02_高中数学(1)互动式教学讲义(教用}_1-1 数与数线[18页]

1-2 式的運算一 乘法公式、分式與根式的運算 ◎搭配課本 P.33～P.391.乘法公式：(1)○1()2222a b a ab b ＋＝＋＋。

○2()2222a b a ab b －＝－＋。

(2)()()22a b a b a b －＝＋－。

（平方差） (3)()2222222a b c c ab a b bc ca ＋＋＝＋＋＋＋＋。

(4)○1()3233233a b a b ab a b ＋＝＋＋＋。

○2()3233233a b a b ab a b －＝－＋－。

(5)○1()()3322a b a b a ab b ＋＝＋－＋。

（立方和） ○2()()3322a b a b a ab b －＝－＋＋。

（立方差）2.根式的運算：(1)平方根：設0a ≥，若實數 x 滿足2x a ＝，稱 x 是 a 的平方根。

(2)根式的基本性質：○1當 a 、0b ≥ b ≠0）。

○2a a ＝。

(3)常見的有理化因式： 設0x ≥、0y ≥，1。

23 (4)雙重根式的化簡：設 a 、0b ≥且 a b ≥，則＝（因為a b ≥）範例1 利用乘法公式展開 ★搭配課本例題 1展開並化簡下列各式： (1)()332a b －＝ 。

(2)()()223469x x x ＋－＋＝ 。

(3)()()()()22222424a a a a a a －＋－＋＋＋＝ 。

解 (1)()332a b －＝()()()()()()322333323322a a b a b b －＋－＝32232754368a a b ab b －＋－(2)()()()32332346923827x x x x x ＋－＋＝＋＝＋ (3)()()()()22222424a a a a a a －＋－＋＋＋＝()()()()22224224a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦－＋＋＋－＋＝()()()()3333363426288a a a a a －＋＝－＋＝－類題 展開並化簡下列各式：(1)()32a b ＋＝32238126a a b ab b ＋＋＋。

互动式教学在高中数学课堂中的应用随着教育技术的不断发展和高中教育的改革，越来越多的教师开始尝试使用互动式教学方法来提高学生的学习效果。

在数学课堂中，互动式教学更是能够有效地激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。

本文将讨论互动式教学在高中数学课堂中的应用，并探讨其在教学中的重要性和作用。

互动式教学是指在教学过程中，教师和学生之间以及学生与学生之间进行双向沟通和互动，通过多种教学方法和手段来促进学生的积极学习和参与。

在高中数学课堂中，互动式教学可以采用多种形式，如小组讨论、问题解决、实验探究、游戏竞赛等。

这些形式不仅能够激发学生的学习兴趣，还能够提高学生的合作能力、创新能力和解决问题的能力，从而更好地培养学生的数学思维和方法。

互动式教学有利于培养学生的合作能力和团队精神。

在数学课堂上，教师可以通过组织小组讨论、合作探究等方式，让学生共同合作解决问题，相互交流和讨论，这样就能够培养学生的合作意识和团队精神。

通过这些合作活动，学生不但可以相互帮助，共同探讨解决问题的方法，还可以学会倾听他人的观点，尊重他人的意见，这对他们今后的学习和生活都是非常有益的。

互动式教学可以激发学生的创新能力和思维方式。

在传统的数学教学中，学生大多是按照固定的方法来学习解题，对于知识的灵活运用和创新思维能力缺乏培养。

而通过互动式教学方法，学生可以通过多种形式的学习活动，不断开拓思维，创新探索，从而培养他们的创新能力和解决问题的思维方式。

在解决数学问题的过程中，学生可以运用不同的方法、推断思路等，从而拓展了他们的思维方式，提高了解决问题的能力。

互动式教学可以提高学生的学习效果和课堂互动效果。

互动式教学把学生作为教学的中心，使得学生能够更加主动地参与到课堂教学活动中来，提高了他们的学习积极性和参与度。

在教学过程中，教师可以通过多种形式的课堂活动，直接了解学生的学习情况，及时解决学生的困惑，调整教学内容和教学方法，提高教学的针对性和有效性。

第3章多項式函數本章架構圖3-1 多項式的運算與應用一 多項式的定義◎搭配課本 P.88～P.901.形如n ax 的式子稱為單項式（a 是實數，n 是正整數或 0）。

將有限個單項式用加號連結起來的式子稱為多項式。

2.若 n 是正整數或 0，經整理後，可以寫成形如1110n n n n a x a x a x a L L －－＋＋＋＋的式子稱為多項式，其中n a ，1n a －，……，1a ，0a 為實數。

