高考数新人教A一轮复习专题练习 第九章 平面解析几何 阶段检测评估(五)

第九章 平面解析几何第1课时 直线的倾斜角与斜率一、 填空题1. 已知过点P(－2，m)和Q(m ，4)的直线的斜率不存在，则m 的值为________． 答案：－2解析：由题意可知，点P 和Q 的横坐标相同，即m ＝－2.2. 若直线过(－23，9)，(63，－15)两点，则直线的倾斜角为__________． 答案：120°解析：设直线的倾斜角为α，则tan α＝－15－963＋23＝－3，∵ 0°≤α＜180°，∴ α＝120°.3. 如果图中的三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3从小到大的排列顺序为__________．答案：k 3<k 1<k 2解析：由图知，k 1<0，k 2>0，k 3<0.另外，tan α1＝k 1<0，α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α3＝k 3<0，α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，而α3<α1，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以 k 3<k 1.综上，k 3<k 1<k 2. 4. 直线l ：xtan π5＋y ＋1＝0的倾斜角α＝________．答案：4π5解析：∵ α∈[0，π)，k ＝tan α＝－tan π5＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π5＝tan 4π5，∴ α＝4π5. 5. 已知某直线l 的倾斜角α＝45°，且P 1(2，y 1)，P 2(x 2，5)，P 3(3，1)是此直线上的三点，则x 2＋y 1＝________．答案：7解析：由α＝45°，得直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1.又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ，即5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得x 2＝7，y 1＝0，∴ x 2＋y 1＝7.6. 若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 解析：当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π 时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上，k ∈[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.7. 若直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1，0)，且它的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为____________．答案：y ＝－34(x －1)解析：由tan α＝3可求出直线l 2的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34，再由l 2过点(1，0)即可求得直线方程为y ＝－34(x －1)．8. 若点A(3，－4)，B(5，－3)，C(4－m ，m ＋2)能构成三角形，则实数m 应满足条件________．答案：m≠－113解析：假设点A ，B ，C 不能构成三角形，则点A ，B ，C 共线．若m ＝1，则点A ，B ，C 不共线；若m≠1，则k AB ＝k AC .因为k AB ＝12，k AC ＝6＋m 1－m ，所以12＝6＋m 1－m ，解得m ＝－113.所以若点A ，B ，C 能构成三角形，则m≠－113.9. 直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.10. 若实数x ，y 满足3x －2y －5＝0(1≤x≤3)，则yx的最小值为__________．答案：－1解析：设k ＝y x ，则yx表示线段AB ：3x －2y －5＝0(1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵ A(1，－1)，B(3，2)，作图易知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min＝k OA ＝－1.二、 解答题11. 已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P ，使直线PA 的倾斜角为60°. 解：① 当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)．∵ A(1，2)，∴ 直线PA 的斜率k ＝0－2a －1＝－2a －1.∵ 直线PA 的倾斜角为60°，∴ tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233.∴ 点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0.② 当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)，同理可得b ＝2－3，∴ 点P 的坐标为(0，2－3)．12. 已知经过A(m ，2)，B(－m ，2m －1)的直线的倾斜角为α，且45°＜α＜135°，求实数m 的取值范围．解：∵ 45°＜α＜135°，∴ k ＞1或k ＜－1或k 不存在， ∴ 2m －3－2m ＞1或2m －3－2m＜－1或m ＝0，解得0＜m ＜34或m ＜0或m ＝0，∴ m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34. 13. 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x≤1)．试求y ＋3x ＋2的最大值与最小值．解：由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y)的直线的斜率k ，由图可知k PA ≤k ≤k PB .由已知可得A(1，1)，B(－1，5)， ∴ 43≤k ≤8， 故y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43. 第2课时 直线的方程一、 填空题1. 斜率与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4，3)的直线的点斜式方程是________．答案： y －3＝32(x ＋4)解析：∵ 直线y ＝32x 的斜率为32，∴ 过点(－4，3)且斜率为32的直线方程为y －3＝32(x ＋4)．2. 经过两点(3，9)，(－1，1)的直线在x 轴上的截距为________．答案：－32解析：由两点式，得所求直线的方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32.3. 已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________________． 答案：y ＝3x ＋5解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝ 3.又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5.4. 如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限． 答案：三解析：由题意知A·B·C≠0.直线方程变为y ＝－A B x －CB，∵ A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴ A ·B ＞0，∴其斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距b ＝－CB ＞0，∴ 直线过第一、二、四象限．5. 斜率为16的直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为______________．答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0解析：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知得|－6b·b|＝6，∴ b ＝±1.∴ 直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.6. 已知经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则该直线的方程为________．答案：2x ＋y －6＝0解析：设所求直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)．∵ 点P 在此直线上，∴ 1a ＋4b＝1.∵ a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4ab，即b ＝2a 时等号成立，∴ a ＋b 取得最小值9时，a ＝3，b ＝6，此时直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.7. 已知方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R )的直线l 在两坐标轴上的截距相等，则a ＝__________．答案：0或2解析：令x ＝0，得y ＝a －2，令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1(a≠－1)．∵ 截距相等，∴ a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2或a ＝0.8. 已知3a ＋2b ＝5，则直线ax ＋by －10＝0必过定点__________________． 答案：(6，4)解析：由3a ＋2b ＝5得到b ＝5－3a 2，代入直线ax ＋by －10＝0得到ax ＋5－3a 2y －10＝0，即a ⎝⎛⎭⎪⎫x －3y 2＋52y －10＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x －32y ＝0，52y －10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，所以直线经过定点(6，4)． 9. 已知直线l 过点P(2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为__________．答案：2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0解析：当截距不等于零时，设l 的方程x a ＋y2a＝1.∵ 点P 在l 上，∴ 2a －12a ＝1，则a ＝32，∴ l 的方程为2x ＋y －3＝0；当截距等于零时，设l 的方程为y ＝kx ，又点P 在l 上，∴ k ＝－12，∴ x ＋2y ＝0.综上，所求直线l 的方程为2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0.10. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y)为整点．下列命题中正确的是________．(填序号)① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④ 直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线． 答案：①③⑤解析：①正确，如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错误，直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k ＝0，b ＝13时，直线y ＝13不通过任何整点；⑤正确，如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1，0)．二、 解答题11. 若直线l 的方程为(2m 2－m －1)x ＋(m 2－m)y ＋4m －1＝0. (1) 求参数m 的取值集合；(2) 若直线l 的斜率不存在，试确定直线l 在x 轴上的截距；(3) 若直线l 在y 轴上的截距等于直线4x －y －2＝0的斜率，求直线l 的方程．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故参数m 的取值集合为{m|m≠1}．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1≠0，m 2－m ＝0，解得m ＝0，故直线方程为－x －1＝0，即x ＝－1，故直线l 在x 轴上的截距为－1.(3) 直线l 在y 轴上的截距存在时，截距为1－4m m 2－m ，因为直线4x －y －2＝0的斜率为4，所以1－4mm 2－m＝4，解得m ＝±12，所以直线l 的方程为4x ＋y －4＝0或y ＝4.12. 