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高中数学中的函数的奇偶性与对称性函数是数学中非常重要的概念，它在解决各种实际问题以及数学推导中起着关键的作用。
在高中数学中，函数的奇偶性和对称性是我们经常要研究的性质之一。
本文将就这两个性质展开讨论，并阐述它们在函数研究中的应用。
1. 函数的奇偶性函数的奇偶性判断是指在函数的定义域内，函数关于y轴的对称性。
对于任意实数x，如果函数f(-x) = f(x)，那么这个函数被称为偶函数；如果函数f(-x) = -f(x)，那么这个函数被称为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，即函数在原点的对称轴上。
典型的奇函数包括正弦函数和正切函数。
例如，y = sin(x)和y = tan(x)都是奇函数。
当x为正时，函数值与x轴的夹角是一致的；当x为负时，函数值与x轴的夹角是相反的，因此函数关于y轴对称。
偶函数的图像关于y轴对称，即函数在y轴上对称。
典型的偶函数包括余弦函数和幂函数。
例如，y = cos(x)和y = x^2都是偶函数。
当x为正时，函数值与x轴的夹角是一致的；当x为负时，函数值与x轴的夹角也是一致的，因此函数关于y轴对称。
2. 函数的对称性除了奇偶性，函数还有其他的对称性，如x轴对称和原点对称。
当函数关于x轴对称时，对于任意实数x，函数f(-x) = f(x)。
当函数关于原点对称时，对于任意实数x，函数f(-x) = -f(x)。
函数的对称性在研究函数的性质和图像时非常有用。
奇偶性和对称性在函数研究中起着重要的作用。
它们帮助我们简化函数的研究和计算，同时也带来了一些有趣的性质和规律。
3. 奇偶函数的性质和应用奇函数和偶函数有一些特殊的性质和规律，它们在数学推导和解决实际问题时非常有用。
首先，奇函数与奇函数的和、差、积仍然是奇函数。
例如，如果有两个奇函数f(x)和g(x)，那么它们的和f(x) + g(x)和差f(x) - g(x)仍然是奇函数。
同样地，奇函数与奇函数的乘积fg(x)也是奇函数。
其次，奇函数与偶函数的和、差、积都是一般的函数。
函数对称性知识点归纳总结一、函数的对称性概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将输入值映射到输出值的关系。
它通常表示为f(x)，其中x是输入值，f(x)是输出值。
函数可以用数学公式、图表、图形等方式来表示。
1.2 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数图像保持不变的性质。
这种变换可以是关于坐标轴的对称、关于原点的对称、关于直线或平面的对称等。
函数的对称性可以分为以下几种：- 偶函数：如果对任意的x，有f(x) = f(-x)，那么函数f(x)是关于y轴对称的，称为偶函数。
偶函数的图像在y轴对称。
- 奇函数：如果对任意的x，有f(x) = -f(-x)，那么函数f(x)是关于原点对称的，称为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
- 周期函数：如果存在一个正数T，使得对任意的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)是周期函数。
周期函数的图像在某一段距离上重复。
1.3 示例以函数f(x) = x^2为例，它是一个偶函数。
因为对任意的x，有f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)，所以函数图像关于y轴对称。
又如函数f(x) = sin(x)，它是一个奇函数。
因为对任意的x，有f(x) = sin(x) = -sin(-x) = -f(-x)，所以函数图像关于原点对称。
二、函数对称性的判定与应用2.1 函数对称性的判定在判断一个函数是否具有对称性时，可以通过以下方法进行判定：- 偶函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = f(-x)即可判断是否为偶函数。
- 奇函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = -f(-x)即可判断是否为奇函数。
- 周期函数：通过周期函数的定义，验证函数f(x)是否满足f(x+T) = f(x)即可判断是否为周期函数。
2.2 函数对称性的应用函数对称性在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
以下是函数对称性的一些应用场景：- 在积分计算中，利用函数的对称性可以简化积分的计算。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档函数的奇偶性、对称性和周期性是函数图像特征的重要方面。
在数学中，研究函数的这些特性可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。
本文将对函数的奇偶性、对称性和周期性进行总结。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数关于坐标原点或者其中一点的对称性。
如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称函数为偶函数；如果函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，则称函数为奇函数。
1.偶函数的特点：（1）关于y轴对称，即函数的图像关于y轴对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则偶函数的导函数也是偶函数。
