2019届广东省仲元中学等七校联合体高三冲刺模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|,{|lg(1)}A x y B x y x ====+，则A B ⋂=（ ）A ．[2,2]-B ．(1,)+∞C ．(1,2]-D ．(,1](2,)-∞-+∞【答案】C【解析】由题，分别求得集合A 和B ，再求其交集即可. 【详解】由题，对于集合A ，24022x x -≥∴-≤≤，所以集合{}22A x x =-≤≤ 对于集合B ，101x x +>∴>- ，所以集合{}1B x x =>- 所以(1,2]A B ⋂=- 故选C 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.2．已知复数z 满足(1)i z i +=（i 为虚数单位），则复数Z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】先解出复数并化简z ，找出复数z 在复平面内对应的点，然后判断所在象限即可. 【详解】解：由()1i z i +=，得()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++- 所以复数z 在复平面内对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限 故选：A 【点睛】本题考查了复数的乘数法运算，复数的几何意义，属于基础题.3．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程y bx a =+ ，其中11b =，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（ ）万元A ．60B ．63C ．65D ．69【答案】B【解析】根据表中数据求出,x y ，然后根据线性回归方程中系数的求法得到a ，进而得到回归方程，然后求出当6x =时的函数值即为所求． 【详解】由表中数据可得1(12345)35x =⨯++++=，1(1015304550)305y =⨯++++=，又回归方程y bx a =+中11b =，∴ˆ301133a y bx=-=-⨯=-， ∴回归方程为113y x =-． 当6x =时116363y =⨯-=，所以可估计当投入6万元广告费时，销售额约为63万元． 故选B ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法和其应用，考查计算能力和应用意识，解题的关键是求出系数a ，属于基础题． 4．给出下列说法： ①“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；②定义在[],a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b +=++的最大值为30； ③命题“0001,2x R x x ∃∈+≥”的否定形式是“1,2x R x x∀∈+>”． 其中正确说法的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】对于①，利用充分不必要条件的定义判读其正确性，对于②，利用偶函数的定义求得参数的值，结合二次函数的性质，求得其最大值，得出其正确性，对于③，应用特称命题的否定形式，判断其是否正确，即可得结果. 【详解】 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4x k k Z ππ=+∈，所以“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，所以①正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-，因为定义域为[],a b ，所以5b =，所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确；对于③，命题“0x R ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“x R ∀∈，12x x+<”， 所以③是错误的； 故正确命题的个数为2， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题，涉及到的知识点有充分必要条件的判断，偶函数的性质，含有一个量词的命题的否定，考查的都是基础. 5．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ABC ∆的形状为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B 的范围，可得三角形形状. 【详解】 因为在三角形中，sinC<cosA sinB变形为sin sin cos C B A < 由内角和定理可得sin()cos sin A B A B +< 化简可得：sin cos 0cos 0A B B <∴< 所以2B π>所以三角形为钝角三角形 故选A 【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.6．在正方体11ABCD ABC D -中，E F 、分别是11,AB B C 的中点，则异面直线1A E FC 、所成角的余弦值为（ ） ABCD ．45【答案】D【解析】由题，AD 的中点为M ，易证1//A M FC ，即角1EA M 为所求角，利用余弦定理可得答案. 【详解】在正方体中，取AD 的中点为M ，连接ME ，设正方体的边长为1因为在正方体中，F 点为11B C 的中点，M 点为AD 的中点，所以1A F 与CM 平行且相等，所以四边形1A FCM 是平行四边形，所以1//A M FC 所以异面直线1A E FC 、所成角也就是11A E A M 、所成的角所以1122A M A E ME ===所以15514442cos 5524MA E +-∠==⨯ 故选D 【点睛】本题考查了立体几何中异面直线的夹角问题，平移直线到相交是解题的关键，属于较为基础题. 7．函数ln ||()xx f x e =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数解析式代值进行排除即可. 【详解】 解：由()xln x f x =e，得()f 1=0，()f 1=0-又()1f e =0e e >，()1f e =0e e--> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D 故选：A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.8．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B．1314C．2129D．1415【答案】C【解析】由题意知：2BC=，'5B C=，设AC x=，则2AB AB x'==+，在Rt ACB'中，列勾股方程可解得x，然后由P2xx=+得出答案.【详解】解：由题意知：2BC=，'5B C=，设AC x=，则2AB AB x'==+在Rt ACB'中，列勾股方程得：()22252x x+=+，解得214x=所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P2122924xx===++故选：C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.9．已知如图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的棱的长度中，最大的是（）A．3B．12xx C5D3【答案】B【解析】先由三视图可知该几何体是一个四棱锥，分别求出其各棱长，即可确定结果.