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a∈R )．(1) 当a ＝1时，直线l 分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点．若动点P(m ，n)在线段AB 上，求mn 的最大值；(2) 若a ＞－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解： (1) 当a ＝1时，直线l 的方程为2x ＋y －3＝0，可化为2x 3＋y3＝1.由动点P(m ，n)在线段AB上可知0≤m≤32，0≤n ≤3，且2m 3＋n 3＝1，∴ 1≥22m 3·n 3，∴ mn≤98.当且仅当2m 3＝n3时等号成立，解得m ＝34，n ＝32，故mn 的最大值为98.(2) 由直线方程可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N(0，2＋a)．又a ＞－1，故S △OMN＝12×2＋a a ＋1×(2＋a)＝12×（a ＋1）2＋2（a ＋1）＋1a ＋1＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋1）＋1a ＋1＋2≥12×(2（a ＋1）×1a ＋1＋2)＝2， 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0或a ＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.13. 已知直线l 过点P(0，1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B(如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程．解：∵ 点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设点B 的坐标为(a ，8－2a)． 由P(0，1)是线段AB 的中点， 得点A 的坐标为(－a ，2a －6)．又点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， 故将A(－a ，2a －6)代入直线l 1的方程， 得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4. ∴ 点B 的坐标是(4，0)．因此，过P(0，1)，B(4，0)的直线l 的方程为x 4＋y1＝1，即x ＋4y －4＝0.第3课时 直线与直线的位置关系一、 填空题1. 过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是____________． 答案：x －2y －1＝0解析：与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为x －2y ＋c ＝0，将点(1，0)代入x －2y ＋c ＝0，解得c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0.2. 已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0.若l 1⊥l 2，则a ＝________． 答案：1解析：若l 1⊥l 2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1.3. 已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 答案：[0，10]解析：若由题意知，点到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a∈[0，10]．4. 已知点A(1，－2)，B(m ，2)．若线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是________．答案：3解析：∵ 点A(1，－2)和B(m ，2)的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，∴ 1＋m 2－2＝0，∴ m ＝3.5. 一束光线从点A(－2，3)射入，经x 轴上点P 反射后，通过点B(5，7)，则点P 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫110，0 解析：(解法1)由光的反射原理，知k AP ＝－k BP .设P(x ，0)，则0－3x －（－2）＝－0－7x －5，解得x ＝110，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110，0. (解法2)设p(x ，0)，由题意，知x 轴是镜面，入射点A(－2，3)关于x 轴的对称点为A 1(－2，－3)，则点A 1应在反射光线所在的直线上，即A 1，P ，B 三点共线，即kA 1P ＝k PB ，0＋3x ＋2＝75－x，解得x ＝110，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110，0. 6. 已知定点A(1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是__________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 解析：因为定点A(1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x－y ＝0垂直，直线AB 的方程为y ＋x －1＝0，与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 7. 若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点________． 答案：(0，2)解析：由于直线l 1：y ＝k(x －4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，故直线l 2恒过定点(0，2)．8. 若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________．答案：3 2解析：依题意知，AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5|2，即|m ＋7|＝|m ＋5|，解得m ＝－6，所以直线l 的方程为x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得点M 到原点的距离的最小值为|6|2＝3 2.9. 已知△ABC 的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)．若∠C 的平分线所在直线的方程为2x －3y ＋6＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．答案：12x －31y －31＝0解析：设A 点关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A′(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2·x 1－12－3·y 1＋52＋6＝0，y 1－5x 1＋1＝－32，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3y 1－5＝0，3x 1＋2y 1－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3113，y 1＝－113，即A′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113.∵ 角平分线是角的两边的对称轴，∴ A ′点在直线BC 上．∴ 直线BC 的方程为y ＝－113－（－1）3113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0.10. 直线2x －y －4＝0上有一点P ，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P 点的坐标是__________．答案：(5，6)解析：易知A(4，－1)，B(3，4)在直线l ：2x －y －4＝0的两侧．作A 关于直线l 的对称点A 1(0，1)，当A 1，B ，P 共线时距离之差最大．二、 解答题11. 已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解：设直线l 1，l 2交点为P ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P(1，2)．① 若点A ，B 在直线l 的同侧，则l∥AB.而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.② 若点A ，B 在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －252－2＝x －14－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0. 12. 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1) 点P(4，5)关于l 的对称点；(2) 直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x′，y ′)．∵ k PP ′·k l ＝－1，即y′－yx′－x×3＝－1 ①.又PP′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴ 3×x′＋x 2－y′＋y 2＋3＝0 ②.由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－4x ＋3y －95③，y ′＝3x ＋4y ＋35④.(1) 把x ＝4，y ＝5代入③④得x′＝－2，y ′＝7，∴ P(4，5)关于直线l 的对称点P′的坐标为(－2，7)．(2) 用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.13. 已知三条直线l 1：ax －y ＋a ＝0，l 2：x ＋ay －a(a ＋1)＝0，l 3：(a ＋1)x －y ＋a ＋1＝0，a>0. (1) 求证：这三条直线共有三个不同的交点； (2) 求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．假设直线l 1与l 2交于点A ，直线l 1与l 3交于点B ，直线l 2与l 3交于点C.(1) 证明：(证法1)由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＝0，x ＋ay －a （a ＋1）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a a 2＋1，y ＝a ()a 2＋a ＋1a 2＋1， 所以直线l 1与l 2相交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫aa 2＋1，a ()a 2＋a ＋1a 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＝0，（a ＋1）x －y ＋a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， 所以直线l 1与l 3相交于点B(－1，0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay －a （a ＋1）＝0，（a ＋1）x －y ＋a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝a ＋1， 所以直线l 2与l 3相交于点C(0，a ＋1)．因为a ＞0，所以a a 2＋1≠－1，且aa 2＋1≠0，所以A ，B ，C 三点不同，即这三条直线共有三个不同的交点． (证法2)① 设三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1＝a ，k 2＝－1a，k 3＝a ＋1.由k 1·k 2＝－1得l 1⊥l 2，所以直线l 1与直线l 2相交． 由k 1≠k 3，得直线l 1与直线l 3相交．由a(a ＋1)＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0知k 2≠k 3，所以直线l 2与直线l 3相交． 所以直线l 1，l 2，l 3任何两条均不平行．② 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＝0，（a ＋1）x －y ＋a ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以直线l 1与l 3相交于点B(－1，0)．又－1－a(a ＋1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－34≠0， 所以直线l 2不过点(－1，0)，所以直线l 1，l 2，l 3不可能交于同一点． 综上，这三条直线共有三个不同的交点．