能量守恒定律讲解

第4课时功能关系能量守恒定律

［知识梳理］）

知识点、功能关系

1. 功能关系

（1） 功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。

（2） 做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现

2. 能量守恒定律

（1）内容：能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式转化为 另一种形式，或从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中其总 量保持不变。

⑵表达式：△ E 减=△ E增。

考点一对功能关系的理解与应用 功是能量转化的量度。力学中的功与对应的能量的变化关系如下表所示：

功 能量改变 关系式

W合：合外力的功（所有外力的功） 动能的改变量（△ Ek） W 合=△ Ek

WG重力的功 重力势能的改变量（△ Ep） WG=— △ Ep

W弹：弹簧弹力做的功 弹性势能的改变量（△ Ep） W 弹=一 △ Ep

W其他：除重力或系统内弹簧弹力 以外的其他外力做的功 机械能的改变量（△ E） W其他=△ E

f s： —对滑动摩擦力做功的代

数和 因摩擦而产生的内能（Q） f -A s= Q

（△ s为物体间的

相对位移）

考点二能量守恒定律的应用

应用能量守恒定律的解题步骤

1. 选取研究对象和研究过程，了解对应的受力情况和运动情况。

2. 分析有哪些力做功，相应的有多少形式的能参与了转化， 如动能、势能（包 括重力势能、弹性势能、电势能）、内能等。

3. 明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量 △ E减和增加的能量△ E增的表达式。

4. 列出能量转化守恒关系式：△丘减=4 E增，求解未知量，并对结果进行讨 论。

【例2】（多选）如图5为某探究活动小组设计的节能运输系统。斜面轨道倾角 为30°,质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为 £。木箱在轨道顶端时，自动 装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下， 当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回 到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是 （ ）

图5

A. m= M

B. m= 2M

C. 木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度

D. 在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧 的弹性势能

解析根据功能关系知，木箱在下滑和上滑时克服摩擦力所做功等于接触面之间 产生的内能。

木箱下滑时 Qi = Wfi= KM + m）glcos 30° ①

木箱上滑时Q2 = Wf2=卩MgCos 30°②

木箱从开始下滑到弹簧压缩至最短的过程中，设弹簧的最大弹性势能为 Epmax,

则根据能量转化与守恒定律得

（M + m）glsi n 30°= Qi + Epamx ③

卸下货物后，木箱被弹回到轨道顶端的过程中，同理有

Epmax= Mgls in 30°+ Q2 ④

联立①②③④并将 尸石代入得m= 2M， A错误，B正确；

同时，从③式可以看出，木箱下滑的过程中，克服摩擦力和弹簧弹力做功，因此 减少的重力势能一部分转化为内能，一部分转化为弹簧的弹性势能，故 D错误;

木箱不与弹簧接触时，根据牛顿第二定律得：

下滑时(M + m)gsin 30°— KM + m)gcos 30°= (M + m)ai 上滑时 Mgsin 30°+ 卩 Mgos 30°= Ma?

解得ai = g, a2 = 3g，故C正确。

答案 BC

【变式训练】

2. (2014福建5月质检)如图6所示，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点， BC右端连接内壁光滑、半径为r的才细圆管CD，管口 D端正下方直立一根劲度 系数为k的轻弹簧，轻弹簧一端固定，另一端恰好与管口 D端平齐。质量为m

的滑块在曲面上距BC的高度为2r处从静止开始下滑，滑块与BC间的动摩擦因

1

数 尸扌，进入管口 C端时与圆管恰好无作用力，通过 CD后压缩弹簧，在压缩 弹簧过程中滑块速度最大时弹簧的弹性势能为 Ep。求：

A

图6

(1) 滑块到达B点时的速度大小VB；

(2) 水平面BC的长度s；

(3) 在压缩弹簧过程中滑块的最大速度 Vm。

解析(1)滑块在曲面上下滑过程，由动能定理得

1 2

mg • 2r = qmvB，

解得 VB= 2 一 gr

2

⑵在C点，由mg= mVC得vc= gr

滑块从A点运动到C点过程，由动能定理得

1 2

mg - 2r — K mg= qmvc

解得s= 3r

(3) 设在压缩弹簧过程中速度最大时，滑块离 D端的距离为X0，则有kx0= mg,得x mg 得 x0^k

、 1 2 1 2 由能量守恒得 mg(r + xo) = qmvm — qmvc+ Ep

_ __________ 2 _____ 得vm= 3gr +第―警

答案(1)2 序(2)3r (3) 3gr + 翠-青

考点三摩擦力做功的特点及应用

1. 静摩擦力做功的特点

(1) 静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

(2) 相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零。

(3) 静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能

2. 滑动摩擦力做功的特点

(1) 滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

(2) 相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：

① 机械能全部转化为内能；

② 有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能。

(3) 摩擦生热的计算：Q = fs相对。其中s相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移。

【例3】 如图7所示，与水平面夹角为9= 30°的倾斜传送带始终绷紧，传送

带下端A点与上端B点间的距离为L= 4 m，传送带以恒定的速率v= 2 m/s向上

运动。现将一质量为1 kg的物体无初速度地放于 A处，已知物体与传送带间的 动摩擦因数尸中

(1)物体从A运动到B共需多少时间?

