2017-2018学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷-含详细解析.

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2017-2018学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷

副标题

题号

一

二

三

总分

得分

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. M（-1，2），N（3，0）两点之间的距离为（ ）

A. 2√2 B. 4 C. 2√5 D. 5

2. 直线x-y-√3=0的倾斜角为（ ）

A. 45∘ B. 60∘ C. 12∘ D. 135∘

3. 直线y=2x-2与直线l关于y轴对称，则直线l的方程为（ ）

A. 𝑦=−2𝑥+2 B. 𝑦=−2𝑥−2 C. 𝑦=2𝑥+2 D. 𝑦=12𝑥−1

4. 已知圆M：x2+y2=1与圆N：（x-2）2+y2=9，则两圆的位置关系是（ ）

A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切

5. 设m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，m，n既不在α内，也不在β内．则下列结论正确的是

（ ）

A. 若𝑚//𝛼，𝑛//𝛼，则𝑚//𝑛 B. 若𝑚//𝑛，𝑛//𝛼，则𝑚//𝛼

C. 若𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝛼，则𝑚⊥𝑛 D. 若𝑚⊥𝛼，𝑚⊥𝛽，则𝛼⊥𝛽

6. 若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是（ ）

A. (−∞,1) B. (−∞,1] C. [1,+∞) D. R

7. 圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是（ ）

A. 2𝜋 B. 1𝜋 C. 2𝜋2 D. 1𝜋2

8. 方程x=√1−𝑦2表示的图形是（ ）

A. 两个半圆 B. 两个圆 C. 圆 D. 半圆

9. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，若平面PAD∩平面PBC=l，则（ ）

A. 𝑙//𝐶𝐷

B. 𝑙//𝐵𝐶

C. l与直线AB相交

D. l与直线DA相交

10. 已知a，b是异面直线，给出下列结论：

①一定存在平面α，使直线b⊥平面α，直线a∥平面α，

②一定存在平面α，使直线b∥平面α，直线a∥平面α；

③一定存在无数个平面α，使直线b与平面α交于一个定点，且直线a∥平面α．

则所有正确结论的序号为（ ）

A. ①② B. ② C. ②③ D. ③

二、填空题（本大题共11小题，共44.0分）

11. 已知点A（m，-2），B（3，0），若直线AB的斜率为12，则m=______． 第2页，共20页 12. 若直线l1：ax+2y-8=0与直线l2：x-y=0平行，则a=______．

13. 已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______．

14. 已知直线y=kx+k过定点，则定点的坐标为______．

15. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件______时，A1P∥平面BCD（答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）

16. 如图，矩形ABCD中AB边与x轴重合，C（2，2），D（-1，2）．从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上，再经CD反射到AD上点Q处．

①若OP的斜率为12，则点Q的纵坐标为______；

②若点Q恰为线段AD中点，则OP的斜率为______．

17. 在区间[-2，4]内随机选取一个实数x，则x∈[1，3]的概率为______．

18. 如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m=______；甲、乙两组人加工零件数方差较大的一组的方差为______．

19. 从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为______．

20. 一艘货船以15km/h的速度向东航行，货船在A处看到一个灯塔P在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船到达B处，此时看到灯塔P在北偏东15°方向上，这时船与灯塔的距离为______km．

21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC面积S满足1≤S≤2，且sinAsinBsinC=18．给出下列结论： 第3页，共20页 ①abc≥16；②a2b+ab2＞8；③ab＜32；

其中正确结论的序号是______（写出所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共66.0分）

22. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，点E为线段PD的中点．

（1）求证：PB∥平面AEC；

（2）求证：AE⊥平面PCD；

（3）求三棱锥A-PCE的体积．

23. 已知直线l：y=-x+8与x轴相交于点A，点B坐标为（0，-4），过点B作直线l的垂线，交直线l于点C．记过A、B、C三点的圆为圆M．

（Ⅰ）求圆M的方程；

（Ⅱ）求过点C与圆M相交所得弦长为8的直线方程．

24. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱AB上的动点，F是棱CC1上一点，CF：FC1=1：2．

（Ⅰ）求证：B1D1⊥A1F；

（Ⅱ）若直线A1F⊥平面B1D1E，试确定点E的位置，并证明你的结论；

（Ⅲ）设点P在正方体的上底面A1B1C1D1上运动，求总能使BP与A1F垂直的点P所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）

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25. 在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M名同学的成绩，数据的分组统计表如下：

分组 频数 频率

(40,50] 2 0.02

(50,60] 3 0.03

(60,70] 12 0.12

(70,80] 38 0.38

(80,90] m n

(90,100] 15 0.15

合计 M N

(Ⅰ)求出表中m，n，M，N的值；

(Ⅱ)根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；

(Ⅲ)若该地区高二学生有500人，假设同组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数．

26. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．b=√5，B=𝜋4．

（I）若a=3，求sinA及sinC的值；

（Ⅱ）若△ABC的面积等于1，求a的值．

27. 已知圆C：x2+（y-3）2=25与x轴的负半轴相交于点M．

（I）求点M的坐标及过点M与圆C相切的直线方程；

（II）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切第5页，共20页 三角形．记圆C的外切三角形为△DEF，且D（-5，-2），E（t，-2）（t＞5）试用t表示△DEF的面积；

（Ⅲ）过点M作MA，MB分别与圆相交于点A，B，且直线MA，MB关于x轴对称，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．

第6页，共20页 答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：M（-1，2），N（3，0）两点之间的距离为 d==2．

故选：C．

根据两点间的距离公式计算即可．

本题考查了求两点间的距离公式应用问题，是基础题．

2.【答案】A

【解析】

解：直线x-y-=0的斜率k=1，

设直线x-y-=0的倾斜角为α（0°≤α＜180°），

则tanα=1，即α=45°．

故选：A．

由直线方程求直线的斜率，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解．

本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．

3.【答案】B

【解析】

解：由点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），

可得直线y=2x-2关于y轴对称的直线l的方程为：

y=-2x-2，

故选：B．

运用点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），只要将已知直线方程中的x换为-x，y不变，可得所求直线方程．

本题考查直线关于y轴对称的直线方程求法，注意运用点（x，y）关于y轴的对第7页，共20页 称点为（-x，y），同时还要熟记点关于原点对称的特点、以及点关于x轴对称的特点和关于直线y=x，y=-x的特点，考查变换能力，属于基础题．

4.【答案】C

【解析】

解：圆M：x2+y2=1的圆心为M（0，0），半径为r1=1；

圆N：（x-2）2+y2=9的圆心为N（2，0），半径为r2=3；

|MN|=2=r2-r1，

∴两圆的位置关系是内切．

故选：C．

根据两圆的圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系

本题考查了两圆位置关系的判断问题，是基础题

5.【答案】B

【解析】

解：由m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，

m，n既不在α内，也不在β内，知：

在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；

在B中，若m∥n，n∥α，则由线面平行的判定定理得m∥α，故B正确；

在C中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m与n平行，故C错误；

在D中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误．

故选：B．

在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面平行的判定定理得m∥α；在C中，由线面垂直的性质定理得m与n平行；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

6.【答案】A

【解析】