线性回归分析与线性模型2
回归分析的基本问题是：如何从表1.1那样的数据出发找出（1.1）式中的函
数f使得（1.1）中的随机项e在某种意义下最小？
函数f的可选范围太广了，难以下手。如果预先假定f是线性函数：
12011(,,,)
pppfxxxbbxbx=+++LL
（均可知），则模型（1.1）变成
01,,,
pbbbL
011ppybbxbxe=++++L
称之为线性回归模型。结合表1.1的数据可得如下关系式：
1011121211
201212222
01122 pp
pp
nnnpnpybbxbxbxe
ybbxbxbxe
ybbxbxbxe=+++++
=+++++
=+++++L
L
MM
L2
nM
)
称之为线性模型
线性回归分析的基本问题就是如何确定使得（1.4）中的e在某种
意义下最小。 01,,,
pbbbL
线性函数是极特殊的多元函数，但线性回归分析却是回归分析里最重要的组
成部分。这是为什么呢？原因有二：①线性回归模型在数学上有成熟的处理方法，
线性代数的工具可以发挥其强大的威力，这一点在本章中将充分表现出来。②实
际当中不仅是经常遇到线性回归模型，而且许多非线性回归模型经过适当的变换
可以化为线性回归模型。这一点现作如下解释。
例1.1 在彩色显影中，根据以往的经验，染料光学密度y与析出银的光学密
度x之间有下面类型的关系
/(0ByAeB−∞≈>
其中A，B未知。这里y与x之间不是线性关系，但令1
*ln,*yyx
x==，则
*ln*yAB≈−x
即与*y*x有近似的线性关系。
一般地，一元多项式回归模型常可化为多元线性回归模型，如设 011p
pybbxbxe=++++L
则只要令(1,2,,j
j)xxjp==L，就有
011,
ppybbxbxe=++++L
即多元线性回归模型。
例5.2 低钴定膨胀合金由铁、镍、钴、铜组成。在控制杂质含量及一定的
工艺条件下，其膨胀特性被合金成分所确定。我国某课题组（1975年）的研究
1 第十一章（理） 第四节 正态分布、线性回归
题组一 正态分布问题
1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，
则有 ( )
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：μ反映正态分布的平均水平，x＝μ是正态曲线的对称轴，由图知μ1＜μ2，σ
反映正态分布的离散程度，σ越大，曲线越“矮胖”，表明越分散，σ越小，曲线越
“高瘦”，表明越集中，由图知σ1＜σ2.
答案：A
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)＝
( )
A.15
B.14
C.13 D.12
解析：根据正态分布的知识可知此正态分布图象的对称轴为x＝3，而P(ξ<3)表示对
称轴左边图象的面积，对称轴左右两边图象面积相等，整个图象的面积为1.
答案：D
3．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意得随机变量ξ相应的正态密度曲线关于直线x＝2对称，又P(ξ>c＋1)
＝P(ξ
答案：B
4．设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( )
A．0.025 B．0.050
C．0.950 D．0.975
解析：P(|ξ|<1.96)＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)
如何在Excel中使用LINEST函数进行线性回归分析
Excel是一款广泛应用于数据分析和处理的电子表格软件，其中的LINEST函数能够进行线性回归分析。LINEST函数的使用不仅能够帮助我们建立回归模型，还能对数据进行预测和评估。下面将详细介绍如何在Excel中使用LINEST函数进行线性回归分析。
首先，在Excel中打开一个空白工作簿，在一个或多个列中输入你要进行线性回归分析的数据。假设我们有两个变量x和y，x的数据在A列中，y的数据在B列中。
其次，选中一个空的单元格，该单元格将用于计算LINEST函数，然后输入以下公式：“=LINEST(B2:B11,A2:A11,TRUE,TRUE)”。这个公式中的B2:B11代表y的数据列，A2:A11代表x的数据列，TRUE代表将输出附加的统计信息，TRUE代表将输出回归系数。
然后，按下回车键，Excel会自动计算出回归系数和统计信息。回归系数中，第一个值为截距，后续的值为各个自变量的系数。统计信息中，包括相关系数R^2、标准误差、F统计量等。
接着，我们可以进一步利用LINEST函数的结果进行数据预测和评估。比如，我们可以输入新的自变量值，通过回归模型预测因变量的值。假设我们要预测的自变量值为10，在一个空的单元格中输入公式：“=BETA(1)+BETA(2)*10”，其中BETA(1)和BETA(2)分别代表回归系数中的截距和自变量系数。 最后，按下回车键，Excel会根据线性回归模型计算出预测值。通过这种方式，我们可以利用LINEST函数对未知数据进行预测。
综上所述，使用Excel中的LINEST函数进行线性回归分析的步骤如下：
1. 输入数据，并将自变量和因变量分别放置在不同的列中。
2. 选中一个空的单元格，输入LINEST函数的公式：“=LINEST(因变量数据，自变量数据，TRUE，TRUE)”。
3. 按下回车键，获取回归系数和统计信息。
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1 一切为了孩子 环球雅思学科教师辅导讲义
讲义编号： 组长签字： 签字日期：
学员编号： 年 级： 高二 课时数：3
学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：闫建斌
课 题 线性回归方程
授课日期及时段 2014-2-11 18:00-20:00
教学目标 线性回归方程基础
重点、难点
教 学 内 容
1、本周错题讲解
2、知识点梳理
1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：abxy（最小二乘法）
最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法
1221niiiniixynxybxnxaybx 注意：线性回归直线经过定点),(yx
2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()())((
注：⑴r>0时，变量yx,正相关；r <0时，变量yx,负相关； 中国教育领军品牌
2 一切为了孩子 ⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；
