浅谈一题多解在数学教学中的作用

浅谈一题多解在数学教学中的作用苏 北 中 学 许 惜 珠高中数学新课程标准中指出：培养和发展学生的数学思维能力是发展智力，全面培养数学能力的主要途径。

因此，高中数学课程应该注重提高学生的数学思维能力，这也是数学教育的基本目标之一。

数学是思维的体现，解决问题是学生学习数学的目的，因而如何通过解题活动来培养学生良好的思维能力，应是数学教学的中心问题。

但过多过密盲目的解题，不仅不会促进思维能力的发展、技能的形成，反而易使学生疲劳，兴趣降低，窒息学生的智慧，只有“闻一以知十”题解，才能激发学生浓厚的学习兴趣，促进他们思维品质的发展，而一题多解无疑是激发学生兴趣，开拓思路，培养思维品质和应变能力的一种十分有效的方法。

下面就本人在教学中的体会谈谈“一题多解”在数学教学中的作用。

一、一题多解有利于培养学生思维的广阔性对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法。

在教学中，不失时机地通过引导学生进行“一题多解”的训练，通过广泛的联想，使我们的思维触角伸向不同的方向，不同的层次，这样不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养学生思维的广阔性。

例1：求函数xx y cos 3cos 3+-=的值域。

解法一：（有界性法） 由x x y cos 3cos 3+-=，得：y y x +-=1)1(3cos 。

1cos ≤x ，11)1(3≤+-∴yy ，解之得：221≤≤y 。

即所求函数的值域为：]2,21[解法二：（分离变量法） 由x x y cos 3cos 3+-=，得：xy cos 361++-=1cos ≤x ，4cos 32≤+≤∴x ，3cos 3623≤+≤∴x ，2cos 36121≤++-≤x 。

即所求函数的值域为：]2,21[ 解法三：（判别式法） 设2tan x t =，由2t a n 12t a n 1c o s 22x x x +-=，得：2t a n 242t a n 4222x x y ++=，即222442t t y ++=，可化为：024)42(2=-+-y t y ，由判别式可得：0)24)(42(≥---=∆y y ，解得：221≤≤y ，即所求函数的值域为：]2,21[。

解法四：（导数法）先证明函数x x y cos 3cos 3+-=x cos 361++-=在],0[π上是增函数。

故：y ≤+-0cos 30cos 3ππcos 3cos 3+-≤，即：221≤≤y 。

∴所求函数的值域为：]2,21[ 由前四种解题方法中，通过以题带面复习了“函数的定义域、值域、性质”、“三角函数的有界性”等知识，加深了知识间的沟通，同时培养了学生解题的转化策略，体现了函数与方程的思想在数学中的作用。

接着引导学生运用转化及数形结合的思想方法解题。

解法五：由x x y cos 3cos 3+-=)cos (3cos 3x x ---= （结合斜率公式），则y 可看成是由定点)3,3(A 与动点)cos ,cos (x x B -连线的斜率。

显然，B 点在线段)1(≤-=x x y 上，如图1所示，可得：22121==AB AB k k ，。

221≤≤∴y 即所求函数的值域为：]2,21[类似解法：可由x x y cos 3cos 3+-=0)cos 3(0)cos 3(-+--=x x ,则y 可看成是动点 )cos 3,cos 3(x x C -+与原点连线的斜率。

而点C 在线段6=+y x)42(≤≤y 上，故由图2可得：21221==OC OC k k ，，221≤≤∴y ， 即所求函数的值域为：]2,21[ 因为函数的解析式是分式，因此完全可用解析几何中的斜率公式1212x x y y k --=求解。

可见转化思想在数学中的地位非常重要，同时要求学生认真比较四种解法的利弊与依据，然后启发学生：一道好题能激发人的兴趣，引导人的思想，启迪人的思维，在平时的学习中应养成探索不同的方法解题的习惯，这样才能更好地提高解题的能力。

通过一题多解，既能促使学生沟通知识点间的联系，又培养了学生的思维能力，从中学到了“转化策略、数形结合、函数与方程”等基本的数学思想。

同时也让学生通过对比、小结，得出自己的体会，充分发掘自身的潜能，从而提高自己的解题能力，这不仅引导学生多方法，多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质，而且使学生感受到成功的喜悦和增强自信心，也极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣，从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性。

二、一题多解有利于培养学生思维的深刻性思维的深刻性，不仅表现在审题时能很快发现和抓住问题的基本特征，挖掘出隐含条件，从而迅速确立解题的策略，而且还表现在解题后不满足于“一题一法”而是深刻领会解题的实质，掌握其一般规律。

例2：已知对任意实数x ，二次函数c bx ax x f ++=2)(恒非负，若b a <，求ab c b a M -++=的最小值。

面对这道题，感觉十分特殊，它不同于平时经常接触到的已知两个变量来求某一函数的最值，怎么办呢？由此，联想到数学中减少变量的一个常规方法——消元法。

如何建立“消去关系”呢？重新审视一下题目，我发现二次函数c bx ax x f ++=2)(恒非负，这表明0>>a b 和042≤-ac b ，而由a b c b a M -++=的特点，感觉消去c 较为合理。

