCB ＝90°，∴∠FCO ＝∠EAO ，在△AOE 和△COF 中，⎩⎨⎧∠AOE ＝∠COF ，∠EAO ＝∠FCO ，AE ＝CF ，∴△AOE ≌△COF (AAS )，∴OE ＝OF ，OA ＝OC ，∵BE ＝BF ，∴BO ⊥EF ，∴在Rt △BEO 中，∠BEF ＋∠ABO ＝90°，在Rt △ABC 中，OA ＝OB ＝OC ，∴∠BAC ＝∠ABO ，又∵∠BEF ＝2∠BAC ，即2∠BAC ＋∠BAC ＝90°，解得∠BAC ＝30°，∴∠BEF ＝2∠BAC ＝60°，∴△BEF 是等边三角形，∴∠EBF ＝60°，∴∠FBC ＝30°，在Rt △FBC 中，BF ＝2FC ＝2×2＝4，∴AB ＝AE ＋BE ＝FC ＋BF ＝2＋4＝6.。

2020北京市中考数学专题复习特殊四边形的相关证明与计算一、简单专题集训特殊四边形的相关证明与计算(连续7年考查)类型一与平行四边形有关(8 年 2 考:2016.19, 2013.19)1.(2019大兴区一模)如图，矩形救刀，延长G?到点E使得庞=8,连接月匕呵.(1)求证：四边形/L5%是平行四边形：3⑵若tanZDBC=-. CD=d求期磁的而积.第1题图2.已知：如图，在期BCD中，ZADC. ZDAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点氏E, DF 与AE 相交于点G.(1)求证：AE丄DF；(2)若AD=\0. AB=6, AE=4,求DF 的长.D第2题图类型二与菱形有关(8 年 4 考:2019.20、2018.21. 2017.22、2014.19)4・如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE(1)求证：BD=EC；(2)若ZE=57°,求ZBAO的大小.第1题图2. (2019海淀区一模)如图，在四边形ABCD中，AB//CD, AB=BC=2CD,£为对角线AC的中点, 为边BC 的中点，连接D£, EF.⑴求证：四边形CDEF为菱形；⑵连接DF交EC于点G,若DF=2, CD=|,求AD的长.第2题图3.(2019门头沟一模)如图，/£AABD中，ZABD = ZADB.分别以点B, D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C,连接BC, DC和AC, AC与交于点O.(1)用尺规补全图形，并证明四边形ABCD为菱形;3(2)如果AB=5. cosZABD=j.求BD 的长.第3题图4.（2020原创）在平而内，给定不在同一直线的四点A、B、C、D,如图所示.若四点构成的四边形ABCD中，四条边均相等，对角线AC、BD相交于点O, E、F分别是AB. AD的中点，连接OE、°F、EF.⑴求证：ZAFE= ZOFE；⑵若AC=6,求ZkOEF的周长•.4C第4题图类型三与矩形有关（仅2015.22考查）1.(2019西城区二模)如图，在四边形ABCD中，AB=DC. AD=BC, AD丄CD点E在对角线CA的延长线上，连接BD, BE.(1)求证：AC=BD；7(2)若BC=2, BE=Vl3, tanZABE=y求EC 的长.5第I题图2.(2019昌平区二模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,过点A作AE丄BC于点& 延长BC至点F,使CF=BE.连接DF.(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若BF=8, DF=4,求CD 的长.类型一与平行四边形有关1.(1)证明：•・•四边形ABCD是矩形，:.AB=DC, AB//CD・•••延长CD 到点E, DE=CD,:.AB=DE. AB//DE ・・•.四边形ABDE是平行四边形：(2)解：•••四边形ABCD是矩形，••• Z BCD=90° ・CD 3*•* tan ZDBC= pc =彳9CD=6、:.BC=8.•••AD=BC, AD//BC,•••AD=8, ZADE=90°./• S 二ABDE=DE・AD=6 X 8=48 ・2.(1)证明：在“BCD中，AB//CD,••• ZADC+ZDAB= 180° ・•: DF、A£分别是A ADC. ZDAB的平分线，••• ZADF=ZCDF三ZADC.ZDAE= ZBAE=* ZDAB.:.ZADF+ ZDAE=^(ZADC+ ZDAB)=90Q.:.ZAGD=90°.:.AE±DF；(2)解：如解图，过点£＞作DH//AE.交BC的延长线于点则四边形AEHD是平行四边形，且FD丄DH.:.DH=AE=4. EH=AD=\O・在WCD 中，AD//BC,•••/ADF=ZCFD, ZDAE= ZBEA・:.ZCDF=ZCFD9 ZBAE=ZBEA・:・DC=FC、AB=EB・又•••AD=BC=10, AB=DC=6,:・CF=BE=6, BF=BC-CF=10—6=4.•••FE=BE-BF=6—4=2,:・FH=FE+EH=\2,在RtAFDH 中，DF=y)FH2-DH2 =^/122-42 =8^/2 ・:.DF的长是8迈.类型二与菱形有关1.(1)证明：•・•四边形ABCD是菱形，•••AB = CD, AB//CD.又•••BE=AB,:・BE=CD, BE//CD.・•.四边形BECD是平行四边形，•••BD=EC；(2)解：•.•四边形BECD是平行四边形，:.BD//CE,:.ZABO=ZE=51Q・又•・•菱形ABCD,VAC丄BD,:.ZAOB=90。

四边形（特殊四边形）的相关计算和证明题1.（2019∙青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形?请说明理由。

2.（2019∙聊城）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP 上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE=BF+EF.3.（2019∙泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF=90∘，FG⊥AD，垂足为点C.(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明；(2)若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗?若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由。

4.（2019∙潍坊）如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接DG,过点A作AH∥DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：△AHF为等腰直角三角形。

