三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

- 1 - 三角函数的图像和性质

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2,1) (,0) (23,-1) (2,0)

余弦函数y=cosx x[0,2]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2,0) (,-1) (23,0) (2,1)

2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sinyx cosyx tanyx

图象

定义域 R R ,2xxkk

值域 1,1 1,1 R

最值 当22xk时，max1y；当22xk

时，min1y． 当2xk时，

max1y；当2xk

时，min1y． 既无最大值也无最小值

周期性 2 2 

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

单调性 在2,222kk

上是增函数；

在32,222kk

上是减函数． 在2,2kk上是增函数；

在2,2kk上是减函数． 在,22kk

上是增函数．

对称性 对称中心,0k

对称轴2xk 对称中心,02k

对称轴xk 对称中心,02k

无对称轴

函 数 性 质 - 2 - 例作下列函数的简图

(1)y=|sinx|，x∈[0，2π]， (2)y=-cosx，x∈[0，2π]

例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：

21sin)1(x 21cos)2(x

3、周期函数定义：对于函数()yfx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：()()fxTfx，那么函数()yfx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

注意： 周期T往往是多值的（如sinyx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做()yfx的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sinyx, cosyx的最小正周期为2 （一般称为周期）

正弦函数、余弦函数：2T。正切函数：

例求下列三角函数的周期：

1 y=sin(x+3) 2 y=cos2x 3 y=3sin(2x+5) 4 y=tan3x

例求下列函数的定义域和值域：

（1）2sinyx （2）3sinyx （3）lgcosyx

- 3 - 例5求函数sin(2)3yx的单调区间

例不求值，比较大小

(1)sin(－18)、sin(－10)； (2)cos(－523)、cos(－417)．

解：(1)∵－2＜－10＜－18＜2． (2)cos(－523)＝cos523＝cos53

且函数y＝sinx，x∈［－2，2］是增函数 cos(－417)＝cos417＝cos4

∴sin(－10)＜sin(－18) ∵0＜4＜53＜π

即sin(－18)－sin(－10)＞0 且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数

∴cos53＜cos4

即cos53－cos4＜0

∴cos(－523)－cos(－417)＜0

4、函数sin0,0yx的图像：

（1）函数sin0,0yx的有关概念：

①振幅：； ②周期：2； ③频率：12f； ④相位：x； ⑤初相：．

(2) 振幅变换

①y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

②它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A

③若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折

A称为振幅，这一变换称为振幅变换奎屯王新敞新疆

(3) 周期变换

①函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0

②若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图

ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换

(4) 相位变换 - 4 - 一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)

y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换

5、小结平移法过程（步骤）

6、函数sinyx，当1xx时，取得最小值为miny ；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx．

例 如图e，是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜2的一段图象，则f（x）的表达式为

例 如图b是函数y＝Asin(ωx＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )

AA＝3，Ｔ＝34，φ＝－6

BA＝1，Ｔ＝34，φ＝－43

CA＝1，Ｔ＝32，φ＝－43

DA＝1，Ｔ＝34，φ＝－6

作y=sinx（长度为2的某闭区间）

得y=sin(x+φ) 得y=sinωx

得y=sin(ωx+φ) 得y=sin(ωx+φ)

得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一沿x轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短

横坐标伸 长或缩短沿x轴平 移||个单位

纵坐标伸 长或缩短 纵坐标伸 长或缩短

图e

- 5 - 例 画出函数y＝3sin(2x＋3)，x∈R的简图

解：(五点法)由T＝22，得T＝π

列表：

x

–6 12 3 127 65

2x+3 0 2 π 23 2π

3sin(2x+3) 0 3 0 –3 0

例求函数33tanxy的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性

解：由233kx得1853kx，

所求定义域为zkkxRxx,1853,|且

值域为R，周期3T，是非奇非偶函数

在区间zkkk1853,183上是增函数

例 已知函数y=sin2x+3cos2x-2

(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象

(2)求这个函数的周期和单调区间

(3)求函数图象的对称轴方程

(4)说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的

解：y=sin2x+3cos2x-2=2sin(2x+3)-2

(1)列表

x 6 12 3 127 65

32x 0 2  23 2

2)32sin(2xy -2 0 -2 -4 -2

其图象如图示

(2)22T=π

由-2+2kπ≤2x+3≤2+2kπ，知函数的单调增区间为

［-125π+kπ,12+kπ］,k∈Z - 6 - 由2+2kπ≤2x+3≤23π+2kπ，知函数的单调减区间为

［12+kπ,12π+kπ］,k∈Z

(3)由2x+3=2+kπ得x=12+2kπ

∴函数图象的对称轴方程为x=12+2kπ,(k∈Z)

(4)把函数y1=sinx的图象上所有点向左平移3个单位，得到函数y2=sin(x+3)的图象；

再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到y3=sin (2x+3)的图象；

再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y4=2sin (2x+3)的图象；

最后把y4图象上所有点向下平移2个单位，得到函数y=2sin (2x+3)-2的图象

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