弧长公式与扇形面积公式 ppt课件

24.4.1 弧长和扇形面积公式

复习
1,已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？
C = 2πR
2,已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少?
S=πR2

如图,某传送带的一个转动轮 的半径为10cm.
1.转动轮转一周,传送带上的物 品A被传送多少厘米? 2.转动轮转1°,传送带上的物品 A被传送多少厘米? 3.转动轮转n°,传送带上的物品 A被传送多少厘米?
πr2

区 别
n l弧＝ 360
n . C圆 360 2πr ＝ n S圆 ＝ 360
n ＝180 πr
S扇形＝ S扇形
n 360
πr2
联 系
=已知扇形的圆心角为120°，半径为2,则这个扇形的面积，S 扇 =____． 2、已知半径为2的扇形，面积为 π ，则它的圆心角的度数为 _____． 则这个扇形的弧长为 ____．
1 个圆面积 2
1 个圆面积 4
3 个圆面积 4

圆心角是10的扇形面积是圆面积的 1
360
圆心角是n0的扇形面积是圆面积的
n 360
如果用字母 S 表示扇形的面积，n表示 圆心角的度数，r 表示圆半径，那么扇 形面积的计算公式是：
S扇形＝
n 360
n S圆 ＝ 360

1.扇形的面积大小与哪些因素有关？
（1）与圆心角的大小有关 （2）与半径的长短有关 2.扇形面积公式与弧长公式的区别和联系：
nR 180
nR 2 360
l=
S= 1 rl 2
S扇形
=-

扇形
O A

扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？ (1)圆心角的大小 (2)半径的长短

如图所示,扇形OAB的圆心角为60°,半径为1,将它向右 滚动到扇形O′A′B′的位置,点O到O′所经过的路线长
A.π B .4/3π C.5/3π D.2π
B' A
B
C' D
A
C
扇形的定义 如图，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成 的图形叫做扇形.
弧
A B
O
探究二
1.如图，圆的半径为R，圆心角为90°， 怎样计算扇形的面积呢？
∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求 B⌒C 的
长．
例2、 如图：在△AOC中，∠AOC=90°， ∠C=15°,以O为圆心，AO为半径的圆交AC于B 点，若OA=6, 求弧AB的长。
C
B
O
A
试一试：
如图：AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O 于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，求 弧BC的长.
B●
B
B2
B1
F'
U
A
BCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD 放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它 翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点 A所经过的路线长是_________．
如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌 面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动 ，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路 径的长度等于______．
1 4
π×(652－152)＝1000π(cm2)
例题解析
例2 如图，正三角形ABC的边长为2，分别以A、B、C为 圆心,1为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求弧O1O2、 弧O2O3、弧O3O1围成的图形的面积S（图中阴影部分）.

形的面积为___4____.
3
2、已知扇形的圆心角为300，面积为 3 cm2，则这 个扇形的半径R=_6_c__m．
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20 cm，则扇形
的面积为___2_4__0____c．m2
小结： 扇形面积公式涉及三个量 扇形面积 ,圆心角的度数 ,弧所在
的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量。
360
2
=
0.24

1 2
0.6
3 0.3
≈0.91 m2
12
• 通过这两道题你有什么收获？
1.学会几何建模，既把实际问题转化为几何问题 2.转化思想
3.S弓=S扇—S△
0
0
S弓=S扇+S△ A
B
13
议一议：
1、本节课你学到了那些知识？ 2、本节课你学到了那些数学思想和方法？
14
15
360 180
n (4)n°圆心角所对弧长是多少？ ×π R 180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长
l为 ，则
l nR
180
A
B
n°
O
3
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧
2 长为______
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8π ，那么
这条弧所对的圆心角为16_0_°__。
3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过
40分钟,分针针端转过的弧长是( B )
A.
10 cm B.
3
20 cm C.
3
小结： 弧长公式涉及三个量
弧253长cm,D圆.心角5的03度c数m ,
弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第

