4差异量数

11第四章

差异量数

2教学内容

¾全距和百分位差¾平均差、方差与标准差¾标准差的应用¾差异量数的选用

3¾什么是差异量数？󰂙就是对一组数据的变异性，即离中趋势特点进行度量和描述的统计量，也称为离散量数（measures of dispersion）。

433333B54321A戊丁丙乙甲五位考官对两位应聘者的等级评定

你认为应该选择哪个应聘者更合适？为什么？

5平均数的代表性

AB59425752524962556359A、B两组成绩，孰好孰坏？5=−AX5=−BXA

02468

012345678910B

012345

0123456789106¾第一节全距和百分位差

7一、全距（range）

¾又称两极差，用符号R表示¾计算公式为：R=Xmax－Xmin¾特点：󰂙是最简单、最容易理解的差异量数󰂙是最粗糙、最不可靠的值仅仅用了极端值计算受抽样变动的影响8二、百分位差

¾(一)百分位数（percentile）󰂙它是指量尺上的一个点，在此点以下，包括数据分布中全部数据个数的一定百分比。第P百分位数就是指在其值为P的数据以下，包括分布中全部数据的百分之p，其符号为Pp。

9精确登记实际累加相对累加上下限次数次 数次 数96---.9795.5—98.5||20.02100193---9492.5---95.5|||30.03980.9890---9189.5—92.5||||40.04950.9587---8886.5—89.5|||| |||80.08910.9184---8583.5—86.5|||| |||| |110.11830.8381---8280.5—83.5|||| |||| |||| ||170.17720.7278---7977.5—80.5|||| |||| |||| ||||190.19550.5575---7674.5—77.5|||| |||| ||||140.14360.3672---7371.5—74.5|||| ||||100.1220.2269---7068.5—71.5|||| ||70.07120.1266---6765.5—68.5|||30.0350.0563---6462.5—65.5|10.0120.0260---6159.5—62.5|10.0110.01∑f=1001上限以下的累加次数分组区间组中值Xc次数f频数p/N

差异量数

对于一组数据资料，如果只通过求其集中量数，了解它的集中趋势，这并不能准确反映该群体的全貌。因为平均数相同的不同群体，在很多情况下，可能存在着较大的差异。例如，我们现在给出甲、乙、丙三组数据资料，每组都是5个数据，并且具有相同的平均值。

甲：56，66，76，86，96平均值为76

乙：70，72，76，80，82平均值为76

丙：66，71，76，81，86平均值为76

观察上面三组数据，我们可以发现，尽管三组的集中量数相同，但它们的离散程度明显存在着差异。乙组最集中，丙组居中，甲组最分散。如果用“全距”这一最简单的描述差异情况的量数来做比较，可以看出：

组别 最大值——最小值 全距

甲

乙

丙 56——96

70——82

66——86 40

12

20

甲组差异量数最大，说明各数据值分散范围广并且参差不齐。

乙组差异量数最小，说明各数据值最集中、整齐。

丙组差异量数居中。

由此可知，为了客观认识数据资料的全貌，做出科学的判断，在比较各组数据资料平均值的同时，还要考虑其差异情况，只有这样，才能更准确可靠地掌握数据资料的全貌。

差异量数是代表一组数据变异程度或离散程度的量数。它反映了数据分布的离中趋势，即分化的程度。差异量数大，表示各数值分散的范围甚广且参差不齐；差异量数小，表示各数值甚为集中、整齐，其变动的范围小。

要想了解集中量数的代表性如何，可通过差异量数来进行判断。差异量数愈大，则集中量数的代表性愈小；差异量数愈小，则集中量数的代表性愈大。集中量数在量尺上反映为一个点，差异量数在量尺上反映为一段距离。只有很好地发挥二者的功能，才能对数据分布的全貌有一个比较明晰的了解。

差异量数大致分为绝对差异量数、相对差异量数和相对位置量数三类。绝对差异量数是反映一组数据离中趋势并以数据单位为单位的统计量，具体包括全距、平均差和标准差等。相对差异量数是一个比率值，不以数据单位为单位，它通常被用于比较两种测量单位不同的数据资料的差异情况，具体有差异系数等。相对位置量数主要反映一个量数在其总体中所处的位置，从而便于比较不同量数在不同总体中所处的位置，它包括百分等级和标准分等。现分别进行简要介绍。

