有理数及其运算教案

授课主题第02讲---有理数及其运算

授课类型T同步课堂P实战演练

教学目标1掌握有理数的乘方；2掌握有理数的混合运算并能灵活运用。

T（Textbook-Based）——同步课堂

体系搭建

一、知识框架

二、知识概念

1、有理数的定义及分类

（1）有理数：整数与分数统称为有理数。有理数按照符号分类可以分为正有理数、0、负有理数；按照定义分

类可以分为整数、分数。

2、数轴、相反数和绝对值

（1）数轴的概念：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定

直线上向右的方向为正方向，这样的直线叫做数轴，如下图所示：

数轴三要素：原点、正方向、单位长度。三者缺一不可。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

（2）相反数的概念：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为

相反数。特别地，0的相反数为0。两个数互为相反数，那么这两个数之和为0。

（3）绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。一个数的绝对值可以

表示为下式，可以看出绝对值的一个重要性质就是非负性,对于任意实数a，有|a|≥0

3、倒数

倒数的概念：乘积为1的两个有理数，那么就称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。

0没有倒数。

4、有理数的运算法则

（1）加、减法运算

加法运算：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不

相等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同0相加，仍得这个数。

减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（2）乘、除法运算

乘法运算：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0

除法运算：除以一个等于乘这个数的倒数.

（3）乘方及混合运算

①一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作：

读作：a的n次方（或a的n次幂）其中a代表相乘的因数,n代表相乘因数的个数，即：...nanaaaaa6444447444448个

②有理数的混合运算：

混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算最重要的原则。5、科学计数法（1）一般地，一个大于10的数可以表示成10na的形式，其中110a，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。注意以下几点:

①科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。其中一个因数为a（110a），另一个因数为10n，n的值等于整数部分的位数减1；

②用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。小于1的正数也可以用科学记数法

表示。例如：50.0000110；

典例分析

考点一：有理数、数轴、绝对值

例1、下列说法正确的是（）

A．非负数包括零和整数B．正整数包括自然数和零

C．零是最小的整数D．整数和分数统称为有理数

【解析】根据有理数的分类，利用排除法求解。非负数包括零和正数，A错误；正整数指大于0的整数，B错误；

没有最小的整数，C错误；整数和分数统称为有理数，这是概念，D正确。故选D

例2、在实数，0，，﹣1.414，有理数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．，0，﹣1.414，是有理数，故选：C

例3、a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1

＜0中一定成立的是．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）．

【解析】首先能够根据数轴得到a，b之间的关系的正确信息，然后结合数的运算法则进行分析．根据数轴得a＜﹣

1＜b，|a|＞|b|．①中，a﹣b＜0，故①正确；②中，a+b＜0，故②正确；③中，由于b的符号无法确定，所以ab

＜0不一定成立，故③错误；④中，ab+a+b+1=（b+1）（a+1）＜0，故④正确．所以一定成立的有①②④．故答案为：

①②④

例4、一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距

离为．

【解析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点

的（）2处，则跳动n次后，即跳到了离原点的处，依此即可求解。第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原

点的处，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（）2处，…则跳动n次后，即跳到了离原点的处，则第

5次跳动后，该质点到原点O的距离为。故答案为：

例5、已知+=0，则的值为．

【解析】先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可．∵+=0，∴a、b异号，∴ab＜0，

∴==﹣1．故答案为：﹣1

考点二：有理数的加减运算

例1、计算：（1）﹣3+8﹣7﹣15（2）（﹣1）﹣（+6）﹣2.25+

（3）﹣+[﹣（﹣）]（4）（﹣1）﹣|（﹣4）﹣（﹣2）|

【解析】

（1）﹣3+8﹣7﹣15=﹣3﹣7﹣15+8=﹣25+8=﹣17；

（2）（﹣1）﹣（+6）﹣2.25+=﹣1﹣6﹣2.25+=﹣1﹣2.25﹣6+=﹣4﹣3=﹣7；

（3）﹣+[﹣（﹣）]=﹣+[﹣]=﹣+=﹣；

（4）（﹣1）﹣|（﹣4）﹣（﹣2）|=﹣1﹣=﹣4112

例2、去年7月份小明到银行开户，存入1500元，以后每月根据收支情况存入一笔钱，下表为该人从8月份到12

月份的存款情况：

则截止到去年12月份，存折上共有（）元钱．

A．9750B．8050C．1750D．9550

【解析】把实际问题转化成有理数的加减法，分别根据上一月的存钱和与上一月的差值求出下一个月的存钱数，然

后相加即可．小明从8月份到12月份的存款情况：1500+（1500﹣100）+（1500﹣100﹣200）+（1500﹣100﹣200+500）

+（1500﹣100﹣200+500+300）+（1500﹣100﹣200+500+300﹣250）=9550元．故选D

例3、“⊕”表示一种运算，已知2⊕3=2+3+4=9，7⊕2=7+8=15，3⊕5=3+4+5+6+7=25，按此规则，若n⊕100=50，

则n的值为（）A．﹣49B．﹣50C．49D．50

【解析】根据题目中给的例子可得第一个数表示从整数几开始，后面的数表示几个连续整数相加，故n⊕100=n+

（n+1）+（n+2）+…+（n+99）=50，再解方程即可．根据题意可知：

∵n⊕100=n+（n+1）+（n+2）+…+（n+99）=100n+1+2+3+4+5…+99

=100n+=100n+50×99，

又∵n⊕100=50，

∴100n+50×99=50，

∴2n+99=1

∴n=﹣49．

故答案选A．

考点三：有理数的乘除运算

例1、简便计算：13148641215515512277227

【解析】分析：根据乘法分配律展开，然后根据有理数乘法的运算法则进行计算．

解：（1）131486412131=4848488364246412

（2）提取57，逆运用乘法分配律进行计算即可得解．

解：15515512277227

=1551551+2277227=511512722253=7215=14

例2、若“!”是一种数学运算符号，并且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，则5!=______=______，的值=______．

【解析】根据运算的定义，可以把写成的形式，然后即可求解．

解：5!=5×4×3×2×1=120，==99×100=9900，

故答案为：5×4×3×2×1，120，9900．

例3、计算：

1（﹣16.8）÷（﹣3）②11+5333③5445

④5+1.250.58⑤﹣18÷（+3.25）÷124⑥311()(3)(1)3524

【解析】分析：①②③根据有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；④⑤几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算．

解答：①原式=16.8÷3=16.8×13=5.6；②原式=545525==454416；

③原式=16101638333105；④原式=1.25÷0.5÷58=58245=4；

⑤原式=18÷3.25÷124=4418139=3213⑥原式=－35×（-72）×（-45)×13=-35×72×45×13=-1425例4、a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是=﹣1，﹣1的差倒数是=．已知a1=，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则

a2011=．【解析】根据定义求得a1，a2，a3，a4…的值，观察规律，即可猜想结果．

解：a1=﹣

a2==；

a3==4；

a4==﹣，

因而一下三个一次循环，故a2011=﹣．故答案是：﹣

考点四：有理数的乘方及其混合运算

例1、若0212ba，则2012ba的值是（）

A．﹣1B．1C．0D．2012

【解析】B

例2、已知053222cba，求22cba值．

【解析】平方和绝对值都有非负性，几个非负数之和为0，那么这几个非负数都为0。a=2，b=-3，c=5

原式=2-2×（-3）+5×5=33

例3、计算：（1）3211（2）33131

（3）34255414（4）33220132

【解析】（1）827（2）2（3）－59（4）－1

例4、计算：（1）3428102

（2）91632492

【解析】（1）-20；（2）23