2.奇函数的特点：（1）关于原点对称，即函数的图像关于原点对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则奇函数的导函数也是奇函数。
二、函数的对称性对称性是指函数图像关于其中一直线、其中一点或者其中一中心进行对称的性质。
1.关于y轴对称：如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴左右对称。
2.关于x轴对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上下对称。
3.关于原点对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(-x)，则函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点对称。
三、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以一些特定的周期重复出现的性质。
1.周期函数：如果函数f(x)在定义域的一些区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像在段区间内重复出现。
2.周期函数的性质：（1）在一个周期内，函数具有相同的性质和特点；（2）相邻两个周期之间的函数值关系相同；（3）周期函数的图像在一个周期内是相似的。
四、函数的判断在实际问题中，我们根据函数的表达式或者图像来判断函数的奇偶性、对称性和周期性。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
函数的对称性与奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用来描述函数在某种变换下的性质。
本文将介绍函数的对称性和奇偶性的概念和性质，并举例说明它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像在某个变换下具有不变性。
常见的对称性有关于x轴对称、y轴对称和原点对称。
下面分别介绍这三种对称性：1. 关于x轴对称当一个函数的图像在x轴上下对称时，我们称之为关于x轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(x,-y)，那么这个函数就是关于x轴对称的。
例如，函数y = x^2就是关于x轴对称的。
当x取任意值时，对应的y值都是相等的，即对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(x,-y)。
2. 关于y轴对称当一个函数的图像在y轴左右对称时，我们称之为关于y轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,y)，那么这个函数就是关于y轴对称的。
例如，函数y = sin(x)就是关于y轴对称的。
对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,y)。
3. 关于原点对称当一个函数的图像在原点对称时，我们称之为关于原点对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,-y)，那么这个函数就是关于原点对称的。
例如，函数y = x^3就是关于原点对称的。
对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,-y)。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在x轴上对称和y轴对称的性质。
具体来说，如果函数在关于y轴的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,y)相等，那么这个函数就是偶函数。
而如果函数在关于原点的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,-y)相等，那么这个函数就是奇函数。
例如，函数y = x^2是一个偶函数，因为对于任意的x，y = x^2和y = (-x)^2是相等的。
函数的奇偶性对称性与周期性总结史上最全1.函数的奇偶性在介绍函数的奇偶性之前，我们先来回顾一下函数的定义。
函数是一种映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在数学中，常用的函数表示方法是y=f(x)，其中x表示自变量，y表示因变量。
一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)成立。
换句话说，奇函数关于y轴对称。
例如，y=x^3就是一个奇函数，因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。
一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)成立。
换句话说，偶函数关于y轴对称。
例如，y=x^2就是一个偶函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。
有些函数既不是奇函数也不是偶函数，它们被称为非奇非偶函数。
例如，y=x是一个非奇非偶函数，因为f(-x)=-x=-f(x)不成立，f(-x)也不等于f(x)。
2.函数的对称性函数的对称性是指函数图像在其中一种变换下保持不变。
常见的对称性有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称。