(2) 解：(解法1)由k 1·k 2＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1得l 1⊥l 2，所以∠BAC＝90°. 由两点间距离公式及(1)，得AB ＝a 2＋a ＋11＋a 2，AC ＝11＋a2， 所以S △ABC ＝12AB ·AC ＝a 2＋a ＋12（a 2＋1）＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≤12＋12×21＝34， 当且仅当a ＝1时取等号．所以这三条直线围成的三角形的面积的最大值为34.(解法2)由k 1·k 2＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1得l 1⊥l 2，所以∠BAC＝90°. 点B 到直线l 2的距离d 1＝1＋a （a ＋1）1＋a 2，点C 到直线l 1的距离d 2＝11＋a2， 所以S △ABC ＝12d 1d 2＝a 2＋a ＋12（a 2＋1）， 以下同解法1.第4课时 圆 的 方 程一、 填空题1. 若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则实数a 的值为________． 答案：1解析：因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1，2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，解得a ＝1. 2. 圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C 的方程为________________．答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝5解析：由题意知圆心纵坐标y ＝－3，代入直线2x －y －7＝0得圆心C(2，－3)，r 2＝22＋12＝5，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.3. 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________．答案：x 2＋(y －1)2＝1解析：由圆C 的圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的圆心为(0，1)．因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.4. 若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是____________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋12－4m ＞0，1＋（－1）2－1－1＋m ＞0，解得0＜m ＜12. 5. 若圆的方程为x 2＋y 2＋kx －4y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为__________． 答案：(0，2)解析：将圆的方程x 2＋y 2＋kx －4y ＋k 2＝0化为标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y －2)2＝4－3k 24.∵ r 2＝4－3k24≤4，∴ k ＝0时，r 最大，此时圆心坐标为(0，2)． 6. 已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，则2x －y 的最大值为________． 答案：5＋ 5解析：令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b|5＝1，解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋ 5.7. 已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0，恰好被面积最小的圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________．答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝PQ 2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.8. 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．答案：10 2解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)，半径是10，且点E(0，1)位于该圆内，故过点E(0，1)的最短弦长BD ＝210－（12＋22）＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即AC ＝210，且AC⊥BD，因此四边形ABCD 的面积为12AC ×BD＝12×210×25＝10 2. 9. 在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1，0)，B(1，0)．若动点C 满足AC ＝2BC ，则△ABC 的面积的最大值是________．答案：2 2解析：设满足条件AC ＝2BC 的C 点坐标为(x ，y)，则(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋2y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8.其中y ≠0，从而S ＝12×2×|y|≤22，所以△ABC 的面积的最大值是2 2.10. 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m ，0)，B(m ，0)(m>0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为________．答案：6 解析：根据题意，画出示意图，如图，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且AB ＝2m ，因为∠APB＝90°，连结OP ，易知OP ＝12AB ＝m.要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为OC ＝32＋42＝5，所以OP max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6.二、 解答题11. 已知以点P 为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且CD ＝410.(1) 求直线CD 的方程； (2) 求圆P 的方程．解：(1) 直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2) 设圆心P(a ，b)，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0 ①. ∵ 直径CD ＝410，∴ PA ＝210，∴ (a ＋1)2＋b 2＝40 ②.由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴ 圆心P(－3，6)或P(5，－2)．∴ 圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为63m ，行车道总宽度BC 为211 m ，侧墙EA ，FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.(1) 建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．解：(1) (解法1)以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．则有E(－33，0)，F(33，0)，M(0，3)．由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为(x －0)2＋(y －b)2＝r 2. ∵ F(33，0)，M(0，3)都在圆上， ∴ ⎩⎨⎧（33）2＋b 2＝r 2，02＋（3－b ）2＝r 2，解得b ＝－3，r 2＝36.∴圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(解法2)以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．设所求圆的圆心为G ，半径为r ，则点G 在y 轴上，在Rt △GOE 中，OE ＝33，GE ＝r ，OG ＝r －3.由勾股定理，得r 2＝(33)2＋(r －3)2，解得r ＝6， 则圆心G 的坐标为(0，－3)，故圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(2) 设限高为h ，作CP⊥AD，交圆弧于点P ，则CP ＝h ＋0.5.将点P 的横坐标x ＝11代入圆的方程，得(11)2＋(y ＋3)2＝36，得y ＝2或y ＝－8(舍)． 所以h ＝CP －0.5＝(y ＋DF)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)． 答：车辆的限制高度为3.5 m.13. 已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)． (1) 求MQ 的最大值和最小值；(2) 若M(m ，n)，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解：(1) 由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2，7)，半径r ＝2 2.又QC ＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42， 所以MQ max ＝42＋22＝62， MQ min ＝42－22＝2 2.(2) 由题意可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率．设直线MQ 的方程为y －3＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k.由直线MQ 与圆C 有公共点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 解得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.第5课时 直线与圆的位置关系一、 填空题1. 若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为______________． 答案：x ＋2y －5＝0解析：由点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上知，此圆的方程为x 2＋y 2＝5，所以该圆在点P 处的切线方程为1×x＋2×y ＝5，即x ＋2y －5＝0.2. 圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为 ________． 答案：4 5解析：公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－（5）2＝4 5.3. (2017·泰州中学月考)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点．若MN≥23，则k 的取值范围是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33解析：由圆的方程，得圆心(2，3)，半径r ＝2，∵ 圆心到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k ＋3－3|k 2＋1，MN ≥23， ∴ 2r 2－d 2＝24－4k2k 2＋1≥23， 变形得4－4k 2k 2＋1≥3，即4k 2＋4－4k 2≥3k 2＋3，解得－33≤k ≤33， 则k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 4. 过点P(2，4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为______________． 答案：x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k(x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵ 直线与圆相切，∴ 圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k|k 2＋（－1）2＝|3－k|k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴ 所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.5. (2017·扬州期中)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0，直线l ：4x －3y ＋15＝0与圆C 相交于A ，B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则△ABD 面积的最大值为________．