人教版数学九年级下册第二十七章相似导学案

优质.实用教育文档 27.1 图形的相似

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1．理解并掌握两个图形相似的概念；了解成比例线段的概念，会确定线段的比 .

2．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等；会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．

【重点难点】

1．相似图形的概念与成比例线段的概念；相似多边形的主要特征与识别．

2．成比例线段概念；运用相似多边形的特征进行相关的计算．

知识概览图

相似多边形的特征：对应角相等，对应边的比相等

判断两个多边形相似：对应角相等，对应边的比相等

比例线段：有四条线段，其中两条线段的比与另两条线段的比相等，称这四条线段是比例线段

新课导引

【生活链接】如下图所示，有用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，也有一辆汽车和它的模型，这些都给我们以形状相同的图形的形象．

【问题探究】这种形状相同的图形叫做相似图形，两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．那么相似的图形具有哪些性质呢?

教材精华

知识点1 相似图形

我们把形状相同的图形叫做相似图形．两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．例如：如图27－1所示的几组图形都是形状相同、大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形． 图形的相似

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当两个图形的形状相同、大小也相同时，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等形．例如：如图27－2所示，△ABC与△A′B′C′的形状相同，并且大小也相同，因此这两个三角形相似，并且这两个三角形全等．

拓展 所谓“形状相同”，就是与图形的大小、位置无关，与摆放角度、摆放方向也无关．有些图形之间虽然只有很小的差异，但也不能认为是“形状相同”．

知识点2 比例线段

对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如acbd(即ab＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

(1)式子acbd也可以写成a：b=c：d，通常这里的a叫做第一比例项，b叫做第二比例项，c叫做第三比例项，d叫做第四比例项．

(2)有时在acbd中，b＝c，例如：4669，这时我们把b叫做a，d的比例中项，此时b2＝ad．

(3)在式子acbd的两边同时乘以bd，得ad＝cb，在与比例有关的计算中，我们常通过上述变形转化字母之间的关系．

拓展 通常情况下，四条线段a，b，c，d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c，d的单位一致也可以．

知识点3 相似多边形

对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形．

拓展 在多边形中，只有当“对应边成比例”、“对应角相等”这两个条件同时成立时，才能说明两个多边形是相似多边形．

知识点4 相似多边形的性质

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

例如：若△ABC与△A′B′C′相似，则∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，ABACBCABACBC.

拓展 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．

优质.实用教育文档 知识点5 相似比

相似多边形对应边的比称为相似比．

拓展 相似多边形面积的比等于相似比的平方．

规律方法小结 (1)相似的两个图形之间大小、方向、位置可以相同，也可以不同，但它们的形状必须相同．如：两张大小不同的世界地图或中国地图；两面大小不同的中国国旗；同一底片、尺寸不同的两张照片．有些图形之间很相像，但不相似，如：哈哈镜中人的形象与本人不相似；农历十五晚上的月亮与十六晚上的月亮虽然很相像，但并不相似．

(2)学习本节知识时要充分运用转化思想，即把求证的线段之间的关系转化为易证、易求的线段间的另一种关系，同时，对于给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论．

探究交流 当相似比为1时，相似的两个图形之间有什么关系?

点拨 相似比为1的两个图形是全等形．

课堂检测

基本概念题

1、下列多边形中，一定相似的是 ( )

A．两个矩形 B．两个菱形

C．两个正方形 D．两个平行四边形

2、下列命题中，正确的是 ( )

A．相似多边形是全等多边形 B．不全等的多边形不是相似多边形

C．全等多边形是相似多边形 D．不相似的多边形可能是全等多边形

3、如果线段a是线段b、线段c的比例中项，b＝3，c＝12，那么线段a的长是多少?

基础知识应用题

4、如果两地的实际距离为750m，图上距离为5 cm,那么这张图的比例尺是多少?

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5、已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA＝20：15：9：8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D，的各边长．

综合应用题

6、等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′，相似，AD＝BC，∠A＝65°，AB＝8 cm，A′B′＝6 cm，AD＝5 cm，求A′D′的长及梯形A′B′C′D′各内角的度数．

7、已知相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5 m的竹竿的影长为2.5 m，那么影长为30 m的旗杆的高度为 ( )

A．20 m B．16 m

C．18 m D．15 m

探索与创新题

8、已知线段AB＝8，C为线段AB的黄金分割点，求AC:BC的值．

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体验中考

在同一时刻，身高为1．6米的小强在阳光下的影长为0．8米，一棵大树的影长为4．8米，则这棵树的高度为 ( )

A．4．8米 B．6．4米

C．9．6米 D．10米

学后反思

附： 课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析 根据相似多边形的定义，两个矩形只满足对应角相等，而对应边不一定成比例；两个菱形只满足对应边成比例，而对应角也不一定相等；两个正方形的对应边成比例，对应角都是90°，一定相似；两个平行四边形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等．故选C.