3.當0n a ≠時，我們稱 f (x )是一個 n 次多項式，n 稱為 f (x )的次數，並記為 deg(f (x ))＝n 。

4.常數多項式：若一多項式 f (x )僅含常數項 0a ，則稱此多項式為常數多項式。

(1)若00a ≠，則稱為零次多項式。

例：f (x )＝3。

(2)若00a ＝，則稱為零多項式。

例：f (x )＝0。

5.多項式的辨別：多項式中的“x ”一概不在分母中，也不在根號內或絕對值符號內，且它是一個有限項的和。

例：2211x x ＋－，411x x x ＋＋＋x ，211x x －＋等不是 x 的多項式。

6.多項式的排列：一般我們把一多項式依常數項、一次項、二次項、……、最高次項的方式排列，稱為 升冪（次）排列，而把這順序倒過來的排列方式稱為降冪（次）排列，例如：23412345x x x x ＋＋＋＋是升冪次排列，而43254321x x x x ＋＋＋＋是降冪（次）排列。

7.多項式的相等：()1110n n n n f x a x a x a x a L L －－＝＋＋＋＋，()1110m m m m g x b x b x b x b L L －－＝＋＋＋＋ 為兩多項式，若(1)次數相同；(2)對應項的係數也相等，則稱此兩多項式相等，記為 f (x )＝g (x )。

範例1 多項式的判別★搭配課本例題 1設 a 、b 均為實數，()()()323222f x a x x b x x x ax ＝－＋－＋＋＋＋為一次式，則數對(),a b ＝ f (x )＝ 。

互动式教学在高中数学课堂中的应用随着教育技术的不断创新和发展，互动式教学在教育领域中得到越来越广泛的应用。

在高中数学课堂中，互动式教学可以提高学生的学习兴趣，激发他们的学习动力，促进他们的自主学习能力。

本文将探讨互动式教学在高中数学课堂中的应用，以及如何有效地运用互动式教学提高学生的数学学习效果。

一、互动式教学的定义互动式教学是指教师和学生之间通过各种教学手段和方法进行互动交流，从而使学生更加积极主动地参与到教学活动中来。

互动式教学注重师生互动、生生互动，通过问题提出、解答、讨论、实验等方式，激发学生的思维，促进他们的学习兴趣和学习动力。

在高中数学课堂中，互动式教学可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。

1. 利用多媒体教学在高中数学课堂中，利用多媒体教学可以吸引学生的注意力，激发他们的学习兴趣。

教师可以通过投影仪或电子白板展示丰富多彩的数学图像、动画、视频等教学资源，帮助学生更直观地理解数学知识，增强他们的学习体验。

学生也可以利用电子设备进行互动，参与到课堂讨论和问题解答中来，加深对数学知识的理解和掌握。

2. 进行小组讨论在高中数学课堂中，教师可以设计一些有趣的问题或案例，让学生分成小组进行讨论和解答。

通过小组讨论，学生可以相互交流和合作，共同思考问题的解决方法，从而拓展他们的思维方式，培养他们的团队合作精神。

教师也可以及时给予不同小组不同的反馈和指导，帮助学生理清思路，加深对数学知识的理解。

3. 进行实验或实践活动在高中数学课堂中，可以通过实验或实践活动帮助学生更加直观地理解数学知识和解决问题的方法。

通过搭建简单的数学模型、进行数学游戏或解决实际问题等方式，激发学生的学习兴趣和学习动力，促进他们对数学知识的掌握和应用。

4. 利用互动教学软件在高中数学课堂中，可以利用各种互动教学软件辅助教学，帮助学生更好地掌握数学知识。

这些软件可以提供丰富的教学资源和题库，帮助学生进行自主学习和练习，同时还可以通过在线互动功能让学生与教师进行实时交流和答疑，提高学习效率和质量。

4-2 直線方程式的應用一 聯立方程式的幾何意義◎搭配課本 P.176～P.178■聯立方程式的幾何意義：聯立方程式111222a xb yc a x b y c ⎧⎨⎩＋＝＋＝，設 111a x b y c ＋＝代表直線1L ，222a x b y c ＋＝ 代表直線 2L ，(1)若聯立方程式恰有一組解，則1L 與2L恰交於一點，此時1122a ba b ≠。