答案：27解析：因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0，所以圆心C(2，1)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离d ＝|4×2－3×1＋15|42＋（－3）2＝4，所以AB ＝2r 2－d 2＝2×25－16＝6.因为D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，所以D 到直线AB 即直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离的最大值为d ＋r ＝9，所以△ABD 面积的最大值为12×AB ×9＝27.6. (2017·苏锡常镇二模)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________．答案：－1解析：由题意，得C(1，2)，直线l ：m(x －2)＋y －1＝0恒过定点A(2，1)．当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，直线l⊥CA.因为直线l 的斜率为－m ，直线CA 的斜率为1－22－1＝－1，所以－m×(－1)＝－1，即m ＝－1.7. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为____________．答案：2解析：过点O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过点P 作圆O 的切线PA ，连结OA ，易知此时PA 的值最小．由点到直线的距离公式，得OP ＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又OA ＝1，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2. 8. 在直角坐标系xOy 中，已知A(－1，0)，B(0，1)，则满足PA 2－PB 2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为________．答案：2解析：设P(x ，y)，由PA 2－PB 2＝4知[(x ＋1)2＋y 2]－[x 2＋(y －1)2]＝4，整理得x ＋y －2＝0.又圆心(0，0)到直线x ＋y －2＝0距离d ＝22＝2＜2，因此直线与圆有两个交点，故符合条件的点P 有2个．9. (2017·南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则PB PA的最大值是________．答案：2解析：(解法1)设点P(x ，y)，则x 2＋y 2＝2，所以PB 2PA 2＝（x －1）2＋（y ＋1）2x 2＋（y ＋2）2＝x 2＋y 2－2x ＋2y ＋2x 2＋y 2＋4y ＋4 ＝－2x ＋2y ＋44y ＋6＝－x ＋y ＋22y ＋3.令λ＝－x ＋y ＋22y ＋3，所以x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0，由题意，直线x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0与圆x 2＋y 2＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋（2λ－1）2≤2，解得0＜λ≤4，所以PBPA 的最大值为2. (解法2)当AP 不与圆相切时，设AP 与圆的另一个交点为D ，由条件AB 与圆C 相切，则∠ABP＝∠ADB ， 所以△ABP∽△ADB，所以PB PA ＝BD BA ＝BD 2≤2，所以PBPA 的最大值为2.10. (2017·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a)2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP＝300，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－65，0 解析：过点Q 作圆O 的切线QR ，切点为R ，根据圆的切线性质，有∠OQR≥∠OQP＝30°；反过来，如果∠OQR≥30°，则存在圆O 上的点P ，使得∠OQP＝30°.若圆O 上存在点P ，使得∠OQP＝30°，则∠OQR≥30°.因为OP ＝1，所以OQ ＞2时不成立，所以OQ≤2，即点Q 在圆面x 2＋y 2≤4上．因为点Q 在圆M 上，所以圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a)2＝1(a 为实数)与圆面x 2＋y 2≤4有公共点，所以OM≤3.因为OM 2＝(0＋a ＋3)2＋(0－2a)2，所以(0＋a ＋3)2＋(0－2a)2≤9，解得－65≤a ≤0.二、 解答题11. 已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2) 当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1) 若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a|a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2) 过圆心C 作CD⊥AB，垂足为D ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a|a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝2，解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12. (2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．(1) 若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2) 在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．解：(1) 圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2.因为l∥AB，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线l 的斜率为2－01－（－1）＝1.设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l的距离d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝（2＋m ）22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2) 假设圆C 上存在点P ，设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4， PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.因为2－2＜（2－0）2＋（0－1）2＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.13. 平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －4)2＝4. (1) 若直线l 过点A(4，－1)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2) 是否存在一个定点P ，使过P 点有无数条直线l 与圆C 1和圆C 2都相交，且l 被两圆截得的弦长相等？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝k(x －4)－1， 即kx －y －4k －1＝0，由垂径定理，得圆心C 1到直线l 的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1， 结合点到直线距离公式，得|－3k －1－4k|k 2＋1＝1, 化简得24k 2＋7k ＝0，所以k ＝0或k ＝－724.故直线l 的方程为 y ＝－1或y ＝－724(x －4)－1，即y ＝－1或7x ＋24y －4＝0.(2) 假设存在，设点P(a ，b)，l 的方程为y －b ＝k(x －a)，即kx －y ＋b －ak ＝0.因为圆C 1和圆C 2的半径相等，被l 截得的弦长也相等，所以圆C 1和圆C 2的圆心到直线l 的距离也相等，即|－3k ＋b －ak|1＋k 2＝|4k －4＋b －ak|1＋k2， 整理得(14a －7)k 2－(8a ＋14b －32)k ＋8b －16＝0. 因为k 的个数有无数多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧14a －7＝0，8a ＋14b －32＝0，8b －16＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2.综上所述，存在满足条件的定点P ，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.第6课时 椭 圆(1)一、 填空题1. 经过点(0，4)且焦距为10的椭圆的标准方程为____________________．答案：x 241＋y216＝1解析：因为焦距为10，所以2c ＝10，c ＝5.因为4＜5，所以b ＝4，且焦点在x 轴上，a 2＝b 2＋c2＝16＋25＝41，故椭圆的标准方程为x 241＋y216＝1.2. 已知椭圆方程为x 2k －3＋y25－k＝1，则k 的取值范围是______________．答案：(3，4)∪(4，5)解析：由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧k －3>0，5－k ＞0，k －3≠5－k ，∴ k ∈(3，4)∪(4，5)．3. 已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________．答案：6解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.4. 已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB ＝3，则椭圆C 的方程为________________．答案：x 24＋y23＝1解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长AB ＝3知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.5. 若椭圆C ：x 29＋y22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1＝4，则∠F 1PF 2＝________．答案：2π3解析：由题意得a ＝3，c ＝7，则PF 2＝2.在△F 2PF 1中，由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－（27）22×4×2＝－12.∵ ∠F 2PF 1∈(0，π)，∴ ∠F 1PF 2＝2π3.6. (2017·淮阴高级中学模考)已知过椭圆x 225＋y216＝1的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是________．答案：18解析：如图，设F 为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知FQ ＝PF 2，OP ＝OQ ，所以△PQF 的周长为PF ＋FQ ＋PQ ＝PF ＋PF 2＋2PO ＝2a ＋2PO ＝10＋2PO ，易知2PO 的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 的周长取得最小值，最小值是18.7. 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y轴的距离为________．答案：263解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M(x ，y)，则 MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y)·(3－x ，－y)＝0，整理得x 2＋y 2＝3 ①.因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24 ②.将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.8. (2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．答案：5－12解析：由题意得，A(a ，0)，B 1(0，－b)，B 2(0，b)，F(c ，0)，所以B 2F →＝(c ，－b)，AB 1→＝(－a ，－b)．