最小公倍数
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
最小公倍数的表示：
数学上常用方括号表示。如[12，18，20]即12、18和20的最小公倍数。
最小公倍数的求法：
求几个自然数的最小公倍数，有两种方法：
（1）分解质因数法。先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
例如，求[12，18，20]，因为12=2^2×3，18=2×3^2，20=2^2×5，其中三个数的公有的质因数为2，两个数的公有质因数为2与3，每个数独有的质因数为5与3，所以，[12，18，20]=2^2×3^2×5=180。（可用短除法计算）
（2）公式法。由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即（a，b）×[a，b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。
例如，求[18，20]，即得[18，20]=18×20÷（18，20）=18×20÷2=180。求几个自然数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。最后所得的那个最小公倍数，就是所求的几个数的最小公倍数。
最大公约数
指某几个整数共有因子中最大的一个。
例如，12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数。
两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：
* 两数各分解质因子，然后取出同样有的项乘起来
* 辗转相除法（扩展版）
和最小公倍数（lcm）的关系：gcd(a, b)×lcm(a, b) = ab
两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。
两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律：
知识点讲解：
1.倍数
①一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。
②一个数除以另一数所得的商。如a÷b=c，就是说a是b的c倍，a是b的倍数。
一个数能整除它的积，那么，这个数就是因数，它的积就是倍数。
3 × 5 = 15 例如：A÷B=C，就可以说A是B的C倍。
③一个数的倍数有无数个，也就是说一个数的倍数的集合为无限集。
注意：不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。
2.公倍数与最小公倍数
①公倍数：指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。
注意：除0外的任何自然数的公倍数都有无数个。
②最小公倍数：几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：6和8,6的倍数有6,12,18,24,30……，8的倍数有8,16,24,32,40……我们选出其中相同的最小的倍数24，那么24就是6和8的最小公倍数。
简单记为[6,8] = 24。
注意：几个自然数的最小公倍数只有一个。
3.求最小公倍数的几种方法
①列举法：就是将几个自然数的倍数分别列举出来，然后将这些倍数中最小的倍数选出来即可。
②直接法：如果两个数互为质数，那么这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。
注意：两个连续的自然数互质，两个连续的奇数互质。
③短除法：求两个数的最小公倍数，先用这两个数的公约数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来。
④找大数法：如果两个数有倍数关系。那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。例如：3和15的最小公倍数就是较大数15。
⑤借助最大公约数求最小公倍数。（下次课详细讲解）
4.分解质因数 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数。（分解质因数只针对合数。）
1 个性化辅导教案
学生 学校 年级 六年级 课次 6次
科目 初中数学 教师 刘翠翠 日期 时段
课题 最大公因数与最小公倍数应用
教学目标
考点分析 1. 掌握最大公因数与最小公倍数的基础应用
2. 熟悉最小公倍数与植树问题和周期问题结合类型的应用
3. 进一步巩固最小公倍数与剩余定理结合
教学重点
难点 与植树问题，周期问题，剩余定理综合运用
教学内容
补充部分公式
小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）
小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）
小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大正方体边长÷小长方体高）
小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大长方体的高÷小正方体边长）
剩余定理
余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数
缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数
植树问题公式
不封闭型： 2、只有一端都栽
1、两端都栽 间隔个数=株数
间隔个数=株数－1
株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数
距离=一个间隔的长度×间隔个数 距离=一个间隔的长度×间隔个数
3、两端都不栽
间隔个数=株数＋1
株数=间隔个数－1
距离=一个间隔的长度×间隔个数
封闭型：
间隔个数=株数
株数=间隔个数
距离=一个间隔的长度×间隔个数
封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽：
株数=（每边株数－1）×4
备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求
2 一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可
二、经典题目
（一）最大公因数
1.师家的卫生间长24dm、宽18dm,如果要用边长是整分米数的正方形地砖把卫生间地面铺满（使用的地砖是整数），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？
1 1.6 公倍数与最小公倍数
教学目标
1．通过解决实际问题的活动，理解公倍数、最小公倍数的意义，掌握求公倍数、最小公倍数的基本方法。
2．经历分析数量关系、观察和讨论的过程，进一步体会公倍数、最小公倍数的意义，会合理使用列举法、分解素因数法、短除法求两个数的最小公倍数；会求是互素数或有倍数关系的两个数的最小公倍数，体会选择适当方法解决问题的优化思想，锻炼分析问题和解决问题的能力。
3. 在积极思考、积极参与讨论的活动中，自觉改进学习，促进良好学习习惯的养成和沟通、交流能力的提高。
重点、难点
会合理使用列举法、分解素因数法、短除法求两个数的最小公倍数
教学过程
一、复习旧知，巩固旧识
1.判断题：
（1）两个数有公因数1，这两个数一定互素（×）
（2）互素的两个数，一定都是素数（×）
（3）一个素数和任意一个数都互素（×）
（4）相邻的两个正整数一定互素（√）
（5）几个数的最大公因数就是它们所有公共素因数的乘积(√)
2.已知甲数=2×3×5×m,乙数=2×3×7×m，甲乙两数的最大公因数是30，则m=__5__.
3.若两个数的积是360，它们的最大公因数是6，则这两个数为_6与60，12与30_
二、创设情景，引入新课
问题的提出：在上海南站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车，如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6：00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？
问题的分析：早晨6点以后地铁1号线发车间隔的时间（分钟）是3的倍数， 2 而轨道交通3号线发车的时间（分钟）是4的倍数，这个问题可以转化为求3和4的最小公倍数。
师（启发式）：谁能用自己的话说一说什么叫公倍数？
问题的答案：
3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，24，27…
4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，36，40…
3和4公有的倍数有：12，24…其中最小的一个是12
