2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.
1. 双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线中，
渐近线为：.
故选C.
2. 命题“”是命题“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：若：则，若：则，，，
∴“”是“”的充分不必要条件.
考点：1.三角函数的性质；2.充分必要条件.
3. 若复数满足，则的虚部为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题解析：设
∴，解得
考点：本题考查复数运算及复数的概念
点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念
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4. 下列有关命题的说法中错误的是
A. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等 .
B. 一个样本的方差是，则这组数据的总和等于60.
C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越差.
D. 对于命题使得＜0，则，使.
【答案】C
【解析】对于A,在频率分布直方图中，面积是频率，（每个小长方形的面积S=长×宽=频率），中位数左右两边的频数是相等的，中位数是最中间的那个数，所以面积是相等的，即A正确；
对于B，由知，这组数据的平均值为3，所以总和等于60，即B正确；
对于C，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越好，所以C错误；
D.全称命题的否定为特称，所以对于命题使得＜0，则，使，正确.
故选C.
5. 掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数多于反面的次数的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】掷一枚均匀的硬币4次，基本事件总数，
出现正面的次数多于反面的次数的事件有：4次正面或三次正面1次反面，包含的基本事件个数为：.
所以出现正面的次数多于反面的次数的概率为.
故选B.
6. 我国南宋数学家秦九韶（约公元1202—1261年）给出了求次多项式 当时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算
法”．例如，可将3次多项式改写为： 然后进行求值．运行如下图所示的程序框图，能求得多项式的值．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：流程图运行过程如下：
第一次循环时， ，
第二次循环时， ，
第三次循环时， ，
第四次循环时， ，
此时跳出循环，该流程图计算的点斜式为：
.
本题选择A选项.
点睛：
本题同时在考查流程图和秦九韶算法，对于循环结构,需要注意三点：
一是利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；
二是注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；
三是赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．
秦九韶算法是一种简化代数式运算的方法，本题要求同学们能够熟练逆用秦九韶算法处理多项式.
7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由三视图还原四棱锥P-ABCD，如图所示：
其中：四棱锥的高为
.
故选B.
点睛：三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项
代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
8. 直线与椭圆恒有两个公共点，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：有关直线恒过点，要使得直线与椭圆恒有两个公共点，则只要使得在椭圆的内部或椭圆上，所以，解得且，故选C
考点：直线与圆锥曲线的位置关系．
9. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
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10. 已知直线与抛物线交于两点，为坐标原点，的斜率分别为，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线与抛物线联立,可得−2y−6=0,∴，
∴，
∴，
故选A.
11. 若曲线（为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】x∈(0,+∞)，
∵曲线y=lnx+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，
∴在(0,+∞)上恒成立，
∴恒成立,x∈(0,+∞).
令f(x)=,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又f(x)=<0，
∴a⩾0.
故选D.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.
12. 若函数，当时，恒成立，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，恒成立，即恒成立，
当时，显然成立；
当时，，得；
当时，，
令，，则，
易知时，，所以.
所以在上单调递增，.
所以.
故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
13. 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要用系统抽样法从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分成40组(1～5号， 6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________；若用分层抽样方法，则50岁以上年龄段应抽取__________人．
【答案】 (1). 37 (2). 8
【解析】根据系统抽样方法的特征，得；
抽取样本的组距为，
则每组应抽取的号码为5(n−1)+2，
∴第8组应抽出的号码是5×7+2=37；
50岁以上年龄段在样本中应抽取的人数是
40×20%=8.
故答案为：37、8.
14. 函数在其极值点处的切线方程为____________．
【答案】
【解析】试题分析：依题意得y′=ex+xex，令y′=0，可得x=-1，∴y=．
因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=．
考点：导数与切线．
【名师点睛】本题考查利用导数求切线方程，解题关键是掌握函数极值的定义，求得极值点与极值．方法是求得导函数，解方程，得极值点，若极值是，则所求切线方程为．本题是填空题，因此只要求得的解后，可以直接写出切线方程．如果是解答题还要判断方程的解是不是极值点，否则易出错．
15. 若在区间内随机取一个数，在区间内随机取一个数，则使方程有两个不相等的实根的概率为 ____________．
【答案】
【解析】∵内随机取一个整数m,在区间[−2,3]内随机取一个整数n，
∴以m为横坐标、n为纵坐标建立如图所示直角坐标系，
可得对应的点(m,n)在如图的四边形ABCD及其内部任意取，
正方形的面积为8×5=40，
∵有两个不同的实数根,则，
即，表示圆的外部的点，
则由几何概型的概率公式可得使方程有两个不相等的实根的概率为，
故答案为：.
........................
16. 圆经过点与圆相切于点,则圆的方程为____________．
【答案】
【解析】圆，圆心为(-1,3)，圆与该圆切于点,两圆的圆心连线经过点N，
圆心连线为：，整理得：.①
的中点为，的斜率为：，
可得的中垂线为：，整理得：，②.
联立①②得，即圆心，半径为.
所以圆的方程为.
故答案为：.
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 已知命题: “是焦点在轴上的椭圆的标准方程”；：“函数在上存在极值”；若命题“且”是假命题，“或”是真命题，求
实数的取值范围．
【答案】或或
【解析】试题分析：根据椭圆方程的特点求出命题p为真命题的a的范围，再结合二次函数的图象求出命题q为真命题的a的范围，根据复合命题与构成其简单命题真假的关系，通过分类讨论求出a的范围．
试题解析：
若为真，则有，即.
若为真，则有两个相异的实数根，
即得或
由且为假，或为真得：或，
实数的取值范围或或.
18. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）设点，记的轨迹方程所对应的曲线为，若过点且在两坐标轴上截距相等的直线与曲线相切，求的值及切线方程．
【答案】（1）（2）和.
【解析】试题分析：（1）设出A，M坐标，利用M为线段AB中点，确定A，M坐标之间的关系，根据点A在圆（x-7）2+y2=16上运动，可得线段AB中点M的轨迹方程；
（2）设出切线方程，利用直线与圆相切，可求a的值及切线方程．
试题解析：
（1）设，，∵为线段中点
∴ ，又点在圆上运动
∴ 即
∴点M的轨迹方程为：；
（2）设切线方程为：和