因为B 2F ⊥AB 1，所以B 2F →·AB 1→＝0，即b 2＝ac ， 所以c 2＋ac －a 2＝0，e 2＋e －1＝0.又椭圆的离心率e ∈(0，1)，所以e ＝5－12. 9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC＝90°，则椭圆的离心率是____________．答案：63解析：由题意得，B ⎝⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，因为FB⊥FC，FB →·FC →＝0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 2－c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ，b 2，因此c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝0，3c 2＝2a 2，解得e ＝63.10. 如图，A ，B 是椭圆的两个顶点，点C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且OF ＝ 2.若MF⊥OA，则椭圆的方程为____________．答案：x 24＋y22＝1解析：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则A(a ，0)，B(0，b)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，F(a 2－b 2，0)．依题意得a 2－b 2＝2，FM 的直线方程是x ＝2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，b a a 2－2.由于O ，C ，M 三点共线，所以b a 2－2a 2＝b2a 2，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2，所以所求椭圆的方程是x 24＋y 22＝1. 二、 解答题11. 分别求下列椭圆的标准方程．(1) 经过点P(－23，0)，Q(0，2)两点；(2) 长轴长是短轴长的3倍，且经过M(3，2)；(3) 与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点，且过点(3，－2)．解：(1) 由题意，P ，Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x 轴上，所以a ＝23，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 212＋y24＝1.(2) 当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，又点M(3，2)在椭圆上，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ，32a 2＋22b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45，b 2＝5，所以椭圆的标准方程为x 245＋y25＝1.当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)，又点M(3，2)在椭圆上，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ，22a 2＋32b 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝85，b 2＝859，椭圆的标准方程为x 2859＋y285＝1.综上，椭圆的标准方程为x 245＋y 25＝1或x 2859＋y285＝1.(3) 由椭圆4x 2＋9y 2＝36得c ＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5＋b 2，32a2＋（－2）2b 2＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝10， 所以椭圆的标准方程为x 215＋y210＝1.12. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，求椭圆C 的离心率．解： 右准线l ：x ＝a 2c ，d 2＝a 2c －c ＝b2c，在Rt △BOF 中，由面积法得d 1＝bca，若d 2＝6d 1，则b 2c ＝6×bca，整理得6a 2－ab －6b 2＝0，两边同除以a 2，得6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋b a －6＝0，解得b a ＝63或－62(舍)，∴ e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝33.13. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1) 若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2) 若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解：(1) 若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形， 所以有OA ＝OF 2，即b ＝c.所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2) 由题意知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)．由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y22＝1.第7课时 椭 圆(2)一、 填空题1. 已知椭圆x 2m ＋y24＝1的焦距为2，则m 的值为________．答案：5或3解析：当焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，∴ c ＝m －4，∴ m －4＝1，∴ m ＝5；当焦点在y轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴ c ＝4－m ，∴ 4－m ＝1，∴ m ＝3.2. 已知以椭圆两焦点F 1，F 2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e 等于__________．答案：22解析：由题意得b ＝c ，∴ a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴ e ＝c a ＝22.3. 已知椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为______________．答案：x 28＋y24＝1解析：由2c ＝4，a 2c ＝4，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝8，b 2＝4，则该椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.4. 中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是____________．答案：x 281＋y272＝1解析：依题意知2a ＝18，∴ a ＝9，∴ 2c ＝13×2a ，c ＝3，∴ b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴ 椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.5. 已知椭圆x 24＋y22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点．若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有________个．答案：6解析：当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．6. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上．若P 到两焦点的距离之比为2∶1，则椭圆的离心率的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 解析：设P 到两个焦点的距离分别是2k ，k ， 根据椭圆定义可知3k ＝2a.又由椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k≤2c，所以2a≤6c，即e≥13.因为0＜e ＜1，所以13≤e ＜1.故椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1. 7. 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上一点．若|PF 1→|·|PF 2→|的最大值为3c 2，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率为________．答案：33解析：∵ |PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，∴ |PF 1→|·|PF 2→|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1→|＋|PF 2→|22＝a 2，∴ a 2＝3c 2，∴ e 2＝13，∴ e＝33. 8. 已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点．若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．答案：12解析：直线AB 2的方程为x －a ＋y b ＝1，直线B 1F 的方程为x c ＋y －b ＝1，则它们的交点的横坐标满足xc－x a ＝2，而x ＝a 2c ，可得a 2－ac ＝2c 2，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12. 9. 已知椭圆x 24＋y2b2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点．若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是__________．答案： 3解析：由题意知a ＝2，所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8，因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，32，B(－c ，－32)，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1.又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3.10. 设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →，则椭圆C 的离心率为________．答案：23解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)，直线l 的方程为y ＝3(x －c)，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －c ），x 2a 2＋y 2b2＝1，消去x 得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.。

届高三数学一轮复习单元检测试题()：平面解析几何(人教A)
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2012届高三数学一轮复习单元检测试题（8）：平面解析几何（人教A）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
由e＝ 代入整数得，e4－6e2＋1＝0，
∵e>1，∴e2＝3＋2 ，∴e＝ ＋1.
7．(2011·烟台调研)与椭圆 ＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()
A. －y2＝1B. －y2＝1
C. － ＝1D．x2－ ＝1
[答案]B
[解析]椭圆的焦点F1(－ ，0)，F2( ，0)，
由双曲线定义知2a＝|PF1|－|PF2|＝ － ＝ － ＝2 ，
4．(2011·江西南昌调研)直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是()
A．y2＝12xB．y2＝8x
C．y2＝6xD．y2＝4x
[答案]B
[解析]设AB中点为M，A、M、B在抛物线准线上的射影为A1、M1、B1，则
9．(2011·宁波市期末)设双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点A(不同于O点)，则△OAF的面积为()
A．abB．bc
C．acD.