(2)若聯立方程式無解，則1L 與2L 平行，此時111222a b ca b c ≠＝。

(3)若聯立方程式有無限多組解，則1L 與2L 重合，此時111222a b ca b c ＝＝。

圖(一)圖(二)圖(三)範例1 二元一次聯立方程式的解及其幾何意義★搭配課本例題 1試解下列聯立方程式，並判斷其幾何意義。

(1)2521x y x y ⎧⎨⎩＋＝－＝。

(2)23425x y x y ⎧⎨⎩＋＝＋＝。

(3)23426x y x y ⎧⎨⎩＋＝＋＝。

解 (1)2521x y x y ⎧⎨⎩L L L L L L L L LL L L L L L L L L ＋＝－＝○1＋○2得 2x ＝6 x ＝3 代入○1得 y ＝1 故聯立方程式的解()(),3,1x y ＝由右圖可知，兩直線恰交於一點()3,1(2)23425x y x y ⎧⎨⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L ＋＝＋＝ ○3×2－○4得 0＝1，矛盾 故聯立方程式無解由右圖可知，兩直線平行 (3)23426x y x y ⎧⎨⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L ＋＝＋＝ ○5×2－○6得 0＝0 故聯立方程式有無限多組解 由右圖可知，兩直線重合〔另解〕(1)∵1212≠－ ∴兩直線恰交於一點(2)∵241325≠＝ ∴兩直線平行(3)∵241326＝＝ ∴兩直線重合類題 判斷下列二元一次聯立方程式的幾何意義為恰交於一點、平行或重合。

第2章指數、對數本章架構圖2-1 指數一 整數指數與指數律◎搭配課本 P.56～P.611.正整數指數：當 n 為正整數時，對於每一個實數 a ，n a a a a n ⨯⨯⨯L L 1444442444443＝個，n a 讀作“a 的 n 次方”，其中 a 稱為底數，n 稱為指數。

2.整數指數的定義：設 a 為實數，n 為正整數，則定義： (1)正整數指數：n a a a a n ⨯⨯⨯L L 1444442444443＝個。

(2)零指數：01a ＝（其中a ≠0）。

(3)負整數指數：1n n a a－＝（其中a ≠0）。

3.整數指數律：設 a 、b 為不等於 0 的實數，且 m 、n 為整數，則： (1)m n m n a a a ⨯＋＝。

(2)m n m n a a a ÷－＝。

(3)()nm mn a a ＝。

(4)()nn n a b ab ⨯＝。

4.使用計算機求指數：73時，可依序按732187＝。

範例1 正整數指數 ★搭配課本例題 1 試求下列各式的值：(1)()()()()22523432232352335⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝ 。

(2)()()()342564253⨯⨯＝ 。

解 (1)()()()()()()()22523252237433442432432232352233523525235233525354038⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝＝＝＝＝ (2)()()()342564253⨯⨯＝()()42233422325253⨯⨯⨯＝34443425232253⨯⨯⨯⨯⨯＝843324235235⨯⨯⨯⨯ ＝834243235⨯－－－＝521235⨯＝3295⨯＝2885類題 試求下列各式的值：(1)()()()2342353103⨯⨯＝554。

(2)57⨯＝ 64 。

解(1)()))()234234324334332623523552355332352354531320⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝＝＝＝(2)657126527264⎡⎤⎣⎦⨯＋＝＝＝＝＝範例2 整數指數★搭配課本例題 2計算下列各式的值：(1)()23142⨯－－＝。

指数与对数函数3-1 指 数主题1 整数指数与指数律 1. 整数指数的定义：设a 为实数，n 是自然数，则：(1)正整数指数：a n ＝n a a a ⨯⨯⨯L L 1444442444443個，读作a 的n 次方，其中a 称为底数，n 为指数。

(2)零指数：设a ≠0，a 0＝1。

(3)负整数指数：设a ≠0，a －n ＝1n a。

注：0的正整数次方为0，但0的0次方与负整数次方无意义。

2. 整数指数律：设a ，b 是不为零的实数，m ，n 是整数，则： (1)a m ×a n ＝a m ＋n 。

(2)mn a a＝a m －n 。

(3)（a m ）n ＝a m ×n 。

(4)a n ×b n ＝（ab ）n 。

范例1 整数指数的意义 搭配课本例题1(1)下列指数哪些是有意义的？ (A)00(B)（－2）－3(C)05(D)）3(E)0－2。

(2)计算下列各指数的值： ①6＝ 。

②2－3＝ 。

③4⎝⎭＝ 。

解(1)(A)00无意义 (E)0的负整数次方无意义故选(B)(C)(D)(2)①6＝〔2〕3＝33＝27②2－3＝312＝18③42⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝14类题1 下列指数哪些是有意义的？（多选） (A)π2 (B)（－2）0 (C)（－2）－2 (D)（22 (E)2）－1。

答： (A)(B)(C)(D)(E) 。

解(A)(B)(C)(D)(E)均符合指数的意义 故选(A)(B)(C)(D)(E)类题2 计算下列指数的值：(1)4－3×45＝ 16 。

(2)（23）－2＝164。

(3)3－4＝181。

解(1)4－3×45＝314×45＝42＝16 (2)（23）－2＝8－2＝218＝164 (3)3－4＝413＝181范例2 整数指数律搭配课本例题2(1)（＋3）3×3）3＝ 。