【详解】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示， 其中PA PB AB AD BC CD 2======，22PD 22PA AD =+=；22PC 22PB BC +=，所以最长的棱的长度为22故选B 【点睛】本题主要考查几何体的三视图，根据三视图还原几何体即可，属于常考题型. 10．若0,0a b >>，二项式6()ax b +的展开式中3x 项的系数为20，则定积分22abxdx xdx +⎰⎰的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由二项式定理展开项可得1ab =，再22022abxdx xdx a b +=+⎰⎰利用基本不等式可得结果. 【详解】二项式()6ax+b 的展开式的通项为6616r r r r r T C a b x --+= 当63,3r r -==时，二次项系数为3336201C a b ab =∴=而定积分2202222abxdx xdx a b ab +=+≥=⎰⎰当且仅当a b =时取等号 故选B 【点睛】本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.11．已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为12e e 、，则221211e e +=（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】B【解析】分别由椭圆和双曲线的定义表示出AB 和BC 的长，再利用勾股定理化简可得结果. 【详解】 如图由题，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的半实轴为2a ，根据椭圆和双曲线定义：122,2AB BC a BC AB a +=-=可得1212,BC a a AB a a =+=- 设2AC c =在直角三角形ABC 中，由勾股定理可得22212124()()c a a a a =-++即222122a a c +=即221211+=e e 2 故选B 【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合，主要考查了定义以及离心率，熟悉定义和性质是解题的关键，属于中档偏上题目.12．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]【答案】C【解析】求导分析函数在ln2x ≥时的单调性、极值，可得ln2x ≥时，()f x 满足题意，再在ln2x <时，求解()2f x e ≤+的x 的范围，综合可得结果. 【详解】当ln2x ≥时，()()()'12xf x x e =---，令()'0f x >，则ln21x <<；()'0f x <，则1x >， ∴函数()f x 在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减. ∴函数()f x 在1x =处取得极大值为()12f e =+， ∴ln2x ≥时，()f x 的取值范围为(],2e -∞+， ∴ln2m 1≤≤又当ln2x <时，令()322f x x e =-≤+，则12e x -≥，即1x ln22e-≤<， ∴1e22m ln -≤< 综上所述，m 的取值范围为1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选C. 【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.二、填空题13．已知向量⃗(2,1),(6,)a b x =-=，且a b ‖，则a b -=______．【答案】 【解析】由题得222603(4,2)4(2)x x a b ab +=∴=-∴-=-∴-=+-=故填14．已知定义在R 上的函数()f x 满足：函数(-1)y f x =的图象关于点（1，0）对称，且BC AP λ=时恒有()()2f x f x +=，当[0,1]x ∈时，()1xf x e =-，求(-2017)(2018)f f += ______．【答案】1e -【解析】因为函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，所以()y f x =的图像关于原点对称，所以函数()y f x =是奇函数，因为0x ≥时恒有()()2f x f x +=，所以()()20172018f f -+=10(2017)(0)(1)(0)(1)(1)1f f f f e e e -+=-+=--+-=-故填1-e.15．已知关于实数x ，y 的不等式组2190802140x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩构成的平面区域为Ω，若(x,y)∀∈Ω，使得2(x 1)-+2(y 4)m -恒成立，则实数m 的最小值是______．【答案】[20,)+∞【解析】由(),x y ∀∈Ω，使得()()2214x y m -+-≤恒成立可知，只需求出()()2214x y -+-的最大值即可，再由()()2214x y -+-表示平面区域内的点与定点()1,4距离的平方，因此结合平面区域即可求出结果.【详解】作出约束条件2190802140x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域如下：由(),x y ∀∈Ω，使得()()2214x y m -+-≤恒成立可知，只需求出()()2214x y -+-的最大值即可；令目标函数()()22z 14x y =-+-，则目标函数表示平面区域内的点与定点()M 1,4距离的平方，由图像易知，点B 到M 的距离最大.由214080x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得()B 2,10，所以()()222110437max z =-+-=.因此37m ≥，即m 的最小值为37. 故答案为37 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需分析清楚目标函数的几何意义，即可结合可行域来求解，属于常考题型.16．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且,a b a c >>．ABC ∆的外接圆半径为1，24y x =,若边BC 上一点D 满足3BD DC =，且090BAD ∠=，则ABC ∆的面积为______ 【答案】3 【解析】∵△ABC 的外接圆半径R 为1，a = ∴由正弦定理22sin aR A ==， 可得：sinA=2∵边BC 上一点D 满足BD=3DC ，且∠BAD=90°， ∴A=120°，∠CAD=30°，BD=34CD=14∴如图，由正弦定理可得：342113sin 222222b c b c =∴=∠=∠=⨯=∠， 所以2229311232()42219c c c c c =+-⨯⨯-∴=所以131222219ABC S c c ∆=⨯⨯⨯==三、解答题17．已知数列{}n a 为正项等比数列，满足3a 4=，且546,3,a a a 构成等差数列，数列{}n b 满足2n 2n 1b 1og a 1og a n +=+（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}c n 满足141n n c s =-，求数列{}n c 的前n项和T n ．【答案】（Ⅰ） 12n n a -=，21n b n =- ；（Ⅱ）21n nT n =+ 【解析】(Ⅰ)先设等比数列{}n a 的公比为q(q 0>)，根据34a =，且546,3,a a a 构成等差数列，求出q ，即可得出{}n a 的通项公式，再由221log log n n n b a a +=+，可得出{}n b 的通项公式；(Ⅱ)先由等差数列的前n 项和公式求出n S ，再由裂项相消法求出n T 即可.