(2)若AB=3，EC=5，求EM的长。

5.（2019∙滨州）如图,矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积。

6.（2019∙安徽）如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.(1)求证：△BCE≌△ADF；(2)设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求S的值。

T7.（2019∙重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.(1)如图1,若∠D=30∘,AB=√6，求△ABE的面积；(2)如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF.求证：ED-AG=FC.8.（2019∙泰州）如图,线段AB=8,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且点C.D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A.B不重合).(1)求证：△AEP≌△CEP；(2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由；(3)求△AEF的周长。

2020中考数学一轮复习压轴专题之特殊四边形（含答案）1.如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝8 cm，AB＝10 cm，BD＝12 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以相同的速度向点D运动．设运动时间为t .(1)连接DP、BQ，求证：DP＝BQ；(2)填空：①当t为______s时，四边形PBQD是矩形；②当t为______s时，四边形PBQD是菱形．第1题图1.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝BC.又∵AP＝CQ＝t，∴△APD≌△CQB (SAS)，∴DP＝BQ；(2)① 1；② 2.2 .如图，在▱ABCD中，AD＝4，AB＝5，延长AD到点E，连接EC，过点B 作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G.(1)求证：四边形BCEF 是平行四边形；(2)①当DF ＝______时，四边形BCEF 是正方形；②当GF GD ＝________时，四边形BCEF 是菱形．第2题图2. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴EF ∥BC .∵BF ∥CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形；(2)解：①1;【解法提示】∵四边形BCEF 是正方形，∵BF ＝BC ＝AD ＝4，∵FBC ＝∵AFB ＝90°，∵AF ＝AB 2－BF 2＝52－42＝3.∵AD ＝4，∵DF ＝AD －AF ＝4－3＝1.∵45. 【解法提示】∵四边形BCEF 是菱形，∵BF ＝BC ＝AD ＝4.∵四边形ABCD 是平行四边形，∵CD ∵AB ，∵GD AB ＝GF BF ，即GF GD ＝BF AB ＝45.3.如图，AB 是半圆O 的直径，射线AM ⊥AB ，点P 在AM 上，连接OP 交半圆O 于点D ，PC 切半圆O 于点C ，连接BC .(1)求证：BC ∥OP ；(2)若半圆O 的半径等于2，填空：①当AP ＝________时，四边形OAPC 是正方形；②当AP ＝________时，四边形BODC 是菱形．第3题图3.解：(1)证明：连接OC，AC，如解图所示，∵AB是直径，AM⊥AB，∴BC⊥AC，AP是半⊙O的切线，又∵PC是半⊙O的切线，∴P A＝PC，又∵OA＝OC，∴OP⊥AC，∴BC∥OP；(2)① 2；② 2 3.【解法提示】∵若四边形OAPC是正方形，则OA＝AP，∵OA＝2，∵AP＝2；∵若四边形BODC是菱形，则CB＝BO＝OD＝DC，∵AB＝2OB，∵ACB＝90°，∵AB＝2BC，∵∵BAC＝30°，∵ABC＝60°，∵BC∵OP，∵∵AOP＝∵ABC＝60°，又∵∵OAP＝90°，OA＝2，∵∵OP A＝30°，∵OP＝4，∵AP＝22222OP＝2 3.-OA=4-第3题解图4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，AF＝CE且F不与E重合．(1)求证：△EF A≌△ACE；(2)填空：①当∠B＝_________°时，四边形ACEF是菱形；②当∠B＝_________°时，线段AF与AB垂直．第4题图4.(1)证明：如解图，第4题解图∵ED是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，ED⊥BC，∴∠3＝∠4，∵∠ACB＝90°，∴FE∥AC，∴∠1＝∠5，∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1＝∠2＝∠5，∴AE＝CE.又∵AF＝CE，∴AE＝AF，∴∠5＝∠F，在△EF A和△ACE中，AF＝AE＝EC，∠1＝∠2＝∠5＝∠F，∴△EF A≌△ACE.(2)解：① 30；②45.【解法提示】∵∵四边形ACEF是菱形，∵AC＝CE，∵CE是Rt∵ABC斜边AB的中线，∵CE＝AE＝BE，∵AE＝AC＝CE，∵∵ACE是等边三角形,∵∵1＝60°，则∵B＝30°,∵当∵B＝30°时，四边形ACEF是菱形；∵由(1)知∵EF A∵∵ACE，∵∵AEC＝∵EAF，∵AF∥CE，∵AF∵AB，∵CE∵AB，∵CE＝EB，∵∵3＝∵4＝45°，∵当∵B＝45°时，线段AF与AB垂直．5.如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作⊙O的两条切线ED，EB，切点分别为点D，B.连接AD并延长交BE延长线于点C，连接OE.(1)试判断OE与AC的关系，并说明理由；(2)填空：①当∠BAC＝_________°时，四边形ODEB为正方形；②当∠BAC＝30°时，ADDE的值为________．第5题图5.解：(1)OE∥AC，OE＝12AC.理由：连接OD，如解图，第5题解图∵DE，BE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，AB⊥BC，∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∵OD＝OB，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OBE(HL)，∴∠1＝∠2.