[答案]A
[解析]由条件知，|FA|＝|FO|＝c，即△OAF为等腰三角形，F(c,0)到渐近线y＝ x的距离为b，∴OA＝2a，

单元检测九 平面解析几何(时间：12019 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l 经过点(3，－2)和(0,1)，则它的倾斜角是( ) A ．30°B．60°C．150°D．120° 答案 D解析 由斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1－(－2)0－3＝－3，再由倾斜角的范围[0°，180°)知，tan120°＝－3，故选D.2．直线kx －y －3k ＋3＝0过定点( ) A ．(3,0) B ．(3,3) C ．(1,3) D ．(0,3) 答案 B解析 kx －y －3k ＋3＝0可化为y －3＝k (x －3)，所以过定点(3,3)．故选B.3．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A.7B ．22C ．1D ．3 答案 A解析 圆的圆心为(3,0)，r ＝1，圆心到直线x －y ＋1＝0的距离为d ＝|3＋1|2＝22，所以由勾股定理可知切线长的最小值为(22)2－12＝7.4．一束光线从点A (－1,1)发出，并经过x 轴反射，到达圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是( )A ．4B ．5C ．32－1D ．2 6 答案 A解析 依题意可得，点A 关于x 轴的对称点A 1(－1，－1)，圆心C (2,3)，A 1C 的距离为(2＋1)2＋(3＋1)2＝5，所以到圆上的最短距离为5－1＝4，故选A.5．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为( ) A ．2B ．－2C ．2或－2D.6或－ 6 答案 C解析 由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得|OA →＋OB →|2＝|OA →－OB →|2，化简得OA →·OB →＝0，即OA →⊥OB →，三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a |2＝2，a ＝±2. 6．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( ) A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 答案 B解析 由已知条件得直线l 的斜率为k ＝k FN ＝1，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30得，y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 25a2＝1，即4b 2＝5a 2，又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B.7．(2018·绍兴市、诸暨市模拟)如图，已知点P 是抛物线C ：y 2＝4x 上一点，以P 为圆心，r 为半径的圆与抛物线的准线相切，且与x 轴的两个交点的横坐标之积为5，则此圆的半径r为( )A ．2 3B ．5C ．4 3D ．4答案 D解析 设圆与x 轴的两个交点分别为A ，B ，由抛物线的定义知x P ＝r －1，则P (r －1,2r －1)，又由中垂线定理，知|OA |＋|OB |＝2(r －1)，且|OA |·|OB |＝5，故由圆的切割线定理，得(2r －1)2＝(1＋|OA |)(1＋|OB |)，展开整理得r ＝4，故选D.8．(2018·绍兴市、诸暨市模拟)已知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1，F 1，F 2为其左、右焦点，若P 是双曲线右支上的一点，且tan∠PF 1F 2＝12，tan∠PF 2F 1＝2，则此双曲线的离心率为( )A.5B.52C.355D. 3 答案 A解析 由tan∠PF 1F 2＝12，tan∠PF 2F 1＝2知，PF 1⊥PF 2，作PQ ⊥x 轴于点Q ，则由△PF 1Q ∽△F 2PQ ，得|F 1Q |＝4|F 2Q |＝85c ，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35c ，45c ， 代入双曲线的方程，有b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫35c 2－a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫45c 2＝a 2b 2，又a 2＋b 2＝c 2，则(9c 2－5a 2)(c 2－5a 2)＝0， 解得ca ＝5或c a ＝53(舍)，即离心率e ＝5，故选A. 9．(2019·宁波模拟)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (5,0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，若|BF |＝5，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( ) A.56B.2033C.1531D.2029 答案 D解析 由题意知直线AB 的斜率存在，则由抛物线的对称性不妨设其方程为y ＝k (x －5)，k >0， 与抛物线的准线x ＝－1联立，得点C 的坐标为(－1，－6k )， 与抛物线的方程y 2＝4x 联立，消去y 得k 2x 2－(10k 2＋4)x ＋25k 2＝0，则x A ＋x B ＝10k 2＋4k2，x A x B ＝25， 又因为|BF |＝x B ＋1＝5，所以x B ＝4， 代入解得x A ＝254，k ＝4，则y A ＝5，y B ＝－4，y C ＝－24， 则S △ACF ＝12|PF |·|y A －y C |＝58，S △ABF ＝12|PF ||y A －y B |＝18，则S △BCF S △ACF ＝1－S △ABF S △ACF ＝2029，故选D. 10．已知直线l ：kx －y －2k ＋1＝0与椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，与圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于C ，D 两点．若存在k ∈[－2，－1]，使得AC →＝DB →，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1答案 C解析 直线l 过圆C 2的圆心，∵AC →＝DB →， ∴|AC 2→|＝|C 2B →|，∴C 2的圆心为线段AB 的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b2， 化简可得－2·b 2a 2＝k ，又∵a >b ，∴b 2a 2＝－k 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，所以e ＝1－b 2a 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．(2018·台州质检)已知直线l 1：mx ＋3y ＝2－m ，l 2：x ＋(m ＋2)y ＝1，若l 1∥l 2，则实数m ＝________；若l 1⊥l 2，则实数m ＝________.答案 －3 －32解析 l 1∥l 2等价于⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋2)＝3，m ≠2－m ，解得m ＝－3.l 1⊥l 2等价于m ＋3(m ＋2)＝0，解得m ＝－32.12．(2018·浙江十校联盟考试)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是________，焦点到准线的距离是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 18解析 由y ＝4x 2，得x 2＝y4，可得2p ＝14，所以p ＝18，即焦点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，焦点到准线的距离为18.13．(2018·衢州模拟)已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，|AB |＝2，圆C 的半径为________；圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 答案2 －1－ 2解析 设圆心C (1，b )，则半径r ＝b . 由垂径定理得，1＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝b 2，即b ＝2，且B (0,1＋2)． 又由∠ABC ＝45°，切线与BC 垂直， 知切线的倾斜角为45°，故切线在x 轴上的截距为－1－ 2.14．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________． 答案 2 4 3解析 由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，可知双曲线渐近线y ＝b a x 的倾斜角为π3，即ba ＝3，所以e ＝c a＝1＋3＝2， 因为a ＝2，从而b ＝16－4＝23， 所以虚轴长为4 3.15．已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，线段FA 与抛物线C 相交于点M ，FA 的延长线与抛物线的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________． 答案2解析 依题意得焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0， 设点M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接KM (图略)， 由抛物线的定义知|MF |＝|MK |， 因为|FM |∶|MN |＝1∶3， 所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4a＝22，解得a ＝ 2.16．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A (2,1)，B 是E 上不同的两点，且四边形AF 1BF 2是平行四边形，若∠AF 2B ＝2π3，2ABF S＝3，则双曲线E 的标准方程为________． 答案x 22－y 2＝1解析 如图，因为四边形AF 1BF 2是平行四边形， 所以2ABF S＝12AF F S，∠F 1AF 2＝π3，所以|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos π3，即4c 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|AF 1||AF 2|，① 又4a 2＝(|AF 1|－|AF 2|)2，所以4a 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|，② 由①②可得|AF 1||AF 2|＝4b 2， 又2ABF S＝12×4b 2×32＝3， 所以b 2＝1，将点A (2,1)代入x 2a2－y 2＝1，可得a 2＝2，故双曲线E 的标准方程为x 22－y 2＝1.17．在平面直角坐标系xOy 中，A (3,0)，P (3，t )，t ∈R ，若存在C ，D 两点满足|AC ||OC |＝|AD ||OD |＝2，且PD →＝2PC →，则t 的取值范围是________． 答案 [－25，25]解析 设C (x ，y )，因为A (3,0)，|AC ||OC |＝2，所以(x －3)2＋y2x 2＋y 2＝2，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4，即点C 在圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝4上． 同理由|AD ||OD |＝2可得点D 也在圆M 上．因为PD →＝2PC →，所以C 是PD 的中点， 过点M 作MN ⊥CD ，垂足为N ，连接CM ，PM .设|MN |＝d ，|PC |＝|CD |＝2k ，分别在Rt△CMN ，Rt△PMN 中，由勾股定理，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋d 2＝4，9k 2＋d 2＝t 2＋16，消去k 2得，t 2＝20－8d 2.因为0≤d 2<4，所以t 2≤20，解得－25≤t ≤25， 所以t 的取值范围是[－25，25]．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知过点A (0,1)，且斜率为k 的直线l 与圆C ： (x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点．(1)求实数k 的取值范围； (2)求证：AM →·AN →为定值．