第17讲等腰三角形性质及分类讨论尖子班讲义
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1 等腰三角形性质及分类讨论（讲义）
一、知识点睛
1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质．
2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形．
3. 分类讨论的类型：
①定义法则．
如绝对值，平方，完全平方式等．
②关键词不明确．
如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等．
③位置不确定．
如线段端点的位置，角的位置，高等．
④对应关系不确定．
如两部分的差，全等三角形对应关系等．
4. 分类讨论题目解题要点：
①辨识类型；
②画出各种类型的图形并求解；
③根据标准进行取舍．
标准包括限制条件，实际意义等．
二、精讲精练
1. 已知：如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE交于点O．求证：AB=AC．
AOECDB
2. 已知：如图，在△ABC中，∠A=90º，AB=AC，BD平分
∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于E，若CE=5cm，求BD的长．
ABECD
2
3. 如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，交AB于F，AF=BF．求证：BC=CD．
FDCBA
4. 如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F．
求证：EC平分∠DEF．
GEBFCDA
5. （1）若4x2-(m-1)xy+9y2是完全平方式，则m=_________．
（2）若x2-4xy+ny2是完全平方式，则n=_________．
（3）若9x2-12xy+(m+1)2y2是完全平方式，则m=_________．
6. 等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为______________．
7. 已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=________．
8. 在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，
则线段BC的长为______________．
9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为__________．
10. 若等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为__________．
11. 已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为__________．
3 12.
13. 已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为30º，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数．
30°lAB
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，找出所有符合条件的点P．
ABC
三、回顾与思考
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4
【参考答案】
1. 证明略（提示：连接BC，证明AC=BC，AB=BC）
2. 10cm（提示：延长CE交BA的延长线于点F，证明BD=2CE）
3. 证明略（提示：延长CF到E，使CF=EF，连接BE，证明
△AFC≌△BEF，再证明BE=BC）
4. 证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明
AD⊥EC，再证明ED=CD，利用平行导角）
5. （1）-11，13 （2）4 （3）1，-3
6. 120°或20°
7. 2
8. 1cm或5cm
9. 65°或115°
10. 8cm
11. 8cm或163cm
12. 作图略
13. 作图略
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等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）
1. 若x2-(a+1)xy+4y2是完全平方式，则a=_________．
2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．
3. 如图，在△ABC中，D，E为BC上的点，AC=CD，CF⊥AD
交AD于G，交AB于F，AD平分∠BAE．
求证：DF∥AE．
【参考答案】
1．3或-5 2．50°或130°
3．证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG=DG，得到AF=FD，证得∠FAD=∠FDA，由角平分线可得∠FDA=∠EAD，所以DF∥AE） FCGEDBA
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等腰三角形性质及分类讨论（作业）
15. 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD，E，F分别为AB，AC边上的点，BE=CF．
求证：DE=DF．
16. 已知：如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．
求证：BM=ME．
17. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE平分∠ADB，AF=FC，连接AD．
求证：BD=CD．
FBEADC
MDCBAEFDCBAE
7
18. 若4x2-axy+16y2是完全平方式，则a=_________．
19. 在直线l上任取一点A，截取AB=8cm，点C为AB中点，截取CD=5cm，则线段AD的长为______________．
20. 若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则此等腰三角形顶角的度数为______________．
21. 已知一等腰三角形的三边分别是5x3，3x+3，27，则x=__________．
22. 等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则顶角的度数为__________．
23. 已知等腰三角形的周长为24cm，两边的差为3cm，则底边长为__________．
24. 在已知直线l上找一点C，和直线外的A，B两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l上找出所有符合条件的点C．
BAl
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【参考答案】
1. 证明略（提示：延长AD到H，使DH=AD，连接BH，证明
△BHD≌△CAD，导出AB=AC，再证明△BED≌△CFD）
2. 证明略（提示：连接BD，利用“三线合一”
证明∠DBE=∠E=30°）
3. 证明略（提示：证明AD=DC，AD=BD）
4. ±16
5. 1cm或9cm
6. 80°或40°
7. 6或8
8. 60°或120°
9. 10cm或6cm
10. 点C有5个，作图略