关于y轴对称是指函数图像关于y轴对称，即对于任意的x，f(-x)=f(x)。
这时函数的奇偶性可以被判断出来，如果f(-x)=f(x)，则函数是一个偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则函数是一个奇函数。
关于x轴对称是指函数图像关于x轴对称，即对于任意的x，f(x)=f(-x)。
这时函数可以被看作是一个非奇非偶函数。
关于原点对称是指函数图像关于原点对称，即对于任意的x，f(x)=-f(-x)。
这时函数可以被看作是一个非奇非偶函数。
3.函数的周期性一个函数被称为周期函数，当且仅当存在一个正数T，对于任意的x，f(x+T)=f(x)成立。
换句话说，函数的值在周期T内不发生变化。
周期函数的最小正周期被称为函数的周期。
周期函数是一类特殊的函数，它在一些范围内不断重复。
我们可以通过观察函数的图像来判断函数是否具有周期性。
如果函数的图像在一个范围内不断重复，则函数是一个周期函数；如果函数的图像没有重复的部分，则函数是一个非周期函数。
三角函数的对称性和奇偶性三角函数是数学中非常重要的概念。
在三角函数中，有一些重要的性质，即对称性和奇偶性。
理解和掌握这些性质对于解决三角函数相关问题非常有帮助。
本文将详细介绍三角函数的对称性和奇偶性，并分别给出其数学定义和性质分析。
一、正弦函数的对称性和奇偶性正弦函数是三角函数中最基本的一种。
它的定义是：在单位圆上，从原点出发沿逆时针方向，与终边相交的点的纵坐标值。
正弦函数的简写形式为sin(x)。
1. 对称性：正弦函数关于原点对称。
即如果点(x,y)在正弦曲线上，那么点(-x,-y)也一定在正弦曲线上。
这种对称性可以用数学公式表示为：sin(-x) = -sin(x)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数。
奇函数的定义是f(-x) = -f(x)。
因此，对于正弦函数，sin(-x) = -sin(x)。
这意味着当x取任意实数时，sin(x)的函数值和sin(-x)的函数值互为相反数。
二、余弦函数的对称性和奇偶性余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数。
它的定义是：在单位圆上，从原点出发沿逆时针方向，与终边相交的点的横坐标值。
余弦函数的简写形式为cos(x)。
1. 对称性：余弦函数关于y轴对称。
即如果点(x,y)在余弦曲线上，那么点(-x,y)也一定在余弦曲线上。
这种对称性可以用数学公式表示为：cos(-x) = cos(x)。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数。
偶函数的定义是f(-x) = f(x)。
因此，对于余弦函数，cos(-x) = cos(x)。
这意味着当x取任意实数时，cos(x)的函数值和cos(-x)的函数值相等。
三、正切函数的对称性和奇偶性正切函数是三角函数中另一种重要的函数。
它的定义是：在单位圆上，从原点出发沿逆时针方向，与终边相交的点的纵坐标值与横坐标值之比。
正切函数的简写形式为tan(x)。
1. 对称性：正切函数关于原点对称。
即如果点(x,y)在正切曲线上，那么点(-x,-y)也一定在正切曲线上。
函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+Û()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+Û关于2a bx +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x Þ=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+éùëû：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+éùëû②本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+Û()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+Û关于,02a b +æöç÷èø轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称中心即可。
第04讲 函数的奇偶性（二）与对称性考点1：函数的奇偶性<教师备案> 本板块复习一下上一讲的函数的奇偶性，从图象平移的角度与奇偶函数的本质角度理解一般的奇偶性， 并由此引出一般的对称性．如(1)f x -是偶函数，从图象平移角度来说：意味着函数()f x 的图象向右平移一个单位 后，有对称轴0x =，故函数()f x 的图象有对称轴1x =-．从偶函数本质角度来说，偶函数意味着自变量取相反数时，函数值相等，(1)f x -的自变量为x ，故意味着(1)(1)f x f x --=-．这说明：(1)(1)f x f x --=-与()f x 关于1x =-对称是等价的命题．【例1】⑴ ① 若()1f x +是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项） ② 若()f x 是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项） A ．()()11f x f x --=+ B ．()()11f x f x -+=+C ．()()11f x f x -=--D ．()()11f x f x -=+E ．(1)(1)f x f x --=-+F ．