数学人教版九年级上册圆中常见的辅助线及作法

马鸣风萧萧

马鸣风萧萧

初中数学试卷

马鸣风萧萧

例谈圆中常见作辅助线的方法

圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：

一、作弦心距——在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距

例1 如图1，AB为⊙Ｏ的直径，PQ切⊙Ｏ于T，AC⊥PQ于C，交⊙Ｏ于D，AD=2，TC=3.求⊙Ｏ的半径。

解：过点O作OM⊥AC于M，∴AM=MD=AD/2=1.

∵PQ切⊙Ｏ于T，

∴OT⊥PQ．又∵AC⊥PQ，OM⊥AC，

∴∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，

∴四边形OTCM为矩形．∴OM=TC=3，

∴在Rt△AOM中，22312AOOMAM．

即⊙Ｏ的半径为2．

例2 如图2，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.

求证：AC=BD.

证明：过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE，CE=DE，

∴AE-CE=BE-DE.

∵AC=AE-CE，BD=BE-DE.

∴AC=BD.

二、连半径——与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径

例3 如图3，⊙O的直径CD=20cm，直线l⊥CO，垂足为H，交⊙O于A、B两点，AB=16 cm，直线l平移多少厘米时能于⊙O相切？

解：连接OA， · Ｃ Ｄ Ａ Ｅ Ｂ

Ｏ

图2

C · H A

B

l 图3 D O 图1 A

B

C D O

P T Q M 马鸣风萧萧

马鸣风萧萧 ∵l⊥CO，∴OC平分AB∴AH=8cm.

在Rt△AHO中，OH=2222810AHAO6cm.

∴CH=4cm，DH=16 cm.

答：直线l向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙O相切。

精品文档

精品文档 中考数学圆的辅助线

在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。

1.有弦，可作弦心距

在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

例1 如图1, ⊙O的弦AB、CD相交于点P，

且AC=BD。求证：PO平分∠APD。

分析1：由等弦AC=BD可得出等弧 =

进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD，由同圆中

等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。

证法1：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F

AC=BD => = => = => AB=CD

=> OE=OF

∠OEP=∠OFP=90° => △OPE≌△OPF

0OP=OP

=>∠OPE=∠OPF => PO平分∠APD

分析2：如图1-1，欲证PO平分∠APD，即证 AB ( BD， (

CD ( D

C B P O

A E F

P B

图 1

AC (

AC ( BD ( AB ( CD ( 精品文档

精品文档 ∠OPA=∠OPD，可把∠OPA与∠OPD构造在两个

三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线

即半径OA，OD，因此易证△ACP≌△DBP，得AP=DP，从而易证△OPA≌△OPD。

证法2：连结OA，OD。

∠CAP=∠BDP

∠APC=∠DPB =>△ACP≌△DBP

AC=BD

=>AP=DP

OA=OD =>△OPA≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO平分∠APD

.

. 中考数学圆的辅助线

在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。

1.有弦，可作弦心距

在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

例1 如图1, ⊙O的弦AB、CD相交于点P，

且AC=BD。求证：PO平分∠APD。

分析1：由等弦AC=BD可得出等弧 =

进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD，由同圆中

等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。

证法1：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F

AC=BD => = => = => AB=CD

=> OE=OF

∠OEP=∠OFP=90° => △OPE≌△OPF

0OP=OP

=>∠OPE=∠OPF => PO平分∠APD

分析2：如图1-1，欲证PO平分∠APD，即证 AB ( BD， (

CD ( D

C B P O

A E F

P B

图 1

AC (

AC ( BD ( AB ( CD ( .

. ∠OPA=∠OPD，可把∠OPA与∠OPD构造在两个

三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线

即半径OA，OD，因此易证△ACP≌△DBP，得AP=DP，从而易证△OPA≌△OPD。

证法2：连结OA，OD。

∠CAP=∠BDP

∠APC=∠DPB =>△ACP≌△DBP

AC=BD

=>AP=DP

OA=OD =>△OPA≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO平分∠APD

..

;,. D A

B C E F

M N

A

B D C

E

A

B C D E F

M 辅助线的作法

正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法：

方法一：从已知出发作出辅助线：

例1．已知：在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=FC21

分析：题设中含有D是BC中点，E是AD

中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密

切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：

（1）过D点作DN∥CA，交BF于N，可得N为BF中点，由中位线定理得DN=FC21，再证△AEF≌△DEN，则有AF=DN，进而有AF=FC21

（2）过D点作DM∥BF，交AC于M，可得FM=CM，FM=AF，则有AF=FC21

方法二：分析结论，作出辅助线

例2：如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，

求证：AB·AC=AE·AD

分析：要证AB·AC=AE·AD，需证ACAEADAB

（或ACADAEAB），需证△ABE∽△ADC（或△ABD∽△AEC），

这就需要连结BE（或CE），形成所需要的三角形，同时得

∠ABE=∠ADC=900(或∠ADB=∠ACE=900)又∠E=∠C（或∠B=∠E）

因而得证。

方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线

例3：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E；

求证：AE∶ED=2AF∶FB

分析：已知D是BC中点，那么在

三角形中可过中点作平行线得中位线； ..

;,. A B C D E O ·

A B C D

O 1 2 3 ·

A B C O A

B C D E 1 2 · O 若要出现结论中的AE∶ED，则应有一条与EF平行的直线。所以，过D点作DM∥EF交AB于M，可得FMAFFMAFEDAE22，再证BF=2FM即可。