n l弧＝ 360
C圆 S扇形＝
n 360
S圆
3.扇形面积单位与弧长单位的区别： （1）扇形面积单位有平方的 （2）弧长单位没有平方的
例3、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部 分的面积（精确到0.01m2）
练习:
1、已知扇形的圆心角为 120°，半径为2, 则这个扇形的面积，S扇=____． 2、已知半径为2的扇形，面积为_____， 则它的圆心角的度数为_____．
练习:
4 3、已知半径为2的扇形，面积为 , 3
则这个扇形的弧长=____．
提高: 已知正三角形 ABC 的边长为 a，分别以 A 、B、C 为圆心，以 a/2 为半径的圆相切于点 D 、 E、F，求图中阴影部分的面积S.
Байду номын сангаас
S扇形＝
n 360
n S圆 ＝ 360
πr2
例1求图中红色部分的面积.（单位：cm,π 取 3.14，得数保留整数）
解一(直接用扇形面积公式计算) r=15cm , n=360o－72o=288o
n 288 2 2 S= 360 πr = × 3.14 × 15 360
≈565（cm2） 解二 （间接求法） S扇形＝S大圆－S小扇形
n R l 180
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角 所对的弧围成的图形是扇形。 B B 弧
O
圆心角 A O
扇形
A
扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？
1.
2.
圆心角是3600的扇形面积是多少？
圆心角是1800的扇形面积是多少？
3.
4.
圆心角是900的扇形面积是多少？

3.若题目无特殊要求，结果用
A
n° B
O
(1)已知圆的半径为9cm ，60°圆心 角所对的弧长为( 9πcm ) (2)已知半径为3，则弧长为π 的弧所 0 60 对的圆心角为_______ (3)已知圆心角为150°，所对的弧长 24 。 为20π ，则圆的半径为_______
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角 所对的弧围成的图形是扇形。
1r 180 1°的圆心角所对的弧长是_______ 。 2r 2°的圆心角所对的弧长是_______ 。 180
nr n°的圆心角所对的弧长是_______ 180 。
……
若设⊙O半径为r， n°的圆心角所对的弧长 为 ，则
l
nr l 180
注意：1.在弧长公式中n和 180都不带单位。 2.公式中出现的三个量， n,r,只要已知其中任意两个 量，就能求出第三个量。
学习目标：
1.通过复习圆的周长、圆的面积公 式，探索n°的圆心角所对的弧长 和扇形面积的计算公式。 2.理解弧长公式和扇形面积公式的 推导过程，掌握公式并能正确、熟 练的运用两个公式进行相关计算. 3.能利用转化思想求不规则图形的 面积。
1．圆的周长公式是
2r
。
360 度的圆心角所对的弧． 2、圆的周长可以看作______
1 lr 2
O
A O
B
nr l 180
nr 2知扇形的圆心角为120°，半径为2，则 这个扇形的面积为_______. 2、已知扇形的圆心角为300，面积为 3 cm 2 ， 则这个扇形的半径R=____ 6cm． 3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20 cm ， 则扇形的面积为__________．
B 弧 圆心角 圆心角 A B

O
B
D
C
当堂训练
2.（08·潍坊）如图，正六边形内接于圆 O,
圆O
旳半径为10，则圆中阴影部分旳面积为10_0____1_5．0 3
O
效果检测
3. 已知等边三角形ABC旳边长为a，分别以A
、B、C为圆心，以a 为半径旳圆相切于点D
2
、 E、F，求图中阴影部分旳面积S.
A
F
E
B
DC
1.扇形旳面积大小与哪些原因有关？ （1）与圆心角旳大小有关 （2）与半径旳长短有关
B●
B
B2
B1
F'
A
BC
DE
FB2
当堂测验
1.如图，已知扇形AOB旳半径为 10cm，∠AOB=60°，求弧AB旳长 和扇形AOB旳面积(写过程）
10 cm 50 cm2
2.假如一3 种扇形面3积是它所在圆旳面积旳
1
，则此扇形旳圆心角是____4_5_°___
8
3、已知扇形旳半径为6cm,扇形旳弧长为
360
180
弧长公式
若设⊙O半径为R，n°旳圆心角所对
旳弧长为l，则 l nR
180
O
注意：
n°
①在应用弧长公式 进行计算时A,要l 注意B
公式中n旳意义,n表达1°圆心角旳倍数,
它是不带单位旳；
②公式中l、n、R，已知其中两个量就可
求第三个量
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展 直长度”，再下料，试计算图所示管道旳展
C
A
B
A是半径为1旳圆O外一点，且OA=2，AB是 ⊙O旳切线，BC//OA，连结AC，则阴影部 分面积等于 。
C