【详解】解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q(q 0>)，由题意，得256466a a a q q +=⇒+= 解得2q =或3q =-（舍）又3141a a =⇒=所以 1112n n n a a q --==221log log 121n n n b a a n n n +=+=-+=-(Ⅱ)()()1212122n n n n n b b S n ⎡⎤+-+⎣⎦===．∴211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，∴11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，以及求数列的前n 项和，熟记等差数列与等比数列的通项公式即可求解，属于常考题型.18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，且1AD PD ==，平面PCD ⊥平面ABCD ，PDC 120︒∠=，点E 为线段PC 的中点，点F 是线段AB 上的一个动点．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面PBC ；（Ⅱ）设二面角C DE F --的平面角为θ，试判断在线段AB 上是否存在这样的点F ，使得tan 23θ=，若存在，求出||||AF FB 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）12AF FB=【解析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立；（Ⅱ）先证明DA ，DC ，DG 两两垂直，再以D 为原点，以DA ，DC ，DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设()1,,0F m ，用m 表示出平面DEF 的法向量，进而表示出cos θ，由tan 23θ=，即可得出结果. 【详解】 解：（Ⅰ）四边形ABCD 是正方形，∴BC DC ⊥.∵平面PCD ⊥平面,ABCD 平面PCD ⋂平面ABCD CD =，∴BC ⊥平面PCD . ∵DE ⊂平面PDC ，∴BC DE ⊥.∵AD PD DC ==，点E 为线段PC 的中点，∴PC DE ⊥. 又∵PC CB C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC .又∵DE ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面PBC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC ⊥平面PCD ，∵//AD BC ，∴AD ⊥平面PCD . 在平面PCD 内过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，∴AD DG ⊥，故DA ，DC ，DG 两两垂直，以D 为原点，以DA ，DC ，DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -.因为1AD PD ==，120PCD ∠=，∴3PC =.∵AD ⊥平面PCD ， 则()0,0,0D ，()0,1,0C ，130,,22P ⎛- ⎝⎭又E 为PC 的中点，130,4E ⎛ ⎝⎭， 假设在线段AB 上存在这样的点F ，使得tan 23θ=设()1,,0(0)F m m >，130,4DE ⎛= ⎝⎭，()1,,0DF m =，设平面DEF 的法向量为()1,,n x y z =， 则110,0,n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴01044x my y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令3y =，则1,3z x m =-∴=-，则()131n m =-- AD ⊥平面PCD ，∴平面PCD 的一个法向量()21,0,0n=,tan θ=则cos θ=∴12cos cos ,n n θ===.0m >，解得13m =，∴12AF FB = 【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理，以由二面角的大小求其它的量，熟记面面垂直的判定定理即可证明结论成立；对于空间角的处理，常用空间向量的方法，属于常考题型. 19．随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：（1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成22⨯列表（见答题卡），并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？①求抽取的4名用户中，既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率；②为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求2K 观测值公式中的基本量，再代入公式即可. (2)第（2）问第1小问，直接利用对立事件的概率公式解答，第（2）小问，根据二项分布，写出分布列求出期望. 试题解析：（1）由图中表格可得22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算得()()()()()()22210045153010 3.03 3.84125755545n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，所以在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关．①抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率为4432528155625p ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②记抽出的女“骑行达人”人数为Y ，则500X Y =．由题意得2~4,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()42355iiP Y i -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（0,1,2,3,4i =），∴ Y 的分布列为∴ X 的分布列为所以()28455E Y =⨯=， 所以X 的数学期望()()500800E X E Y ==元．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，焦点分别为12F F ，，点P 是椭圆C 上的点，12PF F ∆面积的最大值是2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．【答案】（Ⅰ） 22142x y += （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意得到,a b c ，的方程组，求出,a b 的值，即可得出椭圆方程； （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，易求出四边形OMDN 的面积；当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合判别式和韦达定理，可表示出弦长MN ，再求出点O 到直线MN 的距离，根据OM ON OD +=和点D 在曲线C 上，求出k m 、的关系式，最后根据OMDN S MN d =，即可得出结果. 【详解】解：（Ⅰ）由2222c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===得椭圆C 的方程为22142x y +=.