∵∠BOD ＝∠A ＋∠3，OA ＝OD ，∴∠A ＝∠3，∴∠2＝∠A ，∴OE ∥AC ；∵OA ＝OB ，∴EC ＝EB ，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ＝12AC . (2)①45；②3.【解法提示】∵要使四边形ODEB 是正方形，由ED ＝EB ，∵ODE ＝∵ABC ＝90°,只需∵DOB ＝90°，∵∵A ＝45°；∵过O 作OH ∵AD 于H ,∵∵A ＝30°，OA＝OD ,∵∵3＝∵A ＝30°，∵OD ，∵∵ODE ＝90°，∵1＝∵3＝30°，∵ODDE,，∵AD DE＝3. 6.如图，将⊙O 的内接矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连接BC 1，∠ACB ＝30°，AB ＝1，CC 1＝x .(1)若点O 与点C 1重合，求证：A 1D 1为⊙O 的切线；(2)①当x ＝________时，四边形ABC 1D 1是菱形；②当x ＝________时，△BDD 1为等边三角形．第6题图6. (1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°，∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠A1D1O＝∠D＝90°，∴A1D1⊥OD1，∴A1D1为⊙O的切线；(2)解：①1；②2.【解法提示】∵如解图∵，连接AD1，当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；第6题解图∵理由：由平移得：AB＝D1C1，且AB∵D1C1，∵四边形ABC1D1是平行四边形，∵∵ACB＝30°，∵∵CAB＝60°，∵AB＝1，∵AC＝2，∵x＝1，∵AC1＝1，∵AB＝AC1，∵∵AC1B是等边三角形，∵AB＝BC1，∵四边形ABC1D1是菱形；∵如解图∵所示，当x＝2时，∵BDD1为等边三角形，第6题解图∵则可得BD＝DD1＝BD1＝2，即当x＝2时，∵BDD1为等边三角形．7. 如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一个动点，∠BAC的平分线交圆弧于点D，半圆O在点D处的切线与直线AC交于点E.(1)求证：△ADE∽△ABD；(2)填空：①若ED∶DB＝3∶2，则AE∶AB＝________；②连接OC、CD，当∠BAC的度数为________时，四边形BDCO是菱形．第7题图7.(1)证明：如解图①，连接OD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAD ＝∠DAB ， ∵AO ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠EAD ＝∠ODA ，∴OD ∥AE ，∵DE 是半圆O 的切线，∴OD ⊥DE ， ∴∠E ＝90°，∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠EAD ＝∠DAB ，∠E ＝∠ADB ，∴△ADE ∽△ABD ；第7题解图①(2)解：① 3∶4；【解法提示】由(1)得△ADE ∽△ABD ，∴ED BD ＝AE AD ，∵ED ∶DB ＝3∶2，∴AE ∶AD ＝3∶2，∴∠EAD＝30°，∴∠DAB＝30°，∴AD∶AB＝3∶2，∴AE∶AB＝3∶4.②60°.【解法提示】如解图∵，连接OC，CD，OD，当四边形BDCO是菱形时，OD＝BD，∵∵ODB为等边三角形，∵∵DOB＝60°，由(1)得，OD∵AC，∵∵BAC ＝60°.第7题解图②8.如图，以△ABC一边AB为直径作⊙O，与另外两边分别交于点D、E，且点D为BC的中点，连接DE.(1)证明：△ABC是等腰三角形；(2)填空：①当∠B＝________时，四边形BDEO是菱形；②当∠B＝________时，△AOE是直角三角形．第8题图8.(1)证明：连接AD，如解图，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°.∵D为BC的中点,∴BD＝DC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；第8题解图(2)解：① 60°；② 67.5°.【解法提示】∵当∵B＝60°时，四边形BDEO是菱形．连接OD，如解图，∵∵B ＝60°，∵∵ABC是等边三角形，∵OBD是等边三角形，∵∵AOE是等边三角形，∵DOE是等边三角形，∵OB＝BD＝DE＝EO, ∵四边形BDEO是菱形；∵若∵AOE是直角三角形，只有一种情况，即∵AOE＝90°，∵OA＝OE，∵∵OAE ＝∵AEO ＝45°，由(1)知 ∵ABC 是等腰三角形，∵∵B ＝∵C ＝180°－45°2＝67.5°. 9.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝8，O 是AB 的中点，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于D ，E 是AB ︵上的一点，∠C ＝45°，连接BE ，DE . AF 切圆O 于点A ，交BE 的延长线于点F .(1)求证：BC 是圆O 的切线；(2)填空：①当BE ＝________时，四边形BDAE 是正方形；②当BF ＝________时，四边形ODAF 是平行四边形．第9题图9.(1)证明：∵AB ＝BC ，∠C ＝45°，∴∠BAC ＝∠C ＝45°，∵在△ABC 中，∠ABC ＝180°－∠BAC －∠C ＝180°－45°－45°＝90°， 又∵AB 是过圆心O 的直径，OB ⊥BC ，∴BC 是圆O 的切线；(2)解：① 42；② 4 5.【解法提示】∵当DE 经过圆心时四边形BDAE 是正方形，连接BD ，AE ，如解图∵，∵AB 是圆O 的直径，∵∵ADB ＝90°，又∵AB ＝BC ，∵BD ∵AC ，A D ＝DC ＝BD ，又∵∵ADB ＝90°，AD ＝BD ，∵DO ∵AB ，∵AB ∵ED ，∵AB ＝ED ，OA ＝OB ，OE ＝OD ，∵四边形BDAE 是正方形．∵AB ＝8，∵EO ＝OB ＝4，∵BE ＝22BO EO +＝16＋16＝42，∵当BE ＝42时，四边形BDAE 是正方形；∵如解图∵，∵四边形ODAF 是平行四边形，∵AF ＝OD ＝4，∵BF ＝22AB AF +=2284+＝45，∵当BF ＝45时，四边形ODAF 是平行四边形．第9题解图∵ 第9题解图∵ 10.已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接ED ，若ED ＝EC .