高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结

高中数学 一．椭圆

标准

方程 （焦点在x轴）

)0(12222babyax （焦点在y轴）

)0(12222babxay

定 义 第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。aMFMFM221212FFa

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第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。

范 围 xa yb xb ya

顶点坐标 )0,(a (0,)b ),0(a (,0)b

对 称 轴 x轴，y轴；长轴长为a2，短轴长为b2 M

1F 2F xyM M1F 2F

xyMM

1F 2F xyO M1F 2F

xyO

高中数学 对称中心 原点(0,0)O

焦点坐标 1(,0)Fc 2(,0)Fc 1(0,)Fc 2(0,)Fc

焦点在长轴上，22cab； 焦距：122FFc

离 心 率 ace (01e) ,abaace22222，

e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆。

准线方程 cax2 cay2

准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：ca22

顶点到准线的距离 顶点1A（2A）到准线1l（2l）的距离为aca2

顶点1A（2A）到准线2l（1l）的距离为aca2

焦点到准线的距离 焦点1F（2F）到准线1l（2l）的距离为cca2

焦点1F（2F）到准线2l（1l）的距离为cca2

椭圆上到焦点的最大（小）距离 最大距离为：ac

最小距离为：ac

相关应用题：远日距离ac

近日距离ac

椭圆的参数方程 cossinxayb（为参数） cossinxbya（为参数）

精编文档 条件{M|MF1|+|MF2|=2a，2a＞|F1F2|}{M||MF|Ml =|MF|Ml=e0e1}1122点到的距离点到的距离，＜＜标准方程xaybab222210()＞＞xbyaab222210()＞＞顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴对称轴：x轴，y轴．长轴长|A1A2|=2a，短轴长|B1B2|=2b焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|=2c(c＞0)，c2=a2－b2离心率e(0e1)＝＜＜ca准线方程ll12xx：＝；：＝acac22ll12yy：＝；：＝acac22焦点半径|MF1|＝a＋ex0，|MF2|＝a－ex0|MF1|＝a＋ey0，|MF2|＝a－ey0点和椭圆的关系＞外在椭圆上＜内xaybxy022022001(,)(k为切线斜率)，ykx＝±akb222(k为切线斜率)，ykx＝±bka222切线方程xxayyb0202＋＝1(x0，y0)为切点xxbyya0202＋＝1(x0，y0)为切点切点弦方　程(x0，y0)在椭圆外xxayyb0202＋＝1(x0，y0)在椭圆外xxbyya0202＋＝1弦长公式|xx|1+k|yy|1+1k212122－或－其中(x1，y1)，(x2，y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率圆锥曲线知识点总结

1． 椭圆的性质

精编文档 条件P＝{M|MF1|－|MF2|＝2a，a＞0，2a＜|F1F2|}．P{M||MF|Ml|MF|Mlee1}1122＝点到的距离＝点到的距离＝，＞．标准方程xayb2222－＝＞，＞1(a0b0)yaxb2222－＝＞，＞1(a0b0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴对称轴：x轴，y轴，实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c(c＞0)，c2＝a2＋b2离心率e(e1)＝＞ca准线方程ll12xx：＝－；：＝acac22ll12yy：＝－；：＝acac22渐近线方 程yx(0)＝±或－＝baxayb2222yx(0)＝±或－＝abyaxb2222共渐近线的双曲线系方程xayb2222－＝≠k(k0)yaxb2222－＝≠k(k0)焦点半径|MF1|＝ex0＋a，|MF2|＝ex0－a|MF1|＝ey0＋a，|MF2|＝ey0－aykx＝±akb222(k为切线斜率)kk＞或＜－babaykx＝±bka222(k为切线斜率)kk＞或＜－ababxxayyb0202－＝1((x0，y0)为切点yyaxxb0202－＝1((x0，y0)为切点切线方程xyaa((xy)2200＝的切线方程：＝，为切点xyyx002切点弦方 程(x0，y0)在双曲线外xxayyb0202－＝1(x0，y0)在双曲线外yyaxxb0202－＝1弦长公式|xx|1+k|yy|1+1k212122－或－其中(x1，y1)，(x2，y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率 2．双曲线的性质

椭圆

第一定义：平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|的动点P的轨迹叫做椭圆。

即：│PF│+│PF'│=2a

其中两定点F、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。 第二定义：平面内与一个定点F的距离与到一条定直线间距离之比为常数e（ ）的点轨迹叫做椭圆。

不在定直线上，该常数为小于1的正数）

一．图像

标准方程

图形

顶点（四个）

焦点

中心 （0，0）

长轴长 2a

短轴长 2b

焦距 2c

a、b、c的关系

范围

对称性

离心率

焦点弦

焦半径 曲线上任意一点与

焦点的连线段的长

通径 通过焦点且与长轴垂直的弦

焦点三角形的面积

二．椭圆的参数方程

三．点与椭圆

点P在椭圆内

点P在椭圆上

点P在椭圆外

四．直线与椭圆

1.位置关系

方程联立

△

△

△

2.所交弦长

五．附加

1.周长

2.求椭圆方程

方法：待定系数法、定义法

双曲线

双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。

一。图像

标准方程

图形

顶点（四个）

中心 （0，0）

椭圆与双曲线知识点总结

（一）椭圆

1. 椭圆的定义

如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆

即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C

当a>c时表示

当a=c时表示

当a

第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0

2. 椭圆的标准方程参数方程

（1） 标准方程

（2） 参数方程

3. 椭圆的性质

（1）焦点在x轴上的椭圆

标准方程

x,y的范围

顶点 焦点 对称轴 对称中心

长半轴的长 短半轴的长 焦距

离心率e= 范围 e越大椭圆越 e越小椭圆越

准线 焦半径公式|PF1|= |PF2|=

(F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点) 椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P2|=

（2）焦点在y轴上的椭圆

标准方程