人教新课标版数学高一-必修一1.3.1函数 的单调性(第1课时)

打印版

高中数学 §1.3 函数的基本性质

1．3.1 单调性与最大(小)值

第1课时 函数的单调性

课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．

1．函数的单调性

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__________．

(3)如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有________________，区间D叫做y＝f(x)的__________．

2．a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为________．

3．k>0时，y＝kx＋b在R上是____函数．

4．函数y＝1x的单调递减区间为__________________．

一、选择题

1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示．

给出如下命题：

①f(0)＝1；

②f(－1)＝1；

③若x>0，则f(x)<0；

④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是( )

A．②③ B．①④ 打印版

高中数学 C．②④ D．①③

2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1

A．f(x1)

C．f(x1)>f(x2) D．以上都可能

3．f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )

A．至少有一个根 B．至多有一个根

C．无实根 D．必有唯一的实根

4．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )

A．递减函数 B．递增函数

C．先递减再递增 D．先递增再递减

5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是( )

A.fx1－fx2x1－x2 >0

B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0

C．f(a)

D.x1－x2fx1－fx2>0

6．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间为( )

A．(－∞，－3] B．(－∞，－1]

C．[1，＋∞) D．[－3，－1]

题 号 1 2 3 4 5 6

答 案

二、填空题

7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________．

8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.

三、解答题

9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

打印版

高中数学

10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a

求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．

11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．

打印版

高中数学

能力提升

12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0

(1)试求f(0)的值；

(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．

13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.

(1)求f(2)的值；

(2)解不等式f(m－2)≤3.

打印版

高中数学

1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．

2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝1x在(－∞，0)和(0，

＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝1x在定义域上是减函数．

3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．

4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：

即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．

若f(x)>0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．

§1.3 函数的基本性质

1．3.1 单调性与最大(小)值

第1课时 函数的单调性

知识梳理

1．(1)增函数 (2)减函数 (3)增函数 减函数 (严格的)单调性 单调区间 2.[0，＋∞) 3.增 4.(－∞，0)和(0，＋∞)

作业设计

1．B

2．A [由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2>x1，对应的f(x2)>f(x1)．]

3．D [∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，

∴①当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0， 打印版

高中数学 ②当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0，

由①②知f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．]

4．C [如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]

5．C [由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x1

6．A [该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．]

7．m>0

解析 由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m－1<2m－1，∴m>0.

8．－3

解析 f(x)＝2(x－m4)2＋3－m28，

由题意m4＝2，∴m＝8.

∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.

9．解 y＝－x2＋2|x|＋3

＝ －x2＋2x＋3 x≥0－x2－2x＋3 x<0＝ －x－12＋4 x≥0－x＋12＋4 x<0.

函数图象如图所示．

函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 打印版

高中数学 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．

∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，

单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．

10．证明 设a

∵g(x)在(a，b)上是增函数，∴g(x1)

且a

∴f(g(x1))

∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．

11．解 函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．

证明如下：

任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1

则f(x2)－f(x1)＝x22－1－x21－1

＝x22－x21x22－1＋x21－1＝x2－x1x2＋x1x22－1＋x21－1.

∵1≤x1

∴x2＋x1>0，x2－x1>0，x22－1＋x21－1>0.

∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，

故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．

12．解 (1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，

令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．

因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.

(2)函数f(x)在R上单调递减．

任取x1，x2∈R，且设x1

在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，

若取m＋n＝x2，m＝x1，

则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)， 打印版

高中数学 由于x2－x1>0，所以0

在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，

令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.

当x>0时，01>0，

又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0.

所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，

即f(x2)

13．解 (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，

∴f(2)＝3.

(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．

∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，

∴ m－2≥2m－2>0，解得m≥4.

∴不等式的解集为{m|m≥4}．