1-2 式的運算一 乘法公式、分式與根式的運算 ◎搭配課本 P.33～P.391.乘法公式：(1)○1()2222a b a ab b ＋＝＋＋。

○2()2222a b a ab b －＝－＋。

(2)()()22a b a b a b －＝＋－。

（平方差） (3)()2222222a b c c ab a b bc ca ＋＋＝＋＋＋＋＋。

(4)○1()3233233a b a b ab a b ＋＝＋＋＋。

○2()3233233a b a b ab a b －＝－＋－。

(5)○1()()3322a b a b a ab b ＋＝＋－＋。

（立方和） ○2()()3322a b a b a ab b －＝－＋＋。

（立方差）2.根式的運算：(1)平方根：設0a ≥，若實數 x 滿足2x a ＝，稱 x 是 a 的平方根。

(2)根式的基本性質：○1當 a 、0b ≥ b ≠0）。

○2a a ＝。

(3)常見的有理化因式： 設0x ≥、0y ≥，1。

23 (4)雙重根式的化簡：設 a 、0b ≥且 a b ≥，則＝（因為a b ≥）範例1 利用乘法公式展開 ★搭配課本例題 1展開並化簡下列各式： (1)()332a b －＝ 。

(2)()()223469x x x ＋－＋＝ 。

(3)()()()()22222424a a a a a a －＋－＋＋＋＝ 。

解 (1)()332a b －＝()()()()()()322333323322a a b a b b －＋－＝32232754368a a b ab b －＋－(2)()()()32332346923827x x x x x ＋－＋＝＋＝＋ (3)()()()()22222424a a a a a a －＋－＋＋＋＝()()()()22224224a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦－＋＋＋－＋＝()()()()3333363426288a a a a a －＋＝－＋＝－類題 展開並化簡下列各式：(1)()32a b ＋＝32238126a a b ab b ＋＋＋。

3-2 簡單多項式函數及其圖形一 坐標圖形的對稱性◎搭配課本 P.105～P.1071.點的對稱：已知點()3,1P ，則：(1)點 P 關於 x 軸的對稱點坐標為()3,1－，如圖(一)。

(2)點 P 關於 y 軸的對稱點坐標為()13,－，如圖(二)。

(3)點 P 關於直線 x －y ＝0 的對稱點坐標為()1,3，如圖(三)。

(4)點 P 關於原點 ()0,0O 的對稱點坐標為()3,1－－，如圖(四)。

圖(一)圖(二)圖(三)圖(四)2.圖形的對稱：(1)如果圖形上任何一點a ﹐b ，對 y 軸的對稱點也在這個圖形上，我們就稱 y 軸是這個圖形的對稱軸。

例如：y 軸是 2y x ＝圖形的對稱軸，如圖(五)所示。

(2)如果圖形上任何一點a ﹐b ，對原點 ()0,0O 的對稱點也在這個圖形上，我們就稱原點()0,0O 是這個圖形的對稱中心。

例如：原點 ()0,0O 是 y ＝x 圖形的對稱中心，如圖(六)所示。

圖(五)圖(六)二 一次函數及其圖形◎搭配課本 P.108～P.1121.函數的概念：(1)設 x 、y 為兩個變數，若對於每一個 x 所取的值，都可找到唯一一個 y 值與之對應，則我們稱 y 是 x 的函數，若用 f 代表這個函數，則此函數可以寫成 y ＝f (x )。

(2)在函數 f (x )中，給定 x ＝a ，代入函數後得到 f (a )稱為函數在 x ＝a 的函數值。

(3)函數的圖形：在坐標平面上滿足 y ＝f (x )之所有點(),x y 聚集而成之圖形，稱為 f (x )的函數圖形。

2.多項式函數：形如()1110n n n n f x a x a x a x a L L －－＝＋＋＋＋，其中 n 是非負整數者，稱為多項式函數。

(1)常數函數 f (x )＝c ：f (x )＝c 的圖形是一條通過()0,c 的水平直線。

(2)一次函數 f (x )＝ax ＋b ：設 a 、b 為實數，一次函數 f (x )＝ax ＋b （其中0a ≠）的圖形是一條直線。

第1章數與式本章架構圖1-1 數與數線一 有理數與無理數◎搭配課本 P.8～P.141.有理數：(1)定義：可以表示成兩個整數相除的數，即形如m n的數（其中 m 、n 為整數且 n ≠0），稱為有理數，以符號“¤”表示。

(2)有理數的運算：兩有理數的加、減、乘、除，結果仍是有理數（規定不可以除以 0）。

(3)有理數的小數表示：○1有理數可表示為有限小數或循環小數。

例：120.5＝，130.3＝。

○2利用計算機求有理數的小數表示： 例：求17，可依序按17的近似值 0.142857142。

○3有限小數或循環小數可化為分數。

例：20.45＝，50.59＝。

(4)循環小數化分數：○1121299.90nn a a a n a a a L L 14442444L L L 3L ＝個。

例：250.2599＝。

○212121212120999000.n m nn m a a a b b b a a a a a a b b b m n L L L L 14442444L L L L L L L L L L 3144424443－＝個個。