(1)解 由题意过点A (0,1)且斜率为k 的直线的方程为y ＝kx ＋1， 代入圆C 的方程得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，因为直线与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点， 所以Δ＝[－4(1＋k )]2－4×7×(1＋k 2)>0， 解得4－73<k <4＋73，所以实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， AM →＝(x 1，y 1－1)，AN →＝(x 2，y 2－1)，由(1)得，x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，所以y 1＋y 2＝(kx 1＋1)＋(kx 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2.y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1.所以AM →·AN →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1 ＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＝(1＋k 2)·71＋k 2＝7，所以AM →·AN →为定值．19.(15分)(2018·浙江名校高考研究联盟联考)如图，以P (0，－1)为直角顶点的等腰直角△PMN 内接于椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)，设直线PM 的斜率为k .(1)试用a ，k 表示弦长|MN |；(2)若这样的△PMN 存在3个，求实数a 的取值范围．解 (1)不妨设直线PM 所在的直线方程为y ＝kx －1(k <0)，代入椭圆方程x 2a2＋y 2＝1，整理得(1＋a 2k 2)x 2－2ka 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2ka21＋a 2k2，则|PM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝－2ka 21＋k21＋a 2k2， 所以|MN |＝2|PM |＝－22ka 21＋k21＋a 2k 2. (2)因为△PMN 是等腰直角三角形，所以直线PN 所在的直线方程为y ＝－1kx －1(k <0)，同理可得|PN |＝－21k a 21＋1k 21＋a 21k2＝2a 21＋k 2k 2＋a 2.令|PM |＝|PN |，整理得k 3＋a 2k 2＋a 2k ＋1＝0，k 3＋1＋a 2k (k ＋1)＝0，(k ＋1)(k 2－k ＋1)＋a 2k (k ＋1)＝0， 即(k ＋1)[k 2＋(a 2－1)k ＋1]＝0.若这样的等腰直角三角形PMN 存在3个，则方程k 2＋(a 2－1)k ＋1＝0有两个不等于－1的负根k 1，k 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(a 2－1)2－4>0，k 1＋k 2＝1－a 2<0，k 1k 2＝1>0，1－(a 2－1)＋1≠0，因为a >1，所以a > 3.20．(15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，其上顶点到直线3x ＋4y －1＝0的距离等于35.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，交x 轴的负半轴于点E ，交y 轴于点F (点E ，F 都不在椭圆上)，且FA →＝λ1AE →，FB →＝λ2BE →，λ1＋λ2＝－8，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点． 解 (1)由椭圆C 的长轴长为4知2a ＝4，故a ＝2，椭圆的上顶点为(0，b )，则由|4b －1|5＝35得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，E (m,0)(m <0，m ≠－2)，F (0，n )， 由FA →＝λ1AE →，得(x 1，y 1－n )＝λ1(m －x 1，－y 1)， 所以A ⎝⎛⎭⎪⎫λ1m 1＋λ1，n 1＋λ1.同理由FB →＝λ2BE →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2m 1＋λ2，n 1＋λ2， 把A ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1m 1＋λ1，n 1＋λ1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2m 1＋λ2，n 1＋λ2分别代入x 24＋y 2＝1 得：⎩⎪⎨⎪⎧(4－m 2)λ21＋8λ1＋4－4n 2＝0，(4－m 2)λ22＋8λ2＋4－4n 2＝0，即λ1，λ2是关于x 的方程(4－m 2)x 2＋8x ＋4－4n 2＝0的两个根，∴λ1＋λ2＝－84－m2＝－8， ∴m ＝－3，所以直线l 恒过定点(－3，0)．21．(15分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >1)上的点A 到其焦点的距离为32，且点A 在曲线x ＋y2－52＝0上． (1)求抛物线C 的方程；(2)M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是抛物线C 上异于原点的两点，Q (x 0，y 0)是线段MN 的中点，点P 是抛物线C 在点M ，N 处切线的交点，若|y 1－y 2|＝4p ，证明：△PMN 的面积为定值． (1)解 设点A (x A ，y A )， ∵点A 到抛物线焦点的距离为32，∴x A ＝32－p 2，y 2A ＝2px A ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2， 又点A 在曲线x ＋y 2－52＝0上，∴32－p 2＋2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2－52＝0， 即p 2－52p ＋1＝0，解得p ＝2或p ＝12(舍去)，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 由(1)知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，|y 1－y 2|＝8，设抛物线C 在点M 处的切线的斜率为k (k ≠0)，则该切线的方程为y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 214， 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 214，y 2＝4x ，消去x ，整理得 ky 2－4y ＋4y 1－ky 21＝0，∵M 是切点，∴Δ＝16－4k (4y 1－ky 21)＝0，即4－4ky 1＋k 2y 21＝0，解得k ＝2y 1， ∴直线PM 的方程为y －y 1＝2y 1(x －y 214)，即y ＝2y 1x ＋y 12， 同理得直线PN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22， 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y 1y 24，y ＝y 1＋y 22， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 24，y 1＋y 22， ∵Q 是线段MN 的中点，∴y 0＝y 1＋y 22， ∴PQ ∥x 轴，且x 0＝x 1＋x 22＝y 21＋y 228，∴△PMN 的面积S ＝12|PQ |·|y 1－y 2| ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1y 24－x 0·|y 1－y 2| ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1y 24－y 21＋y 228·|y 1－y 2| ＝116|y 1－y 2|3＝32， 即△PMN 的面积为定值．22．(15分)(2018·嘉兴测试)如图，已知抛物线x 2＝y ，过直线l ：y ＝－14上任一点M 作抛物线的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B .(1)求证：MA ⊥MB ；(2)求△MAB 面积的最小值．(1)证明 方法一 设M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，－14， 易知直线MA ，MB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2，设过点M 的抛物线的切线方程为y ＋14＝k (x －x 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋14＝k (x －x 0)，x 2＝y ，得x 2－kx ＋kx 0＋14＝0， Δ＝k 2－4kx 0－1＝0，由题意知，k 1，k 2是方程k 2－4x 0k －1＝0的两个根， 所以k 1k 2＝－1，所以MA ⊥MB .方法二 设M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，－14，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)， 易知直线MA ，MB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2. 由y ＝x 2，得y ′＝2x ，则MA ，MB 的斜率分别为k 1＝2x 1，k 2＝2x 2，所以2x 1＝x 21＋14x 1－x 0，整理得x 21＝2x 1x 0＋14， 同理可得，x 22＝2x 2x 0＋14， 两式相减得，x 21－x 22＝2x 0(x 1－x 2)， 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝2x 0，于是x 21＝x 1(x 1＋x 2)＋14， 所以x 1x 2＝－14，即k 1k 2＝4x 1x 2＝－1， 所以MA ⊥MB .(2)解 由(1)得k 1＝2x 1，k 2＝2x 2， 所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 12，k 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22，k 224， 易知k 1k 2＝－1，k 1＋k 2＝4x 0，所以|MA |＝1＋1k 21|y A －y M |＝1＋1k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 214＋14＝(k 21＋1)324|k 1|，同理，|MB |＝(k 22＋1)324|k 2|， 所以S △MAB ＝12|MA |·|MB |＝12·[(k 21＋1)(k 22＋1)]3216|k 1k 2|＝(k 21＋k 22＋2)3232＝[(4x 0)2－2×(－1)＋2]3232 ＝[(4x 0)2＋4]2332≥32432＝14. 综上，当x 0＝0时，△MAB 的面积取得最小值，最小值为14.。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.1 直线的方程考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识梳理 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1 和直线y ＝y 1截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k>0不存在k<0牢记口诀：1．“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(4)截距可以为负值．(√)教材改编题1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时， 设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5. 所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α. 由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]． 由于θ∈[0，π)， 所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)过函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎣⎡⎦⎤π2，3π4答案 B解析 设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴切线的斜率k ＝tan α≥－1， 则α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 教师备选1．(2022·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交， ∴－2≤k ≤12.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上得k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论． 