【解题策略】 判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等、对应边的比相等，这两个条件缺一不可．

2、分析 全等多边形是特殊的相似多边形．故选C.

【解题策略】 如果两个多边形全等，则一定相似，但是如果两个多边形相似，则不一定全等．

3、分析 四条线段a，b，c，d是成比例线段，若第二比例项和第三比例项是两条相同的线段，即a：b＝b：c，则把b叫做a和c的比例中项．将a：b＝c：d变形，可得到bc＝ad，当a：b＝b:c时，有b2＝ac．

解：∵a是b，c的比例中项，且b＝3，c＝12，

∴a2＝bc＝3³12＝36，∴a＝±6．

优质.实用教育文档 ∵a是线段，∴线段a的长是6．

【解题策略】 如果线段a是线段b，c的比例中项，那么a2=bc．(其中a，b，c均为正数)

4、分析 图的比例尺是一种比例关系，是图上距离与实际距离的比，通常写成1：x的形式，也就是说，图上的1 cm相当于实际的x cm，如某图的比例尺为1：40000，就是说图上的1 cm相当于实际的40000 cm，即400 m.

解：∵750 m＝75000 cm，∴5:75000＝1:15000，

即这张图的比例尺是1:15000．

【解题策略】 不论是将图形放大还是缩小，比例尺都是图上距离与实际距离的比．

5、分析 根据四边形ABCD各边的比为20：15：9：8可得四边形A′B′C′D′各边的比也为20：15：9：8，再根据四边形A′B′C′D′的周长为26，可求出各条边的长．

解：∵四边形ABD与四边形A′B′C′D′相似，且AB:BC:CD:DA＝20:15:9:8，

∴A′B′：B′C′：C′D′：D′A′＝20：15：9：8．

又∵四边形A′B′C′D′的周长为26，

∴A′B′=26³20201598=10，B′C′=26³15201598=7．5，

C′D′=26³9201598=4．5，D′A′=26³20201598=4，

即四边形A′B′C′D′的各边长分别为A′B′＝10，B′C′＝7．5，C′D′＝4．5，D′A′＝4．

【解题策略】 相似多边形的相似比等于对应边的比．

6、分析 充分利用相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质和等腰梯形的性质来解题．

解：∵等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似，

∴∠A＝∠A′=65°，ABADABAD，

即856AD，∴A′D′=154(cm)，

∴B′C′＝154cm，∠A′＝∠B′＝65°，

∴∠C′＝∠D′＝180°－65°＝115°．

【解题策略】 本题是一道综合性题目，在运用相似多边形性质的同时也运用了等腰梯形的性质．

7、分析 本题考查比例线段的基本性质．因为同一时刻物高与影长成比例，所以

优质.实用教育文档 2.5301.5旗杆的高度，∴旗杆的高度＝301.52.5＝18(m)．故选C．

【解题策略】 解决此类问题时，也可以根据比例式列出方程，通过解方程求出旗杆的高度．

8、分析 黄金分割点指的是线段上的某一点，它将线段所分成的两条线段中，较长的一条线段是较短的一条线段和整条线段的比例中项，其中较长的一条线段与整条线段的比值叫做黄金比，黄金比的近似值约为0.618，准确值是512．

解：当AC＞BC时，AC=512AB=4(5－1)，

∴BC=AB－AC=8－4(5－1)=12－45=4(3－5)，

∴AC：BC=4(5－1)：4(3－5)=512．

当AC＜BC时，BC=512AB=4(5－1)，

∴AC=AB－BC=4(3－5)，

∴AC:BC=4(3－5):4(5－1)= 512．

【解题策略】 对于给出两条线段的比，而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论．

体验中考

分析 设这棵树的高度为x米，则1.6：0.8＝x：4.8，解得x＝9.6．故选C．

【解题策略】 相同时刻的物高与影长成比例．

27.2 相似三角形应用举例