《信号与系统》（一）

《信号与系统》（⼀）

信号与系统

西安电⼦科技⼤学

⼀、信号与系统概述

信号的基本概念和分类

1.信号的分类：确定与随机，连续与离散

确定信号：可⽤确定时间函数表⽰的信号

随机信号：信号不能⽤确切的函数描述，只可能知道它的统计特性⽐如概率

连续时间信号：连续时间范围有定义的信号

离散时间信号：仅在⼀些离散的瞬间才有定义的信号2.信号的分类：周期与⾮周期

周期信号：每隔⼀定时间T或整数N，按相同规律重复变化的信号3.信号的分类：能量与功率信号，因果与反因果

E=∫∞−∞|f(t)|2 dt，P def =limT→∞1T∫T2−T2|f(t)|2 dt

能量有限信号：信号的能量E<∞,P=0

功率有限信号：信号的功率P<∞,E=∞

因果信号：t<0,f(t)=0的信号【即t=0时接⼊系统的信号,⽐如阶跃信号】

反因果信号：Y>=0,f(t)=0的信号

基本信号

1.阶跃函数

ε(t)=limn→∞γn(t)=0,t<01,t>0

积分∫f−∞ε(τ)dτ=tε(t)

2.冲激函数

单位冲激函数：是奇异函数，它是对强度极⼤，作⽤时间极短的物理量的理想化模型

δ(t)=0,t≠0∫∞−∞δ(t)dt=1

冲激函数与阶跃函数的关系：δ(t)=dε(t)dtε(t)=∫t−∞δ(τ)dτ

3.冲激函数的取样性质 ：f(t)δ(t−a)=f(a)δ(t−a)∫∞−∞f(t)δ(t−a)dt=f(a)

4.冲激函数的导数{

{冲激偶δ′(t)的定义：∫∞−∞f(t)δ′(t)dt=−f′(0)

δn(t) ：∫∞−∞f(t)δ(n)(t)dt=(−1)nf(n)(0)

5.冲激函数的尺度变化

δ(at)的定义 δn(at)=1|a|1anδn(t)

推⼴结论：

(1) δat−t0=δat−t0a=1|a|δt−t0a

(2) 当 a=−1 时 δ(n)(−t)=(−1)nδ(n)(t)δ(−t)=δ(t) 为偶函数δ′(−t)=−δ′(t) 为奇函数

信号的运算

1.单位脉冲序列与单位阶跃序列

单位脉冲序列 δ(k)

δ(k)=1k=00,k≠0

单位阶跃序列 ε(k)

ε(k)=1,k≥00,k<0

关系：δ(k)=ε(k)−ε(k−1)ε(k)=∑ki=−∞δ(i)或 ε(k)=∑∞j=0δ(k−j)=δ(k)+δ(k−1)+…

2.信号的加减乘运算：同⼀时刻两信号之值对应加减乘

3.信号的反转：f(t)→f(−t) 称为对信号的反转或反折。从图形上看试讲信号以纵坐标为轴反转180°。

4.信号的平移：f(t)→f(t−t0)，若t0>0 信号右移，否则左移

5.信号的尺度变化：f(t)→f(at)，若a>1，则波形沿横坐标压缩，若0

系统的概念及分类

1.系统定义与经典系统举例

2.系统分类：线性系统与⾮线性系统

线性系统是指满⾜线性性质的系统

其次性：af1⟶ay1可加性：f2⟶y2，f1+f2⟶y1+y2线性性： af1+bf2⟶ay1+by2

Taf1(⋅)+bf2(⋅)=a Tf1(⋅)+b Tf2(⋅)

3.时变系统与时不变系统

时不变系统：系统输⼊延迟多少时间，其零状态响应也响应延迟多少时间。f(t−td)→yzs(t−td)()[()]()

{

{

[][][]主要讨论线性时不变系统：LTI系统4.因果与⾮因果系统

因果系统指零状态响应不会出现在激励之前的系统

⼆、连续系统的时域分析

LTI连续系统的描述

1.连续系统的描述：电路图建⽴微分⽅程

2.微分⽅程的模拟框图

基本部件：y″

基本运算：数乘、微分、相加

基本部件：加法器、数乘器、积分器

3.微分⽅程的经典解法

4.连续系统的初始值

初始值是n阶系统在t=0时接⼊激励，其响应在t=0_+时刻的值，即y^{(j)}(0_+)(j=0,1,2,....,n-1)

初始状态是指系统在激励尚未接⼊的t=0_-时刻的响应值y^{(j)}(0_-)，该值反映了系统的历史情况，⽽与激励⽆关。LTI连续系统的响应

1.零输⼊响应，对应齐次微分⽅程，求齐次解

y_{zi}^{(j)}(0_+) = y_{zi}^{(j)}(0_-)=y^{(j)}(0_-)

2.零状态响应

y_{zs}^{(j)}(0_-) = 0,\ j=0,1,2,...,n-1

(1) 从y_{zs}^{(j)}(0_-) = 0求y_{zs}^{(j)}(0_+)，(2)y_{z s}^{(j)}\left(0_{+}\right)=y^{(j)}\left(0_{+}\right)-y_{z i}(j)\left(0_{+}\right)