例：5920.5092599－＝。

(5)有理數的稠密性：任意兩個有理數之間有無限多個有理數，因此有理點在數線上是非常稠密的，這個性質稱為有理數的稠密性。

2.無理數：(1)定義：不能寫成m n（m、n 是整數，n ≠0）的形式的數稱為無理數。

(2)無理數的估計：利用國中學過的十分逼近法或按計算機1.414213562L L ，所以 1，1.4，1.41，1.414，1.4142，1.41421，愈來愈準確的近似值。

（請注意不同廠牌的計算機操作略有差異）範例1 十進位數★搭配課本例題 1將下列有理數化為小數： (1)18＝ 。

(2)37＝ 。

解 (1)111251250.125881281000⨯⨯＝＝＝(2)30.4285717＝類題1 將下列有理數化為小數：(1)27 1.0825＝。

高中数学教学中的课堂互动方式一、引言数学作为一门抽象的学科，对于学生来说常常显得枯燥乏味。

然而，教师在课堂中的互动方式可以极大地影响学生对数学的兴趣和学习效果。

本文将探讨高中数学教学中的课堂互动方式，旨在提供一些有创意的方法，以激发学生的学习热情和培养他们的数学思维能力。

二、互动方式一：问题解决在数学课堂上，教师可以通过问题解决的方式来引导学生思考和互动。

教师可以提出一个有趣的问题，让学生自己思考并找出解决方案。

例如，当教师讲解平面几何时，可以给学生一个几何问题，让他们在小组中合作解决。

这种互动方式可以激发学生的思维能力，培养他们的合作精神和解决问题的能力。

三、互动方式二：角色扮演角色扮演是一种有趣而有效的互动方式，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。