(1)求证：AB ＝AC ；(2)①若AB ＝4，BC ＝23，则CD ＝________；②当∠A ＝________时，四边形ODEB 是菱形．第10题图1．(1)证明：∵ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ，∵∠EDC ＋∠ADE ＝180°，∠B ＋∠ADE ＝180°，∴∠EDC ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ；(2)解：①32；【解法提示】如解图，连接BD ，第10题解图∵AB 为∵O 的直径，∵BD ∵AC ，设CD ＝a ，由(1)知AC ＝AB ＝4，则AD ＝4－a ，在Rt∵ABD 中，由勾股定理可得BD 2＝AB 2－AD 2＝42－(4－a )2， 在Rt∵CBD 中，由勾股定理可得BD 2＝BC 2－CD 2＝(23)2－a 2，∵42－(4－a )2＝(23)2－a 2，解得a ＝32，即CD ＝32.∵60°.【解法提示】如解图，连接OD 、OE ，∵四边形ODEB 是菱形，∵OB ＝BE ，又∵OB ＝OE ，∵∵OBE 是等边三角形，∵∵OBE ＝60°，∵OD ∵BE ，∵∵BOD ＝120°，∵∵A ＝12∵BOD ＝60°.。

中考数学特殊四边形的计算与证明问题【方法归纳】握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，会画出四边形全等变换后的图形，并会结合其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力.解决此类问题的关键是要牢牢把握四边形的性质与特征，挖掘相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间形状、大小、位置关系，进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、综合等.常用到的矩形、菱形、正方形的解题策略有：（1）对于矩形：①判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；②矩形的内角是直角和对角线相等，相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；③利用矩形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解．（2）对于菱形：①判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；②菱形的邻边相等和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；③利用菱形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；④求线段和的最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为求线段的长度．（3）对于正方形：①判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定这个四边形是正方形；②正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或证明时，要特别注意线段或角的等量转化．【典例剖析】【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC 上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45，求BF和AD的长．【例2】（2022·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD是菱形．【真题再现】1．（2014·北京·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF 平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．2．（2016·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．3．（2017·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．4．（2017·北京·中考真题）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD=S△ADC-（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC-（____________+____________）．易知，S△ADC=S△ABC，_____________=______________，______________=_____________．可得S矩形NFGD= S矩形EBMF．BC，5．（2013·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12连结DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．6．（2015·北京·中考真题）在▱ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.7．（2020·北京·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．8．（2016·北京·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京房山·二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若AC=8,sin∠ABD=4，求BD的长．52．（2022·北京西城·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，CF=AE．(1)求证：四边形EBFD是矩形；(2)若AB=5，cos∠OBC=4，求BF的长．53．（2022·北京朝阳·二模）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．(1)求证：四边形OMPN是矩形；(2)连接AP，若AB=4，∠BAD=60∘，求AP的长．4．（2022·北京东城·二模）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC=√10，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的边长．5．