()()11f x f x -=-+⑵ ①若(2)f x -是偶函数，则函数()f x 图象的对称轴为_______． ②若(2)f x -是奇函数，则函数()f x 图象的对称中心为_________． ⑶ ①若(1)1f x +-是偶函数，则函数(1)f x -图象的对称轴为_______． ②若(1)1f x +-是奇函数，则函数(1)f x -图象的对称中心为_________． ⑷ 若()3f x +的对称中心为()21，，则函数()21f x -+图象的对称中心为 ． 【解析】 ⑴ ①B ；②A 、F ；⑵ ①2x =-；②(20)-，；⑶ ①2x =；②(21)，．⑷ ()72，；4.1函数奇偶性（二）偶函数与奇函数代表着最基本的轴对称与中心对称，这两种最基本的对称可以拓展到一般的结论．首先说明的是这里所说的函数对称性指的是一个函数自身的对称性，而不是两个函数之间的对称．一、轴对称：这里我们要讲的是研究方法：先来看偶函数，偶函数的图形是关于y()()f x f x =-，如何从图象的对称性得到这个代数形式呢？若有两个互为相反数的自变量x 和x -，由于图象是关于y 轴对称的，所以在x 与x -处的函数值是相等的，但在这个过程中我们隐藏了一些想法：为什么要取互为相反数的两个自变量呢？因为对称轴是0x =，所以在对称轴左右两边找两个对称的东西，x 和x -可以理解为一个是0x +，一个是0x -，也可以理解为x 与x -中点为0．由此角度可以想想，若将对称轴换成x a =呢？此时若想构造轴对称该如何构造？该取什么样的自变量？())x=x a = ①()()f a x f a x +=-②若122x x a +=，则12()()f x f x =，一定要写成12x x +的形式，只需两个括号中的和为2a 即可． 第1种思考方式：若关于x a =对称，则关于x a =对称的两自变量所对应的函数值相等；第2种思考方式：因为轴对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上，所以若()()22x f x ，和()()11x f x ，两点关于y 轴对称()()12f x f x =，则两自变量满足120x x +=（∵中点在对称轴上）．如：()()42f x f x -=+，括号中的和为6，∴()f x 的图象关于3x =对称．一定是函数值相等才有轴对称这一说法，若两自变量和为常数且函数值相等，则可表达轴对称：()()f a x f b x +=-，则()f x 关于2a bx +=轴对称． 再如：若()()4222f x f x -=+，此时()f x 是否有对称轴？有，仍然为3x =． 当讨论轴对称时，只要看括号内的和是否为常数就行，不要受其它因素的干扰．例：若()2f x +是偶函数，则()f x 的对称轴为_____．在上一个板块，我们已经从图象平移角度得到过对称轴，这里我们从函数方程角度出发，由()()()22f x f x f x -+=+⇒关于2x =对称．上面的说法只是针对平常出现的，更变态的情况一般不可能出现，如若有1142f f x x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的图象否有对称性？不一定有，因为()4f 和()2f 的关系不能确定，但严格意义上还是关于3x =对称，因为()4f 与()2f 可通过12x =去解决． 若()()2242f x f x -=+，则()f x 的图象否有对称性？有，关于3x =对应．有限制时，不一定对称，如()()2242f x f x +=-，因为x ∈(24)，时，()f x 的情况无法确定．当然，这些问题本身就非常变态了，不必深究．本质上来说，当24x -与22x +的值域的并集为R 时，可以得到对称，否则得不到．4.2函数的对称性一般的轴对称：⑴ 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称⇔()(2)f x f a x =-()()f a x f a x ⇔-=+；⑵ 若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=成轴对称．【练习1】⑴若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________；⑵若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=-，则()f x 的图象的对称轴为________；⑶若函数()f x 满足：(22)(22)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________．【解析】 ⑴1x =；⑵2x =-；⑶2x =．考点2：二次函数的对称性<教师备案> 二次函数是一类很特殊的轴对称函数，对于二次函数来说，只需要两个特殊点的函数值相等就可得到它的对称轴，这是因为它的对称性+单调性决定的．对于一般的轴对称函数，并没有这样的性质． 【铺垫】函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是（ ） A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 【解析】 C 【例2】 ⑴二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，若1212()()()f x f x x x =≠，则122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）A ．2b a -B ． b a -C ．cD ．244ac b a- ⑵二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，若1212()()()f x f x x x =≠，则()12f x x +等于（ ）A ．