3.响应分类

固有响应仅与系统本⾝的特性有关，⽽与激励的函数形式⽆关——齐次解，函数形式与特征⽅程的根有关

强迫响应与激励函数的形式有关——特解

暂态响应：指响应中暂时出现的分类，随着时间的增长，会消失

稳态响应是稳定分量，若存在，通常表现为阶跃函数和周期函数4，冲激响应的定义和求法

冲激响应是由单位冲激函数\delta(t)所引起的零状态响应，记为h(t)。h(t)隐含的条件：f(t) = \delta(t) ,\ h(0) = h'(0) = 0（对⼆阶系统）

5.阶跃响应的定义和求法

阶跃响应是由单位阶跃函数\varepsilon(t)所引起的零状态响应，记为g(t)。g(t)隐含条件：f(t) = \varepsilon(t),\ g(0)=g'(0)=0

阶跃响应与冲激响应的关系为：g(t)=\int_{-\infty}^{t} h(\tau) \mathrm{d} \tau, \quad h(t)=\frac{\mathrm{d} g(t)}{\mathrm{d} t}

卷积积分的定义和性质

1.信号的时域分解：\lim _{\Delta \rightarrow 0} \hat{f}(t)=f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) \mathrm{d} \tau2.卷积公式：已知定义在区间(-\infin,\infin)上的两个函数f_1(t)和f_2(t)，则定义积分

f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau

为f_1(t)和f_2(t)的卷积积分，简称卷积，记为f(t) = f_1(t)*f_2(t)

零状态响应：y_{z s}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(t-\tau) \mathrm{d} \tau=f(t) * h(t)3.卷积积分的代数性质：

满⾜交换律，分配率和结合律4.奇异函数的卷积特性

1. f(t) * \delta(t)=\delta(t) * f(t)=f(t)f(t)^{*} \delta\left(t-t_{0}\right)=f\left(t-t_{0}\right)2. f(t)^{*} \delta^{\prime}(t)=f^{\prime}(t)f(t)^{*} \delta^{(n)}(t)=f^{(n)}(t)3. \begin{aligned} f(t) & * \varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \varepsilon(t-\tau) \mathrm{d} \tau=\int_{-\infty}^{t} f(\tau) \mathrm{d} \tau\\ & \varepsilon(t)^{*} \varepsilon(t)=t \varepsilon(t) \end{aligned}

5.卷积的微积分性质

1. \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} t^{n}}\left[f_{1}(t) * f_{2}(t)\right]=\frac{\mathrm{d}^{n} f_{1}(t)}{\mathrm{d} t^{n}} * f_{2}(t)=f_{1}(t) *\frac{\mathrm{d}^{n} f_{2}(t)}{\mathrm{d} t^{n}}2. \int_{-\infty}^{t}\left[f_{1}(\tau) * f_{2}(\tau)\right] \mathrm{d} \tau=\left[\int_{-\infty}^{t} f_{1}(\tau) \mathrm{d} \tau\right]^{*} f_{2}(t)=f_{1}(t)*\left[\int_{-\infty}^{t} f_{2}(\tau) \mathrm{d} \tau\right]3. 在 f_{1}(-\infty)=0 或 f_{2}{ }^{(-1)}(\infty)=0 的前提下,f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)=f_{1}^{\prime}(t)^{*} f_{2}^{(-1)}(t)

卷积积分的应⽤

1.卷积的时移特性

若 f(t)=f_{1}(t)^{*} f_{2}(t),则 f_{1}\left(t-t_{1}\right) * f_{2}\left(t-t_{2}\right)=f_{1}\left(t-t_{1}-t_{2}\right) * f_{2}(t)=f_{1}(t)^{*} f_{2}\left(t-t_{1}-t_{2}\right)=f\left(t-t_{1}-t_{2}\right)

2.⽤梳状函数卷积产⽣周期信号

周期为T的周期单位冲激函数序列，称为梳状函数

f(t) * \delta_{T}(t)=f(t) * \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(t-m T)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} f(t-m T)

卷积结果：依然是周期信号，周期为T。T<\tau时，各相邻脉冲之间将会出现重叠，将⽆法使波形f(t)在f_T(t)的每个周期中重现。3.矩阵脉冲的卷积产⽣三⾓形和梯形脉冲

两个不同宽的门函数卷积时，其结果为梯形函数，梯形函数的⾼度为窄门（⾯积），其上底为两个门函数宽度之差，下底为两个门函数宽度之和。4.互相关和⾃相关函数的定义

⽐较某信号与另⼀延时\tau的信号之间的相似度，需要引⼊相关函数

互相关函数：R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t) f_{2}(t-\tau) d t=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t+\tau) f_{2}(t) d tR_{21}(\tau)=\int^{\infty}_{-\infty} f_{1}(t-\tau) f_{2}(t) d t=\int^{\infty}_{-\infty} f_{1}(t) f_{2}(t+\tau) d t

三、离散系统的时域分析

差分⽅程的建⽴及经典解法

1.建⽴差分⽅程

移位序列：设有序列f(k)，则...,f(k+2),f(k+1),f(k-1),f(k-2)

后向差分（差分）：\nabla f(k)=f(k)-f(k-1)m阶差分：\nabla^{\mathrm{m}} f(k)=f(k)+b_{1} f(k-1)+\ldots+b_{\mathrm{m}} f(k-m)