教师可以设计一些数学情境，让学生扮演不同的角色，通过模拟实际情境来解决数学问题。

例如，在解方程的教学中，教师可以让学生扮演数学家，通过提问和回答的方式来推导出方程的解。

这种互动方式可以激发学生的学习兴趣，增强他们对数学的理解和应用能力。

四、互动方式三：游戏化教学游戏化教学是一种越来越受欢迎的教学方式，可以在高中数学教学中起到积极的作用。

教师可以设计一些有趣的数学游戏，让学生在游戏中学习和巩固数学知识。

例如，在教学代数时，教师可以设计一个数学拼图游戏，让学生通过拼图的方式来理解和运用代数表达式。

这种互动方式可以激发学生的竞争意识，增强他们的数学思维和解决问题的能力。

五、互动方式四：实践探究实践探究是一种基于实际情境的互动方式，可以帮助学生将数学知识应用到实际生活中。

教师可以设计一些实践探究活动，让学生亲自动手进行实验和观察，从中发现数学规律。

例如，在教学统计学时，教师可以让学生设计一个调查问卷，然后收集数据并进行统计分析。

这种互动方式可以激发学生的实践能力，培养他们的观察和分析能力。

六、互动方式五：技术辅助在现代化的教学环境中，教师可以借助技术手段来增强课堂互动。

高中数学课堂互动教学在高中数学课堂中，互动教学是一种非常受欢迎和有效的教学方法。

它通过师生之间的互动，激发学生的学习兴趣，提高他们的自主学习能力和数学思维能力。

本文将从教师的角度探讨高中数学课堂互动教学的实施方法和效果。

高中数学是一门抽象性较强、内容较多的学科，学生常常感觉难以理解和应用。

传统的教学方法大多是老师对知识的讲解和学生的被动接收，缺乏灵活性和趣味性，容易导致学生的学习兴趣和积极性下降。

而互动教学则可以有效解决这些问题，激发学生的学习兴趣，促进他们积极参与课堂活动。

首先，教师可以通过提问加强互动。

在教学过程中，教师可以提出问题并鼓励学生积极回答，这样可以促使学生主动思考和参与到课堂中来。

同时，教师还可以针对学生的回答进行引导和解释，帮助他们更好地理解和掌握数学知识。

其次，教师可以组织小组活动。

在课堂上，教师可以将学生分成小组，让他们通过合作解决数学问题。

小组合作可以激发学生的学习热情，培养他们的合作精神和团队意识。

同时，通过小组讨论，学生之间可以相互借鉴和帮助，提高他们的学习效果。

另外，教师还可以利用多媒体技术进行互动教学。

例如，教师可以使用投影仪和电子白板展示数学问题，引导学生一起思考和解决。

同时，教师还可以通过网络资源、教学软件等方式让学生在课堂上进行在线学习和互动。

这样可以增加学生的参与度和学习兴趣。

互动教学在高中数学课堂中的实施效果是显著的。

首先，互动教学可以激发学生的学习兴趣，提高他们的学习动力。

通过互动参与，学生能够更加主动地思考和学习，从而更好地理解和掌握数学知识。

其次，互动教学可以培养学生的自主学习能力和解决问题的能力。

在互动的过程中，学生需要主动思考和动手实践，这对他们的学习和成长非常有益处。

最后，互动教学可以促进学生之间的交流和合作。

通过小组活动和讨论，学生可以相互借鉴和帮助，共同进步。

总之，高中数学课堂互动教学是一种有效的教学方法。

通过提问、小组活动和多媒体技术的运用，可以激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果和自主学习能力。

高中数学 (1) 交互式教课讲义{ 教用 }数与式1-2数在线的几何22数在线的几何主题 1分点公式与数在线两点的距离搭配课本P.29～P.341.分点公式：设 A（a）， B（ b）为数在线相异两点，若点 P 介于两点之间且AP：BP＝ m：n，则 P 点坐标为na＋mb。

m＋na＋ b2. 中点公式：设 A、 B 两点坐标分别为 a、b，则 A、B 两点的中点坐标为。

3.设数在线有 A、B 两点，其坐标为 a、b，则 A、 B 两点间的距离为AB＝│a－b│。

以以下图， AB ＝│a－b│。

4.绝对值的性质：a，a0(1)│a│＝。

－a，a＜0(2)│0│＝0，若 a≠0，则│a│＞0。

(3)│a│＝│－a│。

(4)│ab│＝│a││b│；a│ │＝a（当 b≠0 时）。

b│b│(5)│a│＋│b│ │a＋b│，等号建即刻的充要条件为ab0。

（三角不等式）典范 1距离与分点公式（一）搭配课本例题1(1)数在线有 A、B 两点，点 A 的坐标是 3 且AB＝2，则 B 点的坐标为。

(2)数在线有 A、B 两点，坐标分别为2、 5，若 P 点在AB之间，且AP：PB＝3：2，则 P 点坐标为。

(3)数在线有 A、B 两点，坐标分别为3、－ 7，若 P 点在 AB 直线上，且AP：PB＝2：3，则 P 点坐标为。

解 (1)设 B 点坐标为 x，则│x－3│＝2∴x＝5 或 1(2)以以下图P点坐标为 2 2＋3 5 ＝193＋25(3)∵P 在 AB 直线上∴有两种情况P： 2 （－7）＋33＝－5＝－13＋252 （－7）＋1xP：＋2＝3x－14＝ 9∴x＝231∴P 点坐标为－ 1 或 23类题 1 数在线三点A、B、C，此中A点坐标3，B点坐标5，若AC＝7，则BC＝5或9 。

解令 C 点坐标 x则│x－3│＝7 x＝10 或－ 4∴BC ＝│10－5│＝5或│－4－5│＝9类题 2数在线有A、B、P、Q四点，坐标分别是－6、9、1、－5，若点C在AB上且高中数学 (1) 交互式教课讲义 { 教用 }数与式 1-2 数在线的几何 23AC ： CB ＝3：2，点 R 是 PQ 的中点，则 CR ＝5 。

1-2數線上的幾何主題1分點公式與數線上兩點的距離搭配課本P.29～P.34 1. 分點公式：設A（a），B（b）為數線上相異兩點，若點P介於兩點之間且AP：BP＝m：n，則P點坐標為na mbm n＋＋。

2. 中點公式：設A、B兩點坐標分別為a、b，則A、B兩點的中點坐標為2a b＋。

3. 設數線上有A、B兩點，其坐標為a、b，則A、B兩點間的距離為AB＝│a－b│。

如下圖，AB＝│a－b│。

4. 絕對值的性質：(1)│a│＝a aa a≥⎧⎨⎩，－，＜。

(2)│0│＝0，若a≠0，則│a│＞0。

(3)│a│＝│－a│。

(4)│ab│＝│a││b│；ab＝ab││││（當b≠0時）。

(5)│a│＋│b│≥│a＋b│，等號成立時的充要條件為ab≥ 0。

（三角不等式）範例1距離與分點公式（一）搭配課本例題1(1)數線上有A、B兩點，點A的坐標是3且AB＝2，則B點的坐標為。

(2)數線上有A、B兩點，坐標分別為2、5，若P點在AB之間，且AP：PB＝3：2，則P點坐標為。

(3)數線上有A、B兩點，坐標分別為3、－7，若P點在AB直線上，且AP：PB＝2：3，則P點坐標為。

解(1)設B點坐標為x，則│x－3│＝2∴x＝5或1(2)如下圖P點坐標為223532⨯⨯＋＋＝195(3)∵P在AB直線上∴有兩種情形①P：273332⨯⨯（－）＋＋＝55－＝－1②P：27112x⨯⨯（－）＋＋＝3 ⇨x－14＝9∴x＝23∴P點坐標為－1或23類題1 數線上三點A 、B 、C ，其中A 點坐標3，B 點坐標5，若AC ＝7，則BC ＝ 5或9 。