2b a -B ．b a -C ．cD ．244ac b a -⑶设()2f x x bx c =++且()()02f f =，则（ ） A ．()322f c f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭B ．()322f c f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C ．()322f f c ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭D ．()322c f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭【解析】 ⑴ D ⑵ C ⑶ B考点3：轴对称函数的性质【铺垫】若函数()f x 在(4)+∞，上为减函数，且对任意的x ∈R ，有(4)(4)f x f x +=-，则（ ） A ．(2)(3)f f > B ．(2)(5)f f > C ．(3)(5)f f > D ．(3)(6)f f >【解析】 D 【例3】 ⑴已知函数()f x ，当4x >时，()2013f x x =-，且()()44f x f x -=+恒成立，则当4x <时，()f x = ．⑵已知()f x 为定义在R 上的函数，且(1)f x +为偶函数，且当1x ≥时，2()f x x =，则当1x < 时，()f x =__________．⑶设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有三个不相等的实数根，那么这三根之和等于 ． 【解析】 ⑴ 2005x --⑵ 2(2)x -．⑶ 6．经典精讲知识点睛【拓展】已知函数()()y f x x =∈R 满足①()()11f x f x +=-；②[)1x ∈+∞，时，()f x 为增函数；③10x <，21x > 且122x x +<-，则()1f x -与()2f x -的大小关系是 ．【解析】 12()()f x f x ->-．二、中心对称())f x f x -=- 2f a x f a x b ++-=对称中心：每个点绕着对称中心旋转180︒后还在图象上．奇函数中两自变量的中点是中间的0，两函数值中点是0，有()()0f x f x +-=． 若将对称中心移到点()a b ，，可同理，从a 出发，向左向右距离相等，使其自变量对称，则它们对应的函数值的中点应为b ，所以()()2f a x f a x b ++-=．当自变量关于a 对称时，函数值关于b 对称． 例：()()312f x f x ++-=，则()f x 关于()21，中心对称．当描述对称性时一定要注意，自变量的和是一个常数时，所表达的一定是对称性，因为对称性就是往两边走．例：(1)1()f x f x -=-，则()f x 是中心对称的，对称中心为1122⎛⎫⎪⎝⎭，．()(8)2f x f x -++=-，则()f x 关于(41)-，中心对称．一般的中心对称：⑴ 函数()y f x =的图象关于点()a b ，对称⇔()()2f a x f a x b ++-=⇔2()(2)b f x f a x -=-． ⑵ 若函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=，则()y f x =的图象关于点22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭，成中心对称． 【练习2】⑴若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________；⑵若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=--，则()f x 的图象的对称中心为________； ⑶若函数()f x 满足：(2)(2)2f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________．【解析】 ⑴(10)，；⑵(20)-，；⑶(21)，．考点4：中心对称函数的性质 【例4】 ⑴已知函数()f x 当4x >时，()2013f x x =-，且()()440f x f x -++=恒成立，则当4x <时，()f x = ．⑵已知当4x >时，()2013f x x =-，且()()442013f x f x -++=恒成立，则当4x <时，()f x =________． ⑶已知()f x 是定义在R 上的函数且()1f x +为奇函数，则下列说法不正确的是（ ） A ．函数()f x 不是奇函数 B ．()()20f x f x +-+=C ．函数()f x 的图象关于点(01)-，对称D ．函数()f x 的图象关于点(01)，对称 ⑷已知()f x 为定义在R 上的函数，若函数(1)f x +为奇函数，则下列说法不正确的是（ ）A ．(1)(1)f x f x -+=-+B ．函数()f x 的图象关于点(10)，对称C ．(2012)(2010)0f f +-=D ．函数()f x 为奇函数 经典精讲知识点睛【解析】 ⑴ 2005x +；⑵ 4018x +；⑶ D ；⑷ D【拓展】若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12x x ∈R ，，有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法一定的是 （ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．