（2022·北京平谷·二模）如图，在□ABCD中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF，交DA的延长线于点G．(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；(2)若sin∠G=3，AC=10，BC=12，连接GF，求GF的长．56．（2022·北京北京·二模）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE=DC，连接CE．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)连接BE交AD于点F，连接CF．若AB=4，求CF的长．7．（2022·北京丰台·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，CE∥DA．(1)求证：四边形AECD是矩形；(2)若AB＝5，cosB=3，求AE的长．58．（2022·北京密云·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠BAD，点E为AD边中点，过点E作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若FB=2，sinF=3，求AC的长．59．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD=CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE=OD，BF⊥AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB=3，tan∠CED=3，求EF和AD的长．410．（2022·北京昌平·二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线交于点E，连接OE交AD于点F．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若AC=8，∠DOC=60°，求菱形OCED的面积．11．（2022·北京海淀·二模）如图，在Rt△ABC中，∠A =90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接BE，若AB = 2，tan C =1，求BE的长．212．（2022·北京东城·一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE>CE），连接BE，DE．(1)求证：BE=DE；(2)过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG=BF，连接DG．①依题意补全图形；②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．13．（2022·北京东城·一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，∠EAO=∠DCO．(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若AB=BC，CD=5，AC=8，tan∠ABD=2，求BE的长．314．（2022·北京市十一学校二模）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得AF=DE，连接BF，CF．(1)求证：四边形BCEF是矩形；(2)若AB=6，CF=8，DF=10，求EF的长．15．（2022·北京石景山·一模）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF．(1)求证：四边形BFCD是菱形；(2)若cos A=5，DE=5，求菱形BFCD的面积．1316．（2022·北京大兴·一模）如图，在平面四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD上的点，CF=BE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若∠A=60°，AD=2，AB=4，求BD的长．17．（2022·北京丰台·一模）如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，AD∥BC，点E在BC 上，AB∥DE，AE平分∠BAD．(1)求证：四边形ABED为菱形；(2)连接BD，交AE于点O．若AE＝6，sin∠DBE＝3，求CD的长．518．（2022·北京市师达中学模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．19．（2022·北京四中模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．20．（2021·北京丰台·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．21．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若BD=4，AC=3，求sin∠CDE的值．22．（2022·北京平谷·一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．(1)求证：四边形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝3，BF＝5，连接CD，求CD的长．523．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C 作CE∥BD交AD的延长线于点E．(1)求证：∠ACD＝∠ECD；(2)连接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的长．24．（2022·北京房山·一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，过点C作CF∥EB交AB的延长线于点F．(1)求证：四边形BFCE是矩形；(2)连接AC，若AB=BE=2，tan∠FBC=1，求AC的长225．（2022·北京朝阳·一模）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE//BD，BE//AC．(1)求证：四边形AEBO是菱形；(2)若AB=OB=2，求四边形AEBO的面积．26．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．27．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点BC，连结DE．A作AE，且AE=12(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)作FG⊥AB于点G，AG=4，cos∠GAF=4，求FG和FD的长．528．（2022·北京西城·一模）如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，BC=4√5，求BD和AE的长．29．（2022·北京顺义·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，cos∠ACB=4，求BC的长．530．（2022·北京通州·一模）如图．在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；(2)当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．。