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN．当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程22142y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()222124240k x kmx m ⇒+++-= ()228420k m∆=+->，2121222424,1212km m x x x x k k--+==++ ()121222212m y y k x x m k +=++=+MN =点O 到直线MN的距离是d =由,OM ON OD +=得2242,1212D Dkm mx y k k -==++ 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=整理得22122k m +=由题意四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为OMDNS MN d === 由22122k m +=得OMDN S =故四边形OMDN． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，计算量较大，属于常考题型.21．设函数22()ln x e kf x k x x x=++（k 为常数，e=2.71828…为自然对数的底数）． （1）当0k ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,3内存在三个极值点，求实数k 的取值范围． 【答案】(1) ()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,).+∞（2）322(,)(,)322e e e e --⋃--. 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再求函数的单调区间. (2)第（2）问，对k 进行分类讨论，求出每一种情况下函数的单调性，再分析函数()f x 在()0,3内存在三个极值点的条件从而得到实数k 的取值范围. 试题解析：(1) 函数()f x 的定义域为()0,+∞.()()()2423222x x x x e kx x e xe k k f x x x x x-+-=-'+=. 由0,0k x ≥>可得0x e kx +>，所以当()0,2x ∈时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>.故()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,.+∞（2）由（1）知，当0k ≥时，函数()f x 在()0,2内单调递减，在()2,3内单调递增，故()f x 在()0,3内仅存在一个极值点2x =；当0k <时，令0x xe e kx k x +=⇒-=，()xe g x x=，依题函数y k =-与函数()xe g x x=，()0,3x ∈的图象有两个横坐标不等于2的交点.()()21x e x g x x='-，当()0,1x ∈时，()0g x '<，则()g x 在()0,1上单调递减，当()1,3x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()1,3上单调递增；而()()()231,2,3.23e e g e g g ===所以当2323e e k <-<即3232e e k -<<-时，存在12023x x <<<<使得xe k x-=，且当()10,x x ∈时()0f x '<，当()1,2x x ∈ ()0f x '>，当()22,x x ∈时()0f x '<，当()2,3x x ∈时()0f x '>，此时()f x 存在极小值点12,x x 和极大值点2；同理，当22e e k <-<即22e k e -<<-时，存在3402x x <<<使得xe k x-=，此时()f x 存在极小值点1,2x 和极大值点2x .综上，函数()f x 在()0,3内存在三个极值点时，实数k 的取值范围为322,,322e e e e ⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点睛：本题的难点在第（2）问，主要是对函数xy e kx =+的分析，把它的图像和性质分析清楚了，原命题自然分析清楚了.解答数学问题，要善于抓住主要问题，再突破. 22．选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线和直线的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线过点与曲线交于不同两点，的中点为，与的交点为，求．【答案】（Ⅰ）C:；直线的直角坐标方程（Ⅱ）8【解析】（Ⅰ）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可直接得出结果； （Ⅱ）先写出直线的参数方程，代入曲线的普通方程，得到，再由直线的参数方程代入，得到，进而可得出结果.【详解】 （Ⅰ）曲线的直角坐标方程为：；即的直角坐标方程为：（Ⅱ）直线的参数方程（为参数），将其代入曲线的普通方程并整理得，设两点的参数分别为，则因为为的中点，故点的参数为， 设点的参数分别为，把代入整理得 所以. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可；本题也考查了参数的方法求弦长的问题，熟记参数方程即可求解，属于常考题型.23．若关于x 的不等式|22||21|0x x t +---在实数范围内有解．（Ⅰ）求实数t 的取值范围；（Ⅱ）若实数t 的最大值为a ，且正实数m,n,p 满足23m n p a ++=，求证：123m p n p+++ 【答案】（Ⅰ） 3t ≤ （Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ）不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解，也即是2221x x t +--≥成立，求出2221x x +--最大值即可；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到3a =，因此()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，展开之后结合基本不等式即可证明结论成立；也可利用柯西不等式()()2121141142222322322m p n p m p n p m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++≥++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭来证明.【详解】解：（Ⅰ）因为22210x x t +---≥所以2221x x t +--≥ 又因为()222122213x x x x +--≤+--=所以3t ≤（Ⅱ）由（1）可知，3a =,则方法一：()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()41221141433223m p n p m p n p ⎛⎡⎤++ =+++≥++=⎢⎥ ++⎣⎦⎝ 123m p n p∴+≥++ 方法二：利用柯西不等式()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭2133≥= 123m p n p∴+≥++ 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，以及不等式的证明，常用到基本不等式或柯西不等式等，需要考生灵活运用各类结论，属于常考题型.。