－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中， 图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋 转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章 圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径． 核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个 量． 知识点 2 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径． 【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧 径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角 分 积析，：即先 可用 求形扇 出形 阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面

n
180l BC
180 25
143.
πr 3.1410
所以∠BOC约为143° .
总结
扇形的面积公式有两个，若已知圆心角的度数和 半径，则用S扇形＝n3π6r02 ；若已知扇形的弧长和半径， 则用S扇形＝12 lR(l是扇形的弧长)．
1 若扇形的面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为( D )
= 120π 0.62 - 1 AB OD
360
2
=0.12π- 1 0.6 3 0.3 2
0.22（m2）.
1. 弧长公式为 l n • πr nπr .
180 180
2.
扇形的面积计算公式为
S扇形
nπr 2 360
.
3. 弧长和扇形面积都和圆心角n°，半径r有关系，
因此l和S之间也有一定的关系，列式表示为：
O
垂足为D，交AB于点C，连接AC .
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
O
∴OD=OC-DC=0.3（m）. ∴OD=DC .
A
D
B
图1
又AD⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线 .
C
∴AC=AO=OC . 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. 图2
有水部分的面积 S =S扇形OAB -S OAB
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
3 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝
4，则 BC 的长为( B )
A. 10 π
3
C. 5 π
9
B. 10 π
9
D. 5 π
18
知识点 2 扇形面积公式
半径为r的⊙O，面积为πr2，圆心角为360°. 按下表的圆心角，计算所

本文首先回顾了圆的周长和面积公式，然后引出了弧长和扇形面积的概念。通过问题探讨，推导出了n°圆心角所对的弧长公式以及扇形面积公式。接着，通过一系列例题和变式练习，深入讲解了如何运用这些公式计算弧长和扇形面积，并解决与之相关的实际问题。其中包括计算旋转物体经过的路线长度、求阴影部分的面积等。这些例题不仅涵盖了基础知识的应用，还涉及了一些较为复杂的情境，旨在帮助学生更好地理解和掌握弧长及扇形面积的计算方法。最后，本文总结了这节课的个清晰的知识框架。

第二十四章
圆
24.4
弧长和扇形面积
感悟新知
知1－讲
知识点 1 弧长公式
1.弧长公式
在半径为 R 的圆中， n°的圆心角所对的
弧长 l 的计算公式为l=

.

感悟新知
知1－讲
特别提醒
●公式中，n表示1°的n 倍， 180 表示1°的180 倍，
n， 180 不带单位.
●题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表
知3－讲
感悟新知
知3－讲
(2)圆锥的母线： 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的
线段叫做圆锥的母线 .
(3)圆锥的高： 连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥
的高 .
感悟新知
知3－讲
特别提醒
1.圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面 .
2.圆锥的母线长都相等 .
3.圆锥的母线l、高h及底面圆的半径r构成直角三角
∠ACB=90°，AC=BC=2 ，以点A为圆心，AC为半
径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，
交AB于点F，则图中阴影部分的面积是
(
)
A.π－2
B.2π－2
C.2π－4
D.4π－4
感悟新知
知2－练
思路导引：
感悟新知
知2－练
解：在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90 °，AC=BC=
求所得旋转体的全面积 .
知3－练
感悟新知
知3－练
思路导引：
感悟新知
解：(1)∵∠ C=90°， AC=6， BC=8，
∴ AB= + =10.
∴ S 底=π AC2=36π， S 侧=π× 6× 10=60π .

（2）弧长单位和半径单位一致.
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A

180
S扇形
nR2
360
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
S扇形
1 2
lR
想一想：扇形的面积公式与什么 公式类似？
10
做一做：
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇
形的面积为___4__ __. 3
2、已知扇形的圆心角为300，面积为 3 cm2，则这
个扇形的半径R=_6_c__m．
数学思想（1）转化思想、（2）整体思想
一句话小结：四个公式、一个问题、 两种思想、两个方法.
17
当堂检测
1. 某中学的铅球场如图所示，已知扇形AOB 的面积是36，弧AB的长度为9，求半径OA是 多少？
18
2. (2006,武汉)如
图,⊙A、⊙B、⊙C、
⊙D相互外离,它们的
B
半径都是1,顺次连接
23
已知等边三角形ABC的边长为a，分别以A、
B、C为圆心，以
a 2
为半径的圆相切于点D、
E、
F，求图中阴影部分的面积S.
A
F
E
B
DC
14
点击中考 （2009年长春）如图，方格纸中4个 小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个
小扇形的面积和为 3 （结果保留 π ）．
8
15
回顾与归纳（一）
1.弧长公式：
B. 20 cm
3
C.
25 cm
3
D.
小结： 弧长公式涉及三个量 :1,弧长
50
cm 3
,2,圆心角
的度数 ,3,弧所在的半径，知道其中两个量，就
可以求第三个量。
5
应用：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，