考向18 特殊的四边形【知识梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定方法指导：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5 方法指导：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形（1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：①等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．②同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．③等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．（2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．方法指导：中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【专项训练】一、选择题1.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF ⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.36.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15°B．18°C．36°D．54°二、填空题7.直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是_______________.12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E 是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S 与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15.已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．答案与解析一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△A BE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，EF=32=5.346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°. 二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°,∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。

2020年中考数学复习《特殊的平行四边形》专题训练及答案解析2020年中考数学专题练习特殊的平行四边形一、选择题1. (2019·上海)已知ABCD Y ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A.A B ∠=∠ B. A C ∠=∠C. AC BD =D. AB BC ⊥ 2. (2019.杭州)如图，P 是矩形ABCD 内一点(不含边界)，设1PAD θ∠=，2PBA θ∠=，3PCB θ∠=，4PDC θ∠=.若80APB ∠=?，50CPD ∠=?，则( )A.1423()()30θθθθ+-+=? B. 2413()()40θθθθ+-+=? C. 1234()()70θθθθ+-+=? D. 1234()()180θθθθ+++=?3. (2019·遵义)如图，P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于点,E F ，连接,PB PD .若2,8AE PF ==，则图中涂色部分的面积为( )A. 10C. 16D. 184. (2019·威海)矩形ABCD 与矩形CEFG 如图放置，点,,B C E 共线，点,,C D G 共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若2,1====，则BC EF CD CE GH的长为( )C. D.A. 1B. 235. (2019·十堰)菱形不具备的性质是( )A.四条边都相等B.对角线一定相等C.是轴对称图形D.是中心对称图形6. (2019·淮安)如图，菱形ABCD的对角线,AC BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A. 20B. 24C. 407. (2019·大连)如图，在菱形ABCD中，对角线,AC BD相交于点O.若5,6==，则BD的长是( )AB ACA. 8B. 7C. 4D. 38. (2019·舟山)用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )9. (2019·宿迁)如图，菱形ABCD的对角线,AC BD相交于点O，E 为边CD 的中点.若菱形ABCD 的周长为16，60BAD ∠=?，则OCE ?的面积是( )10.(2019·湘西州)下列说法:①对顶角相等;②两直线平行，同旁内角相等;③对角线互相垂直的四边形为菱形;④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.(2019·宜昌)如图，正方形ABCD 的边长为1，,E F 分别是对角线AC 上的两点，EG AB ⊥，EI AD ⊥，FH AB ⊥，FJ AD ⊥，垂足分别为,,,G I H J ，则图中涂色部分的面积为( )A. 1B. 12C. 13D. 1412.