解 令C 點坐標x 則│x －3│＝7 ⇨ x ＝10或－4 ∴BC ＝│10－5│＝5或│－4－5│＝9類題2 數線上有A 、B 、P 、Q 四點，坐標分別是－6、9、1、－5，若點C 在AB 上且AC ：CB ＝3：2，點R 是PQ 的中點，則CR ＝ 5 。

解作圖如右： 由題意知C ：263932⨯⨯（－）＋＋＝155＝3 又R ：512－＋＝－2 ∴CR ＝│3－（－2）│＝5範例2 距離與分點公式（二）設a ，b 為實數，且a ＜b ，則下列哪一個數最大？(A)2a b＋ (B)23a b ＋ (C)23a b ＋ (D)325a b ＋(E)45a b＋。

排 列主题1完全相异物的排列1. 排列的意义：排列的意义乃是从n 件不同物中，任取r 件加以排定次序，所需考虑者是物与物之间的相关位置。

例：将A ，B ，C 三个字母排成一列，其方法为ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA 共6种。

2. 阶乘（!）的意义： (1) 定义n !＝n ×（n －1）×（n －2）×……×2×1（读作n 阶乘）。

例：3!＝3×2×1＝6，5!＝5×4×3×2×1＝120。

(2) 规定0!＝1。

(3) n !＝（n －1）!×n 。

例：5!＝4!×5。

3. 完全相异物的排列：(1) n 个不同物排成一列，共有n !＝n ×（n －1）×（n －2）×……×2×1种方法。

(2) 从n 件不同物中任取r 件（0 ≤ r ≤ n ）排成一列，则其排列数为n r P ，且n r P ＝n ×（n －1）×（n －2）×……×（n －r ＋1）＝!!n n r （－）。

范例1 符号的计算(一)搭配课本 P.88 随堂练习 试计算下列各符号的值：(1) 7!＝ 。

(2) 6!3!＝ 。

(3) 53P ＝ 。

(4) 84P ＝ 。

解 (1) 7!＝7×6×5×4×3×2×1＝5040(2) 6!3!＝6×5×4＝120(3) 53P ＝5×4×3＝60(4) 84P ＝8×7×6×5＝1680类题1 试计算下列各符号的值：(1) 75P ＝ 2520 。

(2) 8!5!＝ 336 。

(3) 103P ＝ 720 。

对数函数主题1 对数函数的图形与性质 搭配课本P.189～P.198 1. 对数函数的定义：设a ＞0，a ≠1，且x ＞0，则y ＝f （x ）＝log a x 称为以a 为底数，x 为真数的对数函数。

2. 对数函数的图形：(1)设a ＞1，描绘y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 5x 的图形，如下图。

①f （x ）是一严格递增函数。

②函数图形恒过点（1﹐0）。

③函数图形恒在y 轴右半边。

④y 轴为图形的渐近线。

⑤a 值愈大，图形愈靠近x 轴。

⑥任一水平线与图形恰有一交点。

⑦图形具有凹口向下性质（请参考范例3说明）。

⑧y ＝log a x 与y ＝a x 的图形对称于直线x ＝y 。

(2)设0＜a ＜1，描绘y ＝12log x ，y ＝13log x ，y ＝15log x 的图形，如下图。

①f （x ）是一严格递减函数。

②函数图形恒过点（1﹐0）。

③函数图形恒在y 轴右半边。

④y 轴为图形的渐近线。

⑤a 值愈小，图形愈靠近x 轴。

⑥任一水平线与图形恰有一交点。

⑦图形具有凹口向上性质（请参考范例3说明）。

⑧y ＝log a x 与y ＝a x 的图形对称于直线x ＝y 。

3. 对数函数图形的性质： (1)对称性： ①y ＝f （x ）与y ＝f （－x ）对称于y 轴。

②y ＝f （x ）与－y ＝f （x ）对称于x 轴。

③y ＝f （x ）与－y ＝f （－x ）对称于原点。

④y ＝f （x ）与x ＝f （y ）对称于直线x ＝y 。

⑤y ＝f （x ）与－x ＝f （－y ）对称于直线x ＝－y 。

(2)图形的平移：①y ＝log a （x －h ），h ＞0，的图形是将y ＝log a x 的图形向右平移h 单位。

y＝log a x＋k，k＞0，的图形是将y＝log a x的图形向上平移k单位。

4. 给定方程式f（x）＝g（x），则方程式实根的个数就是y＝f（x）与y＝g（x）的图形交点个数。

平面上的直线主题1 直线的参数式 搭配课本P.187～P.190 1. 参数式的表示法：设直线L 过点A （x 0﹐y 0）且与非零向量v v＝（a ﹐b ）平行，则直线L 的参数式为00x x aty y bt⎧⎨⎩＝＋＝＋，t ∈¡，其中v v＝（a ﹐b ）称为直线的一个方向向量。