()1f x +是奇函数D ．()1f x +是偶函数 【解析】 C ； 考点5：含绝对值的函数的对称性这里研究三种常见的含绝对值的函数：()f x x a =-，()f x x a x b =-+-，()f x x a x b =---：a b ，的两点之间的距离，从这个角度去理解()12f x x x =+++：2-，，()f x 表示x 到这两个零点12--，的距离之和，两零点应关于对称轴对称，故函数的对称轴为32x =-．且此函数的最小值为2(1)1---=．同样的，对()12f x x x =+-+，表示的是距离之差，当2x <-时，函数值一直为1，且为最大值；当1x >-时，函数值一直为1-，且为最小值，在21x -<<-时，函数单调递减．⑴()f x x a =-的图象关于直线x a =对称，且函数的最小值为0；⑵()f x x a x b =-+-的图象关于直线2a bx +=对称，且函数的最小值为b a -； ⑶()f x x a x b =---的图象关于点02a b +⎛⎫⎪⎝⎭，对称，且函数的值域为a b a b ⎡---⎤⎣⎦，． <教师备案> 对上面结论的证明：方法一：可以由函数图象的对称性获得． x=ax=a+b 2ba x=a+b 2ba()f x x a =- ()f x x a x b =-+-（a b <） ()f x x a x b =---（a b <）方法二：代数证明．⑴ ()(2)2f a x a x a a x f x -=--=-=；⑵ ()()f a b x a b x a a b x b b x a x f x +-=+--++--=-+-=； ⑶ ()()f a b x a b x a a b x b b x a x f x +-=+---+--=---=-．【例5】 ⑴设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1-⑵设函数()f x x a x b =---的图象关于点(10)，对称，且函数的最大值为2，则a =_______．⑶用{}min a b ，表示a ，b 两数中的最小值．若函数(){}min f x x x t =+，的图象关于直线12x =-对称，则t 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．1经典精讲知识点睛【解析】 ⑴ A ⑵ 0或2；⑶ D【拓展】要使得函数123y x x x x a =-+-+-+-的图象有对称轴，a 的值为_____．【解析】 0a =或2或4．若()y f x =的图象的对称轴为8x =，则①()y f x =-的图象的对称轴为______；②(1)y f x =-的图象的对称轴为_______； ③(2)y f x =的图象的对称轴为______．【解析】 ①8x =-；②7x =-；③4x =．()y f x =-与()y f x =是关于y 轴对称的，故()y f x =-有对称轴8x =-；()y f x =-向右平移一个单位得到(1)y f x =-+，故(1)y f x =-的对称轴为7x =-． 因为(8)(8)f x f x -=+，从而(82)(82)f x f x -=+，故[2(4)][2(4)]f x f x -=+，记()(2)g x f x =，则有(4)(4)g x g x -=+，即()g x 有对称轴4x =，即(2)f x 有对称轴4x =．【演练1】对于二次函数()22f x x x m =-+，及任意的x ∈R 有( )A ．()()11f x f x --=-+B ．()()11f x f x -=+C ．()()11f x f x -=+D ．()()22f x f x -=+【解析】 B 【演练2】若二次函数()2f x ax bx c =++的对称轴为1x =且其图象过点()20，，则()()11f f -的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．2 D ．1【解析】 A【演练3】若函数()f x 满足()()2f x f x =-，且1x >时，()245f x x x =-+，则1x <时，()f x =______． 【解析】21x -+； 【演练4】 若函数()f x 满足()()24f x f x +-=，1x >时，()245f x x x =-+，则1x <时，()f x =______． 【解析】23x -+； 【演练5】 已知定义域为R 的函数()f x 在()8+∞，上为减函数，且函数()8y f x =+为偶函数，则（ ）A ．()()67f f >B ．()()69f f >C ．()()79f f >D ．()()710f f > 【解析】 D（2009年全国Ⅰ理11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）． A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()(2)f x f x =+ D ．(3)f x +是奇函数 【解析】 D∵(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，∴(1)(1)f x f x -+=-+，(1)(1)f x f x --=--，∴函数()f x 关于点()10，及点()10-，对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数． ∴(14)(14)f x f x --+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数．故选D ．大千世界实战演练。