跟踪训练1 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______. 答案 13－3解析 如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13， k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3. 题型二 求直线的方程例2 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍； (2)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解 (1)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ， 则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为 x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.教师备选1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1,1)，所以其所在的直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0 答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3， 又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 思维升华 求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2 (1)已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0答案 C解析 由题知M (2,4)，N (3,2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为______________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． 解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， S △AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋－4k ＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二 设直线l ：x a ＋yb ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2,1)， 所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab，故ab ≥8， 故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.延伸探究 1.在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解 由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解 方法一 由本例方法一知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)．所以|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝2×1＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤－k ＋1－k ≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由本例方法二知A (a ,0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →| ＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 教师备选如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，但△EF A 内部为文物保护区，不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1.易知当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，且一个顶点在线段EF 上时，可使草坪面积最大，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )， 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m ，∴S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，∴当m ＝5时，S 有最大值，此时|EP ||PF |＝5，∴当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，一个顶点P 在线段EF 上，且|EP |＝5|PF |时，草坪面积最大．思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决． 跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． (1)证明 直线l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)． (2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－2，1＋2k >1， 解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0， 解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.课时精练1．已知直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．y ＝－12xC ．x ＋2＝0D ．y －1＝0答案 C解析 由于直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0.2．(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2的直线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝3x ＋2 D ．y ＝3x －2答案 B解析 斜率为tan 120°＝－3，利用斜截式直接写出方程，即y ＝－3x －2. 3．直线l 经过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －y －1＝0或x －2y ＝0 B ．x ＋y ＋1＝0或x ＋2y ＝0 C ．x －y ＋1＝0或2x －y ＝0 D ．x ＋y ＋1＝0或2x ＋y ＝0 答案 D解析 若直线l 过原点， 设直线l 的方程为y ＝kx ， 则k ＝－2，此时直线l 的方程为y ＝－2x ， 即2x ＋y ＝0； 若直线l 不过原点， 设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，则1a －2a ＝1，解得a ＝－1， 此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y＋1＝0或2x＋y＝0.4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有()A．a>0，c>0 B．a>0，c<0C．a<0，c>0 D．a<0，c<0答案 A解析因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0. 5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A．0°B．1°C．2°D．3°答案 C解析∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°.6．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >1或k <15D ．k >12或k <－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得k >12或k <－1.7．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞) 答案 C解析 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ， 所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1， 所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)， 当x ＝0时，y ＝a ，当y ＝0时，x ＝b ，所以该直线在x 轴与y 轴上的截距分别为b ，a ， 又直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.9．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0解析 ①当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ，即5x ＋3y ＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.综上，直线方程为5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0.10．直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b )在l 上，则b 的值为________． 答案 2 023解析 直线l 的方程为y －－15－－1＝x －－12－－1，即y ＋16＝x ＋13，即y ＝2x ＋1. 令x ＝1 011，得y ＝2 023， ∴b ＝2 023.11．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝______. 答案 5 1解析 因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.12．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l ′的方程为________________________． 答案 x ＝－3或y ＝33(x ＋3) 解析 在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为90°，此时直线l ′的斜率不存在，故其方程为x ＝－3；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为30°，此时直线l ′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．13．直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π4，π2 B.⎣⎡⎭⎫0，3π4 C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，πD.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 C解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1， ∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1. 倾斜角和斜率的关系如图所示，∴该直线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 14．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，直线恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析 直线方程可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－3，∴直线恒过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3.15．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线始终过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 答案 D解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 不正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确． 16．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab . 又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.。