注：若参数t ，有范围限制α ≤ t ≤ β，则表一线段。

2. 过两点的参数式：设直线L 通过P 1（x 1﹐y 1），P 2（x 2﹐y 2），则直线L 的参数式为121121x x t x x y y t y y ⎧⎨⎩＝＋（－）＝＋（－），t ∈¡。

注：①当t ＝0时表点P 1，当t ＝1时表点P 2。

②当0 ≤ t ≤ 1时表线段P 1P 2。

范例1 直线的参数式与一般式搭配课本例题1、2设直线L 通过A （1﹐－2），且与向量v v＝（－2﹐3）平行，试求：(1)直线L 的参数式。

（以参数t 表示之，表示法不唯一） (2)消去(1)中的参数，求直线L 的方程式。

解 (1)设P （x ﹐y ）为此直线L 上任一点，则AP uu u v //v v，即（x －1﹐y ＋2）//（－2﹐3）⇨ 直线L 的参数式为1223x t y t ⎧⎨-⎩＝－＝＋，t ∈¡(2)L ：1223x t y t ⎧⎨-⎩＝－＝＋ ⇨ 336246x ty t⎧⎨-⎩＝－＝＋ ⇨ 3x ＋2y ＝－1即L ：3x ＋2y ＋1＝0类题1 已知平面上两点A （1﹐1），B （5﹐－2），则：(1) 直线AB 的参数式为1413x tt y t =+⎧∈⎨=-⎩，。

（表示法不唯一）(2) 线段AB 的参数式为140113x tt y t =+⎧≤≤⎨=-⎩，。

（表示法不唯一）解 ∵AB uu u v＝（4﹐－3）∴(1)直线AB 的参数式为1413x t t y t ⎧∈⎨⎩¡＝＋，＝－(2)线段AB 的参数式为140113x t t y t ⎧≤≤⎨⎩＝＋，＝－类题2 若已知线段的参数式为154x t y t ⎧⎨⎩＝＋＝－＋，－1 ≤ t ≤ 2，则此线段的长度为。

数列与级数数列主题1 数列的定义 搭配课本P.8～P.111. 数列的定义：将一些实数依序排成一列，形如a 1，a 2，……，a n ，……，即形成一数列，以符号〈a n 〉表示。

其中a 1称为第一项（首项），a 2称为第二项，……，以此类推，a n 称为第n 项，又称为一 般项。

例：数列〈3n 〉为3，6，9，12，……。

2. 等差数列：设一数列〈a n 〉满足a 2－a 1＝a 3－a 2＝……＝a n －a n －1＝d ，d 为常数，即相邻两项的后项减前项 的值为固定常数d ，则数列〈a n 〉称为等差数列，d 称为公差。

(1) 等差数列一般项a n ＝a 1＋（n －1）d ，亦可推广成a n ＝a m ＋（n －m ）d ，其中m ＜n 。

(2) 设a ，b ，c 三数成等差数列，则b 称为a ，c 的等差中项，且b ＝2a c＋。

3. 等比数列：设一数列〈a n 〉满足21a a ＝32a a ＝……＝1n n aa －＝r ，其中a 1≠0，r 为常数，r ≠0，即相邻两项的后项除以前项的值为固定常数r ，则数列〈a n 〉称为等比数列，r 称为公比。

(1) 等比数列一般项a n ＝a 1r n －1，亦可推广成a n ＝a m r n －m ，其中m ＜n 。

(2) 设a ，b ，c 三数成等比数列，则b 称为a ，c 的等比中项，且b 2＝ac 。

范例1 数列的一般项 搭配课本例题1(1) 写出数列〈（－1）n ＋1．2n 〉的前五项。

(2) 具有一定规则的数列〈a n 〉：1，4，9，16，25，36，……，则此数列的第n 项a n ＝ 。

解 (1) ∵a n ＝（－1）n ＋1．2n∴a 1＝2，a 2＝－4，a 3＝6，a 4＝－8，a 5＝10 (2) 观察数列的规则性，可知a n ＝n 2类题1 具有一定规则的数列〈a n 〉：0，1，0，2，0，3，0，4，……，则此数列的第100项a 100＝50 。