解法一：由条件知0>>a b 且042≤-ac b ，即a b c 42≥，得a b c b a M -++=ab a b b a -++≥42 14122-++≥ab a b a b ，令t a b =，1>t ，则23)1(494114112+-+-=-++≥t t t t t M 323)1(49412=+-⋅-≥t t ，当且仅当4=t 即a b 4=，ac 4=时，M 取得最小值3。

在解法一中，我觉得计算量太大，变形技巧要求太高，本题是否有更简洁的方法呢？再次审视题目，我发现ab c b a M -++=的分子恰好是由c bx ax x f ++=2)(的赋值而来的，于是尝试凑配，得到下面解法二。

解法二：因为)(x f 非负，故a b c b a M -++=3303)2()(324=+≥+--=--++-=a b f a b a b c b a ，当且仅当0)2(=-f 即2)2()(+=x a x f ，也即a b 4=，a c 4=时，M 取得最小值3。

解法一采用常规解法。

而解法二通过挖掘隐含条件，更简洁更准确的给出解答，通过对比可知分析题目时，不能老把思维停留在题目的表面上，而要深入洞察问题的实质，揭示问题中的本质特征，从而养成深刻思维的良好习惯，达到优化解题的效果。

三、一题多解有利于培养学生思维的灵活性数学问题形式多样，千姿百态，由于思维定势产生的负效应，学生解题时往往墨守成规，故思维灵活性的培养在解题教学中，主要表现为一题多解。

即善于根据题设中的具体情况，及时地提出新的设想和解题方案，不固执己见，不拘泥于陈旧的方案。

例3：a x x x -+≥--113442的解集为{}24|-≤≤-x x ，求实数a 的值。

学生一般思路是先求出原先不等式的解集，然后根据题设条件求a ，思路很清晰，但做起来却很困难。

启发学生改变思路，从而获得较佳的解题途径。

法一：（转化为方程问题）因为原不等式的解集为{}24|-≤≤-x x ，所以2,4-=-=x x 是方程a x x x -+--113442＝的解，代入得317=a 或319=a ，经检验可知，只有319=a 时，不等式的解集为{}24|-≤≤-x x 。

法二：（转化为解析几何问题） 设a x y x x y -+=--=11344221，，作出这两个 函数的图象（如图4），它们分别是以)0,2(-为圆心，2为半径在第二象限的半圆和斜率为34的直线，显然当 直线通过点)2,2(-时，满足21y y ≥的x 的范围为]2,4[--，将点)2,2(-代入a x y -+=11342，得319=a 。

本题运用方程思想，数形结合思想等不同的知识和方法进行解题，既可扩大学生的视野，又可引导学生认识到当常规思维受阻时，可变换思维寻求新的解题途径，使学生思维的灵活性在变换与化归的训练中得到培养和发展。

四、一题多解有利于培养学生的创新思维江泽民指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达不竭的动力。

”人类文明史，就是一部创新史。

创新思维是人类大脑的机能，任何具备正常大脑机能的人都具有进行创新思维的禀赋，经过一定的培养与训练，都会具有创造的才能。

创新思维人人具备，创造力人人皆有，且可以后天培养。

一题多解对学生创新思维能力培养起着重要的作用。

一题多解的训练，可开拓学生思路，提高学生思维的灵活性和敏捷性；在培养学生创造思维能力方面有特殊的功能；也是发展学生创造力的主要途径之一。

例4：已知{}n a 为等差数列，其前10项的和S 10=100，前100项的和S 100=10。

求前110项的和S 110。

法一：要求等差数列的和可先求首项及公差，利用方程思想(常规解法)设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则d a d a d a ，求出1111099100211001009102110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯⨯+=⨯⨯+。

得出结论。

再由,2)109110(1101110d a S ⨯+= 法二：函数思想（待定系数法）图4数列}{，则项和的前.2Bn An S n a n n +=⎩⎨⎧=+=+101001000010010100B A B A ，1011110011=-=B A ，解出 1101101102110-=⨯+⨯=B A S 再由法三：利用性质（简化运算）{}为等差数列因为数列n a ，902)(9010011100121110100-=+=+⋯⋯++=-∴a a a a a S S ， 2100111101-=+=+∴a a a a ，1102)(1101101110-=+=∴a a S 。

通过此题采用多种解法解答不但激发了学生的创新思维，也培养学生的创造性思维；使学生能够全面发展成为拥有良好的创新思维品质和勇于探索的科学精神的高素质人才。

总之，一题多解是数学题解教学中的一种常用方法，是培养、提高学生思维能力，创新能力，分析问题解决问题能力的有效方法。

只要我们能善于运用，积极引导学生运用，就能培养学生创新能力和创造性的思维能力，而且也能减轻学生学习数学的负担，还能提高学生学习数学的效率，从而增强学生学习数学的兴趣，真正发挥一题多解在中学数学教学中应有的作用。