(2019·河南)如图①，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A DB →→以1 cm/s 的速度匀速运动到点B ，图②是点F 运动时，FBC ?的面积y (cm 2)随时间x (s)变化的图象，则a 的值为( )A.B. 2C. 52D.二、填空题13. (2019·株洲)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AO AD的中点，则PQ的长度=分别为,10,,AC P Q为.14.(2019·成都)如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图:①分别以点A和C为圆心，以大于1AC的长为半径作弧，两弧2相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E.若==，则矩形的对角线AC的长为.2,3DE CE15. (2019·徐州)若菱形两条对角线的长分别是6 cm和8 cm，则其面积为cm 2.16. (2019·广州)如图，若菱形ABCD的顶点,A B的坐标分别为-，点D在y轴上，则点C的坐标是.(3,0)，(2,0)17. (2019·葫芦岛)如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A的坐标为(2,3)，则点C 的坐标为 .18.(2019·黔西南州)已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为，则这个菱形的面积是 .19.( 2019·双鸭山)如图，在ABCD Y 中，添加一个条件，使ABCD Y 是菱形.20.(2019·南通)如图，在ABC ?中，,AD CD 分别平分BAC ∠和ACB ∠，//AE CD ，//CE AD .若从三个条件:①AB AC =;②AB BC =;③AC BC =中选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE 为菱形的是 . (填序号)21. (2019·随州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的边长为2，点A 在第一象限，点C 在x 轴正半轴上，60AOC ∠=?.若将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转75o，得到四边形'''OA B C ，则点B 的对应点'B 的坐标为 .22. (2019·荆门)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过菱形OACD 的顶点D 和边AC 的中点E .若菱形OACD 的边长为1，则k 的值为 .23. (2019·镇江)如图，点,,E F G 分别在菱形ABCD 的边,,AB BC AD 上，13AE AB =，13CF CB =，13AG AD =.已知EFG ?的面积等于6，则菱形ABCD 的面积等于 .24. (2019·乐山)如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到点E ，使AE AC =，连接CE ，则BCE ∠的度数是 .25. (2019·咸宁)如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为(2,3)，则点F 的坐标为 .26. (2019·上海)对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图①)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅垂方向的边长称为该矩形的高.如图②，菱形ABCD 的边长为1，边AB 水平放置.如果该菱形的高是宽的23，那么它的宽的值是 .27.(2019·武汉)以正方形ABCD 的边AD 作等边三角形ADE ，则BEC ∠的度数是 .28. (2019·青岛)如图，正方形ABCD 的边长为5，点,E F 分别在,AD DC 上，AE DF = 2=，BE 与AF 相交于点,G H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为 .29. (2019·呼和浩特)如图，在正方形ABCD 中，M 是边BA 延长线上的动点(不与点A 重合)，且AM AB <，CBE ?由DAM ?平移得到.若过点E 作EH AC ⊥，H 为垂足，则有以下结论:①点M 位置变化，使得60DHC ∠=?时，2BE DM =;②无论点M 运动到何处，都有DM =;③无论点M 运动到何处，CHM ∠一定大于135o.其中正确的结论为 . (填序号)30. (2019·江西)在正方形ABCD 中，6AB =，连接,,AC BD P 是正方形边上或对角线上一点.若2PD AP =，则AP 的长为 .三、解答题31. (2019·湘西州)如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，连接,DE CE .(1)求证: ADE BCE ;(2)若6,4AB AD ==，求CDE ?的周长.32. (2019连云港)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长,CE BA 交于点F ，连接,AC DF .(1)求证:四边形ACDF 是平行四边形;(2)当CF 平分BCD ∠时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由.33. ( 2019·河南)如图，反比例函数(0)k y x x =>的图象过格点(网格线的交点)P .(1)反比例函数的解析式为 .(2)在图中用直尺和2B 铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下面两个条件:①四个顶点均在格点上.且其中两个顶点分别是,O P ;③矩形的面积等于k的值.34. (2019·青岛)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC 与BD相交于点,E G为AD的中点，连接,CG CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.(1)求证:AB AF=;(2)若AG AB∠=?，判断四边形ACDF的形状，并证BCD=，120明你的结论.35. (2019·广东)如图，BD是菱形ABCD的对角线，75 ∠=?.CBD(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂是为E，交AD于点F;(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，连接BF，求DBF∠的度数.36.