第四章 差异量数

一、单选题

1.欲比较同一团体不同观测值的离散程度，最适合的指标是（ ）

A. 全距 B. 方差 C. 四分位距 D. 变异系数

2.在比较两组平均数相差较大的数据的分散程度时，宜用（ ）

A. 全距 B. 四分差 C. 离中系数 D. 相对标准差

3.已知平均数x=4.0，s=1.2，当X=6.4时，其相应的标准分数为（ ）

A. 2.4 B. 2.0 C. 5.2 D. 1.3

4.求数据16，18，20，22，17的平均差（ ）

A. 18.6 B. 1.92 C. 2.41 D. 5

5.测得某班学生的物理成绩（平均78分）和英语成绩（平均70分 ），若要比较两者的离中趋势，应计算（ ）

A. 方差 B. 标准差 C. 四分差 D. 差异系数

6.某学生某次数学测验的标准分为2.58，这说明全班同学中成绩在他以下的人数百分比是（ ），如果是-2.58，则全班同学中成绩在他以上的人数百分比是（ ）

A. 99% ，99% B. 99%，1% C. 95%，99% D. 95%，95%

7.已知一组数据6，5，7，4，6，8的标准差是1.29，把这组中的每一个数据都加上5，然后再乘以2，那么得到的新数据组的标准差是（ ）

A. 1.29 B. 6.29 C. 2.58 D. 12.58

8.标准分数是以（ ）为单位表示一个分数在团体中所处位置的相对位置量数。

A. 方差 B. 标准差 C. 百分位差 D. 平均差

11第四章集中量数•定义：表示一组数据集中趋势的指标，或表示一组数据的典型情况。•分类：•1.算术平均数•2.中数•3.众数•4.加权平均数•5.几何平均数•6.调和平均数2一、算术平均数（样本用X，M；总体用U）•（一）计算方法•（二）平均数的优缺点优点：（1）反应灵敏。（2）确定严密。•（3）简明易解。（4）计算简单。•缺点：（1）易受极端数据的影响。•（2）数据模糊不清时，无法计算。•

3二、加权平均数•计算公式：iiiwWXWM•W是权数，X是原始分数计算加权平均数省区代码 人数 平均分数 1 627 98 2 268 60 3 400 82 4 670 96 5 411 80 6 314 65 7 610 96 8 500 88  3800 665 某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样人数和平均数见下表，求该项调查的总平均数•解：A：若果不加权，仅用八个省份的平均分数之和除以8，便可得到97.8638003304963800885006026898627WM13.838665WMB：A，B两种方法计算得到的平均值差异较大。哪个正确？为什么？答：用A方法计算的平均数不正确，实质上是假定每个省区的取样人数相等，这不符合实际情况6加权平均数的应用•选拔考试时，不同科目的考试分数最终合成总分时，可根据每个科目的重要性，赋予不同的权重。•一题多解时，可赋予不同权重。•难易度不同的几次考试，计算总成绩时可赋予不同权重。•同一个题目让不同年龄的学生做时，应考虑权重。•由各小组平均分计算总平均数是应用加权平均数的特例。

2三、中数与众数中数（Md）是按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数。该数可能是数据中的某一个，也可能根本不是原有的数。求中数的方法1.数据中无重复数值的情况（1）数据个数为奇数（2）数据个数为偶数2.数据中有重复数据的情况（1）重复值没有位于中间（2）重复数目位于中间，数据的个数为奇数（3）重复数目位于中间，数据的个数为偶数dN12M=X•求中数的方法•首先将数据按其取值大小排序，找出位于中间的那个数就是中数。1、一组数据中无重复数值（1）数据个数为奇数，则中数为位置的那个数。即例二：求数列4，6，7，8，12的中数.解：=3，数列中排在第3的数据为7，故Md=7N12N12（2）数据个数为偶数，则中数为居于中间位置两个数的平均数，即第与第位置的两个数据相加除以2。即•例3：有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，求中数。•解：数列中第位置的数是7，处于第位置的数是8，故Md=NN122dXXM=2N2N(+1)2N2N(+1)25.72872、中数附近有重复数时①当重复数目位于数据中间，数据的个数为奇数时例：求数列11，11，11，11，13，13，13，17，17的中数。③当重复数目位于数列中间，数据的个数为偶数时，计算方法与数据的个数为奇数时基本相同例：求数列11，11，11，11，13，13，13，17，17，18的中数。•解：141212.513.512.8313.1612.6613