(2)电动机因传送该物体多消耗的电能。

解析 ⑴物体无初速度放在A处后，因mgsin 9 ＜卩mgcos 9，贝U物体沿传送 加速度a= 卩 mgcos 9 — mgs in 9 2

=2.5 m/s

擦方 带向上做匀加速直线运动 物体达到与传送带同速所需的时间ti = - = 0.8 s a

ti时间内物体的位移Li = V" = 0.8 m

之后物体以速度v做匀速运动，运动的时间

L — Li

t2= = 1.6 s v

物体运动的总时间t= ti +12 = 2.4 s

⑵前0.8 s内物体相对传送带的位移为

△ L= vti — Li = 0.8 m

因摩擦而产生的内能 E内=卩mgos 9 •△ L = 6 J

电动机因传送该物体多消耗的电能为

1 2

E 总=Ek + Ep+ E 内=qmv + mgLsin 9 + E 内=28 J

答案（1）2.4 s （2）28 J

传送带模型问题的分析流程

3•如图8所示，水平传送带两端点A、B间的距离为I，传送带开始时处于静止 状态。把一个小物体放到右端的 A点，某人用恒定的水平力F使小物体以速度 V1匀速滑到左端的B点，拉力F所做的功为 W1、功率为P1,这一过程物体和传 送带之间因摩擦而产生的热量为 Q1。随后让传送带以V2的速度匀速运动，此人 仍然用相同的恒定的水平力 F拉物体，使它以相对传送带为 V1的速度匀速从A 滑行到B，这一过程中，拉力F所做的功为W2、功率为P2，物体和传送带之间 因摩擦而产生的热量为Q2。下列关系中正确的是（ ）

图8 A. Wi = W?， P1 vP2，Q1 = Q2

B. Wi = W?， P1 v P2， Q1 >Q2 60°,斜面的表面情况都一样。完全相同的物体 （可视为质点）A、B、C分别从C. Wi> W2, Pi= P2 , Qi > Q2

D. Wi > W2, Pi = P2, Qi = Q2

解析 因为两次的拉力和拉力方向的位移不变， 由功的概念可知，两次拉力做功 相等，所以 Wi = W2,当传送带不动时，物体运动的时间为 山=丄；当传送带以

vi

V2的速度匀速运动时，物体运动的时间为 t2= 丨，所以第二次用的时间短， 功率大，即PiV P2； 一对滑动摩擦力做功的绝对值等于滑动摩擦力与相对路程 的乘积，也等于转化的内能，第二次的相对路程小，所以 Qi>Q2，选项B正确。 答案 B

i •如图9所示，三个固定的斜面，底边长度都相等，斜面倾角分别为30°、45

斜面的顶部滑到底部的过程中 （ ）

A .物体A克服摩擦力做的功最多

B. 物体B克服摩擦力做的功最多

C. 物体C克服摩擦力做的功最多

D. 三个物体克服摩擦力做的功一样多

解析 因为三个固定斜面的表面情况一样，A、B、C又是完全相同的三个物体， 因此A、B、C与斜面之间的动摩擦因数相同可设为 仏由功的定义：Wf=- fs

=—卩mgsos B =—卩mgd三个固定斜面底边长度 d都相等，所以摩擦力对三

个物体做的功相等，都为—卩mgd 答案 D

2. （多选）如图10所示，小球从A点以初速度V0沿粗糙斜面向上运动，到达最高 点B后返回A点，C为AB的中点。下列说法中正确的是 （ ） 图9

A•小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，外力做功为零

B. 小球从A到C与从C到B的过程，减少的动能相等

C. 小球从A到C与从C到B的过程，速度的变化率相等

D. 小球从A到C与从C到B的过程，损失的机械能相等

解析 小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，重力做功为零，但有摩擦 力做负功，选项A错误；因为C为AB的中点，小球从A到C与从C到B的过 程合外力恒定、加速度恒定、速度的变化率相等，选项 C正确；又因为重力做

功相等，摩擦力做功相等，合外力做功相等，故减少的动能相等，损失的机械能 相等，选项B、D正确。

答案 BCD

3. (多选)伦敦奥运会男子蹦床项目进行决赛，中国队的董栋以62.99分的成绩为 中国军团赢得第19枚金牌。如图11所示是董栋到达最高点的照片及下落过程的 示意图，图中虚线MN是弹性蹦床的原始位置，A为运动员抵达的最高点，B为 运动员刚抵达蹦床时的位置，C为运动员抵达的最低点。不考虑空气阻力和运动 员与蹦床作用时的机械能损失，在 A、B、C三个位置上，运动员的速度分别是 VA、VB、VC，机械能分别是EA、EB、EC，贝U它们的大小关系为

()

图11

A . VA v VB，VB > VC B. VA > VB，VB V VC

C. EA= EB， EB>EC D . EA> EB， EB = EC