(2019·娄底)如图，在四边形ABCD中，对角线,AC BD相交于点O，且AD BC于点,E F.==，过点O作EF BD,OA OC OB OD⊥，分别交,(1)求证: AOE COF;(2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由.37. (2019·南京)如图，在四边形ABCD中，BC CDC BAD∠=∠.=，2==.求证: O是四边形ABCD内一点，且OA OB OD (1) BOD C∠=∠;(2)四边形ABCD是菱形.38. (2019·乌鲁木齐)如图，在四边形ABCD中，90 ∠=?，EBAC 是BC的中点，//⊥于点F.AE DC，EF CDAD BC，//(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若6,10==，求EF的长.AB BC39. (2019·广安)如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE AM=，过点E作=.⊥，垂足为F，求证:AB EFEF AM40. (2019·盐城)如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点,E F满足BE DFAE AF CE CF.=，连接,,,(1)求证: ABE ADF;(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由.41. (2019·长春)在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点,C D重合)，连接BE.[感知]如图①，过点A作AF BE⊥交BC于点F.易证.(不需要证明)ABF BCE[探究]如图②，取BE的中点M，过点M作FG BE⊥交BC于点F，交AD于点G.(1)求证:BE FG=.(2)连接CM，若1CM=，则FG的长为.[应用]如图③，取BE的中点M，连接CM.过点C作CG BE ⊥交AD于点G，连接,EG MG.若3CM=，则四边形GMCE的面积为.42. (2019·潍坊)如图，M是正方形ABCD边CD上一点，连接⊥于点E，BF AM⊥于点F，连接BE.AM，作DE AM(1)求证:AE BF=;(2)已知2∠的正弦AF=，四边形ABED的面积为24，求EBF值.43. (2019·吉林)如图①，在ABC=，过AB上一点D中，AB AC作//DE AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠=∠，另一边EF交AC于点F.DEF A(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;(2)当D为AB的中点时，ADEFY的形状为;(3)延长图①中的DE 到点G ，使EG DE =，连接,,AE AG FG ，得到图②，若AD AG =，判断四边形AEGF 的形状，并说明理由.44. (2019·绍兴)小敏思考解决如下问题:原题:如图①，点,P Q 分别在菱形ABCD 的边,BC CD 上，PAQ B ∠=∠，求证: AP AQ =.(1)小敏进行探索，将点,P Q 的位置特殊化:把PAQ ∠绕点A旋转得到EAF ∠，使AE BC ⊥，点,E F 分别在边,BC CD 上，如图②.此时她证明了AE AF =.请你证明.(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线:如图③，作AE BC ⊥，AF CD ⊥，垂足分别为,E F .请你继续完成原题的证明.(3)如果在原题中添加条件:4AB =，60B ∠=?，如图①，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案.(根据编出的问题层次，给不同的得分)参考答案一、1. B 2. A 3. C 4. C 5. B 6. A 7. A 8. C 9. A10. B 11. B 12. C二、15.13. 2.5 14.2416.-17. (2,3)-18.19. 答案不唯一，如：AB BC =20. ②21.22. 23. 27 24.22.5o 25. (1,5)- 26.1813 27. 30o或150o28. 29. ①②③30. 2或三、解答题31. (1)点拨：由AD BCA B AE BE =??∠=∠??=?，可得()ADE BCE SAS .(2) CDE ?的周长是16.32. (1) 点拨：由()FAE CDE ASA ，可得FA CD =. 又∵//CD AF ，∴四边形ACDF 是平行四边形.(2)2BC CD =33. (1)反比例函数的解析式为4y x= (2) 答案不唯一，如图，矩形OAPB ，矩形OCDP 即为所求作的图形34. (1) 点拨：由AGF DGC=.，可得AF DC∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD=，∴AB AF=.(2) 四边形ACDF是矩形点拨：由(1)可知四边形ACDF是平行四边形.由AGF DGCCF FG=，2=.，可得2AD AG由AG AB是∠=?，AB AF=，120BCD=，可得AFG等边三角形，∴AG FG=，∴AD CF=.∴四边形ACDF是矩形35. (1) 如图所示，直线EF即为所求(2) 45∠=?DBF36. (1)点拨：由题意得到四边形ABCD 是平行四边形，∴EAO FCO ∠=∠，又∵OA OC =，OEA COF ∠=∠，∴AOE COF(2) 四边形BEDF 是菱形37. (1)如图，延长线段AO 到点E .由题意可得，2BOD BAD ∠=∠.(2)如图，连接OC .证明OBC ODC .得到12BOC DOC BOD ∠=∠=∠，12BCO DCO BCD ∠=∠=∠，∵BOD BCD ∠=∠，∴BOC BCO ∠=∠，∴OB CB =，∴OB CB CD OD ===，∴四边形ABCD 是菱形.38. (1)点拨：AE CE =(2)245EF=39. 点拨：EFA ABM40. (1) 点拨：AB ADABE ADF BE DF=∠=∠=(2)点拨：连接AC，交BD于点O. 可知OC OA=，OE OF=，AC EF⊥，∴四边形AECF是菱形.41. [探究] (1)点拨如图，过点G作GP BC ⊥于点P.由PGF CBEPG CBFPG ECB∠=∠=∠=∠，得到PGF CBE(2) 2 [应用] 942. (1)点拨：由AFB DEAAB DAABF DAE∠=∠=∠=∠，可得ABF DAE(2)213sin EBF∠= 43. (1)点拨：// AD EF(2)菱形。